《中国数学史》PPT课件

400多年左右（战国时期）进入封建社会，以后有几段太平盛世，形成超稳定 社会结构。生产力发展较快，数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与 古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝时期数学可与古希腊媲美，中 世纪宋元时期则发展为一枝独秀。
凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十 相望，万百相当。满六以上，五在上方，六十积算， 五不单张。
亚历山大后期数学 中世纪的中国数学
数本2003级
• 教学目标:
•
了解亚历山大后期数学及《九章算术》《周髀算经》数学内容,理解刘
徽、祖冲之及祖恒重要数学成就的数学思想和方法，掌握刘徽及祖恒获得球
体积公式的“牟合方盖”模型构造及过程，熟练掌握《九章算术》中的重要
数学成就和“出入相补”原理及其运用。
• 教学重点：《九章算术》及刘徽、祖氏父子数学成就
HC
G
Ⅰ’ Ⅱ’
Ⅰ
Ⅱ
A
B
EDF
邪田术曰：并两邪以半者,以乘正从者广 刘徽注：并而半之者,以盈补虚也
如图,求直角梯形的面积
圆田术曰：半周乘半径者也
刘徽注：割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不可割，则与圆合体而无所失也
• 见P79
2、分数理论
实如法而一，不满法者，以法命之 约分术曰：可半者半之，不可半者，由量
• （七）盈不足章：讲用过剩（盈）与不足近似值逐步 逼近求解方程的根，称为“盈不足术”，又称试位法 或双设法。中世纪传入欧洲后称为“契丹算法”，现 称弦位法。
• （八）方程章：讲线性方程组的消元法，同时还引进 了负数，两者长期在世界上是首屈一指的。
• （九）句股章：即勾股，讨论用勾股定理解应用问题。
• （一）方田章 讲平面图形的面积和边界的计算，还涉及分
数及其算法。
1、面积计算
方田术曰：广从步数相乘得积步 （“广”即“长”，“从”即 “宽”）
圭田术曰：半广以乘正从 刘徽注：半广者，以盈补虚得圭田也
• 如图，CD为高，取AD、BD中点E、F， 则面积Ⅰ﹦Ⅰ′，Ⅱ﹦Ⅱ′
•
注:证明可推广到一般三角形
• 90°的弦
• AB=84 51’10’’
O
B
E为CO中点，BE=EF
FO、BF分别为圆内接正十、五边形的一边
B
EB2=BO2+EO2=602+302=4500
EB=67 4’55’‘
A
F
OE
C
36°的弦FO=EF-EO=EB-EO=37 4’55‘’
72°的弦BF=70 32‘3’‘
3、补弧定理
2个小渐堵 2个小鳖
阳马
鳖
大渐堵
1个长方体 2个小渐堵
2个小渐堵
1个长方体体积+4个小渐堵体积=3/4大渐堵的体积 2个小阳马+2个小鳖= 1/4大渐堵的体积
1个长方体 2个小渐堵
2个小渐堵
体积记为Y1’
体积记为B1’
1个长方体体积+4个小渐堵体积=3/4大渐堵的体积 2个小阳马+2个小鳖= 1/4大渐堵的体积
创立了三角学，并列出了从1/2度到1800每隔半度的 圆心角所对的弦的长度，相当于00到900的正弦表。在 《大成》中提出了地心说，后被中世纪基督教尊为教 条，文艺复兴时期被哥白尼日心说取代。
• （一）三角术的创立
•
为建立定量天文学，以便用来预报天体运行的路
线、位置，帮助报时、计算日历和航海，古希腊人创立了
• 主要代表作《算术》，以解不定方程而著 称。创用了一套缩写符号。
• 著名问题：将一个已知的平方数分为两个 平方数。（引出了费马大定理：xn+yn=zn 没有正整数解）
重要贡献：创用一套缩写符号，使用
了特殊的记号表示未知数 。
K r rM 0
表示方程 x3－5x2+8x －1=0 不足：解题方法上缺乏一般性。
结论：∠ADC和∠ ADB所对弦已知，差 角∠ BDC所对弦可求，即两角差的三 角函数公式
6、托还求出相当于今天的半角、倍角及求 和公式，根据这些定理制作出了弦表。
• 丢番图（公元246——330年），代数学的 鼻祖。
• 墓志铭：童年占一生的1/6，此后过了一生 的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚， 婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲的一半 的年龄，孩子死后4年父亲也去世，问丢番 图活了多少岁？
• Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1 • 设原渐堵体积为1
• 则Un= 2nYn + 2n Bn=2n-1×2(Yn+Bn)
•
= 2 n-1 ×(1/4) ×(1/8) n-1 =1/4n
Y：0 B= Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1
阳马 鳖
• 关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决， 而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索，终于找到了一条 途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆 亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为 π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比， 也是π∶4。
分母之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之。 齐同术
刘徽注：凡母互乘谓之齐，群母相乘谓 之同，母同则子通
（二）粟米章 讲各种谷物之间的换算，主要用 “今有术”，即按今有数据比例进行计算。
率：交换中等价物的数量 粟米之法：粟米五十，粝米三十，橰米二十 七…… 率即一组相关变量x1,……xn；x1’……xn’ 成立线性关系：xi’=kxi 则称每一个xi为一个率 今有术：所求数＝（所有数×所求率）/所有 率
一门全新的学科——三角术。
• 三角术主要由希帕克斯、梅内劳斯和托勒玫（天文学家） 建立。其中希帕克斯作了奠基性工作，梅内劳斯给予发展，
托勒玫进行完善、总结并将成果收集在《大成》中。
• （二）弦表的制作
•
在三角术的建立过程中，古希腊人获得了包括今
天我们知道的相当于两角和、差的三角公式、半角与倍角
等公式。此外，还制成30°～180°每隔0.5度的圆心角所
接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算 π值，是数学上的一个重要任务。
公元前三世纪希腊数学家阿基米得曾提出圆周长于内接圆内多边形而小 于圆外切多边形周长，算出了的数值。但阿基米得是用的归谬法，他避开了无穷 小和极限，而刘徽应用了极限的概念，且只用圆内接正多边形的面积计算，而省 去了计算圆外切正多边形的面积，从而收到了事半功倍之效。
四、刘徽的主要数学成就
• 三国以前，我国数学要籍，首推 《九章算术》。刘徽在数学上的贡 献，主要在其《九章算术注》一书。 《隋书》卷16《律历上》载：“魏 陈留王景元四年刘徽注《九章》”。 是知《九章算术注》完成于景元四 年（263年）。《隋书》卷34《经籍 志三》有《九章算术》十卷、《九 章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。
五、祖冲之与祖暅
祖冲之，字文远（公元429—500 年）。 祖冲之的主要成就在数学、天文 历法和机械制造三个领域。此外 祖冲之精通音律，擅长下棋，还 写有小说《述异记》。祖冲之著 述很多，但大多都已失传。研究 过《易经》、《老子》、《庄子》 等书。祖冲之是一位少有的博学 多才的人物。
2、分数运算
3、勾股定理
特例（西周初公元前１１世纪）：32+42=52
• 一般形式（公元前6～7世纪）：勾2+股2=弦2
• 最早的证明
•
公元３世纪赵爽（三国时期）在注《周髀算经》时作“弦图”证明，运用
了“出入相补原理”（割补法）进行证明
三、 《九章算术》
• 《九章算术》——集中了过去和当时的几乎全部数学 知识，以应用问题解法集成的题例编成，成书于公元 前1世纪前，是先秦至西汉中叶期间编篡。共246个问 题，分九章。
• 教学难点：球体积公式的证明
一、 亚历山大后期和希腊数学的衰落
• 主要代表人物：海伦、托勒玫、丢番图、帕波斯 • 海伦（公元前1世纪——公元1世纪），代表作《量
度》，发现三角形面积公式 S=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
其中a，b，c为三边，s=(a+b+c)/2 • 托勒玫（约100—170年），代表作《天文学大成》，
• （二）《周髀算经》——中国古代数学著作中最早的一部。以盖天说为中心 的天文学著作，有许多数学知识。如以文字叙述了勾股算法，还有许多属于 分数乘、除法的实际问题，演算水平相当高。
1、盖天说
• 西汉时期关于宇宙结构的学说。
给出四分历法（用润月调节四时气候的阴历 历法），一个回归年为365又1/4天。
对弦的长度表（相当于正弦函数表），其制作过程和原理
介绍如下：
1、问题
• 已知弧AB所对圆心角2
• 求弦AB
A
O
C
B
由今天的知识知AC／AO﹦sin 当时，托勒玫将圆周分为360份，直径分为120份， ∴ sin ﹦AC／AO﹦(1/2)AB／60﹦1/120（2 所对弦）
2、计算特殊角的弦A
后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内 有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其 中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。刘徽 这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史 上也有一定的地位。今述其主要贡献如下：
• 刘徽《九章注》和《九章算术》与古希腊的《几何原本》相辉映，各具特色。 • 主要成就： • 1、割圆术：圆周率精确到二位小数即3.14，称为“徽率”， π值是否正确，直
帕波斯（约公元300—350年），数学评注家， 著作《数学汇编》（是希腊数学的安魂曲）
• 其他数学家： • 尼马可修斯（公元100年左右），《算术入门》，数论著作，采用“筛法”