第四章 假设检验(1)

第四章 假设检验
§4.1
关于总体未知分布或对已知分布总体中未知 参数的假设称为统计假设，简称假设；
对样本进行考察，从而决定假设是否成立的 方法称为假设检验，简称检验；
例1:罐装可乐的标准容量是250毫升
生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查.
例2(医疗领域)为了检验某种新疗法是否比传统 疗法更有效，对40名患者进行实验。把病人分 成两组，每组20人，第一组采用新疗法，第二 组采用传统疗法。从治疗结果表中，我们能否 认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康 复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更 好，还是由随机因素引起的？
疗法 新疗法 传统疗法 康复 12 9 未康复 8 11
假设检验中的两类错误 小概率事件不管多小都可能发生，再加上 样本的随机性，它们可能会影响检验结果。 实际情况
决定
拒绝H0 接受H0 以真为假(弃真) 以假为真(取伪)
H0为真 第一类错误 正确
H0不真 正确 第二类错误
P(拒绝H 0 | H 0为真) P(接受H 0 | H 0为假)
2 2 0 2 2 0
2.检验统计量

2
(n 1) S
2

2 0
~ (n 1)
2
2 3. P{12 / 2 (n 1) 2 / 2 ( n 1)} 1
得拒绝域是 (0,
2 1 / 2
(n 1)) ( / 2 (n 1), )
期望已知，关于方差的假设检验
双侧检验：
1.提出假设： H 0 : , H 1 :
2 2 0 2
2 0
2.检验统计量
2
1

2 0 i 1
(X
2
n
i
) ~ ( n)
2 2
3.
P{
2 1 / 2
(n) / 2 (n)} 1
n 16, X 20.8, S 1.617 , 0.05
X 0 20.8 19 T 4.4527 S / n 1.617 / 16
查表得 t0.025 (15) 2.1315 由于
T t0.025 (15)， 应拒绝 H 0
即认为使用新工艺后维C的含量有显著变化. 另外考虑含量是否显著增大, 如何检验？
例6 从某单位一年的发票存根中，随机抽取了 25张，分别记录下它们的金额（单位：元）， 计算出样本均值为81.5，样本标准差为4.2。假 定该单位一年内的发票金额服从正态分布，能 否认为这一年内发票平均金额大于80元？（取 显著性水平α=0.05 ）
解: H 0 : 80 H1 : 80
n 25, X 80.5, S 4.2, 0.05
X 0 81.5 80 T 1.7857 S / n 4.2 / 25
查表得 t0.05 (24) 1.7109 由于 T t0.05 (24) ， 应拒绝 H 0 即可以认为这一年内发票平均金额大于80元.
解:
H 0 : 5 H1 : 5
n 16,
X 4.8, S 0.4, 0.01
X 0 4.8 5 T 2.0 S / n 0.4 / 16
查表得 t0.01 (15) 2.6025 由于 T t0.01 (15) ， 应接受 H 0 即不能认为该校男教师的平均胆固醇水平明 显低于5个单位.
2
得拒绝域是
(0,
2 1 / 2
(n)) ( / 2 (n), )
2
2 4.由样本值计算出 的值 2 5.若 落在拒绝域内,则拒绝H0；否则 接受H0。
左侧检验：
H 0 : , H1 :
2 2 0 2 2 0
拒绝域为 (0, 12 (n)) 右侧检验：
解：H 0 : 72 H1 : 72
X 0 68.6 72 U 2.656 / n 6.4 / 25
查表得
u0.05 1.64
由于 U u0.05 1.64 ，应拒绝 H 0
即可以认为该体院男生的平均脉搏次数明显低 于一般健康成年男子。
例3 长期统计资料表明，某市轻工产品月产值 占工业产品月总产值的百分比服从方差为1.21 的正态分布。以下是随机抽查9个月份的数据 （%）： 30.3 30.1 30.5 29.6 31.6 30.0 31.8 31.0 28.8 能否认为过去该市轻工产品月产值占工业产品 月总产值的百分比平均大于30%？（取显著性 水平α=0.05 ）
得拒绝域是
(, u / 2 ) (u / 2 , )
4.由样本值计算出U的值
5.若U落在拒绝域内,则拒绝H0；否则 接受H0。
例1 可乐容量总体 X ~ N (250, 32 ) (单位:毫升),现 在抽取了4罐，其容量分别为248,246,252,242， 问封装系统是否正常工作？ (取显著性水平 α=0.05 ) 解： H 0 : 250;
左侧检验：
H 0 : 0 H1 : 0
拒绝域为 (, t (n 1)) 右侧检验：
H 0 : 0
H1 : 0
拒绝域为 (t (n 1), )
例5 为考察某大学男教师的胆固醇水平，随机 抽取了16名男教师，测定他们的胆固醇后，计 算出样本均值为4.8，样本标准差为0.4。假定该 校男教师的胆固醇水平服从正态分布，是否可 以认为该校男教师的平均胆固醇水平明显低于5 个单位？（取显著性水平α=0.01 ）
方差未知，关于期望的假设检验
双侧检验：
H 0 : 0 1.提出假设： H1 : 0
~ t (n 1)
2.检验统计量 T 3.
X 0 S/ n
X 0 P{| | t / 2 (n 1)} S n
得拒绝域是 (, t / 2 (n 1)) (t / 2 (n 1), ) 4.由样本值计算出T的值 5.若T落在拒绝域内,则拒绝H0；否则 接受H0。
H1 : 250
X 0 247 250 U 2.00 / n 3/ 4 查表得 u0.025 1.96
由于 U u0.025 1.96 U落在拒绝域内,应拒绝H0；即认为系统不正常。
左侧检验：
H 0 : 0
H1 : 0
拒绝域为 (, u ) 右侧检验：
解:
H 0 : 2 0.048 2 , H 1 : 2 0.048 2
n 5, 1.405, 0.05
(X
i 1
2
n
i
) 0.0315
2
n 2
1 2 ( X i ) 0.0315 13.67 2 0 i 1 0.048
1
查表得
2 2 0 ( 5 ) 12 . 833 , .025 0.975 (5) 0.831
由于 13.67 12.833
2
所以拒绝 H 0 , 即认为这一天生产的维尼 纶纤度的方差不正常.
期望未知，关于方差的假设检验
双侧检验： 1.提出假设： H 0 : , H 1 :
H 0 : 0
H1 : 0
拒绝域为 (u , )
例2 据统计资料，我国健康成年男子每分钟脉 搏次数服从正态分布 N (72, 6.42 ) ，现从某体院 男生中随机抽取了25人，测定他们的每分钟脉 搏次数后，计算出样本均值为68.6，假定该体院 男生的脉搏次数服从正态分布，且标准差不变。 问能否认为该体院男生的平均脉搏次数明显低 于一般健康成年男子？ (取显著性水平α=0.05 )
假设检验的类型
原假设是关于总体参数的，则称之为参数 假设;
检验参数假设的问题，称为参数检验； 原假设是关于总体分布类型的，则称之为 分布假设； 检验分布假设的问题，称之为分布检验, 或称为非参数检验.
假设检验的基本原理 “小概率事件”原理：概率很小的事件在一次 试验中几乎不可能发生。 基本思想：
例4 用传统工艺加工的某种水果罐头中，每瓶 的平均维生素C的含量为19(mg).现改变了加工 工艺，抽查了16瓶，测得维C含量的平均值为 20.8，样本标准差为1.617.假定水果罐头中维C 含量服从正态分布。问使用新工艺后维C的含 量是否有显著变化（显著水平α=0.05 ）？
解: H 0 : 19 H1 : 19
解：H 0 : 30 H1 : 30
n 9, X 30.4, 1.1, 0.05
X 0 30.4 30 U 1.09 / n 1.1 / 9 查表得 u0.05 1.64
由于 U u0.05 ，应接受 H 0
即不能认为过去该市轻工产品月产值占工业 产品月总产值的百分比平均大于30% 。
H 0 : , H1 :
2 2 0 2 2 0
拒绝域为 ( (n), )
2
例7 设维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分 布N(1.405, 0.0482),某日抽取5根纤维，测得其纤 度为：1.32 1.36 1.55 1.44 1.40 问：某天生产的维尼纶纤度的方差是否正常? X ~ N ( , 2 ) ，关于总体参数 , 2
讨论4种假设检验： 1. 方差已知，关于期望的假设检验 2. 方差未知，关于期望的假设检验
3. 期望已知，关于方差的假设检验
4. 期望未知，关于方差的假设检验
方差已知，关于期望的假设检验
双侧检验：
1.提出假设：H 0 : 0 H 1 : 0 X 0 ~ N (0,1) 2.检验统计量 U / n X 0 3. P{| | u / 2 } n
同时减少犯两类错误的概率的唯一办 法是增大样本容量。
假设检验的一般步骤 (1) 根据实际问题需要,提出H0与H1 ; (2) 选择统计量W,要求在H0为真时, W的 分布已知; (3) 选取显著性水平α,查表确定对应α 的临界值，从而得到检验拒绝域w; (4) 利用样本观测值代入W,计算出W的值； (5) 若W落在拒绝域内,得出拒绝H0的结论； 若W落在拒绝域外,得出接受H0的结论。
例3 从某校2013年550名应届毕业生的高考成绩 中随机抽取了50个，问能否根据这50个成绩判 断该校在2013年高考成绩服从正态分布？
例4 从福州市和厦门市2013年售出的房屋中各 随机抽取200套，根据每套的单价（元/平方 米），能否判断这两个城市在2013年的房价持 平？
以上实际例子的解决都需要我们根据问 题本身提出假设，然后根据样本的信息对假 设进行检验，最后作出“是”与“否”的判 断。 定义： 检验是否为真的假设称为原假设/零假设, 用 H0表示 与H0对立的假设称为备择假设， 用 H1表示
提出 H0→ 在 H0 成立时构造统计量 W 和小概率事 件A→进行1次试验或抽样→若A发生→拒绝H0 ↓ 若A没发生→接受H0
为了描述一个小概率事件，需预先指定一个 很小的数α ，一般地， 取α=0.05或0.01，并 把α称为检验的显著性水平。
对于指定的显著性水平α ，在一定的统计思 想下，构造一个区域w （一般是一个区间或 两个区间的并集），使得如果由样本观测值 计算出统计量W的值落在w内，则意味着小 概率事件A发生了。称w为检验拒绝域。
2
2 4.由样本值计算出 的值 2 5.若 落在拒绝域内,则拒绝H0；否则 接受H0。
左侧检验：
2 2 H0 : 2 0 , H1 : 2 0
拒绝域为 (0, 12 (n 1)) 右侧检验：
2 2 H0 : 2 0 , H1 : 2 0