河南省沈丘县第一高级中学2020_2021学年高一数学1月月考试题

河南省沈丘县第一高级中学2020-2021学年高一数学1月月考试题一、单选题(共60分)1．若集合{}2|230A x x x =-->，集合{}|38x B x =>，则AB 等于（ ）A ．()1,3-B ．(),1-∞-C ．()3,+∞D ．()3log 8,+∞2．已知函数()()23,12ln ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[-1，2）C ．（0，2）D ．(]2,1-3．函数()412x xf x +=的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于直线对称C ．关于轴对称D ．关于轴对称4．已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞6．设12523log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<7．函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为（ ）A ．94-B ．2-C ．32-D ．08．已知函数()23,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩且关于x 的方程()0f x x a ++=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-9．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形10．已知m ，n 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m a ∥，n a ⊂，则m n B ．若m a ∥，n a ，则m nC ．若m a ∥，m n ⊥，则n a ⊥D ．若m n ，m a ⊥，则n a ⊥11．在下列四个正方体中，能得出AB CD ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．在正四面体P ABC -中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A ．//BC 平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面PAE二、填空题(共20分)13．设m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，βn//，//αβ，则//m n；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则βn//；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确的是__________（填序号）．14．若53log 1x ⋅=，则()255x x--=______15．若集合中恰有唯一的元素，则实数a 的值为______．16．记函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，,0,()1,0.kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩若方程()()f x g x =在区间[]5,5-上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围为______三、解答题(共70分)17．(本题10分)已知函数()()()221316f x a xa x =-+-+（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 的值域为[)0,+∞，求实数a 的取值范围．18.三棱柱111ABC A B C -被平面11A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，1BB ⊥平面ABC ，190,,ABC BC BB E ∠==为棱1B C 上的动点（不包含端点），平面ABE 交1A C 于点F ．（1）求证：//EF AB ；（2）若点E 为1B C 中点，求证：平面ABE ⊥平面11A B C .19．(本题12分)已知函数xy a =（a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明()(1)1f x f x +-=；（3）求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．20．(本题12分)设函数()()22()log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求()y f x =的最大值和最小值，并求出最值时对应的x 值；（2）解不等式()60f x ->.21．(本题12分)．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若E 是BC 的中点，F 在PC 上，//PA 平面DEF ，求PFFC的值. 22．(本题12分)已知函数2()421,()32f x x x a g x mx m=-++=+-(1)若函数()y f x =在区间[0,1]上存在零点，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，若对任意1x ∈[0,4]，总存在2x ∈[0,4]，使12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 【解析】试题分析：{}2|230=(-,-1)(3,+)A x x x =-->∞∞，{}3|38(3log 2,)x B x =>=+∞，()3,A B ∴=+∞。

故选C 。

2．B解：因为函数2ln ,1y x x =≥的值域为[0,)+∞，而()f x 的值域为R ，所以20230a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得12a -≤<，故选：B 3．D【解析】试题分析：∵()()11411441222xxx xx xf x f x --+++-====，∴函数()f x 为偶函数，∴函数()f x 关于轴对称.4．A【解析】解：因为函数，则满足在R 上递增，因此则不等式的解为|2x-1|<,得到x 的取值范围为A5．D若函数()f x 在R 上为增函数， 则在两段上都应为单调递增函数，当1x <时，()221f x x ax a =-+-+，对称轴为2a x =，所以12a≥， 且在1x =处，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，即20a a ≤-所以得到2120aa a ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得201a a a ≥⎧⎨≤≥⎩或所以2a ≥. 故选：D. 6．B 【解析】因为()12523log 20,1,log 20,1a b c e=∈==，所以b a c <<,选B.7．A 【分析】根据对数的运算法则转化为关于2log x 的二次函数型函数求解即可. 【详解】解：由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以，()()()()2224224log log 4log log 41log 4xf x x x x =⋅=-⋅+，()()()()22222221992log 1log log log 2log 244f x x x x x x ⎛⎫=-++=--=--≥- ⎪⎝⎭，故选：A ．8．C关于x的方程f（x）+x+a＝0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y＝﹣x﹣a的图象有且只有一个交点，如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x﹣a的图象，数形结合可知，当﹣a>1即a<﹣1时，直线y2＝﹣x﹣a与y1＝log2x只有一个交点．即a∈（﹣∞，﹣1）．故选：C．9．B【解析】如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别AB,BC,CD,DA的中点，则有EF AC且12EF AC=．同理HG AC且12HG AC=,所以EF GH且EF GH=．所以四边形EFGH 为平行四边形， 又AC BD ⊥， 所以EF EH ⊥．所以四边形EFGH 为矩形．选B ． 10．D 【解析】利用排除法，在如图所示的正方体中，选取线面逐一分析所给的结论：取直线11:,:m A B n AD ，平面:a ABCD ，满足m a ，n a ⊂，但是不满足m n ，选项A 错误；取直线1111:,:m A B n B C ，平面:a ABCD ，满足m a ，n a ，但是不满足m n ，选项B 错误；取直线1111:,:m A B n B C ，平面:a ABCD ，满足m a ，m n ⊥，但是不满足n a ⊥，选项C 错误；本题选择D 选项.11．A【详解】试题分析：对于A ，作出过AB 的对角面ABE ，如图，可得直线CD 与这个对角面ABE 垂直，根据线面垂直的性质，AB CD ⊥成立，故A 正确；对于B ，作出过AB 的对角面ABE ，如图所示，将CD 平移至内侧面，可得CD 与AB 所成的角为60，所以不成立，对于C 、D ，将CD 平移至经过B 点的侧棱处，可得,AB CD 所成角都是锐角，故C 和D 均不成立，故选A ．12．C∵在正四面体P ABC -中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点， ∴//DF BC ，∵DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ， ∴//BC 平面PDF ，故A 正确；∵AB AC PB PC ===，E 是BC 中点， ∴AE BC ⊥，PE BC ⊥，∵AE PE E ⋂=， ∴BC ⊥平面PAE ， ∵//DF BC ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确； ∵DF ⊥平面PAE ，DF ⊂平面ABC ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∵平面PAE ⋂平面PDE PE =，且PE 与平面ABC 不垂直， ∴平面PDE 与平面ABC 不垂直，故C 错误； ∵DF ⊥平面PAE ，且DF ⊂平面PDF ， ∴平面PDF ⊥平面PAE ，故D 正确,故选C ． 13．②④对于命题①，若//m α，βn//，//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，命题①错误；对于命题②，设l αβ=，若αβ⊥，则存在n ⊂α，使得n l ⊥，则n β⊥，又m β⊥，则//m n ，m α⊄，//m α∴，命题②正确；对于命题③，m α⊥，//αβ，则m β⊥，又m n ⊥，则βn//或n β⊂，命题③错误；对于命题④，过直线m 作平面γ，使得a αγ⋂=，//m α，m γ⊂，则//a m ，m l ⊥，则a l ⊥.αβ⊥，l αβ=，a β∴⊥，//a m ，m β∴⊥，命题④正确.因此，正确命题的序号为②④. 故答案为：②④.14．649∵3x 51log =，则5x 3log =，∴53553log x ==，531553log x--==，∴()2221864(3)()35395xx -==--=，故答案为64915．1 集合中恰有唯一的元素，恰有唯一解，，因为要使恰有唯一解，必须，此时，且，不等式等价于，即不等式有唯一解，实数的值为1．故答案为1．16答案：11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】在同一直角坐标系内，画出()f x ，()g x 的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果.解析：在同一直角坐标系内，作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示，由图像可得，函数()y g x =与()y f x =在区间[5,0)-内有3个交点， 即方程()()f x g x =在区间[5,0)-上有3个实根，故方程()()f x g x =在区间[0,5]上有4个不同实根，即只需()y g x =与()y f x =在区间[]0,5内有4个交点，当直线y kx =经过点()4,1时，14k =，经过点()5,1时，15k =. 若在区间[0,5]上有4个根，则11,54k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 17．（1）5,111⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）51,11⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的定义域为R ，则()()2213160axa x -+-+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，①若1a =，则60≥恒成立，符合题意，②若1a =-，则660x +≥，解得1x ≥-，不符合题意，当210a -≠时，则()()22210914610a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-≤⎪⎩，解得5111a -≤<， 综上，5111a -≤≤； （2）当210a -=时，1a =±，①若1a =，则()f x = ②若1a =-，则()0f x =，符合题意，当210a -≠时，则()()22210914610a a a ⎧->⎪⎨∆=--⨯-≥⎪⎩，解得5111a -<≤-， 综上，5111a -≤≤-. 18.题【详解】（1）因为四边形11ABB A 是平行四边形，所以11//AB A B ，因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以//AB 平面11A B C .又AB 平面ABE ，平面ABE平面11A B C EF =，所以//EF AB .（2）因为1BB ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1BB AB ⊥.因为90ABC ∠=，所以AB BC ⊥.1BCBB B =，1,BC BB ⊂平面1BB C ，所以AB ⊥平面1BB C .又因为BE ⊂平面1BB C ，所以AB BE ⊥.因为11//AB A B ，所以11BE A B ⊥.因为1BC BB =，点E 为1B C 的中点，所以1BE B C ⊥.1111B CA B B =, 111,B C A B ⊂平面11A B C ，所以BE ⊥平面11A B C ，因为BE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11A B C 19．（1）4； （2）见解析； （3）1009.（1）由题意，函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，因为指数函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1，2]上单调递增或单调递减，可得220a a +=，得4a =或5a =-（舍去），所以4a =.（2）由（1）知4()42x x f x =+，则11442(1)4242424x x x xf x ---===++⋅+， 所以4242()(1)1422424x x x x xf x f x ++-=+==+++. （3）由（2）知，120182************()()()()()()1201920192019201920192019f f f f f f +=+==+=， 所以1220181201822017()()....()[()()][()()]2019201920192019201920192019f f f f f f f +++=+++ 10091010[()()]100920192019f f +++=， 即123201810092019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20（1）当x =()f x 取得最小值14-；当4x =时，()f x 取得最大值12；（2）{}24x x <≤ （1）由题意，()()()()222222log 4log 2log 4log log 2log x x x x ⋅=+⋅+=()()222log 1log x x +⋅+，令2log t x =，∵1,44x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴[]2log 2,2t x =∈-则()()22132y t t t t =++=++，根据二次函数的性质，可得当32t =-，即322x -==232y t t =++取得最小值，最小值为233132224⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当2t =时，即224x ==时，232y t t =++取得最大值，最大值为2232212+⨯+=. （2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则()60f x ->可化为2340t t +->，解得1t >或4t <-， 因为[]2,2t ∈-，所以12t <≤，则222log 2log log 4x <≤，即24x <≤，故不等式()60f x ->的解集为{}24x x <≤. 21．（1）证明见解析；（2）2.（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥. （2）连接AC 交DE 于M ，连接FM . 由于//PA 平面DEF ，平面PAC 平面DEF FM =，所以//PA FM .所以PF AMFC MC=， 由于//AD BC 且E 是BC 的中点，所以2AM ADMC EC==， 所以2PFFC=.22．(1) [－12,1]． (2) m ≥2或 m ≤－2. (1)∵f (x )＝x 2－4x ＋2a ＋1＝(x －2)2＋23a -，∴函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，要使f (x )在[0,1]上有零点，其图象如图，则()()0010f f ≥≤且即210220a a +≥-≤且∴－12≤a ≤1. 所以所求实数a 的取值范围是[－12,1]．(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1. ∴当x ∈[0,4]时，f (x )∈[－1,3]，记A ＝[－1,3]．由题意知当m=0时g(x)=3显然不适合题意..当m ＞0时，g(x)＝mx ＋3－2m 在[0,4]上是增函数，∴g(x)∈[3－2m, 2m+3]，记B ＝[3－2m, 2m+3]，由题意，知A ⊆B. ∴321233m m -≤-+≥且解得m ≥2.当m ＜0时，g (x )＝mx ＋3－2m 在[0,4]上是减函数，∴g (x )∈[2m+3,3－2m ]，记C ＝ [2m+3,3－2m ]，由题意，知A ⊆C .∴231323m m +≤--≥且解得m ≤－2. 综上所述:m ≥2或 m ≤－2.。