考研数三真题及答案解析(完整版)
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版

2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少,所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版,更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课:政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三,考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布:高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布:高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布:高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定,一般变动不大,因此可以参照前一年的大纲,对一些变动较大的科目,必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课:由国家教育部考试中心统一命题,科目包括:西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者,考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者,考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.(14年)行列式【】A.(ad-bc)2B.-(ad-bc)2C.a2d2-b2c2D.b2c2-a2d2正确答案:B解析:按第1列展开,得所求行列式D等于D==-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2 知识模块:线性代数2.(89年)设A和B都是n×n矩阵,则必有【】A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.(A+B)-1=A-1+B-1正确答案:C 涉及知识点:线性代数3.(94年)设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则【】A.r>r1.B.r<r1.C.r=r1.D.r与r1的关系依C而定.正确答案:C解析:因为,用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换,而初等变换不改变矩阵的秩,故有r(AC)=r(A).知识模块:线性代数4.(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A*是矩阵A的伴随矩阵,则【】A.(A*)*=|A|n-1AB.(A*)*=|A|n+1AC.(A*)*=|A|n-2AD.(A*)*=|A|n+2A正确答案:C解析:由A*=|A|A-1,得(A*)*=|A*|(A*)-1,又|A*|=|A|n-1,故(A*)*=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-1A=|A|n-2A.故C正确.知识模块:线性代数5.(97年)设A、B为同阶可逆矩阵,则【】A.AB=BA.B.存在可逆矩阵P,使P-1AP=B.C.存在可逆矩阵C,使CTAC=B.D.存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B.正确答案:D解析:因为,方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价,即存在可逆矩阵P,使PA=E.同理,由于B可逆,存在可逆矩阵M,使MB=E.故有PA=MB,PAM-1=B,记M-1=Q,则P、Q可逆,使PAQ=B.于是知D正确.知识模块:线性代数6.(98年)设n(n≥3)阶矩阵A=的秩为n-1,则a必为【】A.1B.C.-1D.正确答案:B解析:因为r(A)=n-1<n,故必有|A|=0,而因此,或者a=,或者a=1.显然,当a=1时,有r(A)=1<n-1,所以,有a=,而且当a=时,A 的左上角的n-1阶子式等于,可知此时确有r(A)=n一1,故选项B正确.知识模块:线性代数7.(01年) 其中A可逆,则B-1等于【】A.A-1P1P2B.P1A-1P2C.P1P2A-1D.P2A-1P1正确答案:C解析:矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵,由初等列变换与初等方阵的关系,有B=AP2P1,故B-1=P1-1P2-1A-1,而P1-1=P1,P2-1=P2,故有B-1=P1P2A-1.知识模块:线性代数8.(03年)设三阶矩阵A=,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有【】A.a=b或a+2b=0.B.a=b或a+2b≠0.C.a≠b且a+2b=0.D.a≠b且a+2b≠0.正确答案:C 涉及知识点:线性代数9.(04年)设n阶矩阵A与B等价,则必有【】A.当|A|=a(a≠0)时,|B|=a.B.当|A|=a(a≠0)时,|B|=-a.C.当|A|≠0时,|B|=0.D.当|A|=0时,|B|=0.正确答案:D解析:A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B.如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B,则由行列式的性质知,依次有|B|=-|A|,|B|=k|A|(常数k≠0),|B|=|A|.可见,经初等变换后,方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变,但在不等于零时,行列式的值可能改变.因此,只有D正确.知识模块:线性代数10.(05年)设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,A*为A的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为【】A.B.3C.D.正确答案:A解析:由题设条件A*=AT,即其中Aij为|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),得aij=Aij(i,j=1,2,3),故有再从AT=A*两端取行列式,得|A|=|AT|=|A*|=|A|2,即|A|(1-|A|)=0 由此得|A|=1.所以,有知识模块:线性代数11.(06年)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P=,则【】A.C=p-1AP.B.C=PAP-1.C.C=PTAP.D.C=PAPT.正确答案:B解析:将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P,由初等变换与初等矩阵的关系,有B=PA.令矩阵则将E的第1列的-1倍加到第2列即得矩阵Q,于是有C=BQ,从而有C=PAQ.由于所以,C=PAQ=PAP-1,只有选项B正确.知识模块:线性代数填空题12.(88年)=_______.正确答案:-3解析:把行列式的各行都加到第1行,得知识模块:线性代数13.(16年)行列式=_______.正确答案:λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析:按第1列展开,得行列式为知识模块:线性代数14.(88年)设矩阵A=,则A-1=_______.正确答案:解析:利用初等行变换法:故A-1=A.知识模块:线性代数15.(91年)设A和B为可逆矩阵,X=为分块矩阵,则X-1=_______.正确答案:解析:设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵,设其中X12,X21分别为m阶、n阶方阵,则有XX-1=Em+n,即由分块矩阵的乘法,得AX21=Em,AX22=0,BX11=0,BX12=En 因为A、B均为可逆矩阵,所以解得X21=A-1,X22=0,X11=0,X12=B-1 于是得知识模块:线性代数16.(92年)设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且|A|=a,|B|=b,C =,则|C|=_______.正确答案:(-1)mnab解析:从[O A]的第m行开始,依次将[O A]的每一行作,z次相邻两行的交换,把它移到[B O]的下边去,则经mn次相邻两行的交换,就将[O A]移到了[B O]的下边,因此有知识模块:线性代数17.(93年)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为_______.正确答案:0解析:因为r(A4×4)=2,即A中非零子式的最高阶数为2,故A的3阶子式全为0,即A的每个元素的余子式全为0,从而每个元素的代数余子式全为0,故A*=O,从而有r(A*)=0.知识模块:线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2000-2013年考研数学三历年真题及真题解析(世上最全收录)

研究生入学考试2000到2013年最新最全数学三考试试题2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2003年考研数学(三)真题一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是_____. (2)已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b ________.(3)设a>0,,x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a TΛα;E 为n 阶单位矩阵,矩阵 TE A αα-=, T aE B αα1+=, 其中A 的逆矩阵为B ,则a=______.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为________.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] (2)设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B )),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] (3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=,Λ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ](4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩为1,则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] (5)设s ααα,,,21Λ均为n 维向量,下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ,都有02211≠+++s s k k k αααΛ,则s ααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ,都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] (6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、(本题满分8分) 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、(本题满分8分) 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件: )()(x g x f =',)()(x f x g =',且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程; (2) 求出F(x)的表达式. 八、(本题满分8分)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ,使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解;(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系. 十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值;(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ,而Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,则a =______,b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定,其中函数()g y 可微,且()0g y ≠,则2fu v∂=∂∂______. (3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则{P X >=______.(6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ,总体Y 服从正态分布()22,N μσ,112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则()()122211122n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______. 二、选择题:本题共8小题,每小题4分,满分24分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.(A )()1,0- (B )()0,1 (C )()1,2 (D )()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义,且()lim x f x a →∞=,()1,0,0,0,fx g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则(A )0x =必是()g x 的第一类间断点 (B )0x =必是()g x 的第二类间断点 (C )0x =必是()g x 的连续点 (D )()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-,则(A )0x =是()f x 的极值点,但()0,0不是曲线()y f x =的拐点 (B )0x =不是()f x 的极值点,但()0,0是曲线()y f x =的拐点 (C )0x =是()f x 的极值点,且()0,0是曲线()y f x =的拐点 (D )0x =不是()f x 的极值点,()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题: ① 若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛② 若1nn u∞=∑收敛,则10001n n u∞+=∑收敛③ 若1lim1n n nu u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散 ④ 若()1nn n uv ∞=+∑收敛,则1n n a ∞=∑,1n n v ∞=∑都收敛则以上命题中正确的是(A )①② (B )②③ (C )③④ (D )①④(11) 设()f x '在[],a b 上连续,且()()0,0f a f b ''><,则下列结论中错误的是 (A )至少存在一点()0,x a b ∈,使得()()0f x f a > (B )至少存在一点()0,x a b ∈,使得()()0f x f b > (C )至少存在一点()0,x a b ∈,使得()00f x '= (D )至少存在一点()0,x a b ∈,使得()00f x = (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有(A )当()0A a a =≠时,B a = (B )当()0A a a =≠时,B a =- (C )当0A ≠时,0B = (D )当0A =时,0B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠,若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系(A )不存在 (B )仅含一个非零解向量 (C )含有两个线性无关的解向量 (D )含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ,对给定的()0,1α∈,数n u 满足{}P X u αα>=,若{}P X x α<=,则x 等于(A )2u α (B )12uα-(C )12u α- (D )1u α-三、解答题:本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分8分)求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭.(16)(本题满分8分)求)Dy d σ⎰⎰,其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设()(),f x g x 在[],a b 上连续,且满足()()xxa a f t dt g t dt ≥⎰⎰,[),x ab ∈,()()bb aaf t dtg t dt =⎰⎰证明:()()bbaaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为1005Q P =-,其中价格()0,20P ∈,Q 为需求量. (Ⅰ)求需求量对价格的弹性()0d d E E >;(Ⅱ)推导()1d dRQ E dP=-(其中R 为收益),并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分9分)设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 的和函数为()S x .求: (Ⅰ)()S x 所满足的一阶微分方程; (Ⅱ)()S x 的表达式.(20)(本题满分13分)设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+,()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时,(Ⅰ)β不能由123,,ααα线性表示;(Ⅱ)β可由123,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;(Ⅲ)β可由123,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.(21)(本题满分13分)设n 阶矩阵111b b bb A bb ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L. (Ⅰ)求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角矩阵.(22)(本题满分13分)设,A B 为两个随机事件,且()()()111,,432P A P B A P A B ===,令 1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生,不发生 1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生,不发生求:(Ⅰ)二维随机变量(),X Y 的概率分布; (Ⅱ)X 与Y 的相关系数XY ρ; (Ⅲ)22Z X Y =+的概率分布.(23)(本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本. (Ⅰ)当1α=时,求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ)当1α=时,求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ)当2β=时,求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限22lim sin1x xx x →∞=+______. (2) 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为______. (3) 设二元函数()()1ln 1x yz xex y +=+++,则()1,0dz =______.(4) 设行向量组()()()()2,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,1a a a 线性相关,且1a ≠,则a =______.(5) 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1,,X L 中任取一个数,记为Y ,则{}2P Y ==______.(6) 设二维随机变量(),X Y 的概率分布为若随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立,则a =______,b =______.二、选择题:本题共8小题,每小题4分,满分24分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当a 取下列哪个值时,函数()322912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点.(A )2 (B )4 (C )6 (D )8(8) 设()()22222123,cos ,cos DDDI I x y d I x y d σσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中(){}22,1D x y xy =+≤,则(A )321I I I >> (B )123I I I >> (C )213I I I >> (D )312I I I >> (9) 设0,1,2,,n a n >=L 若1nn a∞=∑发散,()111n n n a ∞-=-∑收敛,则下列结论正确的是(A )211n n a∞-=∑收敛,21nn a∞=∑发散 (B )21nn a∞=∑收敛,211n n a∞-=∑发散(C )()2121n n n aa ∞-=+∑收敛 (D )()2121n n n a a ∞-=-∑收敛(10) 设()sin cos f x x x x =+,下列命题中正确的是 (A )()0f 是极大值,2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极小值 (B )()0f 是极小值,2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极大值 (C )()0f 是极大值,2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极大值 (D )()0f 是极小值,2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极小值 (11) 以下四个命题中,正确的是(A )若()f x '在()0,1内连续,则()f x 在()0,1内有界 (B )若()f x 在()0,1内连续,则()f x 在()0,1内有界 (C )若()f x '在()0,1内有界,则()f x 在()0,1内有界 (D )若()f x 在()0,1内有界,则()f x '在()0,1内有界 (12) 设矩阵()33ijA a ⨯=满足*T A A =,其中*A 为A 的伴随矩阵,TA 为A 的转置矩阵.若111213,,a a a 为三个相等的正数,则11a 为(A )3 (B )3 (C )13(D (13) 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则()112,A ααα+线性无关的充分必要条件是(A )10λ= (B )20λ= (C )10λ≠ (D )20λ≠ (14)(注:该题已经不在数三考纲范围内)三、解答题:本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分8分)求011lim 1x x x e x -→+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.(16)(本题满分8分)设()f u 具有二阶连续导数,且(),y x g x y f yfx y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求222222g g x y x y ∂∂-∂∂.(17)(本题满分9分) 计算二重积分221Dx y d σ+-⎰⎰,其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.(18)(本题满分9分) 求幂级数211121n n x n ∞=⎛⎫-⎪+⎝⎭∑在区间()1,1-内的和函数()S x .(19)(本题满分8分)设()(),f x g x 在[]0,1上的导数连续,且()()()00,0,0f f x g x ''=≥≥.证明:对任何[]0,1α∈,有()()()()()()11ag x f x dx f x g x dx f a g ''+≥⎰⎰(20)(本题满分13分) 已知齐次线性方程组(ⅰ)123123123230,2350,0,x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 和 (ⅱ)()12321230,210,x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 同解,求,,a b c 的值.(21)(本题满分13分) 设T AC D C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正定矩阵,其中,A B 分别为m 阶,n 阶对称矩阵,C 为m n ⨯阶矩阵.(Ⅰ)计算T P DP ,其中1mn E A C P OE -⎛⎫-=⎪⎝⎭; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵1T B C A C --是否为正定矩阵,并证明你的结论.(22)(本题满分13分)设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()0,01,02,,1,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它. 求:(Ⅰ)(),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ; (Ⅱ)2Z X Y =-的概率密度()Z f z ; (Ⅲ)1122P Y X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.(23)(本题满分13分)设()12,,,2n X X X n >L 为来自总体()20,N σ的简单随机样本,其样本均值为X ,记,1,2,,i i Y X X i n =-=L .(Ⅰ)求i Y 的方差,1,2,,i DY i n =L ; (Ⅱ)求1Y 与n Y 的协方差()1,n Cov Y Y ;(Ⅲ)若()21n c Y Y +是2σ的无偏估计量,求常数c .2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1) ()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()ef x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3) 设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则()(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .(8) 设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则()(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 (9) 若级数1nn a∞=∑收敛,则级数()(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是()(A) []12()()C y x y x -. (B) []112()()()y x C y x y x +-. (C) []12()()C y x y x +. (D) []112()()()y x C y x y x ++ (11) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是()(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. (12) 设12,,,s αααL 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是() (A) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性无关.(13) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则()(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=.(C) T C P AP =. (D) T C PAP =.(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,随机变量Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有()(A) 12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>三、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求: (Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ)()0lim x g x +→。
2019年考研数学(三)真题及答案解析(完整版)

【解析】令 un
1 n3
, vn
1n
,故(A)(C)排除。令 un
1 n3
, vn
1n
1 ln n
,故(D)
排除,对于选项(B),由于 vn 条件收敛,则 lim vn 0 ,且 lim unvn lim vn 0 ,
n1 n
n n
n nun n n
根据正项级数判别法 nun 绝对收敛,则 unvn 绝对收敛。综上,故选(B).
(C)3.
(D)4.
【答案】(C)
【解析】 x tan x ~ 1 x3, 故 k 3. 3
(2)已知方程 x5 5x k 0 有 3 个不同的实根,则 k 的取值范围( )
(A) (, 4) (B) (4, ) (C)[4, 4] (D) (4, 4)
【答案】(D)
【解析】令 f x x5 5x k ,则 f x 5x4 5 5 x4 1 5 x2 1 x2 1 ,
则 x 1, f x 0 ; 1 x 1, f x 0 ; x 1, f x 0 ;
又 lim f x , lim f x ,综合单调性知 f 1 0, f 1 0 时才有三个根,
x
x
即 f 1 1 5 k 0, f 1 1 5 k 0, 则 4 k 4 。
n 2 2 3
n n+1 n n+1
(10)
曲线
y
x
sin
x
2
cos
x
2
x
3 2
的拐点坐标为
【答案】
【解析】 y ' sin x x cos x 2sin x x cos x sin x
y '' cos x x sin x cos x x sin x ,令 y '' 0得x 0或x
(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.()为同阶无穷小,则与时,若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为()个不同的实根,则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+,4 C.]44[,- D.),(44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为( )A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是()条件收敛,则下列正确绝对收敛,已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.)收敛(nn nv u +∑∞=1D.)发散(nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵,且为阶矩阵,为已知204*=Ax A A A 线性无关的解,则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二.填空题,9~14小题,每小题4分,共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ<<x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=,则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10,B p =20时,A 商品的价格需求弹性AA η(0>AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10,若b Ax =有无穷多解,则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )( . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ,求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ,具有连续的2阶偏导数,求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.(1)求)(x y(2)区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤)(,D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。
2021考研数学三真题及答案解析(全)

(B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为 0.
(D)可导 lim f (x)= lim ex 1 1 f (0) ,故 f (x) 在 x 0 处连续;
x0
x0 x
因为 lim x0
f
(x) f (0) = lim
x0
x0
e
x 1 x x0
1
lim
x0
【答案】D.
【解析】
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( A)
P( A) P(B) P(AB)
P(A
|
A
B)
P(A(A B)) P(A B)
P( AB) P(A B)
P(B) P(AB) P(A) P(B) P(AB)
(A)若 P( A | B) P( A) ,则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ,则 P( A | B) P( A)
(C)若 P( A | B) P( A | B) ,则 P(A | B) P(A) . (D)若 P( A | A B) P( A | A B) ,则 P( A) P(B) .
1 1 | E A | 1 2 1 ( 1)( 3)
1 1
令上式等于零,故特征值为 1, 3 , 0 ,故该二次型的正惯性指数为 1,负惯性指数为 1.故应选 B.
(6)设
A
(1,2 ,3,4 )
为
4
阶正交矩阵,若矩阵
B
=
1T 2T
,
1 1 , k
表示任意常数,
T 3
1
则线性方程组 Bx 的通解 x
(B)等价无穷小.
2021考研数学三真题及答案解析(全)

(16)甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙盒中,
再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数,则 X 与Y 的相关系数
______________.
【答案】 1 . 5
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) 0 1 0 1
4
3
(B) .
8
1
(C) .
2
5
(D) .
2
【答案】 A .
【解析】似然函数 L( ) (1 )3(1 )5 , 24
取对数 ln L( ) 3ln(1 ) 5ln(1 ) ;
2
4
求导
d ln L( ) d
3 1
5 1
0 ,得
1 .故正确答案为 A. 4
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置
0
f
' y
y x2
0
2x2 x 1 y2 0
即
y
0
得驻点 (1, 0) , (1 , 0) 2
f '' xx
4x
1 x
3(2x2 x4
x
1
y2)
(2)
f '' xy
2 y x3
f '' yy
1 x2
(3)驻点 (1, 0) 处,A=3,B=0,C=1, AC B2 3 0 , A 0
(A)若 P( A | B) P( A) ,则 P( A | B) P( A) .
(B)若 P( A | B) P( A) ,则 P( A | B) P( A)
考研数学三-213_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三-213(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.( ).SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题考查区间再现法计算定积分.令,则故答案选择(B).2.设,那么(A*)*=( ).SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查矩阵的基本运算,是一道有一定计算量的基础题.AA*=|A|E,(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(A*)-1=|A|n-1(A-1)*,将A代入计算即可得正确选项(A).3.已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx-dy的任意解,则( ).SSS_SINGLE_SELA 存在,不存在B 不存在,存在C 不存在,不存在D 存在,存在该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题以微分方程的概念为载体,考查一元微积分学的综合知识,是一道有一定难度的综合题.将微分方程(x2+y2)dy=dx-dy变形为,于是,则y=y(x)为严格单调增函数,根据单调有界准则,只要证明y(x)有界即可.对两边从x到x积分,得,于是设x≥x,则y(x)有上界,所以存在.同理可证,当x≤x时y(x)有下界,所以也存在.故存在,也存在,答案选择(D).4.设a为常数,则f(x)在区间(-∞,+∞)内的零点个数情况为( ).SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题考查一元微分学的应用,讨论函数的零点问题,是常规考题.令,由于e-x>0,g(x)与f(x)的零点完全一样,又g'(x)=,且仅在一点x=0等号成立,故g(x)严格单调增,所以g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.当a>0时,f(-∞)<0,f(+∞)>0,由连续函数零点定理,f(x)至少有一个零点,至少、至多合在一起,所以f(x)正好有一个零点.当a≤0时,,f(x)无零点.5.设有任意两个n维向量组α1,…,αm和β1,…,βm若存在两组不全为零的数λ1,…,λm和k1,…,km,使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+(λm-k m )βm=0,则( ).SSS_SINGLE_SEL Aα1,…,αm和β1,…,βm都线性相关Bα1,…,αm和β1,…,βm都线性无关Cα1+β1,…,αm+βm,α1-β1,…,αm-βm线性相关Dα1+β1,…,αm+βm,α1-β1,…,αm-βm线性无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查向量组的线性相关理论,是一道基础题.由于数组λ1,…,λm,k1,…,km不全为零,将题给的已知式整理为λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0,显然答案选择(C).6.设每次试验成功的概率为p(0<p<1),现进行独立重复试验,则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为( ).SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查伯努利概型,是一道基础题.根据题设条件,前9次取得了3次成功,第10次才取得第4次成功的概率为所以选择(C).7.以下四个命题,不正确的是( ).SSS_SINGLE_SELA 设存在,则一定存在B 设存在,则一定存在C设|f(x)|在x=x0点处可导,则f(x)在x=x点处不一定可导D设|f(x)|在x=x0点处连续,则f(x)在x=x点处不一定连续该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题是一元微积分的基本概念题.对于容易混淆的问题,考生在最后复习阶段,要好好总结和整理,一般说来,正确的要会证明,错误的要能举出反例.这种训练是有益的.对于选项(A),事实上有如下结论:设,则.可以证明如下.=,当0<|x-a|<δ时,|f(x)-A|<ε,又由于||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|,故||f(x)|-|A||<ε,.命题正确,排除.对于选项(B),反例f(x)=sgn(x),不存在.命题错误,入选.对于选项(C),反例-在x=x0氧处不可导,|f(x)|在x=x点处可导.命题正确,排除.对于选项(D),在x=x0点处不连续,|f(x)|在x=x点处连续.命题正确,排除.8.设随机变量X取非负整数值,P(X=n)=a n(n≥1),且EX=1,则a的值为( ).SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查数字特征的计算,涉及级数求和理论,是一道有一定计算量的基础题.故a=(1-a)2,a2-3a+1=0,,但a<1,所以,于是选择(A).二、填空题9.曲线在x=1处的切线方程为______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:.本题考查一元微分学的基本知识,求切线是常考题,是基础题.由题意,,故切线的斜率为,当x=1时,y=2,因此所求切线方程为,即.10.=______.该题您未回答:х该问题分值: 4答案:.本题考查一元函数的不定积分法.属于基础计算题.11.设某商品现售价5000元,分期付款购买,10年付清.若每年付款的数额相同,且以年利率3%贴现,按连续复利计算,每年应付款______元.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:578.本题考查微积分的经济应用,属于基本题.P=5000元,又r=0.03,n=10,由均匀流量的贴现公式,有,解得A=578元,故每年应付款578元.12.级数的收敛域为______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[-2,4).本题考查幂级数的收敛域求法,是常规题,有一定的计算量.令,根据正项级数的比值判别法,有解得-2<x<4,此为收敛区问.当x=-2时,原级数化为,收敛;当x=4时,原级数化为,发散.故原级数的收敛域为[-2,4).13.已知ξ1=(-9,1,2,1 1)T,ξ2=(1,-5,13,0)T,ξ3=(-7,-9,24,11)T是方程组的解,则方程组的通解是______.该题您未回答:х该问题分值: 4答案:本题考查非齐次方程组的计算,是一道综合性较强的题目.中有2阶子式不为零,故r(A)≥2,又因ξ1-ξ2=(-10,6,-11,11)T,ξ1-ξ3=(-2,10,-22,0)T是齐次方程组Ax=0的线性无关的解,从而n-r(A)≥2,即r(A)≤2.于是得r(A)=2.所以方程组的通解为对一台仪器进行重复测试,直到发生故障时为止,假定测试是独立进行的,每次测试发生故障的概率均为0.1,试验次数X的数学期望值为______.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.已知,求a,b的值.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是极限计算的反问题,是基本计算题,事实上,本题是求曲线2x-在x→-∞时的斜渐近线.由已知得,于是,将a=3代入原极限,有故a=3,SSS_TEXT_QUSTI15.证明;该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题是一元积分学的综合题,涉及较为复杂的积分计算和夹逼准则,是今年考试的热门出题点,其中第(Ⅰ)问是第(Ⅱ)问的铺垫与提示.SSS_TEXT_QUSTI16.记,求.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当nπ≤x≤(n+1)π时,令n→∞,由夹逼准则,得17.设函数f(x)在[-2,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,又f2(0)+[f'(0)]2=4.试证:在(-2,2)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+f"(ξ)=0.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是中值定理考题,涉及多个重要的定理,需要考生具有较强的运算和逻辑推理能力,是一道难题.由拉格朗日中值定理,得又根据题没条件,|f(x)|≤1,得令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2,则φ(ξ1)≤2,φ(ξ2)≤2.因为φ(x)在[ξ1,ξ2]上连续,且φ(0)=4,设φ(x)在[ξ1,ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1,ξ2](-2,2)上取到,则φ(ξ)≥4,且φ在[ξ1,ξ2]上可导,由费马定理有φ'(ξ)=0,即2f(ξ)·f'(ξ)+2f'(ξ)·f"(ξ)=0.因为|f(x)|≤1,且φ(ξ)≥4,所以f'(ξ)≠0,于是有f(ξ)+f"(ξ)=0,ξ∈(-2,2).18.求的和.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题考查数项级数的求和,需要通过转化成函数项级数求和后,再代值回去,是典型考研题.记.其收敛区间均为(-1,1).所以SSS_TEXT_QUSTI19.设D={(x,y)|(a≤x≤b,c≤y≤d该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查二重积分的计算,但是比较新颖的非常规考题,涉及抽象的理论推导,在2011年考研中已经有所涉及,本题的设计同样比较独特,希望考生多加体会和总结.证明=f(b,d)-f(a,d)+f(a,c)-f(b,c).同理,.结论成立.SSS_TEXT_QUSTI20.设D为Oxy平面上的区域,若f"xy 与f"yx都在D上连续,证明f"xy与f"yx在D上相等.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:证明用反证法.设P0(x,y)∈D,有f"xy(x,y)≠f"yx(x,y).不妨设.f"xy (x,y)-f"yx(x,y)>0,由于由极限的保号性,,当P(x,y)∈U(P0,δ)时有f"xy(x,y)-f"yx(x,y)>ε,取于是,由(1),,出现矛盾.故f"xy (x,y)与f"yx(x,y)在D上都相等.21.已知5维向量组x1=(1,2,3,4,5),x2=(1,3,2,1,2),求一个齐次线性方程组,使x1,x2组成这个方程组的基础解系.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题是方程组问题的逆问题,已知基础解系反求方程组,需要一定的计算量和逻辑推理,是一道中等难度的综合题.设ai1x1+ai2x2+ai3x3+ai4x4+ai5x5=0是方程组Ax=0中的任意一个方程,将x1,x2的坐标代入,得将方程组当作ai1,ai2,ai3,ai4,ai5为未知数的线性方程组来解,此方程组的系数矩阵,就是以x1,x2为向量组成的矩阵,对B作初等行变换,得于是方程组化为因此(ai1,ai2,ai3,ai4,ai5)=(-5ai3-10ai4-11ai5,ai3+3ai4+3ai5,ai3,ai4,ai5)=ai3(-5,1,1,0,0)+ai4(-10,3,0,1,0)+ai5(-11,3,0,0,1),方程组的一组基础解系是(-5,1,1,0,0),(-10,3,0,1,0),(-11,3,0,0,1),以这组基础解系为行组成矩阵则r(A)=3,于是以A为系数矩阵的齐次线性方程组为经过验证,它最多有2个线性无关解,且x1,x2为上式的两个线性无关解,所以它们组成上式的基础解系,上式方程组即为所求.22.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是该二次型的秩为2,且符号差为0,或秩数等于1.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二次型,是一道比较新颖的考题,在考研中尚未出现过,对考生要求较高,希望同学们见识一下这种提法和做法,并从中学到解题思路和技术.先证明必要性:设f(x1,x2,…,xn)=(a1x1+a2x2+…+anxn)(b1x1+b2x2+…+bnxn)=f1·f2.若f1与f2线性相关,则有f2=kf1,不妨设a1≠0,令即令,P为可逆矩阵,所以x=P-1y是可逆变换,从而,其秩等于1.若f1与f2线性无关,不妨设,令即令,故R为可逆矩阵,所以x=R-1y是可逆变换,则f=y1y2,再令即令,T为可逆矩阵,故y=Tz是可逆变换,从而得到,故秩为2,符号差为0.再证明充分性:f经可逆线性变换化为标准型,不妨设,其秩数为2,符号差为0,则f=(x1+x2)(x1-x2),即f可分解为两个一次多项式的乘积.另外,设,其秩为1,则f=x1·x1,即f可分解为两个一次多项式的乘积,命题得证.23.设(X,Y)的联合概率密度为求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二维随机变量的边缘密度、条件密度等,是一道有一定计算量的基础题.当x≤0或x≥1时,当0<x<1时,故于是可得则某设备维修站共有两个维修点,若有三台设备A,B,C同时送到该维修站进行维修,设A,B先开始维修,当其中一台没备维修结束后即开始对第三台设备C 进行维修.假设各台设备维修所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布,则SSS_TEXT_QUSTI24.求第三台设备C在维修站等待维修时间T的概率密度;该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:本题是随机变量函数的概率密度和数字特征计‘算的综合题,是历来考生复习中的薄弱环节.设第i台设备维修时间为Xi (i=1,2,3),则Xi独立同分布,且密度函数都为则第三台设备C等待维修的时间T=min(X1,X2),度过时间=等待时间+维修时间,即S=T+X3=min(X1,X2)+X3.由于X1与X2独立,故T的分布函数F T (t)=P(min(X1,X2)≤t)=1-P(min(X1,X2)>t)=1-P(X1>t)P(X2>t)则T的密度函数即T=min(X1,X2)服从参数为2λ的指数分布.SSS_TEXT_QUSTI25.求第三台设备C在维修站度过时间S的数学期望ES.该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:由于S=T+X3=min(X1,X2)+X3,则1。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.(99年)设n阶矩阵A与B相似,E为n阶单位矩阵,则【】A.λE-A=λE-B.B.A与B有相同的特征值和特征向量.C.A和B都相似于一个对角矩阵.D.对任意常数t,tE-A与tE-B相似正确答案:D解析:由已知条件,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B 所以P-1(tE -A)P=tE-P-1AP=tE-B 这说明tE-A与tE-B相似,故D正确.知识模块:线性代数2.(02年)设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是【】A.P-1αB.PTαC.PαD.(P-1)Tα正确答案:B解析:由条件有AT=A,Aα=λα,故有(P-1AP)T(PTα)=PTA(PT)-1PTα=PTAα=PTλα=λ(PTα) 因为PTa≠0(否则PTα=0,两端左乘(PT)-1,得α=0,这与特征向量必为非零向量矛盾),故由特征值与特征向量的定义,即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量.因此,B正确.知识模块:线性代数3.(05年)设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是【】A.λ1=0B.λ2=0C.λ1≠0D.λ2≠0正确答案:D解析:由条件知α1,α2线性无关.向量组α1,A(α1+α2),即向量组α1,λ1α1+λ2α2,显然等价于向量组α1,λ2α2,当λ2=0时,α1,λ2α2线性相关,当λ2≠0时,α1,λ2α2线性无关,故向量组α1,A(α1+α2)线性无关向量组α1,λ2α2线性无关≠0,只有选项D正确.知识模块:线性代数4.(10年)设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=O.若A的秩为3,则A 相似于【】A.B.C.D.正确答案:D解析:设A按列分块为A=[α1 α2 α3 α4],由r(A)=3,知A的列向量组的极大无关组含3个向量,不妨设α1,α2,α3是A的列向量组的极大无关组.由于A2=-A,即A[α1 α2 α3 α4]=-[α1 α2 α3 α4],即[Aα1 Aα2 Aα3 Aα4]=[-α1-α2-α3-α4],得Aαj=-αj,j=2,3,4.由此可知-1是A的特征值值且α1,α2,α3为对应的3个线性无关的特征向量,故-1至少是A的3重特征值.而r(A)=3<4,知0也是A的一个特征值.于是知A的全部特征值为:-1,-1,-1,0,且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数,故A相似于对角矩阵D =diag(-1,-1,-1,0),故选项D正确.知识模块:线性代数5.(13年)矩阵相似的充分必要条件为【】A.a=0,b=2.B.a=0,b为任意常数.C.a=2,b=0.D.a=2,b为任意常数.正确答案:B解析:B为对角矩阵,B的特征值为其主对角线元素2,6,0.若A与B相似,则由相似矩阵有相同的特征值,知2为A的一个特征值,从而有由此得a=0.当a=0时,矩阵A的特征多项式为由此得A的全部特征值为2,b,0.以下可分两种情形:若b为任意实数,则A为实对称矩阵,由于实对称矩阵必相似于对角矩阵,且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值,所以此时A必相似于B.综上可知,A与B相似的充分必要条件为a=0,b为任意常数.所以只有选项B正确.知识模块:线性代数6.(16年)设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是【】A.AT与BT相似.B.A-1与B-1相似.C.A+AT与B+BT相似.D.A+A-1与B+B-1相似.正确答案:C解析:由已知条件知,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B……(1).由(1)两端取转置,得PTAT(PT)-1=BT,可见AT与BT相似,因此选项A正确;由(1)两端取逆矩阵,得P-1A-1P=B-1……(2),可见A-1与B-1相似,因此选项B 正确;将(1)与(2)相加,得P-1(A+A-1)P=B+B-1,可见A+A-1与B+B-1相似,因此选项D正确.故只有选项C错误.知识模块:线性代数7.(07年)设矩阵,则A与B 【】A.合同,且相似.B.合同,但不相似.C.不合同,但相似.D.既不合同,也不相似.正确答案:B解析:由A的特征方程得A的全部特征值为λ1=λ2=3,λ3=0,由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3,3,0),但由A的特征值知3元二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的秩及正惯性指数均为(二次型f=χTAχ经适当的正交变换可化成标准形f=3y12+3y22,再经可逆线性变换可化成规范形f=z12+z22,而f的矩阵A与f 的规范形的矩阵B=diag(1,1,0)是合同的).知识模块:线性代数8.(08年)设A=则在实数域上与A合同的矩阵为【】A.B.C.D.正确答案:D解析:记(D)中的矩阵为D,则由知A与D有相同的特征值3与-1,它们又都是实对称矩阵,因此存在正交矩阵P与Q,使PTAP==QTDQ,QPTAPQT=D,或(PQT)A(PQT)=D,其中PQT可逆,所以A与D合同.知识模块:线性代数9.(15年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)在正交变换χ=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,-e3,e2),则f(χ1,χ2,χ3)在正交变换χ=Qy,下的标准形为【】A.2y12-y22+y32.B.2y12+y22-y32.C.2y12-y22-y32.D.2y12+y22+y32.正确答案:A解析:设二次型的矩阵为A,则由题意知矩阵P的列向量e1,e2,e3是矩阵A的标准正交的特征向量.对应的特征值依次是2,1,-1.即有Ae1=2e1,Ae2=2e2,Ae3=2e3 从而有AQ=a(e1,-e3,e2)=(Ae1,-Ae3,Ae2)=(2e1,-(-e3),e2) =(e1,-e3,e2) 矩阵Q的列向量e1,-e3,e2仍是A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,-1,1.矩阵Q是正交矩阵,有Q-1=QT,上式两端左乘Q-1,得Q-1AQ=QTAQ=从而知厂在正交变换χ=Py下的标准形为f=2y12-y22+y32.于是选A.知识模块:线性代数10.(16年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=a(χ12+χ22+χ32)+2χ1χ2+2χ2χ3+2χ1χ3的正、负惯性指数分别为1,2,则【】A.a>1B.a<-2C.-2<a<1D.a=1或a=-2正确答案:C解析:先来求二次型的矩阵A的特征值,由得A的全部特征值为λ1=λ2=a-1,λ3=a+2,由题设条件知有两个特征值小于零,有一个特征值大于零,所以a-1<0<a+2,由此得-2<a<1,故只有选项C正确.知识模块:线性代数填空题11.(04年)二次型f(χ1,χ2,χ3)=(χ1+χ2)2+(χ2-χ3)2+(χ3+χ1)2的秩为_______.正确答案:2解析:f的矩阵A=的秩为2,所以f的秩为2.知识模块:线性代数12.(11年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在正交变换χ=Qy下的标准形为_______.正确答案:3y12解析:由f的秩为1,知f的矩阵A只有一个不为零的特征值,A的另外两个特征值均为零.再由A的各行元素之和都等于3,即,知A的全部特征值为λ1=3,λ2=λ3=0.于是f经正交变换化成的标准形为f=λ1y12+λ2y22+λ3y32=3y12.知识模块:线性代数13.(14年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12-χ22+2aχ1χ3+4χ2χ3的负惯性指数为1,则a的取值范围是_______.正确答案:[-2,2]解析:对f配方,可得f(χ1+aχ3)2-(χ2-2χ3)2+(4-a2)χ32 于是f可经可逆线性变换化成标准形f=z12-z22+(4-a2)z32 若4-a2<0,则f的负惯性指数为2,不合题意;若4-a2≥0,则f的负惯性指数为1.因此,当且仅当4-a2≥0,即|a|≤2时,f的负惯性指数为1.知识模块:线性代数14.(07年)设矩阵A=,则A3的秩为_______.正确答案:1解析:利用矩阵乘法,容易计算得由于A3中非零子式的最高阶数为1,故由矩阵的秩的定义,即知r(A3)=1.知识模块:线性代数15.(09年)设α=(1,1,1)T,β=(1,0,k)T.若矩阵αβT相似于,则k=_______.正确答案:2解析:矩阵A=αβT=由A的特征方程得A的特征值为λ1=λ2=0,λ3=k+1.又由A与对角矩阵相似,知A的特征值为3,0,0.比较得k+1=3,所以k=2.知识模块:线性代数16.(97年)若二次型f(χ1,χ2,χ3)=2χ12+χ22+χ32+2χ1χ2+t χ2χ3是正定的,则t的取值范围是_______.正确答案:解析:f的矩阵为因为,f正定甘A的顺序主子式全为正,显然A的1阶和2阶顺序主子式都大于零,故f正定知识模块:线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机变量X~N(0,1),y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则A.P{Y=-2X-1}=1B.P{Y=2X-1}=1C.P{Y=-2X+1}=1D.P{Y=2X+1}=1正确答案:D解析:如果选项A或C成立,则应ρXY=1,矛盾;如果选项B成立,那么EY=2EX-1=-1,与本题中EY=1矛盾.只有选项D成立时,ρXY=1,EY=2EX+1=1,DY=4DX=4,符合题意,故选D.知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(1,4),则D(XY)=A.6.B.8.C.14.D.15.正确答案:C解析:由题意知:EX=1,DX=2,EY=1,DY=4,于是E(X2)=DX+(EX)2=2+12=3,E(Y2)=DY+(EY)2=4+12=5,注意到X2与y2是独立的,于是D(XY)=E(XY)2-E[(XY)]2 =E(X2Y2)-[EX.EY]2 =E(X2).EY2-(EX)2(EY)2 =3×5-12×12=14 故选C.知识模块:概率论与数理统计3.设”个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布,DX1=σ2,,则A.S是σ的无偏估计量.B.S是σ的最大似然估计量.C.S是σ的相合估计量(即一致估计量).D.S与相互独立.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计4.设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2均未知.现从中随机抽取16个零件,测得样本均值=20(cm),样本标准差s=1(cm),则μ的置信度为0.90的置信区间是A.(20-t0.05(16),20+t0.05(16))B.(20-t0.1(16),20+t0.1(16))C.(20-t0.05(15),20+t0.05(15))D.(20-t0.1(15),20+t0.1(15))正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计填空题5.设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=,P{X=1}=a,P(X=3}=b.若EX=0,则DX=_______.正确答案:解析:由题知:+a+b=1,0=EX=(-2)×+1×a+3×b=a+3b-1 联立得a=b=所以DX=E(X2)-(EX)2=E(X2)=(-2)2×.知识模块:概率论与数理统计6.设X为随机变量且EX=μ,DX=σ2.则由切比雪夫不等式,有P{|X-μ|≥3σ}≤_______.正确答案:解析:由题意及切比雪夫不等式,得:P{|X-μ|≥3σ}≤.知识模块:概率论与数理统计7.在天平上重复称量一重为a的物品.假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a,0,2*).若以表示n次称量结果的算术平均值,则为使n的最小值应不小于自然数_______.P{|-a|<0.1}≥0.95正确答案:16解析:设第i次称量结果为Xi,i=1,2,…,n.由题意:,且X1,…,Xn独立同分布,X1~N(a,0.22).由题意得2Ф()-1≥0.95,∴Ф()≥0.075 查表得≥1.96,∴n≥4×(1.96)2=15.36 故n的最小值应不小于自然数16.知识模块:概率论与数理统计8.设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P{|X+Y|≥6}≤_______.正确答案:解析:若记ξ=X+Y,则Eξ=EX+EY=-2+2=0,而Dξ=D(X ×Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=DX+DY+2.ρ(χ,y) =1+4+2×(-0.5).=3 其中ρ(χ,y) 知识模块:概率论与数理统计9.设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5.则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为________.正确答案:(4.804,5.196) 涉及知识点:概率论与数理统计10.设由来自正恣总体X~N(μ,0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值=5.则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是_______.正确答案:(4.412,5.588) 涉及知识点:概率论与数理统计11.设总体X的概率密度为而X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为_______.正确答案:Xi-1-1解析:知识模块:概率论与数理统计12.设总体X的概率密度为f(χ)=e-|χ|(-∞<χ<+∞),X1,X2,…,Xn为总体X的简单随机样本,其样本方差为S2,则ES2_______.正确答案:2解析:EX=∫-∞+∞χf(χ)dχ=∫-∞+∞χ.e|-χ|dχ=0 DX =E(X2)-(EX)2=E(X2)=∫-∞+∞χ2f(χ)dχ=∫-∞+∞χ2.e|-χ|d χ=∫0+∞χ2e-χdχ=2 而E(S2)=DX,故ES2=2.知识模块:概率论与数理统计13.设X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其中参数μ,σ2未知.记则假设H0:μ=0的t检验使用的统计量t=_______.正确答案:解析:由题意可得:又有~χ2(n-1),且Q2与相互独立,故由t分布的构成得:当H0成立(即μ=0)时,成舍~t(n-1).故填知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.行列式=( )A.(ad一bc)2。
B.一(ad一bc)2。
C.a2d2一b2c2。
D.一a2d2+b2c2。
正确答案:B解析:由行列式的展开定理展开第一列。
=一ad(ad一bc)+bc(ad—bc)=一(ad一bc)2。
故选B。
知识模块:线性代数2.设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=O,则( )A.E一A不可逆,E+A不可逆。
B.E—A不可逆,E+A可逆。
C.E—A可逆,E+A可逆。
D.E—A可逆,E+A不可逆。
正确答案:C解析:(E—A)(E+A+A2)=E一A3=E,(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。
故E—A,E+A均可逆。
知识模块:线性代数3.设α是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则( )A.E一ααT不可逆。
B.E+ααT不可逆。
C.E+2ααT不可逆。
D.E一2ααT不可逆。
正确答案:A解析:由α是n维单位列向量可知(ααT)α=α(αTα)=α,且1≤r(ααT)≤r(α)=1,即1是矩阵ααT的特征值,且r(ααT)=1,所以ααT的特征值为0(n一1重)和1。
矩阵E一ααT的特征值为1(n一1重)和0,则E一ααT不可逆。
E+ααT的特征值为1(n一1重)和2,E+2ααT的特征值为1(n 一1重)和3,E一2ααT的特征值为1(n一1重)和一1,三者的矩阵行列式均不为零,因此均可逆。
不可逆的只有A选项。
知识模块:线性代数4.设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT,其中A*是A的伴随矩阵,AT为A 的转置矩阵。
若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为( ) A.。
B.3。
C.。
D.。
正确答案:A解析:由A*=AT及AA*=A*A=|A|E,有aij=Aij,i,j=1,2,3,其中Aij,为aij的代数余子式,且AAT=|A|E→|A|2=|A|3→|A|=0或|A|=1。
2023年考研数学三真题及答案-完整版

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2023年考研数学三真题及答案一、选择题:1~10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. 已知函数(,)ln(|sin |)f x y y x y =+,则( ).A.(0,1)f x ∂∂不存在,(0,1)fy∂∂存在B.(0,1)f x ∂∂存在,(0,1)fy∂∂不存在C. (0,1)f x ∂∂存在,(0,1)fy∂∂存在D. (0,1)f x ∂∂不存在,(0,1)fy∂∂不存在【答案】A.【解析】由已知(,)ln(|sin |)f x y y x y =+,则(,1)ln(1|sin1|)f x x =+,(0,)ln f y y =.当0x >时,(,1)ln(1sin1)f x x =+,(0,1)0(,)d (,1)sin1d x f x y f x x x =∂==∂;当0x <时,(,1)ln(1sin1)f x x =-,(0,1)0(,)d (,1)sin1d x f x y f x x x =∂==-∂;所以(0,1)(,)f x y x ∂∂不存在.又(0,1)1(,)d (0,)1d y f x y f y y y=∂==∂,存在.故选A.2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为( ).A.)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B.)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C.)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D.)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===,即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导,排除A ,C.又0x >时,[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+, 排除B.故选D.3. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界,则( ).A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D.【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<,则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+;②若240a b ->,则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+;③若240a b -=,则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界,若02a ->,则①②③中x →+∞时通解无界,若02a-<,则①②③中x →-∞时通解无界,故0a =.0a =时,若0b > ,则1,2r =,通解为12()()y x C C =+,在(,)-∞+∞上有界.0a =时,若0b <,则1,2r =12()e y x C C =+,在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =,0b >.4. 设n n a b <,且1nn a∞=∑与1nn b∞=∑收敛,1nn a∞=∑绝对收敛是1nn b∞=∑绝对收敛的( ).A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件【解析】由已知条件可知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数,进而1()n n n b a ∞=-∑绝对收敛.设1nn a∞=∑绝对收敛,则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法,得1nn b∞=∑绝对收玫;设nb∞∑绝对收敛,则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法,得1nn a∞=∑绝对收敛.故选A.5.,A B 为可逆矩阵,E 为单位阵,*M 为M 的伴随矩阵,则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A BC.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A OA BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B OB |A 【答案】B. 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O A B O O B O B O B O E OA B ,故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E AB O O B O B O A B 1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A .故选B.. 6.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++,二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-, 1233,7,0λλλ==-=,故规范形为2212y y -,故选B.7.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ,若γ 既可由12,αα 线性表示,又可由12,ββ线性表示,则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ B. 35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C. 11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D. 15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D.【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ,则11223142k k k k +--=0ααββ,对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形,121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ,解得T T T T 1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-,故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.8.设X 服从参数为1的泊松分布,则(|()|)E X E X -=( ).A.1eB.12C.2eD.1【答案】C.【解析】方法一:由已知可得,1e {}(0,1,2,)!P X k k k -===L ,()1E X =,故111100|1|(1)(|()|)(|1|)e e e e!!k k k k E X E X E X k k ∞∞----==---=-==++∑∑12=2e (1)eE X -+-=. 故选C.方法二:由于0e !k xk x k ∞==∑,于是1111e 1(1)!(1)!k k x k k x x x k x k x +∞∞==--==++∑∑于是 1121111e 1(1)e 1(1)!(1)!(1)!k k k x x k k k kx x x x x k k x k x x -+∞∞∞==='''⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+==== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 由已知可得,1e {}(0,1,2,)!P X k k k -===L ,()1E X =,故 111(1)(|()|)(|1|)e e !k k E X E X E X k ∞--=--=-=+∑111=e e (1)!k k k ∞--=++∑1121(1)e 1=e e x x x x --=-++112e e e --=+=. 111(|()|)(||)[e ()]e ()1e E X E X E Y E Y E X ----==+=+-=.故选C.9.设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本,12,,,m Y Y Y L 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本,且两样本相互独立,记11ni i X X n ==∑,11m i i Y Y m ==∑,22111()1n i i S X X n ==--∑,22211()1m i i S Y Y m ==--∑,则( ) A. 2122(,)S F n m S : B. 2122(1,1)S F n m S --: C. 21222(,)S F n m S : D. 21222(1,1)S F n m S --: 【答案】D.【解析】由两样本相互独立可得212(1)n S σ-与222(1)2m S σ-相互独立,且 2212(1)(1)n S n χσ--:,2222(1)(1)2m S m χσ--:, 因此2122122222(1)(1)2(1,1)(1)(1)2n S n S F n m m S S m σσ--=----:,故选D.10. 已知总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中0σ>为未知参数,1X ,2X 为来自总体X的简单随机样本,记12ˆ||a X X σ=-,若µ()E σσ=,则a =( ).A.2B.2【答案】A.【解析】由与1X ,2X 为来自总体X 的简单随机样本,1X ,2X 相互独立,且21(,)X N μσ:,22(,)X N μσ:,因而212~(0,2)X X N σ-,令12Y X X =-,所以Y 的概率密度为2222()ey Y f y σ-⋅=,所以22222240(||)|ed 2ed y y E Y y y y σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰⎰,由12ˆ()(||)E aE X X σσ=-=,即(||)aE Y a σ==,解得a =A.二、填空题:11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11.求极限211lim 2sincos x x x x x →∞⎛⎫--= ⎪⎝⎭____________. 【答案】23. 【解析】1220sin 2cos 11lim 2sincos limx tx t tt t x x x x t=→∞→--⎛⎫-- ⎪⎝⎭222230000sin 111cos sin 2limlimlim lim t t t t t ttt t t t t t t →→→→---=+=+1126=+ 23=. 12.已知函数(,)f x y 满足22d d d (,)x y y xf x y x y -=+,且(1,1)4f π=,则f =____________.【答案】3π. 【解析】由已知22(,)f x y y x x y ∂-=∂+,22(,)f x y xy x y ∂=∂+,则 22(,)d arctan ()y x f x y x y x y yϕ-==-++⎰, 所以22(,)()f x y xy y x yϕ∂'=+∂+,即()0y ϕ'=,()y C ϕ=, 从而(,)arctanxf x y C y=-+,又(1,1)4f π=,解得2C π=,故(,)arctan2x f x y yπ=-,arctan 233f ππ=-=.13.20(2)!nn x n ∞==∑____________.【答案】e e 2x x-+.【解析】令20()(2)!nn x S x n ∞==∑,则(0)1S =,且211()(21)!n n x S x n -∞='=-∑,(0)0S '=, 22210()()(22)!(2)!n nn n x x S x S x n n -∞∞==''===-∑∑,从而可得微分方程()()0S x S x ''-=,解得12()e e x xS x C C -=+,又(0)1S =,(0)0S '=,解得1212C C ==,故 20e e ()(2)!2n x xn x S x n -∞=+==∑. 14.某公司在t 时刻的资产为()f t ,则从0时刻到t 时刻的平均资产等于()f t t t-,假设()f t 连续且(0)0f =,则()f t =____________.【答案】2(e 1)t t --.【解析】由已知可得()d ()tf t t f t t tt=-⎰,整理变形20()d ()t f t t f t t =-⎰,等式两边求导()()2f t f t t '=-,即()()2f t f t t '-=,解得一阶线性微分方程通解为()2(1)e t f t t C =-++,又(0)0f =,解得2C =,故()2(e 1)tf t t =--.15. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解,其中,a b 为常数,若0111412a a a= ,则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解,则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ,故111280a a ab =.16. 设随机变量X 与Y 相互独立,且()1,X B p :,()2,Y B p :,(0,1)p ∈则X Y+与XY -的相关系数为____________.【答案】13-【解析】由题意可得,()(1)D X p p =-,()2(1)D Y p p =-,又由X 与Y 相互独立可知,()()()D X Y D X D Y ±=+,故(,)X Y X Y ρ+-==()()(1)2(1)1()()(1)2(1)3D X D Y p p p p D X D Y p p p p ----===-+-+-三、解答题:17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)已知函数()y y x =满足2e ln(1)cos 0xa y y x yb ++-++=,且(0)0,(0)0y y '==.(1)求,a b 的值;(2)判断0x =是否为函数()y y x =的极值点.【解】(1)将(0)0y =代入2e ln(1)cos 0x a y y x y b ++-++=得0a b +=. 方程2e ln(1)cos 0x a y y x y b ++-++=两边对x 求导得1e 2cos ln(1)sin 01x a yy y y x y y x'''++-++⋅=+, 将(0)0y '=代入上式得10a -=,解得1,1a b ==-.(2)由(1)知1e 2cos ln(1)sin 01xyy y y x y y x'''++-++⋅=+,上式两边再对x 求导得 22111e 2()2cos sin sin ln(1)cos ln(1)sin (1)11x y yy y y y y y x y y y x y y x x x ⎡⎤''''''''+++++⋅+++⋅++⋅⎢⎥+++⎣⎦将(0)0,(0)0y y '==代入上式得(0)2y ''=-,所以0x =是函数()y y x =的极大值点.18.(本题满分12分)已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭, (1)求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成得旋转体的体积 【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t tt ππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 19.(本题满分12分)已知22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤,求1|d d Dx y -⎰⎰.【解】令22221{(,)|(1)1,1}D x y x y x y =-+≤+≤,则|1|d d Dx y ⎰⎰)(111d d 1d d D D D x y x y -=+⎰⎰⎰⎰)(11d d 21d d DD x y x y =+⎰⎰⎰⎰2cos 122232cos 234327d d 2d d 39ππθππθππρρθπρρθ---=-+=⎰⎰⎰⎰20.(本题满分12分)设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.(1)证明:若(0)0f =,存在(,)a a ξ∈-,使得21()[()()]f f a f a aξ''=+-; (2)若()f x 在(,)a a -上存在极值,证明:存在(,)a a η∈-,使得21|()||()()|2f f a f a a η''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+,其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =,则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+,10a ξ-<<,22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+,20a ξ<<,两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=,又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数,由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-,使得12()()()2f f f ξξξ''''+=,即21()[()()]f f a f a a ξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值,则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+, 其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =,则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+,10a x η-<<, 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+,02x a η<<, 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-, 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=,即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.21.(本题满分12分)设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A . (1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ,使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ,得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立,故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ,则1200020001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.22.(本题满分12分)设随机变量X 的概率密度函数为2e (),(1e )xx f x x =-∞<<+∞+,令e X Y =. (1)求X 的分布函数; (2)求Y 的概率密度函数; (3)判断Y 的数学期望是否存在.【解】(1)设X 的分布函数为()X F x ,由分布函数的定义可得2e 1(){}()d d 1,(1e )1et xxX t t F x P X x f x x t x -∞-∞=≤===--∞<<+∞++⎰⎰. (2)设Y 的分布函数为()Y F y ,概率密度为()Y f y ,由分布函数的定义可得(){}{e }X Y F y P Y y P y =≤=≤,当0y ≤时,()0Y F y =; 当0y >时,1(){}{ln }(ln )11Y X F y P Y y P X y F y y=≤=≤==-+. 综上,00,()110.1Y y F y y y ≤⎧⎪=⎨->⎪+⎩,, 故Y 的概率密度函数200,()10.(1)Y y f y y y ≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩,,(3)由(2)知,220011()()d d d (1)(1)Y yy E Y yf y y y y y y +∞+∞+∞-∞+-===++⎰⎰⎰20011d d 1(1)y y y y +∞+∞=-++⎰⎰ 01ln(1)=1y y +∞⎡⎤=+++∞⎢⎥+⎣⎦, 故Y 的数学期望不存在.。
考研数学三(线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三(线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.[2002年] 设A是m×n矩阵,B是n×m的矩阵,则线性方程组(AB)X=0( ).A.当n>m时,仅有零解B.当n>m时,必有非零解C.当m>n时,仅有零解D.当m>n时,必有非零解正确答案:D解析:解一显然AB为m阶矩阵,因而(AB)X=0是含m个未知数的齐次方程组,而当m>n时,有秩(AB)≤秩(A)≤n<m.因而(AB)X=0有非零解.仅(D)入选.解二因秩(A)≤min(m,n),秩(B)≤min(m,n),而秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)),于是当n>m时,有秩(A)≤m,秩(B)≤m,秩(AB)≤m,而AB为m阶矩阵.由于秩(AB)可能小于等于m,只能说当n>m时,如果秩(AB)=m,则(AB)X=0只有零解,如果秩(AB)<m,(AB)X=0必有非零解,因而(A)、(B)都不对.又当n<m时,秩(AB)≤n<m,而AB为m阶矩阵,因而矩阵AB 的秩小于未知数的个数,齐次方程(AB)X=0必有非零解,于是(C)也不对.仅(D)入选.知识模块:线性方程组2.[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O.若考ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量正确答案:B解析:解一当A*≠O时,秩(A*)≠0.因而秩(A*)=n或秩(A*)=1.于是秩(A)=n或秩(A)=n-1.由题设知AX=b有四个互不相等的解,因而解不唯一,于是秩(A)=n-1.因而其基础解系仅含一个解向量.仅(B)入选.解二因A*≠O,故秩(A*)≥1,则秩(A)≥n-1.又因AX=0有解且不唯一,故秩(A)≤n-1.因而秩(A)=n-1.其基础解系仅含一个解向量.仅(B)入选.解三因A*≠o,故A*中至少有一个元素Aij=(-1)i+jMij≠0,即A的元素aij的余子式Mij≠0,而Mij为A的n一1阶子行列式,故秩(A)≥n一1.又由AX=b有解且不唯一,有秩(A)≤n-1<n,故秩(A)=n-1,于是AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n-秩(A)=n-(n-1)=1.仅(B)入选.知识模块:线性方程组3.[2000年] 设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量,且秩(A)=3,α1=[1,2,3,4]T,α2+α3=[0,1,2,3]T,c表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( ).A.[1,2,3,4]T+c[1,1,1,1]TB.[1,2,3,4]T+c[0,1,2,3]TC.[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]TD.[1,2,3,4]T+c[3,4,5,6]T正确答案:C解析:解一仅(C)入选.AX=b为四元非齐次方程组,秩(A)=3,AX=0的一个基础解系只含n-秩(A)=4-3=1个解向量.将特解的线性组合2α1,α2+α3写成特解之差的线性组合,即2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3).因2一(1+1)=0,由命题2.4.4.1知,2α1-(α2+α3)=[2,3,4,5]T≠0仍为AX=0的一个解向量,且为其一个基础解系,故AX=b的通解为X=α1+k[2α1-(α2+α3)]=[1,2,3,4]T+k[2,3,4,5]T.解二仅(C)入选.因秩(A)=3,故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1,所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系.由于α1及(α2+α3)/2都是AX=b的解(因1/2+1/2=1),故α1-(α2+α3)=[2α1-(α2+α3)]=[2,3,4,5]T是AX=0的一个解,从而2×[2,3,4,5]T=[2,3,4,5]T=η也是AX=0的一个解,且因η≠0,故η为Ax=0的一个基础解系,所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1,2,3,4]T+c[2,3,4,5]T,c为任意常数.知识模块:线性方程组4.[2011年] 设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则AX=β的通解为( ).A.(η2+η3)/2+k1(η2-η1)B.(η2-η3)/2+k1(η2-η1)C.(η2+η3)/2+k1(η2-η1)+k2(η3-η1)D.(η2-η3)/2+k1(η2-η1)+k2(η3-η1)正确答案:C解析:解一仅(C)入选.因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n-秩(A)+1,故3-秩(A)+1≥3,即秩(A)≤1.又秩(A)≥1(如秩(A)=0,则A=0与AX=β≠0矛盾),故秩(A)=1,所以AX=0的一个基础解系含n-秩(A)=3=1-2个解向量,而η3-η1,η2-η1均为AX=0的非零解,因而它们为AX=0的基础解系.又(η2+η3)/2中的系数1/2+1/2=1.由命题2.4.4.1知,(η2+η3)/1为AX=β的一特解.于是AX=β的通解为(η2+η3)/2+k1(η2-η1)+k2(η3-η1).解二由非齐次线性方程组AX=B 通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D).事实上,(B)、(D)中的为AX=0的解,不是AX=B的特解,可排除(B)、(D).又因AX=0的解η2-η1,η3-η1线性无关,故AX=0的基础解系至少包含2个解向量,从而排除(A).仅(C)入选.知识模块:线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020考研数学三真题及答案解析【完整版】

2020考研数学三真题及解析(完整版)一、选择题:1~8小题,第小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设lim(),limsin ()sin x x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案:B解析:sin ()sin [()]limlimcos cos .x a x a f x af x a b a x a x aξ→→--==--(其中ξ介于()f x 与a 之间)∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案:C 解析:0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim limlim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x xx x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数,则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案:A 解析:()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知,()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为(-2,6),则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.(-2,6)B.(-3,1)C.(-5,3)D.(-17,15)答案:B 解析:由于1111(1)11limlim 4n n n n n n n a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴=22R '∴==,故所求收敛域为(-3,1),∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆,12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组,*A 为A 的伴随矩阵,则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案:C 解析:∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++,故选C.6.设A 为3阶矩阵,12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量,3α为A 的属于-1的特征向量,则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案:D解析:1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭ P ∴的1,3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案:D 解析:()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是A.()5X Y +B.()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案:C解析:[]12(),)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析:d d d zz z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z zx x y y xy x y y ∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点(0,-1)处的切线方程为________.解析:21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量,成本()10013C Q Q =+,单价p ,需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析:()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ QQ Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭,则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析:11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析:2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…,表示X 被3除的余数,则()E Y =______.解析:{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数,11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ,当n →∞时为等价无穷小,求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn an n n an a n n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析:.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-,则(1)求()f x (2)()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析:(1)250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=(2)()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n xn n xx n n n n n n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1nn i i n n a ππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.(,)(,)d d Df x y x f x y x y =+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析:积分区域D如图:(,)(,)d d Df x y x f x y x y =⎰⎰两边积分得(,)d d d (,)d d d d D DD D f x y x y x y f x y x y x x y =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰100d 2d D x y x y=⎰⎰⎰2012(1)d 2x x =-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数,max{|()|},[0,2]M f x x =∈(1)证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤(2)若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析:证明:(1)由max{|()|}[0,2]M f x x =∈,知存在[0,2]c ∈,使|()|f c M =,若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈,使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈,同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上,存在(0,2)ξ∈,使|()|f M ξ'≥.(2)若0M >,则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知,存在(0,2)η∈,使()0,f η'=当(0,]c η∈时,00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++,其中a b ≥.(1)求,a b 的值.(2)求正交矩阵Q .解析:(1)设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==(2)212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0,5当0λ=时,解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时,解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0,5当0λ=时,解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时,解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T 2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵,(,)P A αα=,其中α是非零向量且不是A 的特征向量.(1)证明P 为可逆矩阵(2)若260A A ααα+-=,求1P AP -,并判断A 是否相似于对角矩阵.解析:(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ,21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ (1)求12(,)Z Z 联合分布(2)12Z Z ρ解析:(1)(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=(2)12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.(1)求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>,其中0,0S t >>.(2)任取n 个这种元件做寿命试验,测得它们的寿命分别为12,,n t t t …,若m 已知,求θ的最大似然估计值ˆθ.解析:(1){}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏,()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ所以θ的最大似然估计值θ。
考研数学三-417_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三-417(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.A是n(n≥3)阶矩阵,交换A的第1列与第3列得到矩阵B,A*,B*分别是A,B 的伴随矩阵,则( )SSS_SINGLE_SELA交换A*的第1行与第3行得到矩阵B*B交换A*的第1列与第3列得到矩阵B*C交换A*的第l行与第3行得到矩阵-B*D交换A*的第1列与第3列得到矩阵-B*该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[考点] 矩阵的初等变换[答案解析] 因为A可逆故|A|≠0,而|B|=-|A|≠0,即B也可逆,因为B=AE13故B-1=(AE13)-1=(E13)-1A-1,在此式两端同乘-|B|=|A|,有-|B|B-1=E13|A|A-1,即-B*=E13A*,故交换A*的第1行,第3行得到-B*,应选(C)。
2.级数的收敛性( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[考点] 含参数的正项级数敛散性的审定[答案解析] 因为是正项级数,用比值法,有(1)当0<β<1时,级数收敛;(2)当β>1时级数发散;(3)当β=1时原级数为综上所述知级数的敛散性与α,β都有关,应选(A)。
3.当x→0时,无穷小量α(x)=(1+x)x-1,δ(x)=e x-e sinx,从低阶到高阶排列顺序应为( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[考点] 无穷小量的阶的比较[答案解析] 即α(x)是x的二阶无穷小量。
即δ(x)是x的3阶无穷小量,故从低阶到高阶顺序排列应为,β(x),α(x),δ(x),γ(x),应选(C)。
4.正态总体X~N(-3,4),Y一N(-1,5)且X,Y相互独立,而X1,X2,…,X8和Y 1,Y2,…,Y10分别是来自X,Y的简单随机样本,分别是两个样本的样本方差,则服从F(9,7)的统计量是( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[考点] 来自两个独立正态总体的抽样分布[答案解析] ,于是U=由X,Y相互独立,知U,V相互独立,于是由F分布定义知5.行列式第4行元素的余子式之和为( )SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[考点] 求行列式某行元素余子式之和[答案解析] 方法一:M41+M42+M43+M44=-A41+A42-A43+A44=方法二:M41+M42+M43+M44==-56+12-14=-28应选(B)。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)

考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设A为四阶实对称矩阵,且A2+A=O,若A的秩为3,则A相似于( )正确答案:D解析:设A的特征值为λ,因为A2+A=O,所以λ2+λ=0,即λ(λ+1)=0→λ=0或λ=一1。
又因为r(A)=3,A必可相似对角化,对角阵的秩也是3。
所以λ=一1是三重特征根,则A~,正确答案为D。
知识模块:线性代数2.设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2),f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )A.2y12-y22+y32。
B.2y12+y22-y32。
C.2y12-y22-y32。
D.2y12+y22+y32。
正确答案:A解析:方法一:由题设可知f=XTAx—YT(PTAP)=2y12+y22-y32。
且所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12-y22+y32。
答案选A。
方法二:由题意可知,二次型f(x1,x2,x3)的矩阵A的特征值为2,1,一1,对应的特征向量分别为e1,e2,e3。
由特征向量的性质可知,e1,e2,-e3仍然分别是属于特征值2,1,一1的特征向量,同时e1,e2,-e3仍为单位正交向量组,故QTaQ=diag{2,一1,1}。
所以二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y12-y22-y32。
故选A。
知识模块:线性代数3.设矩阵A=,则A与B( )A.合同,且相似。
B.合同,但不相似。
C.不合同,但相似。
D.既不合同,也不相似。
正确答案:B解析:方法一:由|λE一A|=0得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1.从而A与B不相似。
又r(A)=r(B)=2,且A,B有相同的正惯性指数,因此A与B合同。
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2013年考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )(A ))()(32x o x o x =⋅ (B ))()()(32x o x o x o =(C ))()()(222x o x o x o =+ (D ))()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选(D ).2.函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x ex xx xln ~11ln -=-,1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点.21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点.故应该选(C ).3.设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(,则( )(A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ,应该选(B ). 4.设{}n a 为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A )若1+>n n a a ,则∑∞=--11)1(n n n a 收敛;(B )若∑∞=--11)1(n n n a 收敛,则1+>n n a a ;(C )若∑∞=1n na收敛.则存在常数1>P ,使n pn a n ∞→lim 存在;(D )若存在常数1>P ,使n pn a n ∞→lim 存在,则∑∞=1n na收敛.【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D )正确,故应选(D).此小题的(A )(B )选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A ),但少一条件0lim =∞→n n a ,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,选项(B )也不正确,反例自己去构造.5.设A,B,C均为n 阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价. (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价. (D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价.【详解】把矩阵A ,C 列分块如下:()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==,由于AB=C,则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ,得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.同时由于B 可逆,即1-=CB A ,同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示,所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.应该选(B ).6.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是 (A )2,0==b a (B )0=a ,b 为任意常数(C )0,2==b a (D )2=a ,b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵,所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-,即0=a ,b 为任意常数,故选择(B ).7.设321,,X X X 是随机变量,且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ,{}22≤≤-=i i X P P ,则(A )321P P P >> (B )312P P P >> (C )123P P P >> (D )231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ,则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ,{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ,{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ,=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+.故选择(A ).则{}==+2Y X P ( ) (A )121 (B )81 (C )61 (D )21【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ,故选择(C ).二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)9.设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线,则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n .【详解】由条件可知()1)1(',01==f f .所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10.设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定,则=∂∂)2,1(|xz. 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,,则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ,当2,1==y x 时,0=z ,所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz. 11.=+⎰∞+x d x x12)1(ln . 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12.微分方程041=+'-''y y y 的通解为. 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr,两个特征根分别为2121==λλ,所以方程通解为221)(xe x C C y +=,其中21,C C 为任意常数.13.设()ij a A =是三阶非零矩阵,A 为其行列式,ij A 为元素ij a 的代数余子式,且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ,则A =.【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ,其中*A 为A 的伴随矩阵,从而可知A AA A T -===-13**,所以A 可能为1-或0.但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知,0*=+TA A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3,所以.1-=A14.设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ,则()=XXeE 2. 【详解】()=X Xe E 2dx ex edx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π. 所以为22e .三、解答题15.(本题满分10分)当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小,求常数n a ,.【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式. 【详解】当→x 时,)(211cos 22x o x x +-=,)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=,)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=,所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-,由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小,所以2,7==n a . 16.(本题满分10分)设D 是由曲线3x y =,直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形,y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积,若y x V V =10,求a 的值. 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰;πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰;由条件y x V V =10,知77=a . 17.(本题满分10分)设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成,求⎰⎰Ddxdy x 2. 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x . 18.(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,100060QP -=(P 是单价,单位:元,Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该的边际利润.(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义. (3)使得利润最大的定价P . 【详解】(1)设利润为y ,则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y , 边际利润为.50040'Q y -= (2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.经济意义为:当P=50时,销量每增加一个,利润增加20. (3)令0'=y ,得.40100002000060,20000=-==P Q19.(本题满分10分)设函数()x f 在),0[+∞上可导,()00=f ,且2)(lim =+∞→x f x ,证明(1)存在0>a ,使得();1=a f(2)对(1)中的a ,存在),0(a ∈ξ,使得af 1)('=ξ.【详解】证明(1)由于2)(lim =+∞→x f x ,所以存在0>X ,当X x >时,有25)(23<<x f , 又由于()x f 在),0[+∞上连续,且()00=f ,由介值定理,存在0>a ,使得();1=a f (2)函数()x f 在],0[a 上可导,由拉格朗日中值定理, 存在),0(a ∈ξ,使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ.20.(本题满分11分) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B a A 110,011,问当b a ,为何值时,存在矩阵C ,使得B CA AC =-,并求出所有矩阵C .【详解】显然由B CA AC =-可知,如果C 存在,则必须是2阶的方阵.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C , 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132, 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110,要使C 存在,此线性方程组必须有解,于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|, 所以,当0,1=-=b a 时,线性方程组有解,即存在矩阵C ,使得B CA AC =-.此时,()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A , 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ,也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ,其中21,C C 为任意常数.21.(本题满分11分) 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=.记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα.(1)证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2;(2)若βα,正交且为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +.【详解】证明:(1)()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T T TTββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2.证明(2)设=A TTββαα+2,由于0,1==αβαT则()ααββαααββααα2222=+=+=T TTA ,所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量;()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ,所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量;而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T Tr r r A r ββααββαα,所以03=λ也是矩阵的一个特征值.故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +.22.(本题满分11分)设()Y X ,是二维随机变量,X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ,在给定)10(<<=x x X 的条件下,Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY . (1)求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,; (2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y .【详解】(1)()Y X ,的联合概率密度()y x f ,:()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY(2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y :⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ,其中θ为为未知参数且大于零,n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本.(1)求θ的矩估计量; (2)求θ的极大似然估计量.【详解】(1)先求出总体的数学期望E (X )θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ,令∑===n n i X n X X E 11)(,得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ.(2)当),2,1(0n i x i =>时,似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏∏n i i ix n i i nni xi e x e x L 11312132)(θθθθθ,取对数,∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ, 令0)(ln =θθd L d ,得0121=-∑=n i ix n θ,解得的极大似然估计量为.(此文档部分内容来源于网络,如有侵权请告知删除,文档可自行编辑修改内容,供参考,感谢您的配合和支持)。