第09讲_定义新运算与找规律(一)_例题

定义新运算与找规律（一）整式的加减66.7％
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定义新运算与找规律（一）
定义新运算
找规律
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第九讲 定义新运算与找规律（一）
定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．
程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．
例1． （1）若A B *表示3A B +，则57=*________．
（2）定义一种运算：a
b b a =，则2
3=________，()
5-3=________．
（3）定义新运算为()1a b a b ∆=+÷，则()634∆∆=_______．
（4）定义运算“△”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ∆=-+，例如：
()323232615-∆=-⨯--+=-+=-，则()()11m -∆-=________． （5）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：1a b a b ⊕=+-，2a b ab ⊗=-， 那么()()6835⊕⊕⊗=__________．
例2． （1）如果()2a b a b ∆=-⨯，例如()34=3244∆-⨯=，那么，当530a ∆=时，a =_____．
（2）规定新运算※：32a b a b =-※，若()417x =※※，则x =_________， 当5x ※比5x ※大5时，x =_________．
（3）定义新运算为1
a a
b b
φ+=，
①求()234φφ的值；②若4 1.35x φ=，则x 的值为多少？
课堂笔记
点点精讲 定义符号
定义符号 定义程序
定义新运算
板块一 定义新运算
例3． （1）如图是一个运算程序，当输入2-时，输出的数值为___________；
（2）根据如图所示的运算程序计算，当输出为8.1时，输入的数值为___________．
例4． 有一种数据转换器规定了如图运算：
（1）若输入1x =-，则输出y =_______； （2）若输出2y =，则输入x =________．
例5． 按下列程序来计算：
（1）如果2x =，应该运算______次才停止；
（2）若果输入一个数后该程序永不停止，则称“程序遇到bug ”，若x 为使程序遇到bug 的最大数，则x =______________．
1. 对于任意有理数a ，b ，定义运算“*”：a b a b a b *=⨯--．求124*的值．
2. 对于任意有理数a ，b ，规定2
a b
a
b +=
． （1）2
423
5⎛⎫
= ⎪⎝⎭
_________； （2）
311
46
2
x =
，求此时x 的值．
点点精练 定义程序 输入x 22x -
23x +
输出y
x 为奇数
x 为偶数
开始
输入x
乘4减3
是否>260
输出x
结束
是
否
输入x 乘负9
个位十位交换
小数点左移一位
输出
输入x
()
2
12-
()2÷-
输出
第九讲 定义新运算与找规律（一） 3. 下图是一个简单的运算程序，若输入x 的值为2-，则输出的数值为_______．
常见数列： 1 3 5 7 9 …… 21n -（n 为正整数）
2 4 6 8 10 …… 2 4 8 16 32 …… 2 5 10 17 26 …… 0
3 8 15 2
4 …… 2 6 12 20 30 …… 1 3 6 10 1
5 ……
1
1 2
3 5
…… （斐波那契数列）
x -
x +
x -
x +
x -
…… x + x -
x + x -
x +
……
例6． 找规律填数或代数式：
（1）1，2，3，4，______
（2）1，11，______，1111，11111 （3）______，16，112，120，1
30
（4）1x +，21x +，______，81x + （5）x -，2x ，3x -，4
x ，______
（6）x ，42x ，73x ，104x ，______
课堂笔记 点点精讲
找规律
数字规律
表格规律
板块二 找规律
数字字母规律 输入x
229x -
0>
输出结果
是
否
图形规律
例7． （1）2，4，6，8，10，12，……，则第n 项为____________；
（2）12，17，22，27，32，37，42，47，……，则第n 项为_____________； （3）1，1-，1，1-，1，1-，……，则第n 项为_____________； （4）1，2-，3，4-，5，6-，……，则第n 项为____________； （5）a ，2a ，3a ，4a ，5a ，……，则第n 项为____________；
（6）212a ，4232a -，6352a ，847
2
a -，……，则第n 项为____________；
（7）2a b -，542a b ，893a b -，11
164a b
，……，则第n 项为_____________；
（8）观察等式：222211⨯=+，333322⨯=+，44
4433
⨯=+，……，
则第n 个等式为__________．
例8． （1）已知数列如下：2，a ，b ，c ，3-，1……，其中任意三个相邻的数之和相等，
则第2015个数为_________．
（2）定义数列如下：()()211,2,1n a n n ==+，如()12
114
11a ==+，()2211
921a ==+， 再定义数列如下：()()()122111n n b a a a =---，如()113
212
b a =-=
， ()()2124
2113
b a a =--=，则n b =__________．
例9． 有一长条型链子，其外型由边长为1公分的正六边形排列而成．图表示此链之任一段花
纹，其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有35个黑色六边形，则此链 子共有几个白色六边形？（ ） A ．140
B ．142
C ．210
D ．212
例10． 观察下列图形：
它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第2015图形共有____________个笑脸.
图形规律
第1个
第2个
第3个
第4个
第九讲 定义新运算与找规律（一）例11． 根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
例12． 下列图形按照一定规律组成，第一图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角
形，第三个图形中共有14个三角形……，依此规律第5个图形中三角形的个数是（ ）． A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
例13． 四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位
上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2016次交换位置后，小兔所在的位号是（ ）
……
A ．1
B ． 2
C ．3
D ．4
例14． 现有33 的方格，每个小方格内均有数目不同的点图，要求方格内
每一行，每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了部分点图．则P 处所对应的点图是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
第3个
第2个
第1个
表格规律
1
2
3 4
鼠
猴
兔 猫 兔
猫 鼠 猴 猫
兔
猴 鼠
例15． 下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
……
根据此规律，可确定x 的值为（ ） A ．135
B ．170
C ．209
D ．252
1. （1）1，4，7，10，13，……，则第n 项为____________；
（2）1-，1，1-，1，1-，1，……，则第n 项为_____________； （3）a ，3a ，5a ，7a ……，则第n 项为____________；
（4）2
ab -，2
3ab ，34ab -，45ab ，则第n 项为____________．
2. （1）假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：
请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？
（2）假设仍有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：
请问第2015个棋子是黑色的还是白色的？
3. 在下面格正方形中的四个数都有一定的规律，按此规律得出a b c ++=____________．
点点精练 2 6 3
20
4
10
5 54 第1个 第2个
第3个
第4个
1 4
2 9
3 8
4 35
a 20 b
x
0 3 4
13
2 5 6
31
4 7 8
57
6 a b
c
第九讲 定义新运算与找规律（一）
1. 定义对x 的运算()233f x x x =-+，计算：
（1）()1f =__________，()()12f f f +=⎡⎤⎣⎦__________；
（2）记()()1f x f x =，()()()2f x f f x =，()()()()
3f x f f f x =，依次类推， 则()21f =__________，()20150f = __________．
2. （1）2，4，2，4，2，4，2，4，……，则第n 项为_____________．
（2）1，
23，13，427
，……，则第n 项为_____________． （3）222a b ，546a b -，106
12a b ，17
820a b -，……，则第n 项为_____________．
3. 如图，根据规律，问号格内的图形应该是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
横扫学霸。