数学解题中的通性通法
例谈数学解题过程中的通性通法
例谈数学解题过程中的通性通法作者：杨宝平来源：《中学数学杂志(初中版)》2015年第05期通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.《义务教育数学课程标准2011版》指出，数学问题的解决要使学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.下面以2015年济南市学业水平考试数学试题第28题为例探讨一下数学解题过程中的通性通法问题.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作平行四边形CBPQ，若P点在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且平行四边形CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一个动点，C不与点A、E重合，∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值.问题（1）：求解抛物线的解析式.从通性通法的角度来看该问题实际是对待定系数法的考查.初中阶段任何一种函数关系式的确定都是使用该法，即先根据题目要求设相应函数的一般关系式，然后在图象上找到相应的坐标点代入形成方程组，求出方程组的解便可以解决问题，当然如果其中提供的点有特殊性也可以作为问题突破口.解法1：如图1所示，由题意将A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4得方程组，求出a=1、b=-6，即可求出解析式y=x2-6x+4.解法2：由题意A（1，-1），B（5，-1）是二次函数图象上一对对称点，所以其抛物线的对称轴为直线x=3，由抛物线的对称轴公式可得b=-6a，再结合A、B中的任意一点就可以求a=1、b=-6，进而求出抛物线的解析式y=x2-6x+4.问题（2）：求点P的坐标.从通性通法角度看，关于点的坐标问题无非两条路线，一是在已知函数关系式的情况下通过联立方程组求解出点的坐标；二是在平面直角坐标系中利用图形的性质通过相关计算和证明，求出相关线段的长度，进而转化出点的坐标.在解题的过程中要紧紧围绕这两种思路，这便是该问题的通解通法.解法1 利用平移.如图3所示，平行四边形CBPQ，PQ∥BC，由平行四边形CBPQ的面积为30，我们可以BC为底可求出其高，将其高沿BC方向进行平移，在此过程中高的一端在BC上移动，而另一端的运动轨迹为直线.求出该直线解析式为y=-x+10，然后与抛物线解析式y=x2-6x+4联立即可求出点P的坐标（-1，11）和（6，4）.解法2 利用等底同高.如图3所示，过B作y轴的垂线，垂足为D，△BCD为等腰直角三角形，由等底同高可以求出H坐标（3，7），过H作BC的平行线PQ，求出PQ的解析式，结合解法1即可求出点P的坐标（-1，11）和（6，4）.解法3 利用点到直线的距离.如图4所示，利用铅垂距离.过P作x垂线交直线BC于H，P为抛物线上的一点，所以可以设P为（m，m2-6m+4），H（m，-m+4）.利用坐标差表示出PH的长，通过面积为30和点到直线的距离求出P（-1，11）和（6，4）.解法4 利用面积和差.我们知道求解面积问题一般分为两种：一是直接方法；一是间接方法.在这里我们从间接的角度处理如下：如图5所示，P为抛物线上的一点，所以P为（m，m2-6m+4），CP为平行四边形的对角线，所以△BCP面积为15，由题意S△BCP=S梯形CDGP-S△BPG-S△BCD，代入相关量即可求出P（-1，11）和（6，4）.综合上述四种解法，我们不难发现前两种解法基本沿用函数路线，通过联立方程组求点的坐标，后两种解法沿用图形路线利用图形的性质通过相关计算和证明，求出相关线段的长度，进而转化出点的坐标.这要求我们在日常的课堂教学中加强学生这方面的培养，使多数学生都能炼就一双找点、求点的“火眼金睛”.问题（3）：求线段BN长度的最大值.从通性通法的角度考虑几何最值问题：一是分析定点、动点，寻求不变的特征或数量关系；一是看是否属于常见模型，若是常规模型（奶站模型、天桥模型、折叠模型），则调用模型解决问题，若不属常规模型，则要结合要求的问题，根据不变的特征转化基本定理或函数表达式解决问题.该问题属于第二种几何最值，所以选择如下解答方法：解法1 如图6所示在点M运动的过程中，∠NMB=∠EAB，tan∠NMB=tan∠EAB，因此当BM取最大值时BN取得最大值.解法2 根据题意∠NMB=∠EAB，∠NBM=∠EBA，可得出△EAB∽△NMB，即可求出BN是BM的正比例函数关系式，同样当自变量BM最大时因变量BN取得最大值.通过以上三个问题探讨，我们可以看出通性通法在数学解题中起到非常重要的作用，而正是这种具有普遍意义的解题方法，却是在问题解决过程中最实际、最适用的，也是各地学业水平考试的重要考查点，这也势必会成为数学问题解决方法发展的主流.我们知道学生对学业水平考试的处理过程是一个学生创造的过程，一个批判、选择的过程，一个充满想象、探索和体验的过程，而通性通法的灵活把握会对问题的解决起到事半功倍的效果，因此，我们在日常教学中要把通性通法放在一个重要的位置，将其渗透于每一堂课之中，引导学生及时总结归纳问题解决的通性通法，加强对通性通法的训练与提高，只有这样才能真正实现高效课堂和提高学生的数学素养的双重目标.。
数学解题中的通性通法
数学解题中的通性通法中学数学的学习离不开数学解题，在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。
通性通法对数学学习与数学解题非常重要，在数学解题中，我们要整体把握好通性通法，理解通性通法的本质。
下面让我们通过几个问题，共同探讨一下数学解题中的通性通法。
1. 二次函数闭区间上求最值求函数x x x f 22-=)(在区间],[32-上的最大值和最小值.解题思路：作出函数x x x f 22-=)(的图象，在区间],[32-上截段，数形结合，寻求函数的最大值和最小值解题过程：由022=-=x x x f )(解得零点：1=x 图象（如图）由图象可以看出：当2-=x 时，函数)(x f 取最大值8442=+=-)(f ;当1=x 时, 函数)(x f 取最小值1211-=-=)(f . 规律总结：二次函数闭区间上求最值时，基本的通法是：作图象，截段，求最值等。
2. 直线与圆锥曲线位置关系已知双曲线C ：2222=-y x 与点P (1，2)，求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入曲线C 的方程，并整理得：(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，直线l 与曲线C 有一个交点(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时 Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即k =23时，方程(*)有一个实根，直线l 与曲线C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜kx x 22-=)＜23时，方程(*)有两不等实根，直线l 与曲线C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，直线l 与曲线C 没有交点. 综上可知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，直线l 与曲线C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，直线l 与曲线C 有两个交点；当k ＞23时，直线l 与曲线C 没有交点. 规律总结：判定直线与圆锥曲线位置关系时,首先讨论直线有无斜率。
夯实主干知识--重视通性通法--强化解题训练优秀获奖科研论文
夯实主干知识重视通性通法强化解题训练优秀获奖科研论文高考数学复习是对高中阶段所学知识和技能的一次系统的回顾、总结和提升，也是一次知识和技能的演练.高考数学在第一轮的严格复习和强化训练后，考生对于高中数学的基础知识、各类题型、解题方法、解题技巧都有了基本的理解和掌握.然而从高中数学复习备考的整体要求来看，考生对这些知识的掌握还缺少系统性、条理性和完整性，对于解题方法和技巧的运用还未达到善变通、巧灵活的程度.因此，二轮复习时，教师应引导考生对在一轮复习中已掌握的知识、方法、技能进行系统的整理、归纳、提炼，对整个高中阶段的所有教学内容和《考试大纲》《考试说明》中要求内容的知识结构进行全面的梳理，使之更条理化，系统化，从而更好地理解、掌握和巩固知识，提高应考能力.高考数学第二轮复习的关键任务应该是：夯实主干知识，重视通性通法，强化解题训练.一、切实夯实双基，强化理解掌握，全面提升能力在二轮复习过程中，对于一轮复习过的相关内容和知识以及技能，教师应恰当地、有目的地融入其中，使考生所学的知识得到进一步的巩固和提高，从而全面掌握基本知识和基本技能.与此同时，对于各个知识点、重点、难点，教师应进行有效的突破，条分缕析地进行提炼、概括和总结，使考生解题的分析更加深刻，解题的思路更加清晰，解题的方法更加科学.在复习中，不断地积累知识和加强深化知识是提高考生数学知识和能力的一个重要环节，因此考生只有夯实主干知识基础，才能在考场上左右逢源，获取高分.纵观近几年高考数学江苏卷，有一个明显的变化是基础性题目几乎占了三分之二，这就充分说明了考生掌握好基础知识是非常重要和必要的.在二轮复习中，教师要重视基础知识的复习，既要对考生讲解深刻，又要将知识讲解得全面到位，使考生能够掌握好全部的知识点，而且能够贯穿链接好每个知识点，使之丝丝入扣，成为知识的联合体，这样考生在考场上就能得心应手.二、围绕教材内容，发掘教材价值，充分利用教材高考数学复习中有个突出现象应引起教师的注意，有的教师在高考数学复习中喜欢“超越”教材，热衷于行走和攀登在难题、怪题、偏题的“曲径”与“险境”之中.这种看似提高能力的探究式复习，往往会将考生引入“歧途”.考生在难题、怪题、偏题中“博弈”，除了浪费大量的时间和精力外，还会因屡做屡错而见题生畏，从而严重挫伤考生复习的积极性.高考试卷命题有其严格的原则性，其中一点就是突出主体，高考命题的最主要最直接的依据是高中阶段的教材，就高考数学试卷而言，所谓主体就是高考命题要围绕和突出高中数学教材，然后在教材的有关内容的基础上，再进行延伸、迁移、发展、加工、提炼，最后组合而成高考题目.分析研究近几年的高考数学试卷，对教材原型题目加工改造或直接是教材原型的高考题目似曾相识，屡见不鲜.因此，二轮复习时教师必须重点围绕教材来进行，将数学教材中蕴含的价值充分地发掘和利用起来，科学地把教材中的知识和方法运用到答题解题中，总结出解题的方法、技巧和规律，全面提高考生的数学能力和应试能力.科学有效地运用好教材，应重点抓好这样几点：（1）教师应重视梳理整理教材的主要知识和知识点，搞清楚，弄透彻公式和定理的推理过程以及例题的解答过程，并选择或精编相对应的题目对考生进行强化训练，让学生在解题过程中从教材的知识中得到引领和启发.（2）考生对在解题训练中不能避免地会出现这样那样的情况或问题，教师应将这些考生难以解决的“疑难杂症”或者是“重症”，再置于教材中进行分析、研究、比对，找出和分析出错的原因，并采取针对性措施，从根本上解决问题，使考生在考场中如果再遇到类似的情况或问题时，而不至于束手无策.（3）围绕教材复习并非囿于教材复习，教师应善于对教材活用，活用教材才能有效地提高考生的应变能力.教材中的一些具有典型性和代表性的例题或习题，教师在对其变式后让考生进行练习.此外，近几年高考试卷中有很多的题目就是从教材例题或习题中“衍生“而来的，是这些例题或习题的“变异”和“另类”，教师要指导考生加强对这种题目的解题训练，这样考生的适应能力和应变能力就会增强.（4）教材中的解题方法集中体现了解题的精华，教师应要求考生从教材中学习研究解题的方法，加强对考生解题的规范性训练，考场中解题的步骤以及语言、符号的应用应与教材中的一致，整个解题要做到简捷明了，层次清晰，过程完整.三、精心遴选题目，突出典型意义，激活考生思维二轮复习的一项重要任务是要求考生做的题目应具有代表性和典型性，这种题目要发挥以“点”带“面”的效果，具有广泛、极强的指导性，能给考生起到“榜样”“示范”的作用.教师要精心遴选好代表性强，典型性显著的题目，在讲授这些题目的过程中，向考生传授并使他们弄懂其中所蕴含的数学思想和数学方法，把考生的数学思维最大程度地激活，将他们的数学潜能最大程度地激发出来，使他们在数学活动中深刻思维，深入探究，不断地锻炼和提高自己的能力，使考生在考场中面对试题能够心领神会，从容应答.教师对考生组织并进行具有代表性和典型性题目的练习，应该促进考生在娴熟掌握和运用常用的数学方法、数学技巧上有质的飞跃，使考生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力有新的突破.需要特别指出的是，教师在遴选具有代表性和典型性题目的时候，应避免太多太杂太长，这样就不致于考生应接不暇和被动应付.适当数量的典型题目有利于考生消化、吸收，也有利于考生在解题后及时反思和总结.教师也可以从考生的解题情况中得到信息反馈，以便“对症下药”，采取相应的复习策略，提高复习的效率和质量.四、重视通性通法，适当淡化技巧，提高解题能力近年高考数学试题有一个显著的现象，即试题在难易的程度上比较适中，而且与考生的实际生活比较贴近，充分体现了面向大多数考生的命题原则，考生能运用所掌握的数学知识和数学方法比较容易地解答试卷中的大多数题目.因此，在二轮复习中，教师应指导考生运用既具有规律性，又带有普遍意义的常规解题模式，运用好常用的数学思想方法，这就是所谓的“通性通法”.在复习中教师要适当地舍弃一些技巧依赖性太强的题目，对于这些技巧既不能强求考生硬背死记，也不能在解题中不切实际地滥用和瞎用技巧，防止弄巧成拙，造成失分.教师要切实重视通性通法，让考生对其必要性和重要性有充分的认识，促进考生掌握和娴熟地运用常规的解题模式和数学思想方法，加大针对性强化训练的力度和密度，在训练中提高解题能力，在训练中做到驾轻就熟，这样在考场中就能成竹在胸，游刃有余.五、正视客观差异，实施因材施教，促进整体提高二轮复习中需要教师引起注意的一个问题是，给考生做的题目应根据他们的实际水平与能力来编制，特别是在题目难易的程度上要恰当和适中，这里就涉及一个“因材施教”的问题.考生之间的水平与能力差异是客观存在的，对于水平与能力处于中等或中等以下的考生，教师应给他们做一些难度中等或者相对比较容易的题目，这样他们在经过思考和钻研后就能够解答正确，完成任务.这种结果不但可以使这部分考生体验到成功的愉悦，也会激发他们学好数学的积极性，从而形成良性循环，不断地提升与进步.对于数学水平与能力较高的考生，教师可以将一些有一定难度或者难度较大的题目让考生探究解答，这样可以使这部分考生的数学视野得到有效的拓展，有利于他们想更高的层次攀升，在高考实战中多拿分.因此二轮复习中教师要切实处理好“因材施教”的问题，使“学优生”、“中等生”、“后进生”三个层面的考生都能有所收获、有所提高.综上所述，第二轮复习是承上启下的重要一轮复习，教师要在深刻认识其重要性的同时，精心制定复习计划，抓好复习的每个环节，重点使考生在薄弱环节和易错点上有根本性的转变和突破.既要关注重点题目和热点题目，又不能将非重点题目和冷点题目“束之高阁”，既要抓大放小，又要全面兼顾，各个突破，融教法、学法、考法于复习中，这样才能实现复习效率和应试能力的双提高.。
初中数学教学如何体现通性通法
2023年第30期教育教学SCIENCE FANS 初中数学教学如何体现通性通法陈燕春（江门市第一中学景贤学校，广东 江门 529000）【摘 要】初中数学教学重视通性通法，要求在教学过程中淡化特殊技巧，注重本原性方法，突出对数学基本概念、基本原理的教学，引导学生梳理知识之间的内在联系，帮助学生构建完整的数学知识体系。
【关键词】初中数学；通性通法；数学本质【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）30-0107-03《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）针对中考命题原则提出：“以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法。
”可见，新一轮中考命题改革对通性通法十分重视。
在初中数学新课程教学设计过程中，为适应新中考的变化，应强调在课前预习设计、课堂教学设计、课后作业设计、考试命题设计等方面充分关注通性通法，使学生有更多的机会触及数学问题的本质，提升学生的思维能力和学科素养[1]。
对此，笔者结合自身教学实践，认为可以从以下五个方面来进一步体现通性通法。
1 在大单元整体知识架构下体现通性通法新课标在“课程理念”板块提出“对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”，大单元教学正是在这种背景下产生的。
一个单元必定有一个核心主题（关键的知识、技能或思想），这个核心主题将单元内各部分知识串联成一个相关联且富有逻辑性的整体。
教学时，教师应立足单元视角，牢牢把握单元的核心主题，以此体现数学的通性通法。
【教学案例1】对于“平方差公式”部分内容的教学，人教版初中数学教材直截了当地引入公式，使得学生感到非常突兀。
实际上，两数和与两数差的积就是两个多项式的乘积的一种特例，往大处看，就是两个整式的乘法。
而本节课所在的单元主题正是整式的乘法，本单元的通法是整式的乘法法则。
教学过程中，教师可以站在大单元整体知识架构的基础上引入平方差公式。
试论网格作图题的通性通法
试论⽹格作图题的通性通法很多⼈知道天津中考数学有⼀道“奇葩”题——⽹格作图题，此题要求⽤⽆刻度直尺作图，并且还不需要说明作图原理。
很多外省市教师都不能理解此题的意图，包括天津本市也有很多⽼师觉得此题⽆从⼊⼿。
本⼈曾经在天津呆了⼀段时间，⼀直在思考，也⼀直在学习如何突破这道题。
现在将我的思考总结如下，敬请指正。
本⽂分为四部分：第⼀部分：通过⼀个基本问题阐释⽹格作图题的突破点：基本作图。
第⼆部分：通过基本问题的变化感受⽹格作图题的⼀般破解⽅法。
第三部分：通过中考真题的解法对⽐提炼中考题的通性通法。
第四部分：附录该题型命题⼈的⽂章和其他著名教师的解法。
本⽂后半部分需要付费，请谅解，算是给本⼈打字的⾟苦钱，谢谢您。
其实核⼼的内容都在前⾯了。
不感兴趣的读者不⽤看后⾯。
饮酒陶渊明结庐在⼈境，⽽⽆车马喧。
问君何能尔，⼼远地⾃偏。
采菊东篱下，悠然见南⼭。
⼭⽓⽇⼣佳，飞鸟相与还。
此中有真意，欲辨已忘⾔。
基本问题如图，在边长为1的⽹格中⽤⽆刻度的直尺完成以下作图：（1）作出长度为的线段。
（2）过点C作AB的平⾏线。
（3）点点C作AB的垂线。
（4）在AB线段上取⼀点D，使AD:BD=4:3.解题障碍:有点⽆从⼊⼿的感觉，知道尺规作图，但是不知道这种⽆刻度直尺作图。
不理解⽆刻度直尺的含义，不⽤圆规怎么可以画出⽆理线段，看到答案也不明⽩答案为什么成⽴，更不明⽩笔者是怎么想到答案的。
这都是⽹格题的痛点所在。
解题之道：“乾坤⼤挪移”，将⽹格问题转化为常规平⾯⼏何问题解题之术：基本解题顺序是⼀估⼆推三作图。
利⽤4个基本作图破解作图难题，剩下的就是模型分析和推理了。
注重逆向思维的使⽤。
执果索因解题之本：⽹格就相当于是⼀个坐标，直尺上的刻度转化到⽹格上了。
后⾯作图原理是勾股，平⾏，垂直，相似性质得到，其实都是教科书上的基本原理。
这⾥特意提到以下基本概念：格点，⽹格线（格线），格点线段，⾮格点线段，悬空点，悬空线段，补格格点：⽹格线的交点格点线段：图中两端点都是格点的线段⾮格点线段：⾄少有⼀个端点不是格点的线段。
提高习题教学有效性两条途径
提高习题教学有效性的两条途径习题是数学教学内容的重要组成部分，对学生能力的培养起着不可替代的作用。
笔者在本文中就其略谈管见，仅供同仁参考。
一、编设题组，提炼通性通法所谓题组教学，系指围绕某一教学目的，精选一批题目，按教学顺序分成若干组，将知识、方法、能力穿插于其中的一种习题教学方法。
对习题课而言，通常按以下模式组题：探讨题组（由具有一定深度，便于渗透思想方法，容易引发深入探究，容易提炼通性通法的典型题目组成，通常不超过10个）；作业题组（同上“作业题组”）。
对复习课而言，通常按以下模式组题：整合题组（把章节或单元内容以知识要点的形式整合成题组，形式可以灵活多样，重在明确知识来龙去脉，完善知识结构，构建知识系统树。
题量不限，要能覆盖完相关内容和知识点）；典例题组（把章节或单元内容中出现的概念、知识以及数学思想、方法、能力、观念、意识等以题型的形式揉合组建的典型问题题组，利用题组沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成。
题量视难度、时间、密度、效果等灵活掌握，以求师生共同参与、充分探究，起到模板、示范的作用）；作业题组（同上“作业题组”）。
编设题组，教师首先要吃透教材、课标，明确教学目标，这样才能有针对性地选题。
当然广泛涉猎、遍阅课外资料也是成功筛选、整合、充实、组织题组的重要前提。
组题时，强调层层推进、螺旋上升、拾级登高，体现解题规律，揭示来龙去脉，归纳通性通法，切忌随心所欲、胡乱拼凑。
采用题组教学，由于要对教材作重新处理，要按照题组层次编拟教学计划，设计教学程序，因而对教师的要求更高、更全面。
教师必须做有心人，平时注意搜集各种题型、题目并分门别类整理，以便提取应用。
二、一题多思，绽放数学智慧问题是数学的心脏，数学是思维的体操。
通过解题发展学生的思维能力，是数学教学的中心问题。
但是，过多、过密、盲目地解题，不仅不会促进学生思维能力的发展与形成，反而容易窒息学生的智慧，使学生疲劳，兴趣降低。
只有闻一知十、举一反三、触类旁通地解题，才能激发学生兴趣，提升他们的思维品质，而一题多思无疑是一种十分有效的方法。
王总结数学：高考,行百里者半于九十,135+离你有多远？王总结数学,只差这一套课程!
高考，行百里者半于九十，135+离你有多远？王总结数学，只差这一套课程！每年高考血淋林的事实告诉我们，高考没有侥幸.没有万全的准备，不要期待在高考中有奇迹.你要想得到135+，就要有145+的水平.对于每一个高三的同学而言，如果错过了一轮复习，很有可能错过整个高考。
高三的学生和家长都已经开始为选择一个高效率高质量的补习辅导班而发愁了。
如何才能让孩子的最后一年不白白的浪费,分数大大提升呢？有没有一个课程不用孩子基础太差，不用担心孩子在补习班路上疲于奔波？既要会通法、又要抓技巧常考、必考的内容不能失分，为此需要总结这些问题的通性通法.所谓“通性通法”，指的是某一类本质相同的数学问题的统一解法. 这个工作是巨量的，因为要做得非常细：这种方法适合在什么情况下使用？针对哪个类型的题目有效？它的原理是什么？与其它方法比，它的优点和缺点分别是什么？该方法的操作流程、操作细则是什么？哪一步是关键步骤？我在哪一步犯错较多？我如何避免这样的错误？......当然，通法的积累并不排斥巧解----技巧的运用.既然你追求的是135+的高分，用于提升解题速度的技巧也要积累.既要有思路、又要会计算很多高三学生复习时，见到自己会的题、自己有思路的题就跳过，美其名曰“省时间”.这样挑着做题、跳着做题的后果就是，一旦走进真正的考场，瞬间被击溃.因为每一套高考试卷的设计，都要从思维量和计算量两个维度上通盘考虑.也就是说，每套高考卷思维量和计算量的总和基本是一个定值，且是经过严格测试的-----每年都有提前参加考试的学生"小白鼠"和青年教师“小白鼠”.如果你只做一部分题，就无法接受命题人全面、系统、整体的考验，训练的效果自然事倍功半.而且，久而久之你的计算能力也会严重下降.还要会表达、还要懂趋势接下来，你要学会规范表达.模仿历年高考的标准答案，你要练就各种解答题的书写套路----什么是要写出的得分点，什么是可省略的中间过程.最后，想考135+的童鞋，还要踮起脚够一够压轴题.各个地区的压轴题命题思路迥异，比如北京理科卷，每年压轴题都要设计一道不说人话的创新题，考察学生推理证明的能力.在命题趋势把握方面，还是找一位出色的私人教师比较可行.让学生自己研究考试方向，就应了一句古诗----不识庐山真面目，只缘生在此山中.王总结数学针对高三学生，特别推出《高考135+目标分数班》。
数学教学反思(15篇)
数学教学反思(15篇)数学教学反思1本节课是数学人教版五年级下学期第四单元的内容，主要是让学生理解约分和最简分数的意义，掌握约分的方法，难点在于判断约分后的分数是否是最简分数，事实证明学生在实际运用时的确掌握不够理想。
经过反思，《约分》这节课有几个方面值得注意：1.约分的概念是把一个分数化成和他相等，但分子和分母都比较小的`分数，叫做约分。
从约分的概念看，约分的结果不一定是最简分数，只是比分子和分母比原来分数的小就行了，这样学生在做题时容易产生误解，只要数约小了，约分就结束了，因此结果也不是最简的。
在此，我跟学生强调虽然约分的概念是没要求要约到最简，但是我们所有约分的题我们都要求要约到最简，这样统一要求，学生就清楚了。
2.学生知道老师要求约分的结果要最简，但是结果不是最简时有的学生判断不出来，因此也出错，如2/18，22/14等。
还有的分数学生判断不出是否是最简分数，特别是分子或分母是一个较大的质数时，学生误以为是最简分数，如17/34，19/57等。
我跟学生强调碰到分子或分母是质数时，就验证分母或分子是不是这个质数的倍数，如果是那么这个分数就不是最简，如果不是倍数关系，那这个分数就是最简的。
同时还补充讲解了一些约分的技巧，如：整十整百数先消零在化简；分子分母都是偶数时先用2去除；倍数关系时用分子去除等等。
数学教学反思2《数学课程标准》倡导自主探索、合作交流、实践创新的数学学习方式，强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，为学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。
《观察物体》的教学，我让学生经历观察的过程，体验到：从不同位置观察物体，看到的形状是不同的，能正确辨认从正面、侧面、后面观察到的简单物体的形状。
培养学生动手操作、观察能力，初步建立空间观念。
同时通过学生的活动，激发学习兴趣，培养合作意识、创新意识。
例谈数学解题过程中的通性通法
Ｍ （ 《 ＿
Ｄ ｉ
６ ｍ ＋４ ） ， Ｃ Ｐ为平 行 四边 形的对 角线 ， 所以 ａＢ Ｃ Ｐ面
积为 １ ５ ， 由题意 Ｓ △ 脚 ＝Ｓ 梯 形 ｃ Ｄ ｃ 尸一 Ｊ ｓ 啪 一Ｊ ｓ △ 凹， 代入相
１ ） 代人抛物线 Ｙ＝ｎ ＋ ＋４ 得方程组 ， 求 出 ｎ＝１ 、 ｂ ＝ 一６ ， 即可求出解析式 Ｙ＝ 一６ ｘ＋４ ． 解法 ２ ： 由题意 Ａ （ １ ， 一１ ） ， 曰 （ ５ ， 一１ ） 是二次 函数
●
Ｇ
ｏ
ｐ
８ ｊ
Ｄ
Ｇ
图４
图５
如 图 ４所示 ， 利用铅垂距离．
的坐标 ； （ ３ ） 如图 ２ ， ００ 过 、 Ｂ、 ｃ三点 ， Ａ Ｅ为直径 ， 点
解法 １ 利用平移．
如 图 ３所 示 ， 平行 四边 形
Ｃ Ｂ Ｐ Ｑ， Ｐ Ｑ／ ／Ｂ Ｃ ， 由平 行 四边
形Ｃ Ｂ Ｐ Ｑ的 面积为 ３ ０ ， 我们 可 以Ｂ Ｃ为底 可求 出其 高 ， 将 其高
两种思路 ， 这便是该 问题 的通解通法．
Ａ （ １ ，一１ ） ， Ｂ（ ５ ， 一１ ）与 ） ， 轴交 于点 Ｃ ． （ １ ） 求 抛物线的 函数表达式 ； （ ２ ）如图 １ ， 连接 Ｃ Ｂ， 以Ｃ Ｂ为边 作 平 行 四边 形 Ｃ Ｂ Ｐ Ｑ， 若 Ｐ点 在直线 ＢＣ上方的抛物线上 ， Ｑ为坐标平 面 内的一点 ， 且平行 四边形 Ｃ Ｂ Ｐ Ｑ的面积为 ３ Ｏ ， 求点 Ｐ
规解题模式和常用 的数学思 想方法 ． 《 义务 教育数学 课 程标准 ２ ０ １ １ 版》 指出， 数学 问题 的解 决要 使学 生经 历 从不 同角度寻求 分析 问题 和解 决 问题 的方法 的过 程 ，
数学通性通法
初中数学常用方法：（通则通法）方法：配方法，待定系数法，换元法，思想：归纳思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，类比思想（新运算），化归的思想，建模的思想（方程、函数与不等式），整体的思想。
配方法，换元法，待定系数法，观察法，特殊值法，反证法。
数学思想有：归纳、猜想思想（符号表示数），方程、函数思想、数形结合，分类讨论，化归转化思想，随机思想，统计思想。
能力：1.图表信息解读能力。
2、探索思维能力。
3、实验操作能力。
4、阅读理解能力。
5、通则通则通法。
引导：认真审题，不凭印象答题，表述规范，推理有据，计算仔细。
一、安徽省考题常见类型1、科学记数法2、幂的运算3、两次因式分解4、找规律5、图象的意义如03、11年安徽省中考卷选择题第10题。
6、分式的运算（1）分式的四则混合运算，再选一个你喜欢的值代入（2）分式方程，注意验根（有时以工程量问题呈现，在选择题中）（3）分式的加减（防止去分母）6、整式的混合运算化简，再代入值。
注意结果不得再含括号7、增长率类型的问题（1）增长两次（2）一年季度三次之和8、反比例函数与一次函数相交考察待定系数法和数形结合9、图形的变换有一副三角板的旋转也有格点图形的旋转、轴对称、中心对称、位似可顺带考察勾股定理有其逆定理，扇形面积或弧长公式，相似形，位似比的理解。
10.概率与统计概率题：注意答题格式及有放回，无放回。
有三本书放书架，三辆车来的次序等。
统计题：中位数，加权平均数的意义11、方程、函数、不等式在中考中的常见类型及注意点一次函数一条线的图象分三部分：y=0,y>0,y<0;整个部分。
二次函数整个图象分为三部分：方法：配方法，待定系数法思想：数形结合的思想，建模的思想（方程、函数与不等式）。
一、方程一元一次方程：2011中考题。
一元二次方程：增长率。
分式方程：工作量。
函数：函数图像的意义。
分段函数。
一次函数与反比例函数相交。
考：待定系数法，面积法，数形结合，甚至相似形。
基于“解题自然”的“特法”“巧法”教学——以“定比点差法”为例
＝
１ 犽
８ ＋４ 犽
≤２，
当且仅当
犽
１ ＝２
时等号成立，解得 犿 ＝５．
一些解题方法之所以被称作“通性通法”，很大程
度上是因为其适用题型范围广，能够解决一大类或者
一个数学知识模块的问题，其重要性不言而喻．虽然，
用“通性通法”解题有时比较烦琐，但这恰恰可以作为
“特法”“巧法”的参照，从而凸显出“特法”“巧法”的优
越性．
二、尊重个性“自然”，分享多样解法
解题的过程 本 质 上 就 是 主 体 对 问 题 的 理 解、同 化、转 换、选 择 有 效 的 解 题 策 略 作 用 于 问 题 以 达 到 目 标的过程．由于不同的学生在认知风格与思维方式上 的差异，从而导致他们解决问题的视角与方式也产生 差异．因此，对于一道题的解法是否“自然”，不同的人
法”．
上述问题很多学生还会想到下面两种解法： 解法２：由犃→犘 ＝２犘→犅狓１ ＝－２狓２，狔１ ＝３－２狔２，
直接把犃，犅 两点代入椭圆方程，
烄（－２狓２）２ ４
＋
（３－狔２）２
＝犿，
烅狓２ ２ 烆４
＋狔２ ２
＝犿
犿 ＝４狔２ －３狔２
＝犿４＋３，再代入椭圆方程得狓２ ２
＝
－犿２ ＋１０犿 －９
４
含量，学生不仅很难想到，而且即使“当时理解了”，但
在解题中 却 “想 不 到 去 用 ”．那 么，如 何 让 学 生 真 正 地
掌握并能灵活运用这些“特法”“巧法”呢？ 众所周知
“数学是自然的”，那么数学解题方法的教学更要顺乎
“解题自然”，也只有让那些“特法”“巧法”以符合认知
规律的方式得以自然呈现与建构才能够被学生所理
高中数学答题模板全套整理
高中数学答题模板全套整理一、选择题1. 配方法：将各选择题中的函数解析式配成完全平方式，常用根式与二次根式有这密切关系。
2. 分离常数法：把常数与变量式分离，使问题更简单。
3. 判别式法：将不等式利用判别式转化为不等式组，求出结果。
4. 数形结合法：根据题意画出图形，使问题简单易懂。
5. 特殊值法：将特殊值代入题设条件进行检验，从而得出结论。
二、填空题1. 直接法：根据题目的已知条件，直接求解，得出结果。
2. 观察法：根据题目特点，通过观察得出解题思路。
3. 数形结合法：将问题转化为图形，用图形解答。
4. 变换法：通过变化已知条件，达到解决问题的目的。
三、解答题1. 通性通法解答：利用常见类型题的通性通法，即一般解题模式进行解答，要求熟练掌握各部分知识的常用方法、技巧。
对于抽象的函数、方程等问题，构建数学模型。
如：三角函数中一元二次方程的根及二次函数图象的应用。
圆锥曲线中的利用点差法求斜率。
直线方程中的数形结合等。
在求动点轨迹时注意点的坐标所满足的条件。
因此通性通法是解题的基础。
2. 特殊引路法：在解题陷入困境时，先采用简单的方法得出答案，再反推至一般情况，这种由特殊到一般的方法体现了思维的灵活性和创造性。
如：在求轨迹问题中常用此方法。
四、答题步骤及注意事项(一)答题步骤1. 将各题答案直接写在答题纸上(不必抄题)。
填空题把答案涂黑；选择题把所选答案的字母写在特定的位置；解答题写出最后结果。
答题时应认真仔细，注意卷面清晰。
对于一般的函数方程一般分两步去处理：一是求出所要求的未知数的取值范围；二是求出在所求范围内使等式成立的未知数的值。
最后一定要把题目中要求的内容全部答出，尤其注意一些细小的环节，不要因粗心而失分。
另外书写要工整规范，保留一些回头看的空间。
所以高三第一轮系统复习过程中要牢记这些要点，这样到考场上才能运用自如。
其实考试也是对自己心理素质的考验，同学们要学会抑制自己焦虑的心情，从容应考。
如何提高数学解题能力论文
如何提高数学解题能力摘要：解决数学问题是数学教学的核心内容，通过对解题过程中所实施的数学方法的深入探究、发现规律，可以极大地促进学生学习的兴趣，增强学习的自信心，提高解题能力。
关键词：数学解题通性通法培养能力问题是数学的心脏，解决问题是数学教学的核心内容。
不论是概念的引入和产生，公式和法则的发现与推导，还是定理的证明与应用，实质上都是在解决数学问题。
那么，如何通过对解题过程的深思，提炼解题的通性与通法，发现解决问题的捷径，并借此培养学生的能力呢?下面就结合本人的教学实际，谈谈自己的一些看法。
1、从通法中发现规律，产生简解在数学教学中，要善于引导学生发现规律。
数学方法往往蕴涵于数学问题之中，通过对数学问题的理解，找到解决问题的一般方法(即通法)，在这基础上，深入探究，发现简解。
如：“已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值。
”分析：本例是—道二次函数在闭区间上的最值问题，其常规解法是分类讨论，即讨论二次函数图象对称轴与区间的相对位置，在开口方向确定时，可分四种情况分别讨论，并求出最大值，然后列出的方程，并求出的值。
这样常规做法比较麻烦。
但如据上述讨论结果知，二次函数在闭区间的最值必在区间端点或顶点处取得，依据这一规律可采用“代人验证法”则可产生简解，知2、对解题过程进行深思，发现问题的本质，拓宽、引伸、培养学生的应变能力。
数学教学无疑应加强通法，淡化特殊技巧，但在加强通法教法力度的同时，切忌让学生形成强烈的思维定势，以免造成迷途不知返，走进死胡同的现象。
因此，教学中尽量地引导学生深思解题过程，认识知识之间的关系，达到发现问题本质。
如数学归纳法是证明与自然数有关的命题的通法。
教学中，本人发现有的学生会用数学归纳法证明如下命题：（1）＜（2）但却不会解如下变式题：（3）＜(4)是否存最小整数，使得一切，若存在，求出的值，若不存在，说明理由。
对题(3)学生则仍用数学归纳法证明，其不知当时，原不等式左边比时净增一个正项，因而无法由时的命题成立推出时命题成立，故思维必然受阻，而对(4)却不知如何入手，究其原因，忽视了证题过程的深思，实际上，只要我们注意并认真挖掘数学归纳法的证题过程，对题(1)就不难发现：＜，而它正是原不等式成立的基础，借此不等式，不仅能给出题(1)的简解，而且能巧证题(3)，有效避免思维受阻现象，对题(4)只要深思数学归纳法的递推过程，便不难发现问题的本质在于，即数列是递减数列，从而给出题(2)的简解且题(4)就是要求f(1)<，故，因而存在最小正整数，使其不等式对一切n∈n+都成立3、全方位地捕捉信息是简化运算的必要条件。
如何把握“数式通性”提高初中代数教学效果的探讨
如何把握“数式通性”提高初中代数教学效果的探讨摘要“数式通性”是初中代数教学中常用的核心思想方法，也是推理和解题过程中非常重要的方法。
引导学生把熟悉的“数”的知识，迁移到“式”中，实现了把抽象问题具体化，从一般到特殊的过程，学生学习数学的自信心就会倍增，对数学就会产生良好的情感与态度，同时利用已学的知识探讨和学习新的知识，由易到难，符合学生的认知规律。
关键词数式通性教学思想方法意义和应用用数的运算所具有的性质，去探索式的同类运算是否也具有这样的性质叫数式通性，“数”与“式”是相通的，在“数”中运用的法则、性质，在“式”中同样能用，例如：整式的乘除这一章中，是由数的性质推知式的性质的，由数的加减推知式的加减的，因此，数式通性是初中教学中常用的核心思想方法。
一、把握“数式通性”的意义从心理学角度看，把握数式通性实质上是运用知识的迁移或顺应。
现代心理学关于迁移现象的研究表明，如果学生在学习时，对学过的知识、技能和要领掌握得牢固,且又善于分析思辩，那么所学的知识、技能和概念会对另一种知识、技能、概念产生有益的影响和推动，这就是学习的正迁移。
反之，如果对已学的知识、技能和概念掌握得不牢固,又不注意分析思辩，那么已学得的知识、技能和概念，则会对学习新知识、技能和概念产生妨碍和不利影响,这就是学习的负迁移。
在数学教学中，如果教师能有效地利用这种迁移的规律，注意发挥学习中正迁移的作用。
不但有利于巩固已学得的知识、技能和概念，而且还有利于培养学生举一反三、触类旁通的学习能力和探索发现能力。
但是，迁移不是自动的，所学的知识、技能和概念本身并不能保证它们在任何时候、任何地方都能得到正向迁移，因此，教师在教学过程中讲究正确的方法，科学运用学习的迁移规律，才会使学习迁移朝着正确方向延伸.在教学活动中，运用“数式通性”的思想方法进行教学，正是对学过的知识、技能和要领实现正迁移的过程。
二、如何把握“数式通性”1、在概念教学上，数学概念比较抽象，教材中一般都直接给出定义，略去形成过程，这样给学生的理解造成了一定的困难，如果我们在教学时能提供概念产生和形成的背景，从特殊情况出发，让学生在已学知识的基础上自觉探索，概括出数学概念的本质，从而更深一步理解概念，效果将会更好。
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.通性通法唱主角，解题落
实见功效
我从大量的课堂观察中发现，很多高中数学教师对课本中的典型例题和习题重视不够，认为它们比较简单，没有多大深度，离高考题的难度相差甚远，因此不屑一顾，草率处理。
其实，现行的课本是教材编写专家团队经过多年积累、反复修订而成的，其中的每一道例题和习题都具有一定的典型性，都能体现一定的数学思想方法。
在高中阶段用于解答数学问题的方法，我将其分为三类：
第一类：具有创立学科功能的方法。
如公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、积分方法、坐标方法、向量方法等。
它在具体的解题中，具有统帅全局的作用。
第二类：体现一般思维规律的方法。
例如观察法、试验法、比较法、分类法、猜想法、类比法、联想法、归纳法、演绎法、分析法、综合法等。
在具体的解题中，有通性通法、适应面广的特征，常用于解题思路的发现与探求。
第三类：具体进行论证演算功能的方法。
这又可以依其
适应面分为两个层次：第一层次是适应面较宽的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法、向量法、导数法等等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂项法”、函数作图的“描点法”、以及三角函数作图的“五点法”、几何证明里的“截长补短法”、“补形法”、数列求和里的“裂项相消法”、“倒序相加法”“错位相减法”等。
数学属于思考型的学科，在数学的学习和解题过程中理性思维起主导作用，学生在学习时要更多地注重“一题多变”(类比、拓展、延伸)、“一题多用”(即用同一个问题做不同的事情)和“多题归一”(所谓“一”就是具有普遍意义和广泛迁移性的、“含金量”较高的那些策略性知识)，更多地注重思考题目的“核心”是什么，从题目中“提炼”反映数学本质的东西，掌握好数学模式题的通用方法。
数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想。
数学是关于模式的科学，这反映了在数学解题时，需要进行“模式识别”，需要构建标准的模型。
往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法。
数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂问题简单化。
数学解题就是一系列连续的化归与转化，将
复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，其消元、减少参变元的个数是常用的方法。
在代数式的变形中，则往往要分离出非负的量，配方技术是经常使用且很奏效的方法。
数形转换、待定系数、变量代换、消元、配方法等是中学数学解题的通性通法。
把几何的直观推理、代数的有序推理、解题的通性通法与具体的案例结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧。
数学的基本思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程的思想、化归思想。
解析几何最核心的思想：利用代数的方法研究几何，即通过联立方程解决曲线中的相关问题。
数学中的分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。
我们的教师在教学时必须打好基础，落实“双基”数学考查基础知识和通性通法，如函数的单调性、奇偶性、周期性、零点、图像性质及变换；三角函数的基本性质与图像；向量的基本运算；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；数列
的基本性质及应用；空间图形的识别及线面的位置关系（包括面积、体积和理科的夹角和距离）；古典概型的方法；统计的基本方法（包括散点图、直方图、回归直线方程）等当然，“双基”也是与时俱进的新的“双基”内容应该包括：一是和“图”有关的内容，如三视图、统计图、程序框图、函数的图象性质及变换、空间线面位置关系、平面直线与圆锥曲线的位置关系、数形结合的思想方法等；二是与“函数”有关的内容，如函数的性质及围绕研究函数性质的相关知识和方法、函数与方程的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法；三是数据的收集、整理、分析和应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题。
我们要把几何的直观推理、代数的有序推理、解题的通性通法与具体的案例结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧。
数学课本中的例题和习题具有一定的典型性和代表性，反映了相关数学理论的本质属性，而且其中还蕴涵着重要的数学思想方法，对学生能力的培养极为重要。
因此，教师应站在一定的高度去认识课本中的例题和习题，充分挖掘其中蕴涵的数学思想方法，并在教学中进行广泛迁移，形成解决数学问题的通性和通法，从而真正发挥课本例、习题对学生
潜在的教育功能。