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高中数学课件-求函数值域
例题2
求下列函数的值域：
1) y 2x 4 1 x； 方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。
——常用于部分根式函数。
2) y x 。 方法五 x2 1
判别式法
把已知函数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有 解则判别式非负。从而求得原函数值域的方法叫判别式法。
函数值域的求法
复习
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？ 答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫
函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。
2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。
3）反比例函数y k (k 0)的值域是什么？ x
答：y y R且y 0。
2
2
综上可得所求函数的值
域为
1 2
,
1 2
。
数学小博士
先用判别式法求下列函数的值域，
考考你： 再用其它方法检验：（讨论）
1) y x x 1； 答：1， 。
2) y
x2 3x 2。 x2 x 2
（2）答：y (x 1)(x 2) x 1 (x 1且x 2) (x 1)(x 2) x 1
Байду номын сангаас
3) y 1 2x;
4)y 2x4 x2 2
答：1)1,；2) ,2；3)0,；4) 2,。
题组2：求下列函数的值域：（每组选答一题）
1)y (x 1)2 2(x 0)；
2) y 1 x x 1；
3) y 25 x2 ;
4) y 1 。 2 x2
答： 1)3,
;2)0;3)0,5;4)
高考数学函数的值域(PPT)3-2
知识点
1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题 的实际意义确定。
为在木卫三这种相对较小的体积下，其内核应该早已被充分冷却以致内核的流动和磁场的产生都无以为继。一种解释声称能够引起星体表面构造变形的轨道 共振也能够起到维持磁层的作用：即木卫三的轨道离心率和潮汐热作用由于某些轨道共振作用而出现增益，同时其地幔也起到了绝缘内核，阻止其冷却的作 用另一种解释认为是地幔中的硅酸盐岩石中残留的磁性造成了这种磁层。如果该卫星在过去曾经拥有基于发电机原理产生的强大磁场，那么该理论就很有可 能行得通。星体历史编辑木卫三可能由木星次星云——即在木星形成之后环绕于其四周的、由气体和尘埃组成的圆盘——的吸积作用所产生木卫三的吸积过程 持续了大约万年，相较暗的尼克尔森区和较亮的哈帕吉亚槽沟之间可谓泾渭分明。较于木卫四的万年短得多。当伽利略卫星开始形成之际，木星次星云中所 含的气体成分已经相对较少；这导致了木卫四较长的吸积时间。相反，由于木卫三是紧接木星之后形成的，这时的次星云还比较浓密，所以其吸积作用所耗 时间较短。相对较短的；ABM https:///a/20190902/003235.htm ABM ；形成时间使得吸积过程中产生的热量较少逃逸，这些未逃逸的热量导 致了冰体的融化和木卫三内部结构的分化：即岩石和冰体相互分开，岩石沉入星体中心形成内核。在这方面，木卫三与木卫四不同，后者由于其较长的形成 时间而导致吸积热逃逸殆尽，从而无法在初期融化冰体以及分化内部结构。这一假说揭示了为何质量和构成物质如此接近的两颗卫星看起来却如此得不同。 在其形成之后，木卫三的内核还保存了大部分在吸积过程和分化过程中形成的热量，它只是缓慢的将少量热量释放至冰质地幔层中，就如同热电池的运作一 般。接着，地幔又通过对流作用将热量传导至星体表面。不久岩石中蕴含的放射性元素开始衰变，产生的热量进一步加热了内核，从而加剧了其内部结构的 分化，最终形成了一个铁-硫化亚铁内核和一个硅酸盐地幔。至此，木卫三内部结构彻底分化。与之相比较，未经内部结构分化的木卫四所产生的放射性热能 只能导致其冰质内部的对流，这种对流有效地冷却了星体，并阻止了大规模的冰体融化和内部结构的快速分化，同时其最多只能引起冰体与岩石的部分分化。 现今，木卫三的冷却过程仍十分缓慢。从起内核和硅酸盐地幔所释放出的热量使得木卫三上的地下海洋得以存在，同时只是缓慢冷却的流动的铁-硫化亚铁内 核仍在推动星体内的热对流，并维持着磁圈的存在。木卫三的对外热通量很可能高于木卫四。运行特点编辑轨道距离木卫三的轨道距离木星7万千米，是伽利 略卫星中距离木星第三近的，其公转周期为7天小时。和大部
1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题 的实际意义确定。
为在木卫三这种相对较小的体积下，其内核应该早已被充分冷却以致内核的流动和磁场的产生都无以为继。一种解释声称能够引起星体表面构造变形的轨道 共振也能够起到维持磁层的作用：即木卫三的轨道离心率和潮汐热作用由于某些轨道共振作用而出现增益，同时其地幔也起到了绝缘内核，阻止其冷却的作 用另一种解释认为是地幔中的硅酸盐岩石中残留的磁性造成了这种磁层。如果该卫星在过去曾经拥有基于发电机原理产生的强大磁场，那么该理论就很有可 能行得通。星体历史编辑木卫三可能由木星次星云——即在木星形成之后环绕于其四周的、由气体和尘埃组成的圆盘——的吸积作用所产生木卫三的吸积过程 持续了大约万年，相较暗的尼克尔森区和较亮的哈帕吉亚槽沟之间可谓泾渭分明。较于木卫四的万年短得多。当伽利略卫星开始形成之际，木星次星云中所 含的气体成分已经相对较少；这导致了木卫四较长的吸积时间。相反，由于木卫三是紧接木星之后形成的，这时的次星云还比较浓密，所以其吸积作用所耗 时间较短。相对较短的；ABM https:///a/20190902/003235.htm ABM ；形成时间使得吸积过程中产生的热量较少逃逸，这些未逃逸的热量导 致了冰体的融化和木卫三内部结构的分化：即岩石和冰体相互分开，岩石沉入星体中心形成内核。在这方面，木卫三与木卫四不同，后者由于其较长的形成 时间而导致吸积热逃逸殆尽，从而无法在初期融化冰体以及分化内部结构。这一假说揭示了为何质量和构成物质如此接近的两颗卫星看起来却如此得不同。 在其形成之后，木卫三的内核还保存了大部分在吸积过程和分化过程中形成的热量，它只是缓慢的将少量热量释放至冰质地幔层中，就如同热电池的运作一 般。接着，地幔又通过对流作用将热量传导至星体表面。不久岩石中蕴含的放射性元素开始衰变，产生的热量进一步加热了内核，从而加剧了其内部结构的 分化，最终形成了一个铁-硫化亚铁内核和一个硅酸盐地幔。至此，木卫三内部结构彻底分化。与之相比较，未经内部结构分化的木卫四所产生的放射性热能 只能导致其冰质内部的对流，这种对流有效地冷却了星体，并阻止了大规模的冰体融化和内部结构的快速分化，同时其最多只能引起冰体与岩石的部分分化。 现今，木卫三的冷却过程仍十分缓慢。从起内核和硅酸盐地幔所释放出的热量使得木卫三上的地下海洋得以存在，同时只是缓慢冷却的流动的铁-硫化亚铁内 核仍在推动星体内的热对流，并维持着磁圈的存在。木卫三的对外热通量很可能高于木卫四。运行特点编辑轨道距离木卫三的轨道距离木星7万千米，是伽利 略卫星中距离木星第三近的，其公转周期为7天小时。和大部
函数的定义域和值域PPT课件
4.函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方 法求函数的值域都应先考虑其定义域.
5.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各 三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.
6.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、 配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.
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【解题回顾】对于x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分a=0 与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误.
第7页/共10页
返回
延伸·拓展
4.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)， 试求M(a)及m(a)的表达式.
【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主 要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开 口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种 情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点(对称轴)和区间都可移动．无论哪种情形都结合图 象、顶点(对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进行 讨论.
，可利用指
数函数的性质 3x＞0 得
.
第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两 项
，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如
(a≠0，c≠0)的函数均可使用这种方法.本题也可化为
，利用|sinx|≤1，得
，求函数的值域.
第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量
的取值范围．
【解题回顾】复合函数y=f[g(x)]的定义域的求法是：根 据f(x)的定义域列出g(x)的不等式，解该不等式即可求出 f[g(x)]的定义域
第4页/共10页
5.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各 三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.
6.求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、 配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.
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【解题回顾】对于x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分a=0 与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误.
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延伸·拓展
4.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)， 试求M(a)及m(a)的表达式.
【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主 要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开 口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种 情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点(对称轴)和区间都可移动．无论哪种情形都结合图 象、顶点(对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进行 讨论.
，可利用指
数函数的性质 3x＞0 得
.
第(2)题采用了“部分分式法”求解，即将原分式分解成两 项
，其中一项为常数，另一项容易求出值域．形如
(a≠0，c≠0)的函数均可使用这种方法.本题也可化为
，利用|sinx|≤1，得
，求函数的值域.
第(3)题用换元法求函数的值域，要特别注意换元后新变量
的取值范围．
【解题回顾】复合函数y=f[g(x)]的定义域的求法是：根 据f(x)的定义域列出g(x)的不等式，解该不等式即可求出 f[g(x)]的定义域
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高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
函数值域求法大全课件
• 通过进一步化简，得到$y = t + \frac{1}{t} - 2$。
示例解析
• 根据不等式性质，当$t > 0$时，$y \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} 2 = 0$。
• 当且仅当$t = 1$时取等号，因此 $y$的值域为$\lbrack 0, +\infty)$。
函数域求法大全件
• 反表示法 • 判式法 •元法
01
引言
函数值域的概念
函数值域定义
函数值域是指函数在定义域内所 有可能的输出值的集合。
函数值域的表示
函数值域通常用闭区间或开区间 的形式表示，如 [a, b] 或 (a, b)。
函数值域的重要性
确定函数的输出范围
通过求函数的值域，可以确定函数在 定义域内的所有可能输出值的范围， 从而更好地理解函数的性质和行为。
示例解析
示例
求函数$y = frac{1}{x}$的值域。
解析
将原函数转化为$x = frac{1}{y}$的形式，即反函数形式。由于$x$不能为0，所以$y$不能为无穷大，因此原函数 的值域为$y in (-infty, 0) cup (0, +infty)$。
05
判式法
定义与特点
定义
判别式法是一种通过判断一元二次方程实数根的情况，从而确定二次函数值域的方法。
解析
将函数$f(x) = x^2 2x$转化为二次函数形 式，得到$f(x) = (x 1)^2 - 1$。利用判别 式法，当Δ = b^2 4ac = 0时，函数取得 最小值-1，因此函数的 值域为$[-1, +infty)$。
示例2
求函数$f(x) = x^2 + 4x + 3$的值域。
函数的值域与最值复习PPT优秀课件
达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.
函数的值域(PPT)3-1
层，那些也可能被视为出天王星上的云带。然而，碳氢化合物集中在在天王星平流层阴霾之上的高度比其他类木行星的高度要低是值得注意的。增温层天王 星大气层的最外层是增温层或晕，有着均匀一致的温度，大约在8至8K。仍不了解是何种热源支撑着如此的高温，虽然低效率的冷却作用和平流层上层的碳 氢化合物也能贡献一些能源，但即使是太阳的远紫外； 老域名：：老域名购买 ；线和超紫外线辐射，或是极光活动都不足以提供所需 的能量。除此之外，氢分子和增温层与晕拥有大比例的自由氢原子，她们的低分子量和高温可以解释为何晕可以从行星扩展至,公里，天王星半径的俩倍远。 这个延伸的晕是天王星的一个独特的特点。他的作用包括阻尼环绕天王星的小颗粒，导致一些天王星环中尘粒的耗损。天王星的增温层和平流层的上层对应 着天王星的电离层。观测显示电离层占据,至,公里的高度。天王星电离层的密度比土星或海王星高，这可能肇因于碳氢化合物在平流层低处的集中。电离层是 承受太阳紫外线辐射的主要区域，它的密度也依据太阳活动而改变。极光活动不如木星和土星的明显和重大。带状结构、风和云在98年，旅行者号发现可见 的天王星南半球可以被细分成两个区域：明亮的极区和暗淡的赤道带状区。两这区的分界大约在纬度-°的附近。一条跨越在-°至-°之间的狭窄带状物是在 行星表面上能够看见的最亮的大特征，被称为南半球的"衣领"。极冠和衣领被认为是甲烷云密集的区域，位置在大气压力.至帕的高度。很不幸的是，旅行者 号抵达时正是盛夏，而且观察不到北半球的部分。不过，从世纪开始之际，北半球的"衣领"和极区就可以被哈勃太空望远镜和凯克望远镜观测到。结果，天 王星看起来是不对称的：靠近南极是明亮的，从南半球的"衣领"以北都是一样的黑暗。稍后可能出现在天王星上的季节变化，将会被详细的讨论。天王星可 以观察到的纬度结构和木星与土星是不同的，他们展现出许多条狭窄但色彩丰富的带状结构。除了大规模的带状结构，旅行者号观察到了朵小块的亮云，多 数都躺在"衣领"的北方
《求函数值域的方法》教学课件
y)x
y
0
y 1
又
y 1
故值域为 [
0
1
,1)
1 3
y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
点(cos x,sin x)与点(2,0)的斜率
如图所示：
2
sin x 0
3
(cosx 2)max 3
求例m1与1若n函的数值f.(x)=log3mxx2+2+81x+n 的定义域为 R, 值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
求函数y sin x 的最大值 2+cosx
2012高考数学一轮复习--函数的值域 ppt
课堂练习题
1.求下列函数的值域: (1) y= 3x+1; x-2 (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3)[-1, 2 ] (4)[3, +∞)
(3) y=x+ 1-x2 ;
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;
课堂练习题
1.求下列函数的值域:
三、方程法
利用已知函数的值域求给定函数的值域. 例3 求下列函数的值域: 2x (1)y= x ; (0, 1) 2 +1 sinx+2 (2)y= ; [- 3 , - 1 ] 2 4 sinx-3 (3)y=3+ 2+x + 2-x ; [5, 3+2 2 ] (4)若f(x)的值域为[ 3 , 4 ], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域. 8 9 [7, 7] 9 8
四、分离常数法
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函 数化成 y=a+ b 的形式. g(x) 2x sinx+2 (1)y= x ; (2)y= . 例4 求下列函数的值域: 2 +1 sinx-3 3 1 [- 2 , - 4 ] (0, 1)
五、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数 ax +bx+c (最好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. [1- 2 3 , 1+ 2 3 ] x +x+1 3 3
函数的值域ppt课件
]
六、均值不等式法
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要 注意满足条件“一正、二定、三等”.
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4, +∞)
七、利用函数的单调性
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
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You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
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励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
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函数的定义域与值域ppt课件
(
A )
解析：B项中定义域，值域均不符；C项中定义域 满足，但值域不满足；D项中值域不满足，定义 域也不满足． 只有A项正确．
3. (教材改编题)下列说法正确有( B ) ①函数的定义域可以为空集； 8 ②函数y＝ x 的值域为R； ③一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域、值域均为R；
2 4 ac b ④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值为 ； 4a
3. 求函数值域（最值）的常用方法： （1）基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解. （2）配方法 对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或 F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c](a≠0)类的函数的值域问题，均 可用配方法求解.
(3)换元法 利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求 值域的函数，形如y＝
∴y＝2x－ 1 2x 是定义域为 x | x 上的增函数， 2 1
∴ymax＝2× 1 － 1 2 1 ＝1，无最小值． 2 2
∴函数的值域为(－∞，1]．
变式3－1
求下列函数的值域．
2x 1 (1)y＝ x 3 ；
1 (2)y＝ ； 2 x x2
错解2 令x2－3＝t，则x2＝t＋3，
x3 t 3 ∴f(t)＝lg ，∴f(x)＝lg ， x 1 t 1 x3 ∴f(x)的定义域只需lg 有意义． x 1 x3 ∴ x 1 ＞0，∴x＜－3或x＞1.
∴f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
正解 要使f(x2－3)有意义应有
题型二 复合函数的定义域
【例2】 已知函数f(x)的定义域为[0,1]， 求下列函数的定义域：
(1)f (x2)；(2)f (
求函数的值域课件.ppt
t 13 y 3 t 2
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
精品课件欢迎使用
[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
[高考数学] - 2015-10-26 函数值域讲解
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(1)配方法:若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。
(2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。
(3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x²，则常用此法。
通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△≥0，确定y的范围，即原函数的值域。
(4)不等式法：借助于重要不等式a+b≥√ab(a>0,b>0)求函数的值域。
用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正，二定，三相等。
”(5)反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。
(6)单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)(7)数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。
注意：(1)用换元法求值域时，认真分析换元后变量的范围变化；用判别式法求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R。
(2)用不等式法求函数值域时，需要认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值域时，准确找出其单调区间是关键。
分段函数的值域应分段分析，再取并集。
(3)不管用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域，这是求函数的重要环节。
函数的值域
[-
1 2
,
+∞)
(0, 3 ]
八、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离 公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
例8 求下列函数的值域: (1)y=|x-1|+|x+4| ; [5, +∞)
(2)y=
sinx-3 2+cosx
;
[-2-
2
3 3
,
-2+
23 3
]
(3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ; [2 5 , +∞)
(4) 若 x2+y2=1, 求 x+y 的取值范围; [- 2 , 2 ]
(5) 若 x+y=1,
求 x2+y2 的取值范围.
[
1 2
,
+∞)
九、导数法
对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值, 进而 求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(1)y=x+
4 x
,
x∈[1,
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (4)[3, +∞)
(5)
y=
sinx 2-cosx
;
(6)
y=
2x2-x-2 x2+x+1
;
(7)
y=
2x22x--x1+1(
1 2
<x≤
32);
(8) y=x+ x+1 ;
(9)
y=
2-sinx 2+sinx
;
(5)[-
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解：令t 3 x 1 0则x t 2 1 , 3
于是y=5- 1(t2+1)+t=- 1(t- 3 )2+ 65 ,
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
此时f ( x)min
f (41)
2
3a 4
a
1 4
(a
1 2
)o2
0
x
故f
( x)min
3 4
a
（2）若 1 a 1，
2
2
y
当x a时，f ( x) ( x 1 )2 3 a增，
24
当x a时，f ( x) ( x 1 )2 3 a减，
24
故f ( x)min f (a) a2 1
4
4
2
故f
( x)min
3 4
a
综上：f
( x)min
a 2
3 4 1
a
3a 4
(a 1)
2
( 1 a 1)
2
2
(a 1)
2
二、换元法 例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
t2
8t
t 2 6t 7
(3 t 7) 2
(7 t 4)
2
当 t 4 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递减，
f ( x)max f (t) t 2 8t, f ( x)min f (t 1) t 2 6t 7.
综上: t 3 时， f ( x)max t 2 6t 7,
二次函数------配方法
例1
求函数
y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
y
解：y (x 1)2 3 , x 1,1,
24
x=
1 2
，ymin
3 4
,
x
1,
ymax
3 2
,
3/2 o 1/2
如图，
-1
1x
∴y∈[-3/4,3/2].
t 2 6t 7 g(t)
t 2 8t
(t 7) 2
(t 7)
2
例2.已知函数 f (x) x2 8x, 求 f (x) 在区间 t,t 1
上的(1) 最大值 h(t ); (2) 最小值 g(t); (3)最大值与最小值.
f (x) x2 8x (x 4)2 16.
o
x
（3）若a 1，
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当x a时，f ( x) ( x 1 )2 2
3 a， 4
此时f ( x)min
3a 4
当x a时，f ( x) ( x
1)2 2
3 4
a减，此时f
(
x)min
f (a) a2
1
又(a2 1) ( 3 a) a2 a 1 (a 1 )2 0
例3：求f ( x) x 1 a 2a, x [0, 1]的最小值.
3
2
解：f
当a 1
( x)的对称轴x
0 a 1 时，f (
x)在a [0,131,]上如增何，求f
(
x)的最大值？
3
3
2
f ( x)min
f (0)
1a 3
2a
1a 3
当0
a
1 3
1 2
1 3
a
5 6
时， f
(
x)min
2a
当a
1 1 a 5 时，f
32
6
1
f ( x)min
f( ) 2
1 1 a 2a 23
( x)在[0, 1]上减， 2
综上：f ( x)min
3a 5 6
3213aa(13a65((aaa131265)))
例4：求函数 f ( x) x2 x a 1(a R)的最小值.
t2 8t, t 4
例2.已知函数 f (x) x2 8x, 求 f (x) 在区间 t,t 1
上的最大值 h(t ) 及最小值 g(t).
(2)当 t 1 4 t 7 时，
2
2
g(t) f (t 1) t 2 6t 7,
当 t 1 4 t 7 时，
2
2
g(t) f (t) t 2 8t.
(3)当 t 1 4, 即 t 3 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递增，
f ( x)max f (t 1) t 2 6t 7, f ( x)min f (t) t 2 8t.
当 t 4 t 1, 即 3 t 4 时，f ( x)max 16,
f ( x)min min{ f (t), f (t 1)} min{ t 2 8t,(t 1)2 8(t 1)}
h(t) f (t 1) (t 1)2 8(t 1) t2 6t 7;
当 t 4 t 1, 即 3 t 4 时，h(t) f (4) 16;
当 t 4 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递减，h(t) f (t) t2 8t.
t2 6t 7,t 3, 综上， h(t) 16, 3 t 4,
-3/4
例2.已知函数 f (x) x2 8x, 求 f (x) 在区间 t,t 1
上的(1) 最大值 h(t ); (2) 最小值 g(t); (3)最大值与最小值.
解： f (x) x2 8x (x 4)2 16.
(1)当 t 1 4, 即 t 3 时， f (x) 在 t,t 1 上单调递增，
解： f (x) （1）若a 1，
x2
xa
1
( x ( x
1 )2 2 1 )2
3
4 3
a( a(
x x
a) a)
24
当x
2 a时，f
(
x)
(
x
1
)2
3
a增，
y
24
此时f ( x)min f (a) a2 1
当x
a时，又f ((xa) 2( x1)12()2343a)a，a2
f ( x)min t 2 8t.
3t 7 2
7t4 2
时， f ( x)max 16, 时， f ( x)max 16,
f ( x)min t 2 8t. f ( x)min t 2 6t 7.
t 4 时，
f ( x)max f (t) t 2 8t, f ( x)min f (t 1) t 2 6t 7.