第三章 图像信号的正交变换.
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• 一、连续周期函数的傅立叶级数
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
改写为：
P(u) f (x, y)e j2 (ux0 y)dxdy F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
N 1
yi ti, j x j j0
Y TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
其中u, k 0,1,..., N -1
• 三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系
1、冲激函数及其性质
定义：
(x)dx 1
性质： 尺度变换：
筛选性质：
(at) 1 (t)
a
(t
t0 )x(t)dt
x(t0
)
与普通函数的卷积
(t) f (t) f (t)
• 2、采样和插值
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。
2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
f (t) cos(2f0t)
F (s)
1 [ (s
2
f0) (s
f0 )]
wk.baidu.com
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
N 1
F (u)
f (k )e j 2uk / N
k 0
N 1
f (k )
F (u )e j 2uk / N
u 0
Fe (s) fe (t) cos(2st )dt
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则：
• 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
2、加法定理
1 N
N 1 N 1
j 2 (vy ) j 2 ux
F (u, v)e N e N
u 0 v0
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) f (x, y)dy,其傅氏变傅氏
P(u) f (x, y)dye j2uxdx
F (u, v) f (x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
f (x, y)e M N
MN x0 y0
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)e M N
MN u0 v0
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
F (u, v)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
X T 1Y
• 来得到。
• 如：
Fk
1 N
N 1 i0
fi exp( j2ki / N )
可改写为：
F Wf, 其中
• 正w变i,k换通常1看N作e是xp一(个分j2解过ki程/：N将) 信号分解成它的各个基元分
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。
• 5、相似性定理
{ f (at)} 1 F( s ) aa
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
f (t) 2 dt F(s) 2 ds
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
第三章 图像信号的正交变换
空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。
• 3.1 线性系统理论
通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。
一、定义
系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) fe (t) fo (t)
利用欧拉公式， 可得
F (s) Fe (s) jF0 (s)
其中， Fo (s)
fo (t) sin( 2st )dt
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
改写为：
P(u) f (x, y)e j2 (ux0 y)dxdy F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
N 1
yi ti, j x j j0
Y TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
其中u, k 0,1,..., N -1
• 三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系
1、冲激函数及其性质
定义：
(x)dx 1
性质： 尺度变换：
筛选性质：
(at) 1 (t)
a
(t
t0 )x(t)dt
x(t0
)
与普通函数的卷积
(t) f (t) f (t)
• 2、采样和插值
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。
2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
f (t) cos(2f0t)
F (s)
1 [ (s
2
f0) (s
f0 )]
wk.baidu.com
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
N 1
F (u)
f (k )e j 2uk / N
k 0
N 1
f (k )
F (u )e j 2uk / N
u 0
Fe (s) fe (t) cos(2st )dt
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则：
• 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
2、加法定理
1 N
N 1 N 1
j 2 (vy ) j 2 ux
F (u, v)e N e N
u 0 v0
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) f (x, y)dy,其傅氏变傅氏
P(u) f (x, y)dye j2uxdx
F (u, v) f (x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
f (x, y)e M N
MN x0 y0
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)e M N
MN u0 v0
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
F (u, v)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
X T 1Y
• 来得到。
• 如：
Fk
1 N
N 1 i0
fi exp( j2ki / N )
可改写为：
F Wf, 其中
• 正w变i,k换通常1看N作e是xp一(个分j2解过ki程/：N将) 信号分解成它的各个基元分
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。
• 5、相似性定理
{ f (at)} 1 F( s ) aa
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
f (t) 2 dt F(s) 2 ds
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
第三章 图像信号的正交变换
空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、 图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式 都是线性的。
• 3.1 线性系统理论
通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的 数学基础。
一、定义
系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其 他一切对信号影响的实体。
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) fe (t) fo (t)
利用欧拉公式， 可得
F (s) Fe (s) jF0 (s)
其中， Fo (s)
fo (t) sin( 2st )dt