《向量加法运算及其几何意义》

普通高中课程标准实验教科书（人教版）《数学》必修4

《向量加法运算及其几何意义》教学设计

海口市第一中学郑若蕊

2．2．1向量加法运算及其几何意义

〖教学目标〗

（1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；

（2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；

（3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

〖教学重点、难点〗

教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；

教学难点：向量加法概念的形成过程；

〖教学方法与教学手段〗

教学方法：启发探究式教学

教学手段：多媒体辅助教学

〖教学过程〗

一、设置情境、尝试探求

1．设置问题情境

今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？

2、学生自主探究与研讨

学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）

教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；

学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图

教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？

3、师生共同探究

学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；

（1）如图：某对象从A 点经B 点到C 点，两次位移 ， 的结果，与A 点直接到C 点的位移 结果相同。 =+

（2）如图：表示橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿GE 的方向伸长了EO ，与力F 的作用结果相同。

教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。

二、 形成概念，归纳方法。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

1、 提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？

同学们任意作出两个向量试一试。

2、 学生自主探究

学生可能答案：

（1） 共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；

（2） 首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；

（3） 任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；

（4） 共线的两个向量相加（同向或反向）

3、交流、研讨、辩析

投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。

4、归纳总结

在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：

一、向量加法的定义

1、 三角形法则：

A B C

已知非零向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=

a a ＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型

2平行四边形法则

以同一点O 为起点的两个已知向量a 、ｂ，为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线oc 就是a 与b 的和。

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

对于零向量与任一向量我们规定：a a a =+=+00

提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？

思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

a a

ｂ ｂ

a +b

探究：|a +b |与|a |+|b |的大小关系：

当向量a 与b 不共线时，|a +b |<|a |+|b |； 一般的有：|a +b |≤|a |+|b |

思考：、处于什么位置时，

（1）|+|=||+|| （2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

a +b

三、实践探索 形成能力

1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a 、b R ∈有

a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c) 任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？

（1）让学生通过画图探索验证：+=+

（2）提问：你能否验证： (+) +=+ (+)

小结：向量的加法满足交换律：+=+

向量的加法满足结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )

2、 练习P 93

3、4题

3、 例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h 。

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）

（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）

4、 巩固作业

（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题

（2）选做题：在△ABC 中，求证：=++

四、归纳小结：内化知识

通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？

1、向量加法的几何意义；

２、交换律和结合律；

３、注意：|a +b |

≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号.

A B C D a c

a +b+c

b a +b b+c