第三章 图像信号的正交变换.
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数字图像处理正交变换
正变换: F (u, v) f (x, y) exp j2 (ux vy)dxdy
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-6讲)
1
(t) 4
e j0t
02 e 2
t2
e2
其Fourier变换为：
1
( 0 )2
02
2
() 4 e 2 e 2 e 2
(3—237) (3-238)
由上式可以看出它满足容许条件，即： 0 时 (0) 0 。如果直接求取容许条件，可作如 下运算：
(t)dt
线性函数空间 L2 (a,b)
b
x, y a x(t) y(t)dt
x, y L2 (a,b)
内积空间中的范数为：
1
x
x,
x
1
2
xn
2 2
n1
（3—249） （3—250）
e • 在Fourier变换中，基函数是 jt ，理论
上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都 是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至 是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特 性。
数字图像处理学
第3章 图像处理中的正交变换
（第六讲）
3. 6 小波变换
3. 几种典型的一维小波
小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均 可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的 小波以供参考。
（1） Haar小波
1
H (t) 1
0
0t 1 2
1 t 1 2 其他
(3—232)
该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时 可得到：
2. 正交小波变换
连续小波可以刻划函数f(t)的性质和变化过程， 用离散小波也可以刻划 f(t)。按调和分析方法， 把 f(t)写成级数展开形式，这就构成了n 维空间中 函数逼近问题。
在数学中，“空间”是用公理确定了元素之间的 关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离 的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范 空间等，在离散小波变换中赋范空间和内积空间的 概念是很重要的。
图像的正交变换
图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。
信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。
求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。
一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。
根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。
二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。
连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
第3章 图像处理中的正交变换
3. 周期性 傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (3-24)
周期性表明： 尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现， 但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v） 得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将 F(u,v）完全确定。 对于f(x,y)在空间域里也同样成立。
1 M 1N 1 ux vy f ( x, y ) = ∑ F (u, v) exp j 2 M + N ∑ MN u=0 =0 x = 0,1,2,, M 1 y = 0,1,2,, N 1
(3—15)
在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是 M N 。因此，二维离散傅里叶变换多采 用下面两式形式。
(3—17) 式中符号 F (u , v) 可称为空间频率。
a) 原始图像
b) 离散傅立叶频谱
图3-5 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
在图3-5b中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集 中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样 就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。
4. 共轭对称性
如果
F (u , v)
是
f ( x , y ) 的傅里叶变换， * (u,v) F
是 f ( x , y ) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F (u, v) F * (u,v)
（3－25）
5. 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在 变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度， 即
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.可分离性 式（3－16）和（3－17）可以分离成如下形式：
数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-4讲)
3.5.1 斜矩阵的构成 3.5.2 斜 变 换
3.5.1 斜矩阵的构成
斜向量是一个在其范围内呈均匀阶梯下降的 离散锯齿波形。N =4，阶梯高度为2的斜向量 如图3—19所示。
3 2 1 0 -1 -2 -3
图3—19 N=4,阶梯为2的斜向量
如果用S(n)来表示N×N斜矩阵，设N=2n
n为正整数，则
[
Har 2
p
]1
H
a
(2)
F (N 1)
H a (N 1)
(3—180)
式中
[
Har 2
p
]1
是
[
Har 2
p
]
的逆矩阵。由于哈尔矩
阵不是对称矩阵，因此
[
Har 2
p
]1
不等于[Har 2
p
]，
所以哈尔正变换与逆变换是不相同的。
仿照沃尔什变换，利用矩阵因子分解之方法也可以得 到快速哈尔变换。一般说来，快速哈尔变换的流程图 并不是蝶形的，但是，我们可以用重新排序的方法构 成哈尔变换的蝶式运算流程图。具体作法如下：
3.4.1 哈尔函数的定义
哈尔函数是完备的、归一化的正交函数。在[0,1] 区间内，har(0,t) 为1， har(1,t) 在左半个区间内 取值为1，在右半个区间内取值为-1。它的其他函 数取0值和±1乘以 2 的幂，即取± 2 ， ±2， 2 2 ，±4等。具体定义如下。
har(0,t) 1 0 t 1
1 har(1,t) 1
0t 1 2
1 t 1 2
2
har(2, t) 2
0
0
har(3,
t)
2
2
0 t 1
数字图像处理 第三讲 正交变换
正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为：
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N
x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m，n为整数时， j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为：
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有：
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)
第三章 图像信号的正交变换
j 2f
d ]e
j 2fx
即： g ( x) Q( f )df [ g ( )e j 2f d ]e j 2f df
如果令： G( f )
上两式叫做傅立叶变换对。由g(x)得到G(f)的公式叫做 傅 立 叶 变 换 ， G(f) 称 为 原 函 数 g(x) 的 频 谱 函 数 。 记 作 F(f)=F{g(x)}。求原函数的公式叫做傅立叶逆变换，记作
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。 2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
简介
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
一、傅立叶级数 二、傅立叶变换
一、傅立叶级数 1、定义
周期为2π 周期为2π的函数g(θ)，若在一个周期内只有有限个极值
a n jbn 2 2 cos n x j sin n x 2 T T C0 a n jbn 2 2 n 1 cos n x j sin n x 2 T T
dxdyvyuxdxdyvyuxdxdyvyux一傅立叶级数一傅立叶级数11定义定义22举例举例33指数形式指数形式二傅立叶变换二傅立叶变换11导出导出22广义傅氏变广义傅氏变换换33基本性质基本性质dxdyvyuxdxdvyuxdyvydxux一傅立叶级数一傅立叶级数11定义定义22举例举例33指数形式指数形式二傅立叶变换二傅立叶变换11导出导出22广义傅氏变广义傅氏变换换3基本性质基本性质44举例举例vyux一傅立叶级数一傅立叶级数11定义定义22举例举例33指数形式指数形式二傅立叶变换二傅立叶变换11导出导出22广义傅氏变广义傅氏变换换3基本性质基本性质44举例举例函数的变换函数的傅立叶变换为
图像的正交变换.
•
•
}
•
::FFT(fRData,fIData,fftWidth,-1);
•
for(j=0;j<fftWidth;j++)
•
{
•
ptrRData[j+i*fftWidth]=fRData[j];
•
ptrIData[j+i*fftWidth]=fIData[j];
•
}
•
}
• //转置 列 FFT
•
for(i=0;i<fftWidth;i++){
从实际操作来说，图像变换就是对原图像函数 寻找一个合适的变换核的数学问题。
• 数字图像处理的方法主要有两类：空间域处理 法和频域法。
• 空域法指对直接像素点及其值进行处理。
• 频域法是指先将图像变换到频域，再进行滤波 等处理，然后再经逆变换回到空间域，得到处 理后的图像。
• 图像正交变换用于图像特征提取、图像增强、 图像复原、图像压缩和图像识别等。
f (x, y) F (u.v)
正变换
F (u, v)
1 MN
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2 ( ux
M
vy N
)
u 0,1, 2, , M 1
v 0,1, 2, , N 1
反变换
f
(x,
y)
e N
W WW441000
W401 W411
W402 W412
W403 W413
1 1
1 j
1 1
图像信号的正交变换
定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。
第3章 图像处理中的正交变换
f
(u,
y) e xp[j2ux
N
]
其中f
(u,
y)
N
1 N
N1F(u,v)e xp[j2vy
v0
N],
y
0,1,2,,
N
1
由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。
8．旋转性质
对 f(x 于 ,y )旋0 的 转傅F 里 (u ,v)也 叶旋 变 0 . 转
其傅里叶变换为：（DFT ）
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)
f ( x, y)e
MN
x0 y0
逆变换为：（IDFT ）
f ( x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v )e M N
MN u0 v 0
在图像处理中,一般选择方阵,即取M=N
( t 2 j 2 st )
e
dt
( jS ) 2 S 2 F ( S ) e s 2 e ( t js ) 2 dt
进行变量替换：设 u t jS , du dt
则 F ( S ) e s 2 e u 2 du
由于高斯积分
e u 2 du 1
F (u) R(u) jI(u) 或 F (u) F (u) e j(u) ,
其 中 ，F (u)
R2(u) I 2(u),
(u)
arctg
I (u) R(u)
那 么 ，F (u) 被 称 为f (t )的 （ 傅 里 叶 ） 幅 度 谱 ；
(u)被 称 为 （ 傅 里 叶 ） 相谱 位；
二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
第3章 图像信号的正交变换1
he(k) ←→ Re(n) ho(k) ←→ jIo(n)
H(k)=he(k)+ho(k) Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k) x(k)*h(k) ←→ X(n)H(n) x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k) x(k)h(k) ←→ 1/N•X(n)*H(n)
|H(n)|2
数字图像处理
傅立叶性质小结：
图像的正交变换
1、傅立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间） 域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一 对应。
2、傅立叶变换保持奇偶性。
3、函数和的傅立叶变换等于它们分别变换再求和 （加法定理）。
4、平移函数的原点将在傅立叶谱中引入一个相位 移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部 的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。
18
数字图像处理
注意观察对应关系
图像的正交变换
19
数字图像处理
(3) 二维DFT的实现
图像的正交变换
0
N-1 y
行变换 0
N-1 v
0
列变换
N-1 v
N-1 f(x,y)
N-1 F(x,v)
N-1 F(u,v)
x
x
u
20
数字图像处理
图像的正交变换
(3) 二维DFT的实现
转置 f(x,y) F列［f(x,y)］=F(u,y) －F(u,y)Ｔ
Gu
1
1 (N 1) 2
j2 ux
g(x)e 2N
2N x 1 (N 1) 2
1 2N x
1
2
j ux
g(x)e N
1 (N 1) 2
1
1 (N 1) 2
j ux
H(k)=he(k)+ho(k) Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k) x(k)*h(k) ←→ X(n)H(n) x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k) x(k)h(k) ←→ 1/N•X(n)*H(n)
|H(n)|2
数字图像处理
傅立叶性质小结：
图像的正交变换
1、傅立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间） 域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一 对应。
2、傅立叶变换保持奇偶性。
3、函数和的傅立叶变换等于它们分别变换再求和 （加法定理）。
4、平移函数的原点将在傅立叶谱中引入一个相位 移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部 的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。
18
数字图像处理
注意观察对应关系
图像的正交变换
19
数字图像处理
(3) 二维DFT的实现
图像的正交变换
0
N-1 y
行变换 0
N-1 v
0
列变换
N-1 v
N-1 f(x,y)
N-1 F(x,v)
N-1 F(u,v)
x
x
u
20
数字图像处理
图像的正交变换
(3) 二维DFT的实现
转置 f(x,y) F列［f(x,y)］=F(u,y) －F(u,y)Ｔ
Gu
1
1 (N 1) 2
j2 ux
g(x)e 2N
2N x 1 (N 1) 2
1 2N x
1
2
j ux
g(x)e N
1 (N 1) 2
1
1 (N 1) 2
j ux
第3章 正交变换(08) 数字图像处理课件_820
相位谱
E (u ) |F (u )|2 R 2 (u ) I2 (u ) 能量谱或功率谱
第3章 图像信号的正交变换
2. 二维DFT
很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离 散傅立叶变换对定义为
M1N1
j2(uxv y)
F[f(x,y)]F(u,v)
f(x,y)e M N
x0 y0
F1[F(u,v)]f(x,y)
第3章 图像信号的正交变换
3.4.1 一维离散余弦变换
一维DCT定义如下：
F(u)C (u) 2N1f(x)co(2sx1)u
Nx0
2N
一维DCT的变换核定义为
g(x,u)C(u) 2co(2sx1)u
N 2N
1
C(u)
2
u0
1
其他
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1。
第3章 图像信号的正交变换
(3-2)
完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。
第3章 图像信号的正交变换
3.2 离散傅 立 叶 变 换
3.2.1 当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。
则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。 在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。
第3章 图像信号的正交变换
通常傅立叶变换为复数形式， F (u )R (u )j( Iu )
式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。也可表 示成指数形式：
F(u)=|F(u) |ejφ(u)
其中
| F(u) | R2(u) I 2(u)
频谱或幅度谱
(u) arctan I (u)
第3章 图像处理中的正交变换
6
第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
12
第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
A A AA I
T T
10
第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
11
第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
12
第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
A A AA I
T T
10
第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
11
第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
第3章A图像处理中的正交变换1
F (n) e jn0 e jxdx F (n) e j(n0 )dx
n
n
2 F (n) ( n0 ) n
图3-3 周期函数的傅里叶谱
第3章 图像处理中的正交变换
傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y) 满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维付里叶变换 对存在：
相位谱 (u, v) arctg I (u, v)
R(u, v)
能量谱 E(u,v) R2 (u,v) I 2 (u, v)
第3章 图像处理中的正交变换
3.1.2 傅里叶变换的性质
傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算 处理提供了极大的便利。这里，仅就二维傅里叶变 换为例列出其主要的几个性质。
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy (3-9)
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv (3-10)
第3章 图像处理中的正交变换
幅度谱 F(u,v) R2 (u,v) I 2 (u,v)
f (ax,by) 1 F u , v ab a b
第3章 图像处理中的正交变换
(6) 帕斯维尔（Parseval）定理 这个性质也可称为能量保持定理。如果 F(u,v) 是
f (x, y) 的傅里叶变换，那么有下式成立
f (x, y) 2 dxdy F (u, v) 2 dudv
第3章 图像处理中的正交变换
第3章 图像处理中的正交变换
（第一讲）
第3章 图像处理中的正交变换
数字图像处理的方法主要分为两大类： 空间域处理法(或称空域法)， 频域法(或称变换域法)。
实验图像的正交变换
实验三图像的正交变换一、实验目的1.了解傅立叶变换、离散余弦变换及其在图像处理中的应用2.了解Matlab线性滤波器的设计方法二、实验步骤1、打开MATLAB软件，设置工作路径，新建M文件。
2、将图片放到当前工作路径下3、写入图像正交变换（包括傅里叶变换、离散余弦变换）程序保存并调试运行。
程序具体要求：（1）傅立叶变换A) 绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
B) 利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。
读入图像‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
( 2 ) 离散余弦变换(DCT)A)使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。
B)将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原图像比较。
4、保存实验结果并完善实验报告。
三、实验程序1、傅立叶变换A)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
f=zeros(30,30);f(5:24,13:17)=1;imshow(f,'notruesize')F=fft2(f);F2=log(abs(F));figure,imshow(F2,[-1 5],'notruesize');colormap(jet);F=fft2(f,256,256); %零填充为256×256矩阵figure,imshow(log(abs(F)),[-1 5],'notruesize');colormap(jet);F2=fftshift(F); %将图像频谱中心由矩阵原点移至矩阵中心figure,imshow(log(abs(F2)),[-1 5],'notruesize');colormap(jet);B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。
读入图像‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
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• 一、连续周期函数的傅立叶级数
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。
述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
f (t) cos(2f0t)
F (s)
1 [ (s
2
f0) (s
f0 )]
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
N 1
F (u)
f (k )e j 2uk / N
k 0
N 1
f (k )
F (u )e j 2uk / N
u 0
改写为：
P(u) f (x, y)e j2 (ux0 y)dxdy F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
N 1
yi ti, j x j j0
Y TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
第三章 图像信号的正交变换
空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。
• 3.1 线性系统理论
通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。
一、定义
系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。
Fe (s) fe (t) cos(2st )dt
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则：
• 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
2、加法定理
X T 1Y
• 来得到。
• 如：
Fk
1 N
N 1 i0
fi exp( j2ki / N )
可改写为：
F Wf, 其中
• 正w变i,k换通常1看N作e是xp一(个分j2解过ki程/：N将) 信号分解成它的各个基元分
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。
其中u, k 0,1,..., N -1
• 三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系
1、冲激函数及其性质
定义：
(x)dx 1
性质： 尺度变换：
筛选性质：
(at) 1 (t)
a
(t
t0 )x(t)dt
x(t0
)
与普通函数的卷积
(t) f (t) f (t)
• 2、采样和插值
1 N
N 1 N 1
j 2 (vy ) j 2 ux
F (u, v)e N e N
u 0 v0
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) f (x, y)dy,其傅氏变傅氏
P(u) f (x, y)dye j2uxdx
• 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
F (u, v) f (x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
f (x, y)e M N
MN x0 y0
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)e M N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MN u0 v0
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
F (u, v)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
• 5、相似性定理
{ f (at)} 1 F( s ) aa
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
f (t) 2 dt F(s) 2 ds
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。
2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) fe (t) fo (t)
利用欧拉公式， 可得
F (s) Fe (s) jF0 (s)
其中， Fo (s)
fo (t) sin( 2st )dt
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。
述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
f (t) cos(2f0t)
F (s)
1 [ (s
2
f0) (s
f0 )]
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
N 1
F (u)
f (k )e j 2uk / N
k 0
N 1
f (k )
F (u )e j 2uk / N
u 0
改写为：
P(u) f (x, y)e j2 (ux0 y)dxdy F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
N 1
yi ti, j x j j0
Y TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
第三章 图像信号的正交变换
空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。
• 3.1 线性系统理论
通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。
一、定义
系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。
Fe (s) fe (t) cos(2st )dt
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则：
• 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
2、加法定理
X T 1Y
• 来得到。
• 如：
Fk
1 N
N 1 i0
fi exp( j2ki / N )
可改写为：
F Wf, 其中
• 正w变i,k换通常1看N作e是xp一(个分j2解过ki程/：N将) 信号分解成它的各个基元分
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。
其中u, k 0,1,..., N -1
• 三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系
1、冲激函数及其性质
定义：
(x)dx 1
性质： 尺度变换：
筛选性质：
(at) 1 (t)
a
(t
t0 )x(t)dt
x(t0
)
与普通函数的卷积
(t) f (t) f (t)
• 2、采样和插值
1 N
N 1 N 1
j 2 (vy ) j 2 ux
F (u, v)e N e N
u 0 v0
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) f (x, y)dy,其傅氏变傅氏
P(u) f (x, y)dye j2uxdx
• 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
F (u, v) f (x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
f (x, y)e M N
MN x0 y0
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)e M N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MN u0 v0
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
F (u, v)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
• 5、相似性定理
{ f (at)} 1 F( s ) aa
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
f (t) 2 dt F(s) 2 ds
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。
2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) fe (t) fo (t)
利用欧拉公式， 可得
F (s) Fe (s) jF0 (s)
其中， Fo (s)
fo (t) sin( 2st )dt