数学解题中的通性通法

.通性通法唱主角，解题落

实见功效

我从大量的课堂观察中发现，很多高中数学教师对课本中的典型例题和习题重视不够，认为它们比较简单，没有多大深度，离高考题的难度相差甚远，因此不屑一顾，草率处理。其实，现行的课本是教材编写专家团队经过多年积累、反复修订而成的，其中的每一道例题和习题都具有一定的典型性，都能体现一定的数学思想方法。

在高中阶段用于解答数学问题的方法，我将其分为三类：

第一类：具有创立学科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、积分方法、坐标方法、向量方法等。它在具体的解题中，具有统帅全局的作用。

第二类：体现一般思维规律的方法。例如观察法、试验法、比较法、分类法、猜想法、类比法、联想法、归纳法、演绎法、分析法、综合法等。在具体的解题中，有通性通法、适应面广的特征，常用于解题思路的发现与探求。

第三类：具体进行论证演算功能的方法。这又可以依其

适应面分为两个层次：第一层次是适应面较宽的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法、向量法、导数法等等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解法以及因式分解里的“裂项法”、函数作图的“描点法”、以及三角函数作图的“五点法”、几何证明里的“截长补短法”、“补形法”、数列求和里的“裂项相消法”、“倒序相加法”“错位相减法”等。

数学属于思考型的学科，在数学的学习和解题过程中理性思维起主导作用，学生在学习时要更多地注重“一题多变”(类比、拓展、延伸)、“一题多用”(即用同一个问题做不同的事情)和“多题归一”(所谓“一”就是具有普遍意义和广泛迁移性的、“含金量”较高的那些策略性知识)，更多地注重思考题目的“核心”是什么，从题目中“提炼”反映数学本质的东西，掌握好数学模式题的通用方法。

数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想。数学是关于模式的科学，这反映了在数学解题时，需要进行“模式识别”，需要构建标准的模型。往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的，这说明待定系数法属于解题的通性通法。数学是一种符号，引入符号可以将自然语言转换为符号语言，通过中间量的代换，就能将复杂问题简单化。数学解题就是一系列连续的化归与转化，将

复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，其消元、减少参变元的个数是常用的方法。在代数式的变形中，则往往要分离出非负的量，配方技术是经常使用且很奏效的方法。

数形转换、待定系数、变量代换、消元、配方法等是中学数学解题的通性通法。把几何的直观推理、代数的有序推理、解题的通性通法与具体的案例结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧。

数学的基本思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程的思想、化归思想。解析几何最核心的思想：利用代数的方法研究几何，即通过联立方程解决曲线中的相关问题。数学中的分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。

我们的教师在教学时必须打好基础，落实“双基”数学考查基础知识和通性通法，如函数的单调性、奇偶性、周期性、零点、图像性质及变换；三角函数的基本性质与图像；向量的基本运算；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；数列

的基本性质及应用；空间图形的识别及线面的位置关系（包括面积、体积和理科的夹角和距离）；古典概型的方法；统计的基本方法（包括散点图、直方图、回归直线方程）等当然，“双基”也是与时俱进的新的“双基”内容应该包括：一是和“图”有关的内容，如三视图、统计图、程序框图、函数的图象性质及变换、空间线面位置关系、平面直线与圆锥曲线的位置关系、数形结合的思想方法等；二是与“函数”有关的内容，如函数的性质及围绕研究函数性质的相关知识和方法、函数与方程的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法；三是数据的收集、整理、分析和应用，如统计与概率、线性规划等相关的应用问题。我们要把几何的直观推理、代数的有序推理、解题的通性通法与具体的案例结合起来，整体把握数学解题的通性通法，抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析、解题思维链的形成、解题后的反思与优化，从而通过有限问题的训练来获得解答无限问题的解题智慧。

数学课本中的例题和习题具有一定的典型性和代表性，反映了相关数学理论的本质属性，而且其中还蕴涵着重要的数学思想方法，对学生能力的培养极为重要。因此，教师应站在一定的高度去认识课本中的例题和习题，充分挖掘其中蕴涵的数学思想方法，并在教学中进行广泛迁移，形成解决数学问题的通性和通法，从而真正发挥课本例、习题对学生

潜在的教育功能。