导数讲义(学生新版)
高中数学全套讲义 选修1-1 导数概念中挡 学生版
目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (4)考点二导数的几何意义 (4)题型3 有关斜率的判断与计算 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2018春•菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值2．（2019春•韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．3．（2018春•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．2f '（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）B ．2f '（4）2f <'（2）f <（4）f -（2）C ．2f '（2）2f <'（4）f <（4）f -（2）D ．f （4）f -（2）2f <'（4）2f <'（2）4．（2017春•东坡区校级月考）函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f <（3）f -（2）B ．0f '<（2）f <（3）f -（2）f '<（3）C ．0f '<（3）f <（3）f -（2）f '<（2）D ．0f <（3）f -（2）f '<（2）f '-（3） 5．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ．题型2 导数的概念6．（2017春•邢台月考）设函数()1sin 2f x x =+，则等于0()(0)lim (x f x f x→- ) A ．2-B ．0C ．3D ．27．（2019•濮阳一模）已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞8．（2018春•商丘期中）已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)lim x f x f x→+-的值为( )A ．e -B ．1C ．eD ．09．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为21()(2s t gt g =为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为( )A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定12．（2018秋•中山市期末）已知曲线y lnx =的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t 秒后的距离为322s t t t =-+，则2t =秒时的瞬时速度为( )A ．8/m sB ．10/m sC ．16/m sD ．18/m s14．（2018•邯郸二模）若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是( ) A ．23(e -，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e-- 15．（2018秋•龙岩期末）已知P 为函数y lnx =图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 ．16．（2019春•襄阳期末）正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．17．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．课后综合巩固练习1．（2017•红桥区模拟）已知函数321()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为 ．2．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．3．（2015秋•徐州期末）若函数()x f x e ax =-在(1,)+∞上单调增，则实数a 的最大值为 ． 4．（2018春•江岸区校级月考）已知一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3s 时的瞬时速度为( )A ．5 /m sB ．6 /m sC ．7 /m sD ．8 /m s5．（2018•咸阳三模）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(0)(1)f f '=' ．6．（2018春•昌吉市期末）如图函数()f x 的图象在点P 处的切线为：25y x =-+，则f （2）f +'（2）= ．7．（2019春•让胡路区校级月考）已知函数()()y f x x R =∈上任一点0(x ，0())f x 处的切线斜率200(3)(1)k x x =-+，则该函数的单调递增区间为 ．8．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．9．（2016春•鹤壁期末）已知点P 在曲线41x y e =+上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ．10．（2016春•安徽校级月考）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m ，底面直径为6m ，水以35/m s π的速度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 ．。
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
数学选修2-2人教A讲义：第一章导数及其应用1.3.2(一)
(0 ，e) ＋ ↗
e 0 极大值
(e，＋ ∞ ) － ↘
因此， x＝ e 是函数的极大值点，极大值为
f(e) ＝1，没有极小值． e
反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程 f′ (x)＝ 0 的根． (3)用方程 f′ (x)＝ 0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由 f′ (x) 在方程 f′ (x)＝ 0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况． 特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 跟踪训练 1 求下列函数的极值点和极值．
1． 3.2 函数的极值与导数 (一 )
学习目标 1.了解函数极值的概念， 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 函数极值的判定及求法 .3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
.2. 掌握
知识点一 函数的极值点和极值 思考 观察函数 y＝ f( x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案 极大值点为 e， g， i，极大值为 f (e)， f( g)， f(i )；极小值点为 d， f，
(－ 1,3)
3
(3 ，＋ ∞ )
f′ (x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可以看出，当 x＝－ 1 时，函数有极大值，且极大值
极小值，且极小值 f(3) ＝－ 6.
(2)函数 f(x) 的定义域为 R.
f′
(
x)
＝
－
2xe
x－
x2e－
x＝
x(2
－
x)e－
x
19寒假讲义导数综合(理科)学生版
7.已知函数 f (x) = xex + ax2 + 2ax(a R) . （Ⅰ）若曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 3x + y = 0 ,求 a 的值;
8.设函数 f (x) = x(k − ln x) ,( k 为常数), g(x) = 1 − 1 f (x) .曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的 xx
切线方程： y − f (x0 ) = f '(x0 )(x − x0 )
Ste p1： 明 确 切点（*）
在点 (x0, f (x0 ))处的切线，
过点 P(m, n)处的切线，
(x0, f (x0 ))是切点
点 P(m, n)不一定是切点
Step2：对原函数求导 f '(x)
Step2：设切点为 (x0, f (x0 ))
a2 的切线.
3.已知函数 f (x) = ex (x2 + ax + a) . （Ⅲ）若曲线 y = f (x) 存在两条互相垂直的切线,求实数 a 的取值范围.（只需直接写出结果）
13
考点二：求函数的单调区间
方法总结：
首先对函数 f (x) 求导得到其导函数 f '(x),然后判断导函数 f '(x)的正负性 若 x (a,b)时 f '(x) 0 则函数 f (x) 在区间 (a,b)上单调递增； 若 x (a,b)时 f '(x) 0 函数则 f (x) 在区间 (a,b)上单调递减. 题型一：求函数的单调区间—— f '(x)有一个零点
1
高考考纲要求：
导数 及其 应用
考试内容
导 数 概念及其
高中物理竞赛讲义2_导数的应用_学生版
第二讲 导数的应用如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉，甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉，请不要害怕，不要彷徨，因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉，和你们是一样一样的。
也不要害怕掌握不熟，对以后学习有什么影响，我们帮你把今后要用的东西给你准备好了：(()())''()'()f x g x f x g x ±=±； (()())''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+； 2()'()()()'()()'()()f x f xg x f x g x g x g x -=；(())''()'()f g x f g g x =； 1()'n n x nx -=；(sin )'cos x x =；(cos )'sin x x =-；1(ln )'x x =；()'x x e e =在本讲讲详细介绍导数的各种应用。
在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。
洛比达法则：这是计算极限的一种常用方法，也可以用来比较小量的阶数.函数求极值：掌握极值和最值的区别，体会能量取极值的意义。
多元函数极值和条件极值：这是导数与实际生活联系最紧密的领域。
不仅物理问题，许多经济学问题，生活问题都可以用这些方法解决。
小量展开：这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。
小量展开体现的一种逐阶展开、通过 抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。
在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关系。
讲义的风格与上将类似，一个类目的纯数学例题尽量只有一个，但复杂的提供自学例题课后复习提高。
第一部分 洛比达法则 知识点睛有时候会遇到0/0型的极限式，即分子分母的极限分别为0，例如2320lim 2x x x x x →++。
当0x →的时候，32x x x <<<<，可见x 的高阶量相对于低阶量可以忽略。
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)讲义
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±f n)′＝□17f1′±f2′±…±f n′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝□18mf′(x)±ng′(x)(m，n为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x)′＝a x·ln a ，当a ＝e 时，e x的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x·log a e ，当a＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( )(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( ) (3)若f (x )＝－1x ，则f ′(x )＝12x x.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝________. (2)(2x)′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________. 答案 (1)－3x4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3探究1 利用导数公式及运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝5x 3；(2)y ＝log 5x ；(3)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (4)f (x )＝2－2sin 2x2；(5)f (x )＝e x＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35 )′＝35x － 25 ＝355x 2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5. (3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(5)解法一：f ′(x )＝x ＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.解法二：因为f (x )＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝x－－x －x －2＝－2e xx －2.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x2；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x － 23 )′＝－23x －23－1 ＝－23x － 53 .(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x＝x 2e x(3＋x )． (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2. 探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解] 因为(e x )′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，所以所求切线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)．因为切线过原点，所以－ex 0＝－x 0·ex 0，x 0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究] 已知点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.y ′＝(e x )′＝e x，ex 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为22. 拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′| x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 探究3 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】 已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去．若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1， 则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即b 2－2b 2＋c ＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1， 即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x 32 ，再求y ′＝32x 12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．已知函数f (x )＝5，则f ′(1)等于( ) A ．5 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 C解析 因为f (x )＝5，所以f ′(x )＝0，所以f ′(1)＝0. 2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)＝13的错误，∵f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，∴f ′(x )＝3x 2＋3x·ln 3.3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ， ∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1，故填1. 5.已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .。
2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。
高中数学导数自学讲义——认识导数
导数的简单自学讲义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率()()0000lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝()()0lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式（*）4．利用导数的定义求函数的导数（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限.（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.5．导数的运算法则1) ．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2) ．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3) ．()()()()()()()2f x f x g x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g (x )≠0) 4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例题精析【例题1】求函数y =x=1处的导数. 【例题2】一质点运动的方程为.（1） 求质点在t=1时的瞬时速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时加速度；【例题3】求下列函数的导数.【例题4】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；。
高中数学第1章导数及其应用章末复习课讲义新人教B版选修22
高中数学第1章导数及其应用章末复习课讲义新人教B版选修22导数的几何意义及其应用一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．【例1】(1)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )[思路探究] (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数． (2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论． [解析] (1)y ′＝ex －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k ＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误；B 项正确．[答案] (1)C (2)B1．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解] (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.利用导数判断函数的单调性研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个．【例2】 设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e－1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[思路探究] (1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．[解] (1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，(x －2)e x＋x ＋2＞0； (2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x－ax －ax2(x ＞0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域．[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x－(x －2)e x(x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1． 所以(x －2)e x>－(x ＋2)，即(x －2)e x＋x ＋2>0. (2)g ′(x )＝(x －2)e x＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a )． 由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1＜0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈(0,2]，使得f (x a )＋a ＝0， 即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a (x a ＋1)x 2a ＝e x a ＋f (x a )(x a ＋1)x 2a＝e x ax a ＋2.于是h (a )＝e x ax a ＋2. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝(x ＋1)e x(x ＋2)2＞0，得y ＝e xx ＋2单调递增， 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2＜h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.利用导数研究函数的极值、最值值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．【例3】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[思路探究] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )的最大值为f (0)＝2，f (x )的最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋ ＋f (x )2单调递减↘极小值－2单调递增↗t 3－3t 2＋2f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )的最大值为f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c≤0.3．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明： (1)f ′(x )在区间－1，π2存在唯一极大值点；(2)f (x )有且仅有2个零点．[解] (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2， 当x ∈－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)>0，g ′π2<0，可得g ′(x )在－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )>0；当x ∈α，π2时，g ′(x )<0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在α，π2单调递减，故g (x )在－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在－1，π2存在唯一极大值点．(2)f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．(ⅱ)当x ∈0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′π2<0，所以存在β∈α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )>0；当x ∈β，π2时，f ′(x )<0.故f (x )在(0，β)单调递增，在β，π2单调递减．又f (0)＝0，f π2＝1－ln1＋π2>0，所以当x ∈0，π2时，f (x )>0.从而，f (x )在0，π2没有零点．(ⅲ)当x ∈π2，π时，f ′(x )<0，所以f (x )在π2，π单调递减．而f π2>0，f (π)<0，所以f (x )在π2，π有唯一零点．(ⅳ)当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)>1，所以f (x )<0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点． 综上，f (x )有且仅有2个零点．函数与方程的思想导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )与0的关系，若F ′(x )＞0，则函数F (x )在(a ，b )上是增函数．若F (a )≥0，则由增函数的定义，知当x ∈(a ，b )时，有F (x )＞F (a )≥0，即f (x )＞g (x )成立，同理可证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )．【例4】 设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． [思路探究] (1)利用f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，列方程组求解． (2)转化为求函数f (x )的最大值问题． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b .因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， 则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈[1,2]时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c.所以当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c. 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c<c 2，解得c<－1或c>9. 故c 的取值范围为c<－1或c>9.4．已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；。
导数讲义
导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
数学选修2-2人教A讲义：第一章 导数及其应用1.1.1 -1.1.2
§1.1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度． 梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 答案 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt .思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答案 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y'=，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 变化问题与变化率 题点 变化率大小的比较 解 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为 k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为 k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值． 考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定 考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 B解析 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． 类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ， ∴lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度． 解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝ΔsΔt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt .跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 类型三 导数定义的应用 例4 (1)若函数f (x )可导，则lim Δx →f (1－Δx )－f (1)2Δx等于( )A ．－2f ′(1) B.12f ′(1) C ．－12f ′(1)D ．f ′⎝⎛⎭⎫12考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 答案 C 解析 lim Δx →f (1－Δx )－f (1)2Δx＝－12lim Δx →0 f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx ＝－12f ′(1)．(2)求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 解 因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11 ＝Δx ＋Δx1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx.lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2， 所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③求极限lim Δx →Δy Δx. (2)瞬时变化率的变形形式lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝lim Δx →f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．跟踪训练4已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. 考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用解∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→03(x0＋Δx)2－3x20Δx＝limΔx→0(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为() A．2.1 B．1.1 C．2 D．0考点平均变化率题点函数的平均变化率答案 A解析ΔyΔx＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.2．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝18 m/s，则下列说法中正确的是()A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案 C3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于() A．2 B．－2 C．－3 D．3考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案 D解析因为f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝lim Δx →a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a .因为f ′(1)＝3，所以a ＝3.4．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．5．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用 答案 1 解析 lim Δt →s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →07(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt＝lim Δt →(14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 利用导数定义求导数：(1)取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.(2)函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．一、选择题1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 考点 函数自变量、因变量的增量 题点 函数因变量的增量 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为s ′＝lim Δt →(－3Δt －6)＝－6.4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图象上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是( ) A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－ 3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33 考点 平均变化率题点 平均变化率的应用答案 B解析 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，故选B. 5．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)等于( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．1考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 C 解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1， 故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋1，0≤x <3，2＋3(x －3)2，x ≥3，则函数f (x )在x ＝1处的导数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用答案 D解析 f (1)＝4，f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →03(1＋Δx )2＋1－4Δx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6. 7．已知函数f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( ) A ．±2B ．2C ．－2D ．－4 考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用答案 A解析 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2， 于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．考点 平均变化率题点 平均变化率的应用答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC .9．若函数y ＝f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________.考点 平均变化率题点 平均变化率的应用答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2， 即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0，解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以，当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.10．对于函数y ＝f (x )＝1x 2，其导数值等于函数值的点是________． 考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用答案 ⎝⎛⎭⎫－2，140Δx →0Δx＝lim Δx →01(x 0＋Δx )2－1x 20Δx ＝－2x 30. 由题意知，f ′(x 0)＝f (x 0)，即－2x 30＝1x 20， 解得x 0＝－2，从而y 0＝14. 11．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝________. 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 －1解析 lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－1. 三、解答题12．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 考点 平均变化率题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值．考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用解 由导数的定义知，0Δx →0Δx 0g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0.解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73. 四、探究与拓展 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t >0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是________．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 2 3解析 x ＝t 时，y ＝3t ，B (t ，3t )，则AB ＝3t ，∴S (t )＝12·OA ·AB ＝12t ·3t ＝32t 2， ∴S ′(2)＝lim Δt →0 S (2＋Δt )－S (2)Δt＝lim Δt →032(2＋Δt )2－23Δt ＝2 3. 15．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．因为物体在t ＝0附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，所以物体在t ＝0处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度v 0＝－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， 所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
5.1.2导数的概念及几何意义课件(人教版)
4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：
4
4
Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx
2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx
2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0
从而 y′|x＝2＝2.
y
y
量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值
，即 x ＝
x
f（x 0＋Δx）－f（x 0）
______________________叫做函数y＝f(x)从x
0到x0＋Δx的平均变
Δx
化率．
2．函数在x＝x0处的导数
y
y
如果当Δx→0时，平均变化率 x 无限趋近于一个确定的值，即 x 有
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至
可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的
切线．
例 1.
已知函数 f(x)＝2x2＋4x，则 f′(3)＝________.
解析：
(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
1
＝3liΔxm→0
Δx
1
＝3li m [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
Δx→0
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数讲义(学生新版)
导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。
1导数讲义1
1.导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数. 2.导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0).(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A.－1B.－2C.2D.0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x ＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017得2 017＋ln x 0＝2017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题例2 (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图像在点(1，－2)处的切线方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y ＝0C.x －y －3＝0D.x ＋y ＋1＝0(2)曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________.答案 (1)C (2)13解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. (2)∵y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，∴三角形的面积S ＝12×1×23＝13.命题点2 未知切点的切线方程问题例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A.2x －y ＋3＝0B.2x －y －3＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B.命题点3 和切线有关的参数问题例4 已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) A.－1B.－3C.－4D.－2答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0， 于是解得m ＝－2.故选D.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0). (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可.(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢.(1)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′(π4)，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.4x －3y ＋1＝0C.3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D.3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________. 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3. 又b ＝a 3，则b ＝1，∴切点P 的坐标为(1,1).故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∴切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∴b ＝1.∴1－x 30＝3x 20(1－x 0)， ∴2x 30－3x 20＋1＝0， ∴2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， ∴切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， ∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. [方法与技巧]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e答案 B解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则f ′(1)＝－1.2.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.eB.－eC.1eD.－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0|x x y'=＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1， 解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.3.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 016(x )等于()A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数， ∴f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.4.(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A.－1B.0C.2D.4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A.x ＋4y －2＝0B.x －4y ＋2＝0C.4x ＋2y －1＝0D.4x －2y －1＝0答案 A解析 y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14当(x ＝0时取等号).当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值， 此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.7.若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”.已知函数f (x )＝x 2－1和函数g (x )＝2ln x ，那么函数f (x )和函数g (x )的隔离直线方程为____________. 答案 y ＝2x －2解析 由题意得函数f (x )和函数g (x )的隔离直线为它们在交点(1,0)处的公切线.因为f ′(1)＝2＝g ′(1)＝k ，所以切线方程为y ＝2(x －1).8.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________. 答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)， 则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，② 联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.9.已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限. (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4). (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝203(1)x +(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝203(1)x +(x －x 0). 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图像的切线平行，则实数a 的值为( ) A.14B.12C.1D.4答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝ax ，由f ′(14)＝g ′(14)，得1211()1244a -⨯=，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意.12.曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，134 C.⎝⎛⎭⎫52，134 D.⎝⎛⎭⎫52，2答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大.13.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.14.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N ＋)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为________. 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1， 点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.15.已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在.由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12).∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12) ＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
新高考数学导数专题讲义第16讲 导数解答题之先构造,再赋值,证明和式或积式不等式(学生版+解析版)
第16讲 导数解答题之先构造，再赋值，证明和式或积式不等式1．已知函数()x f x e =，2()2ag x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828)e =⋯．（1）令()()()h x f x g x =+'，若()0h x 对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m 为整数，且对于任意正整数n ，1()nn i im n=<∑，求m 的最小值．2．已知函数()1f x x alnx =--． （1）若()0f x ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<，求m 的最小值．3．已知函数()x f x e x a =-+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828)e =⋯． （1）若()0f x 对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设t 为整数，对于任意正整数n ，123()()()()n n n n nt n n n n+++⋯+<，求t 的最小值．4．已知函数()(1)2f x x lnx ax =+-+． （1）当1a =时，求在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上具有单调性，求实数a 的取值范围； （3）求证：11111(1)357212ln n n +++⋯+<++，*n N ∈．5．已知函数22()(1),()()2x x af x ln x xg x a R x ++=+-=∈+．（1）求函数()f x 的单调区间及最值；（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：*1111(1)()35721ln n n N n +++⋯+<+∈+．6．已知函数2()(1)f x a x lnx =--．（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值； （2）若()0f x 在[1，)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：当2n 时，22111322322n n ln ln lnn n n--++⋯+>+．7．已知函数2()()()f x a x x lnx a R =--∈． （1）若()f x 在1x =处取到极值，求a 的值；（2）若()0f x 在[1，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当2n 时，111123n ln ln lnn n-++⋯+>．8．已知函数2()(1)(0)2xf x ln ax a x =+->+． （1）当12a =时，求()f x 的极值； （2）若1(,1)2a ∈，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，试比较12()()f x f x +与(0)f 的大小；（3）证明：(1)2!(2,)n n en n n N ->∈．9．已知函数2()(1)(2)(x f x a ln e a a a =-+--为常数）是实数集R 上的增函数，对任意的x R ∈，有()()0f x f x +-=，函数，函数()[()1]g x ln f x =+．（1）求实数a 的值；（2）若对任意的0x >，()g x px <恒成立，求实数p 的取值范围； （3）求证：当*n N ∈时，111()123g n n<+++⋯+．10．已知函数3()()f x x ax b x R =+++∈，且(0)1f =． （1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()y f x =在1x =处的切线与y 轴交于点B ，且(1A ，f （1）)，求d （a ）2||AB =在[a c ∈，)+∞的最小值；（3）若12a =-，n M f =（1）12f +（2）13f +（3）1111()(1)23f n n n +⋯+-+++⋯+，*21()6n n n a n N M -=∈，13n n S a a a =++⋯+，求证：34n S <．11．已知函数()()f x ax lnx a R =-∈．（Ⅰ）若方程()0f x =有两根1x ，2x ，求a 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，设12x x <，求证：21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）若不等式()f x a 恒成立，求证：*1231()()()()()n n n n n a n N n n n n e a+++⋯+<+∈-．12．已知定义在R +上的函数()f x 有112()()23f x f x x x+=++．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()0)g x x >，直线*()y x n N =-∈分别与函数()y g x =，1()y g x -=交于n A 、n B 两点*()n N ∈．设||n n n a A B =，n S 为数列{}n a 的前n 项和．①求n a ，并证明221221(2)n nn S S S n n n -=-+； ②求证：当2n 时，2322()23n n S S S S n>++⋯+．13．已知函数()1(f x alnx ax a R =-+∈且0)a ≠． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求证：*2341(2,)234ln ln ln lnn n n N n n⨯⨯⨯⋯⨯<∈．14．已知函数()1()x f x e ax a R =--∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若对一切实数x R ∈，都有()0f x 恒成立，求a 的取值范围． （Ⅲ）求证：121()()()()1n n n n n n en n n n e -++⋯++<-，*n N ∈．15．已知函数()(0)ax f x e a =≠． （1）当12a =时，令()()(0)f x g x x x=>，求函数()g x 在[m ，1](0)m m +>上的最小值； （2）若对于一切x R ∈，()10f x x --恒成立，求a 的取值集合； （3）求证：14ni e=<．16．已知函数2()()x f x e x ax -=+在点(0，(0))f 处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()()()g x x x t t R e =---∈，若()()g x f x 对[0x ∈，1]恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n+=+，求证：当2n ，n N ∈时11213()()()()(62n a a a f f L f n e n n n e-+++<+为自然对数的底数， 2.71828)e ≈．17．已知函数2()()f x x ln x a =+-，a R ∈．（Ⅰ）若()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ）当2a -时，令g （a ）表示()f x 在[1-，0]上的最大值，求g （a ）的表达式；（Ⅲ）求证：223511118241623n n n n n+++++⋯+++，*n N ∈．18．已知a R ∈，函数()1af x lnx x=+-，其中0a >， （1）求函数()f x 在区间(0，]e 上的最小值； （2）求证：*1111(!)()23n ln n n N n+++⋯+-∈．第16讲 导数解答题之先构造，再赋值，证明和式或积式不等式1．已知函数()x f x e =，2()2ag x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828)e =⋯．（1）令()()()h x f x g x =+'，若()0h x 对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m 为整数，且对于任意正整数n ，1()nn i im n=<∑，求m 的最小值．【解析】解：（1）因为()1g x ax '=--， 所以()1x h x e ax =--，由()0h x 对任意的x R ∈恒成立，即()0min h x ， 由()x h x e a '=-，()i 当0a 时，()0x h x e a '=->，()h x 的单调递增区间为R ，所以(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h <=， 所以不满足题意．()ii 当0a >时，由()0x h x e a '=-=，得x lna =， (,)x lna ∈-∞时，()0h x '<，(,)x lna ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在区间(,)lna -∞上单调递减，在区间(,)lna +∞上单调递增， 所以()h x 的最小值为()1h lna a alna =--． 设ϕ（a ）1a alna =--，所以ϕ（a ）0，① 因为ϕ'（a ）lna =-，令ϕ'（a ）0lna =-=，得1a =，所以ϕ（a ）在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以ϕ（a ）ϕ（1）0=，② 由①②得ϕ（a ）0=，则1a =．（2）由（1）知10x e x --，即1x x e +，令*(k x n N n=-∈，0k =，1，2，3，⋯，1)n -，则01k n k e n -<-，所以()(1)n kn k nk e e n ---=-，所以1121()()()()()nn n n n n i i n nnn n n n =-=++⋯++∑(1)(2)211n n e e e e ------++⋯+++111111n e e e ----=<-- 1121e =+<-， 所以1()2nn i in=<∑，又333123()()()1333++>，所以m 的最小值为2．2．已知函数()1f x x alnx =--． （1）若()0f x ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<，求m 的最小值．【解析】解：（1）因为函数()1f x x alnx =--，0x >， 所以()1a x af x x x-'=-=，且f （1）0=． 所以当0a 时()0f x '>恒成立，此时()y f x =在(0,)+∞上单调递增，这与()0f x 矛盾； 当0a >时令()0f x '=，解得x a =，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()min f x f =（a ）， 若1a ≠，则f （a ）f <（1）0=，从而与()0f x 矛盾； 所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x lnx =--，即1lnx x -， 所以(1)ln x x +当且仅当0x =时取等号， 所以11(1)22ln +<，*N ∈． 221111111(1)(1)(1)112222222n n n ln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222n e ++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<成立，当3n =时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．3．已知函数()x f x e x a =-+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828)e =⋯． （1）若()0f x 对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设t 为整数，对于任意正整数n ，123()()()()n n n n nt n n n n +++⋯+<，求t 的最小值．【解析】解：（1）因为()()x f x e x a x R =-+∈，所以()1x f x e '=-， 令()0f x '>，得0x >； 令()0f x '<，得0x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为0(0)01f e a a =-+=+．由()0f x 对任意的x R ∈恒成立，得()0min f x ，即10a +，所以1a -， 即实数a 的取值范围为[1-，)+∞． （2）由（1）知10x e x --，即1x x e +，令*()k x n N n=-∈，0k =，1，2，⋯，1)n -，则01k n k e n -<-，所以(1)()knn k n k e e n---=，(1)(2)21011123111()()()()121111n n n n n n n n e e e e e e e n n n n e e e e ----------∴+++⋯+++⋯+++=<==+<----， 所以123()()()()2n n n n nn n n n +++⋯+<，又333123()()()1333++>，所以t 的最小值为2．4．已知函数()(1)2f x x lnx ax =+-+． （1）当1a =时，求在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上具有单调性，求实数a 的取值范围；（3）求证：11111(1)357212ln n n +++⋯+<++，*n N ∈．【解析】解：（1）当1a =时，()(1)2f x x lnx x =+-+，(0)x >， 1()f x lnx x'=+，f '（1）1=，f （1）1=， 所以求在1x =处的切线方程为：y x =． （2）1()1f x lnx a x'=++-，(0)x >． ()i 函数()f x 在定义域上单调递减时，即1x a lnx x ++时，令1()x g x lnx x+=+， 当a x e >时，()0g x '>，不成立；()ii 函数()f x 在定义域上单调递增时，1x a lnx x++； 令1()x g x lnx x+=+， 则21()x g x x-'=，0x >； 则函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； 所以()2g x ，故2a ．（3）由()ii 得当2a =时()f x 在(1,)+∞上单调递增， 由()f x f >（1），1x >得(1)220x lnx x +-+>， 即2(1)1x lnx x ->+在(1,)+∞上总成立， 令1n x n +=得12(1)111n n n ln n n n+-+>++， 化简得：2(1)21ln n lnn n +->+， 所以22121ln ln ->+， 23251ln ln ->+，⋯， 2(1)21ln n lnn n +->+， 累加得222(1)13521ln n ln n +->++⋯++， 即11111(1)357212ln n n +++⋯+<++，*n N ∈命题得证． 5．已知函数22()(1),()()2x x a f x ln x x g x a R x ++=+-=∈+．（1）求函数()f x 的单调区间及最值；（2）若对0x ∀>，()()1f x g x +>恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：*1111(1)()35721ln n n N n +++⋯+<+∈+．【解析】解：（1）()f x 的定义域为1(1,),()1()010;()0011xf x f x x f x x x x'''-+∞=-=->⇔-<<<⇔>++， 所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，减区间为(0,)+∞， ()(0)0max f x f ==，无最小值．（2）220,()()10,(1)12x x ax f x g x x ln x x x ++∀>+>⇔∀>+-+>+0,(1)10,(2)[1(1)]2ax ln x x a x ln x x ⇔∀>++>⇔∀>>+-++， 令()(2)[1(1)]h x x ln x =+-+． 则21()1(1)(1)11x h x ln x ln x x x +'=-+-=-+-++． 当0x >时，显然1()(1)01h x ln x x '=-+-<+， 所以()h x 在(0,)+∞上是减函数． 所以当0x >时，()(0)2h x h <=． 所以，a 的取值范围为[2，)+∞．（3）由（2）知，当2a =，0x >时，2(1)12ln x x ++>+，即(1)(*)2xln x x +>+． 在(*)式中，令*1()x k N k =∈，得1112k kln k k +>+，即1121k ln k k +>+， 依次令1k =，2，3，n ⋯，得21314111,,,,13253721n ln ln ln ln n n +>>>⋯>+． 将这n 个式子左右两边分别相加， 得1111(1)35721ln n n +>+++⋯++．6．已知函数2()(1)f x a x lnx =--．（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值； （2）若()0f x 在[1，)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：当2n 时，22111322322n n ln ln lnn n n --++⋯+>+． 【解析】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=-，()f x 在2x =处取得极小值，f '∴（2）0=，即18a =，此时，经验证2x =是()f x 的极小值点，故18a =．（2）1()2f x ax x'=-，①当0a 时，()0f x '<，()f x ∴在[1，)+∞上单调递减，∴当1x >时，()f x f <（1）0=矛盾．②当0a >时，221()ax f x x -'=，令()0f x '>，得x >；()0f x '<，得0x <<．()i 1>，即102a <<时，x ∈时，()0f x '<，即()f x 递减，()f x f ∴<（1）0=矛盾． ()ii 1，即12a时， [1x ∈，)+∞时，()0f x '>，即()f x 递增， ()f x f ∴（1）0=满足题意．综上，12a． （3）证明：由（2）知令12a =， 当[1x ∈，)+∞时，21(1)02x lnx --，（当且仅当1x =时取“=” )∴当1x =时，2121lnx x >-． 即当2x =，3，4，⋯，n ，有：2221111112()2321311ln ln lnn n ++⋯+>++⋯+--- 11112()132435(1)(1)n n =+++⋯+⨯⨯⨯-+1111111(1)()()()3243511n n =-+-+-+⋯+--+223222n n n n--=+． 7．已知函数2()()()f x a x x lnx a R =--∈． （1）若()f x 在1x =处取到极值，求a 的值；（2）若()0f x 在[1，)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当2n 时，111123n ln ln lnn n-++⋯+>． 【解析】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax a x∴'=--，()y f x =在1x =处取得极小值， f ∴'（1）0=，即1a =，此时，经验证1x =是()f x 的极小值点，故1a =， （2）①当0a =时，()f x lnx =-， 当1x 时，()0f x ，故不满足题意， ②当0a <时，2()()f x a x x lnx =--， f （2）220a ln =-<，故不满足题意③当0a >时，221()ax ax f x x --'=，△280a a =+>恒成立，令()0f x '=，解得10x =<，（舍去），2x =()i 1时，即1a 时，()f x 在[1，)+∞单调性递增 ()()min f x f x f ∴=（1）0=，满足题意，()ii 1>时，即01a <<时，x ∴∈时，()0f x '<，即()f x 递减，()f x f ∴<（1）0=，矛盾．综上，()0f x 在[1，)+∞上恒成立，1a ，（3）证明：由（1）知令1a =时，2()f x x x lnx =--， ∴当2x >时，20x x lnx -->，即11(1)lnx x x >-， 令x n =， 则1111(1)1lnn n n n n>=---， ∴11111111111111231223341n ln ln lnn n n n n-++⋯+>-+-+-+⋯+-=-=-． 8．已知函数2()(1)(0)2xf x ln ax a x =+->+．（1）当12a =时，求()f x 的极值； （2）若1(,1)2a ∈，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，试比较12()()f x f x +与(0)f 的大小；（3）证明：(1)2!(2,)n n en n n N ->∈．【解析】解：（1）12()(1)22x f x ln x x =+-+，定义域110220x x ⎧+>⎪⎨⎪+≠⎩解得2x >-，22142()2(2)(2)x f x x x x -'=-=+++，即有(2,2)-递减，(2,)+∞递增， 故()f x 的极小值为f （2）21ln =-，没有极大值． （2）2()(1)(0)2x f x ln ax a x =+->+，1x a>-， 22244(1)()1(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x --'=-=++++ 由于112a <<，则(1)(0a a -∈，1)4，1a -<24(1)0ax a --=，解得x =，12()()[1[1f x f x ln ln +=++-即2212442()()[(12)][(12)]22121a f x f x ln a ln a a a -+=-+=-+--- 设21t a =-，当112a <<，01t <<，则设2122()()()2f x f x g t lnt t+==+-， 当01t <<时，2()22g t lnt t=+-， 22222(1)()0t g t t t t-'=-=< ()g t 在01t <<上递减，()g t g >（1）0=，即12()()(0)0f x f x f +>=恒成立，综上述12()()(0)f x f x f +>；（3）证明：当01t <<时，2()220g t lnt t =+->恒成立，即110lnt t+->恒成立， 设1(2,)t n n N n =∈，即110ln n n +->，即有1n lnn ->，即有12ln >，23ln >，34ln >，⋯，1n lnn ->，即有123(1)234(234)(!)n ln ln ln lnn ln n ln n +++⋯+->+++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯=， 则(1)(!)2n n ln n ->，故(1)2!(2,)n n en n n N ->∈．9．已知函数2()(1)(2)(x f x a ln e a a a =-+--为常数）是实数集R 上的增函数，对任意的x R ∈，有()()0f x f x +-=，函数，函数()[()1]g x ln f x =+．（1）求实数a 的值；（2）若对任意的0x >，()g x px <恒成立，求实数p 的取值范围； （3）求证：当*n N ∈时，111()123g n n<+++⋯+． 【解析】解：（1）()f x 对任意的x R ∈，都有()()0f x f x +-=，()f x ∴是R 上的奇函数， 2(0)(1)(12)0f a ln a a ∴=-+--=即220a a --=或10a -=1a ∴=-或2a =或1a =， ()f x 是实数集R 上的增函数，2a ∴=．（2）由（1）知()f x x =，函数()[()1](1)g x ln f x ln x =+=+， 设()()(1)(0)h x g x px ln x px x =-=+->， 则()g x px <恒成立()0h x ⇔<恒成立， 又1()(0)1h x p x x '=->+ ①若1p ，则1()01h x p x '=-<+，()h x 在(0,)+∞上是减函数， 因此()(0)0h x h <=恒成立，②若(0,1)p ∈，则令()0h x '=，解得1px p-=， 当1(0,)px p-∈是，()0h x >，()h x 单调递增，不成立 故实数p 的取值范围[1，)+∞ （3）证明：由第（2）小题可知， 当1p =时，(1)(0)ln x x x +<>恒成立，故当0x >，11(1)ln x x +<也恒成立，21ln ∴<，3141,2233ln ln <<，11n ln n n+<将各不等式相加得23411111123123n n ln ln ln ln ln n n n ++++⋯++<+++⋯+- 故111()123g n n<++++ 10．已知函数3()()f x x ax b x R =+++∈，且(0)1f =． （1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若()y f x =在1x =处的切线与y 轴交于点B ，且(1A ，f （1）)，求d （a ）2||AB =在[a c ∈，)+∞的最小值；（3）若12a =-，n M f =（1）12f +（2）13f +（3）1111()(1)23f n n n +⋯+-+++⋯+，*21()6n n n a n N M -=∈，13n n S a a a =++⋯+，求证：34n S <． 【解析】解：（1）由(0)1f =，得1b =，这时3()1f x x ax =++，2()30f x x a '=+恒成立 23a x ∴-得0a（2）f （1）112a a =++=+，即(1,2)A a +，而1x =时，f '（1）3a =+故在1x =处()f x 的切线方程为(2)(3)(1)y a a x -+=+- 当0x =时，1y =-，即(0,1)B -d ∴（a ）22||1(3)AB a ==++，[a c ∈，)+∞ 当3c <-时，d （a ）的最小值为1当3c -时，d （a ）的最大值为d （c ）2(3)1c =++（3）证明：12a =-时，31()12f x x x =-+，故211[()1]2f x x x -=-n M f =（1）12f +（2）13f +（3）1111()(1)23f n n n+⋯+-+++⋯+ 111[(1)1][(2)1][()1]12f f f n n =-+-+⋯+- 222(12)(2)(21)26n nn n n =++⋯+-=+- 故211111()6(2)22n n n a M n n n n -===-++1311113(1)22124n n S a a a n n =++⋯+=+--<++11．已知函数()()f x ax lnx a R =-∈．（Ⅰ）若方程()0f x =有两根1x ，2x ，求a 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，设12x x <，求证：21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）若不等式()f x a 恒成立，求证：*1231()()()()()n n n n n a n N n n n n e a +++⋯+<+∈-．【解析】解：（Ⅰ）由()0f x ax lnx =-=，有lnxa x=， 设()lnx g x x =，由1()lnxg x x-'=，⋯（1分） ()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，又1()f e e=，f （1）0=．当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()0f x →．⋯（2分）故若方程()0f x =有两根，则10a e<<．⋯（3分） （Ⅱ）证明：若方程()0f x =有两根1x ，2x ，则10a e<<，121x e x <<<． 假设对于任意的2110a a e<<<．记121()()g g a αα==，由上可知121e αα<<<；记122()()g g a ββ==，由上可知121e ββ<<<．⋯（5分） 因为()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 故由12a a >可知11αβ>，22αβ<． 又因为121e αα<<<，121e ββ<<<， 所以222111αββααβ<<，故21xx 随着a 的减小而增大．⋯（8分） （Ⅲ）依题意，ax lnx a -恒成立，记()h x ax a lnx =--，则11()ax h x a x x-'=-=． ①当0a <时，()0h x '<在(0,)+∞恒成立，故()h x ax a lnx =--在(0,)+∞单调递减，又因为h （1）0=，所以()h x ax a lnx =--在(1,)+∞上函数值小于零，不符合题意，舍去．⋯（9分） ②当0a >时，1()0ax h x-'==得1x =．由上表可知()h x ax a lnx =--在(0,)+∞上的1()10min h h a lna a==-+．⋯（10分）记k （a ）1a lna =-+，由1()1k a a'=-+可知，k （a ）1a lna =-+在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故k （a ）k （1）0=，综上k （a ）10a lna =-+=，即1a =．⋯（11分）由1lnx x -可得()1()k k ln k n n n -，两边乘以n 可得()k nln k n n -，即()n k n ke n-．则12301112311()()()()111n n n n n n n n n e e e e e e n n n n e e e -------+++⋯+++⋯+=<=---．⋯（12分） 12．已知定义在R +上的函数()f x 有112()()23f x f x x x +=++．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()0)g x x>，直线*()y x n N =-∈分别与函数()y g x =，1()y g x -=交于n A 、n B 两点*()n N ∈．设||n n n a A B =，n S 为数列{}n a 的前n 项和．①求n a ，并证明221221(2)n nn S S S n n n -=-+； ②求证：当2n 时，2322()23n n S S S S n>++⋯+． 【解析】解：（1）112()()23f x f x x x +=++故122()()3f f x x x x+=++，两式联立可得()1f x x =+．（2）由（1）可得()g x联立y y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得交点2222,n n A B ⎛⎫⎛⎫由此得，所以1||n n n a A B n ==， 11n n S S n--= ∴221221n nn S S S n n-=-+， ∴2212212,n n n S n S S n n--=-当时， 221122211(1)n n n S S S n n ----=---，222212212S S S n ⋯-=-，累加得：2322221112()1()2323n n S S S S n n=++⋯++-++⋯+ 又2221111111()1[]231223(1)n n n -++⋯+>-++⋯+⨯⨯-1111111(1)02231n n n =--+-+⋯+-=>- ∴2322()23n n S S S S n>++⋯+ 13．已知函数()1(f x alnx ax a R =-+∈且0)a ≠． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求证：*2341(2,)234ln ln ln lnn n n N n n⨯⨯⨯⋯⨯<∈． 【解析】解：（1）()1f x alnx ax =-+，(1)()a a x f x a x x-∴'=-=， ①当0a >时，若01x <<，则()0f x '>，若1x >，()0f x '<， ()f x ∴的单调递增区间(0,1)，单调递减区间(1,)+∞；②当0a <时，若01x <<，则()0f x '<，若1x >，()0f x '>， ()f x ∴的单调递减区间(0,1)，单调递增区间(1,)+∞；（2）令1a =，则()1f x lnx x =-+， 所以f （1）0=，由（1）可知()f x 在[1，)+∞单调递减，故()f x f （1），（当1x =时取等号）， 所以10lnx x -+<，即1lnx x <-， 从而有01lnn n <<-，*(2,)n n N ∈ 即*1(2,)lnn n n n N n n-<∈， ∴*2341211(2,)23423ln ln ln lnn n n n N n n n-⨯⨯⨯⋯⨯<⨯⨯⋯⨯=∈． 14．已知函数()1()x f x e ax a R =--∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若对一切实数x R ∈，都有()0f x 恒成立，求a 的取值范围．（Ⅲ）求证：121()()()()1n n n n n n en n n n e -++⋯++<-，*n N ∈． 【解析】解：（Ⅰ）由()x f x e a '=-，①当0a 时，显然()0x f x e a '=-；②当0a >时，由()0f x '=得x lna =，显然当x lna >时，()0f x '>； 所以当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，()f x 在(,)lna +∞上递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）问知，当0a 时，()f x 递增，且1(1)10f a e-=+-<，不合题意，舍去．当0a >时，由（Ⅰ）知，当x lna <时，()0f x '<，当x lna >时，()0f x '> 所以当x lna =时，()f x 有极小值也是最小值，即()()1min f x f lna a alna ==--， 依题意10a alna --，⋯①①式可化为111a lna a a--=， 而由超越不等式知：11,0(1a lna a a a a-->=时取到等号）， 所以比较上下两式可以发现1a lna a-=，即10(1a alna a --==时取到等号）， 下面给出其证明：令g （a ）1a alna =--，0a >，则g '（a ）lna =-， 于是g '（a ）0=时，1a =，同理知当1a =时，g （a ）有极大值也是最大值， 所以g （a ）g （1）0=⋯②比较①②式可得，g （a ）0=，即1a =为所求．（Ⅲ）由（Ⅱ）知对x R ∀∈，有1x e x +，于是令,,,i x n N i N i n n+=-∈∈，则有10i ni n i e n n ---=即有()inn i en--，即()n i n n i e n --（当且仅当0i =时取等号）所以有1210112111111()()()()()()()()1nn n n n n n n n e n n n n e e e e e ------++⋯++<++⋯++=- 即1112111()()()()111n n n n n n n e en n n n e e e -----++⋯++<<=---，即证． 15．已知函数()(0)ax f x e a =≠．（1）当12a =时，令()()(0)f x g x x x=>，求函数()g x 在[m ，1](0)m m +>上的最小值； （2）若对于一切x R ∈，()10f x x --恒成立，求a 的取值集合；（3）求证：14ni e=<． 【解析】解：（1）当12a =时，2()xe g x x =，则22(1)2()x x e g x x -'=． 当102x->，即2x >时，()0g x '>； 当102x-<且0x ≠，即2x <或02x <<时，()0g x '<． 则()g x 的增区间为(2,)+∞，减区间为(,0)-∞，(0,2)． 因为0m >，所以11m +>，①当12m +，即01m <时，()g x 在[m ，1]m +上单调递减，所以12()(1)1m min eg x g m m +=+=+ ②当21m m <<+，即12m <<时，()g x 在[m ，2]上单调递减， 在[2，1]m +上单调递增，所以()min g x g =（2）2e =③当2m 时，()g x 在[m ，1]m +上单调递增，所以2()()m min e g x g m m ==． 综上，122,011(),122,2mminme m m e g x m e m m +⎧⎪<⎪+⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎪⎩；（2）设()()11ax h x f x x e x =--=--若0a <，则对一切0x >，()0h x <这与题设矛盾．又0a ≠，故0a >．而()1ax h x ae '=-，令()0h x '=，得11x ln a a=， 当11x ln a a<时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当11x ln a a>时，()0h x '>，()h x 单调递增． 故当11x ln a a =时，()h x 取最小值11111()1h ln ln a a a a a=--． 于是对一切x R ∈，()0h x 恒成立，当且仅当11110ln a a a --① 令()1x t tlnt ϕ=--，则()x lnt ϕ'=-当01t <<时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增；当1t >时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，故当1t =时，()t ϕ取最大值ϕ（1）0=， 因此，当且仅当11a=，即1a =时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．（3）证明：由（2）可知，当0x >时，2()2x ee g x x =， 所以22(0)xxx ee>，212n e=于是1ni ==+2222111(1)23e n+++⋯+ 211111[1(1)()()]2231e n n<+-+-+⋯+-- 214[2]e n e=-<． 16．已知函数2()()x f x e x ax -=+在点(0，(0))f 处的切线斜率为2．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()()()g x x x t t R e=---∈，若()()g x f x 对[0x ∈，1]恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n +=+， 求证：当2n ，n N ∈时11213()()()()(62n a a a f f L f n e n n n e-+++<+为自然对数的底数， 2.71828)e ≈． 【解析】解：（Ⅰ）2()()x f x e x ax -=+，22()()(2)(2)x x x f x e x ax e x a e x ax x a ---∴'=-+++=-+--；则由题意得(0)()2f a '=--=，故2a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()(2)x f x e x x -=+，由()()g x f x 得，23()(2)x x x t e x x e----+，[0x ∈，1]； 当0x =时，该不等式成立；当(0x ∈，1]时，不等式3(2)x x t e x e--+++在(0，1]上恒成立， 即3[(2)]x max t e x x e-++-． 设3()(2)x h x e x x e-=++-，(0x ∈，1]， ()(1)1x h x e x -'=-++，()0x h x x e -''=>，()h x ∴'在(0，1]单调递增，()(0)0h x h ∴'>'=，()h x ∴在(0，1]单调递增，()max h x h ∴=（1）1=，1t ∴． （Ⅲ）证明：11(1)n n a a n+=+， ∴11n n a n a n++=，又11a =， 2n ∴时，21112111n n n a a n a a n a a n -=⋯=⋯=-； 对1n =也成立，n a n ∴=． 当(0x ∈，1]时，2()(2)0x f x e x -'=-->，()f x ∴在[0，1]上单调递增，且()(0)0f x f =． 又1()(11i f i n n n -，)i N ∈表示长为()i f n ，宽为1n的小矩形的面积， ∴11()()i n i n i f f x dx n n +<⎰，(11,)i n i N -∈， ∴11211121[()()()][()()()]n a a a n f f f f f f n n n n n n n n--++⋯+=++⋯+ 10()f x dx <⎰．又由（Ⅱ），取1t =得23()()(1)f x g x x x e=-++， ∴110013()()62f x dx g x dx e=+⎰⎰， ∴112113[()()()]62n f f f n n n n e-++⋯+<+， 11213()()()()62n a a a f f f n n n n e-∴++⋯+<+． 17．已知函数2()()f x x ln x a =+-，a R ∈．（Ⅰ）若()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围； （Ⅱ）当2a-时，令g （a ）表示()f x 在[1-，0]上的最大值，求g （a ）的表达式；（Ⅲ）求证：223511118241623n n n n n++<+++⋯+++，*n N ∈． 【解析】解：（Ⅰ）2221()()x ax f x x a x a-+'=>-，()f x ∴有两个不同的极值点， 令2()221h x x ax =-+，则()h x 有两个大于a 的零点，（2分）∴2480()02a h a a a ⎧⎪=->⎪>⎨⎪⎪<⎩，a ∴< （4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知当2a -时，()f x 在(a，，)+∞上单调递增；在，上单调递减，1<-，0<，-------------------------（8分）注意到2()221h x x ax =-+的对称轴12a x =<-，(1)320h a -=+<，(0)10h =>，可推知210x -<<， ∴当[1x ∈-，0]时，g （a ）(){(1)max f x max f ==-，(0)}f ---------------------（9分）而(0)()f ln a =-，(1)1(1)f ln a -=+--，又若(0)(1)f f >-，21e a e =->--，故(0)(1)f f >-不成立 综上分析可知，g （a ）(1)1(1)(2)f ln a a =-=+---⋯（10分）（Ⅲ）证明：由（2）知，当2a =-时，2(2)1x ln x ++ 令12n x n ++=，则1(1n x n -=-∈-，0]，∴211()1n n ln n n -++<， 2121n lnn n n +∴<-，即2112n ln n n n ++< （12分） ∴21111111112(2)n n n n n i i i i i i i ln ln i i i i i i=====+++<+<+∑∑∑∑∑∴2213524128n i n n n n i=++++∑，∴223511118241623n n n n n+++++⋯+++，*n N ∈． （14分） 18．已知a R ∈，函数()1a f x lnx x=+-，其中0a >， （1）求函数()f x 在区间(0，]e 上的最小值；（2）求证：*1111(!)()23n ln n n N n+++⋯+-∈． 【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a f x lnx x =+-， 221()a x a f x x x x -∴'=-+=，令()0f x '=，解得x a =，若0a e <<，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(x a ∈，]e 时，()0f x '>， ()f x ∴在区间(0,)a 上单调递减，在区间(a ，]e 上单调递增， ∴当x a =时，()f x 有最小值lna ；若a e ，则()0f x '<在区间(0，]e 上恒成立，()f x 在区间(0，]e 上单调递减， ∴当x e =时，()f x 有最小值a e． （2）由（1）可知：当1a =时，1()1f x lnx x=+-， 且()0f x 对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 即当1x 时，恒有11(*)lnx x-⋯ 取x n =，*()n N ∈．得11lnn n -， *1111(123)(!)()23n ln ln ln lnn n ln n n N n ∴+++⋯+-+++⋯+=-∈。
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导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。
（5）xxy sin =； （6）x x y ln 2=。
3、复合函数求导：如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ' 例、求下列函数的导数（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +) 练习：求下列函数的导数 （1）y =2)13(1-x （2） y =sin （3x +4π）常考题型：类型一、求导数相关问题例1、若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．例2、曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1例3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3类型二、求切线方程（一）已知切点坐标，求切线方程例1.曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程 （二）已知切点斜率，求切线方程例2.与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 （三）已知曲线外一点，求切线方程例3.求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． （四）已知曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．变式训练：1、[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．2、[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b的值是________．3、与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x 相切的直线方程 类型三、求单调区间及极值、最值考点一 求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y =x 2(1－x )3的单调区间. 变式训练：1.函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e2.(05年广东高考题)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间考例1、已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性.例2、设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中求f(x)的单调区间；例3、设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥--1，求f (x )的单调区间。
变式训练：1、[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 2、【2014·安徽卷】设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)例2、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)例3、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 变式训练：（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文）） 已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数'()f x . (2)求方程'()0f x =的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值.注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 例1、已知函数x x b ax x f ln 42)(+-=在311==x x 与处都取得极值． （1）求a 、b 的值；变式训练：设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值. 例2、（06安徽卷）设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（Ⅰ）求b 、c 的值。
（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。
例3、已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．例4、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．变式训练：1、已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =.（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.2、（2011全国Ⅱ文20）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围.考点五：结合单调性求最值问题求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.例1、(2010年重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值． 例2、设函数f(x)＝ax 3＋bx ＋c(a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x)的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．例3、已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．例4、[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时 ，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。