样本的数字特征讲解学习
《样本的数字特征》课件
均值和标准差来控制产品质量。
06
样本的偏态和峰态特征
偏态的概念和计算方法
偏态的概念
偏态是指样本数据分布的不对称性，即数据分布偏向某一方向的程度。
偏态的计算方法
计算偏态的方法有多种，其中最常见的是偏态系数。偏态系数的计算公式为：(S = frac{sum{(X_i bar{X})^3}}{N cdot S^3}) 其中 (S) 是偏态系数，(X_i) 是每个数据点，(bar{X}) 是样本均值，(N) 是样本数量， (S^2) 是样本方差。
在数据分析中的应用
数据清洗
样本数字特征可以帮助我 们识别异常值和缺失值， 以便进行数据清洗和预处 理。
数据可视化
样本数字特征可以用于绘 制图表和直方图，以便更 好地理解和分析数据。
预测分析
样本数字特征可以用于构 建预测模型，例如使用回 归分析预测未来的数据点 。
在金融领域的应用
1 2
风险评估
样本数字特征可以用于评估投资组合的风险，例 如计算收益率的均值和方差，以便了解投资组合 的波动情况。
0≤f(x)≤∞0 leq f(x) leq infty0≤f(x)≤∞。
正态分布的应用
描述自然现象的概率分布
01
许多自然现象的概率分布符合正态分布，如人的身高、考试分
数等。
统计分析
02
在统计分析中，正态分布在样本的数字特征描述、假设检验等
方面有着广泛的应用。
质量控制
03
在生产过程中，正态分布用于质量控制和过程控制，通过控方差
方差是用来度量一组数据与其平均值之间的离散程度。
方差越大，说明数据点与平均值的偏差越大，数据的离散程度越高。
方差计算公式为：$sigma^2 = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N}(x_i - mu)^2$，其中 $N$是数据点的数量，$x_i$是每个数据点，$mu$是数据的平均值。
6.4.1样本的数字特征课件-高一上学期数学北师大版
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加5项预赛， 成绩记录如下：
甲：78,76,74,90,82； 乙：90,70,75,85,80. 现要从中选派一人参加数学竞赛,根据成绩的稳定性,你认为选派哪 位学生参加更合适 试说明理由.
学习目标
新课讲授
课堂总结
甲：78,76,74,90,82； 乙：90,70,75,85,80.
学习目标
新课讲授
课堂总结
情境3：教练员发现，按照上面的标准看，甲、乙两名运动员相差不 大，并且该运动队的成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状 态就能取得冠军.因此，教练员需要选择一名运动水平相对稳定的队员参 赛.
标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标 准差越小成绩越稳定.
解：选派甲参加更合适.
x甲
78
76
74 5
90
82
80,
x乙
90
70
75 5
85
80
80,
s
2 甲
1 5
[(78
80)2
(76
80)2
(74
80)2
(90
80)2
(82
80)2 ]
32,
s
2 乙
1 5
[(90 80)2
(70 80)2
(75 80)2
(85
80)2
(80
80)2 ]
甲射击成绩的标准差s甲≈0.92环，乙射击成绩的标准差s乙≈1.28环.据 此，选择甲参加比赛.
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结提升
利用数据的数字特征，可以帮助人们进行决策，从而真正发挥数据分 析的作用.
《用样本数据的数字特征估计总体数字特征》专题精讲
《用样本数据的数字特征估计总体数字特征》专题精讲现实中的总体所包含的个数往往是很多的,因此我们通过获取样本数据,分析样本的分布和数字特征,进而对总体数字特征作出估计.而常见的样本的数字特征可分为两大类,一类是反映样本数据的集中趋势,包括样本平均数、众数、中位数;另一类是反映样本数据的波动大小,包括样本方差及标准差.通常,我们用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点.1.用样本的平均数、众数、中位数估计总体的平均数、众数、中位数.典例1 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.(1)求出表中M,p及图中a的值;(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;(3)估计这次学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数.思路:本题通过分析频率分布直方图计算频数和频率,考查了频率分布直方图表的特点,通过计算样本频率分布直方图中的众数、中位数以及平均数估计总体的数字特征.解析:(1)由[10,15)内的频数是10,频率是0.25,知10M=0.25,所以40M=.因为频数之和为40,所以1024240m +++=,解得4m =,所以40.1040m p M ===.因为a 是对应[15,20)的频率与组距的商,所以240.12405a ==⨯. (2)因为该校高三学生有240人,在[10,15)内的频率是0.25,所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为2400.2560⨯=. (3)估计这次学生参加社区服务次数的众数是15202+=17.5.因为240.640n ==,所以样本的中位数是0.50.251517.1a-+≈,估计这次学生参加社区服务次数的中位数是17.1.样本平均数是12.50.2517.50.622.50.127.50.0517.25⨯+⨯+⨯+⨯=,估计这次学生参加社区服务次数的平均数是17.25.2.估计总体的数字特征,通常我们用样本的平均数和方差（标准差）来近似代替总体的平均数和方差（标准差）,呈现样本数据的集中趋势及波动大小,从而实现对总体的估计(1)一般情况下,需要将平均数和标准差结合,得到更多样本数据的信息,从而对总体做出较好的估计.因为平均数容易掩盖一些极端情况,使我们做出对总体的片面判断,而标准差较好地避免了极端情况.(2)若两组数据的平均数差别很大,也可以仅比较平均数,估计总体的平均水平,从而做出判断.需要注意的是:通过样本数据的统计图表和数字特征,我们能够估计总体的信息,而且样本容量越大,这种估计也就越精确.当样本数据发生变化时,总体的这些信息不会变化.典例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:2t/hm ),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.思路:本题通过对样本的数据进行分析计算,得到样本的方差和平均数,呈现出样本数据的集中趋势及波动大小,并对总体进行估计和评价,解决本题需要认真计算,以免影响数据的估计功能.解析:甲品种的样本平均数为1(9.89.910.11010.2)105⨯++++=,样本方差为22(9.810)(9.910)⎡-+-+⎣222(10.110)(1010)(10.210)50.02⎤-+-+-÷=⎦,乙品种的样本平均数为9.410.310.89.79.8)101(5+++⨯+=,样本方差为22(9.410)(10.310)⎡-+-+⎣222(10.810)(9.710)(9.810)50.244⎤-+-+-÷=⎦,由于甲品种和乙品种的样本平均数都相同,而甲品种的样本方差远远小于乙品种的样本方差,所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.3.用样本数据的数字特征进行评价或决策“评价”一般指在数据分析的基础上能够基于数字特征给出相应的统计意义上的评价结论, “决策”一般指在基于数字特征有意义的评价的基础上,分析利弊、观察风险,进而做出切实可行的合理决策、方案或建议.典例3 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药,B 药）的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h),试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据,除了平均数还有哪个数字特征能评价哪种药的疗效更好?思路:本题从数据分析的角度出发,通过实际应用,计算样本数据的平均数,以及其他数字特征,给出相应的统计意义上的评价结论,进而做出切实可行的合理决策.解析:(1)设A 药观测数据的平均数为,B x 药观测数据的平均数为y ,由观测结果可得1(0.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.320x =⨯++++++++2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1++++++++++3.2 3.5) 2.3+=,1(0.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.220y =⨯++++++++1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6++++++++++2.7 3.2) 1.6+=,由以上计算结果可得x y >,因此可看出A 药的疗效更好.(2)由于中位数与平均数都可以描述数据集中程度,因此除了平均数还可以用中位数评价疗效.。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
《样本的数字特征》课件
参考文献
1 相关书籍
书名1, 书名2, 书名3
2 论文
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3 网络资源
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《样本的数字特征》
# 样本的数字特征 ## 什么是样本？ - 样本是指从总体中随机抽取的一部分个体。 - 抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样等。 ## 样本的数字特征有哪些？ - 样本的数字特征主要包括中心位置指标、离散程度指标和分布形态指标。
中心位置指标
平均数
样本所有观测值之和与观测值个数的比值。
离散程度指标
1 方差
观测值与平均数的差的平方和除以观测值个数。
2 标准差
方差的非负平方根。
分布形态指标
指标 偏度
峰度
定义
描述观测值分布偏离 对称的程度。
描述观测值分布尖峭 或平坦的程度。
公式及计算方法 计算公式
计算公式
适用情况 适用情况
适用情况
应用举例
实例分析
报告撰写
使用样本数字特征分析市场调研 数据，提供有针对性的决策建议。
中位数
将样本观测值按大小顺序排列，位于中间位置 的值。
离散程度指标
1
方差
观测值与平均数的差的平方和与观测值个数的比值。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
标准差
方差的正平方根。
分布形态指标
偏度
描述观测值分布偏离对称的程度。
峰度
描述观测值分布尖峭或平坦的程度。
中心位置指标
1
平均数
所有观测值之和除以观测值个数。
中位数
2
将样本观测值按大小顺序排列，位于中 间位置的值。
(学习指导) 样本的数字特征Word版含解析
§4用样本估计总体的数字特征4.1样本的数字特征学习目标核心素养1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点)2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理解释和决策．(难点)1．通过对数据特征数的计算，培养数学运算素养．2．通过利用数据的特征数估计总体分布，培养数据分析素养．(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)称为这n个数的平均数．2．方差(1)公式：s2＝（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x n－x）2n．(2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．3．标准差s＝s2＝（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x n－x）2n．思考：1.众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？提示：三种数字特征的优缺点比较：名称优点缺点众①体现了样本数据的最大集中①它只能表达样本数据中很少的2．标准差、方差的意义是什么？提示：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有() A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a＝110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，显然a＜b＜c.]2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有()甲乙丙A ．s 3＞s 1＞s 2B ．s 2＞s 1＞s 3C ．s 1＞s 2＞s 3D ．s 3＞s 2＞s 1D [所给图是成绩分布图，平均分是75分，在题图甲中，集中在75分附近的数据最多，题图丙中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，题图乙介于两者之间．由标准差的意义可得s 3＞s 2＞s 1.]3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 6[4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.]众数、中位数、平均数的简单运用【例1】 下面是某快餐店所有职位一周的收入表：(2)这个平均收入能反映所有职位的周收入的一般水平吗？为什么？ (3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表该店职位的周收入的水平吗？[解](1)周平均收入x 1＝17(6 000＋900＋700＋800＋640＋640＋820)＝1 500(元).(2)这个平均收入不能反映所有职位的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x 2＝16(900＋700＋800＋640＋640＋820)＝750(元).这能代表该店职位的周收入水平．利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．[跟进训练]1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：[解]在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是x＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).所以17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m．标准差、方差的计算及简单应用【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解](1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．[跟进训练]2．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则()A．x A>x B，s A>s B B．x A<x B，s A>s BC．x A>x B，s A<s B D．x A<x B，s A<s BB[x A＝16(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，x B＝16(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝353≈11.67.s2A＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，s2B＝16[(15－353)2＋(10－353)2＋(252－353)2＋(10－353)2＋(252－353)2＋(10－353)2]≈3.47.故x A＜x B，s A＞s B.]数据的数字特征的综合应用[探究问题]1．对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？提示：平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．2．对比两组数据时，要从哪几个方面进行？提示：从众数、中位数、平均数和方差等几个方面．【例3】在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：并说明理由．[思路点拨]分别求出这两组数据的众数、中位数、平均数和方差，从这几个方面进行统计分析．[解](1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵x甲＝x乙，s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．1．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．2．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．()(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．()(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．()[提示](1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都叫众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．[答案](1)×(2)×(3)×2．下列说法不正确的是()A．方差是标准差的平方B．标准差的大小不会超过极差C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散D[标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．]3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为()A．85分，85分，85分B．87分，85分，86分C．87分，85分，85分D．87分，85分，90分C[平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋7510＝87，众数为85，中位数为85，故选C.]4．一箱方便面共有50袋，用随机抽样方法从中抽取了10袋，并称其质量(单位：g)结果为：60．561606061.559.559.5586060(1)指出总体、个体、样本、样本容量；(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数；[解](1)总体：50袋方便面的质量，个体：每袋方便面的质量，样本：10袋方便面的质量，样本容量10.(2)众数，中位数，平均数均为60.。
用样本的数字特征估计总体的数字特征教学课件
05
实例分析
实例一：股票价格波动分析
线性回归模型
通过收集某支股票的历史交易数据， 利用线性回归模型分析股票价格与成 交量、市盈率等数字特征之间的关系 ，并利用样本数据估计总体趋势，为 投资者提供参考。
实例二：消费者行为分析
聚类分析
VS
通过聚类分析方法，将消费者的购买 行为进行分类，并利用样本数据中的 消费者数字特征（如购买频率、购买 金额等）来估计总体消费者的行为特 征，为企业制定营销策略提供依据。
均值是统计学中常用的一个数字特征，它表示一组数据的中 心位置。通过计算一组数据的均值，可以大致了解这组数据 的平均水平。在用样本估计总体时，样本均值可以作为总体 均值的点估计值。
方差
方差是衡量数据离散程度的量，计算的是每个数据点与均 值之间的偏差的平方和。
方差用于描述一组数据的离散程度，即各数值与均值之间 的偏差大小。方差越大，说明数据点越分散；方差越小， 说明数据点越集中。在统计学中，方差是评估数据稳定性 和可靠性时常用的一个数字特征。
估计结果的应用
描述总体“平均水平”
通过样本平均数来估计总体平均水平，了解总体 “平均状况”。
进行统计推断
利用样本数字特征来推断总体的性质，如进行假 设检验、区间估计等。
ABCD
衡量总体“离散程度”
通过样本方差和标准差来估计总体离散程度，了 解数据分布的稳定性。
辅助决策制定
基于样本数字特征对总体状况的估计，为决策者 提供数据支持，辅助制定科学合理的决策。
标准差
标准差是方差的平方根，与方差一样，用于衡量数据的离散程度。
标准差与方差一样，用于描述数据点的离散程度。标准差和方差的区别在于，标 准差将每个数据点与均值之间的偏差进行了开方处理。因此，标准差和方差具有 相同的量纲，即两者都可以用来表示数据点与均值之间的偏差大小。
用样本的数字特征估计总体的数字特征(上课用)课件
实例分析和软件操作
通过具体实例演示如何运用软件 工具进行样本数字特征的统计分 析和可视化，提高实际操作能力 。
02
样本与总体
样本与总体的定义
总体
研究对象的全体集合，具有明确 的定义和范围。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体 或观测值，用于推断总体的性质 和特征。
样本与总体的关系
样本是总体的代表
通过样本可以推断总体的特征和规律，但样本的代表性、误差和偏差等因素会影 响推断的准确性和可靠性。
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样本均值是总体均值的无偏估计，即随着样本量的增加， 样本均值会逐渐接近总体均值。
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样本均值的性质
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样本均值的计算方法
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样本均值具有线性性质，即如果 $a$ 和 $b$ 是常数，则 $abar{x} + b$ 也是总体均值的无偏估计。
。
03
数字特征
均值
均值是所有数值的和除以数值的数量，反映数据的平均水平 。
在统计学中，均值是一种常用的数字特征，用于描述一组数 据的中心趋势。它通过将所有数值加起来，然后除以数值的 数量来计算得出。均值的大小受数据中所有数值的影响，数 值越大，对均值的贡献也越大。
中位数
中位数是一组数据按大小顺序排列后处于中间位置的数值 ，反映数据的中心趋势。
下一步学习建议
深入学习更多高级的数字特征和统计方 法，如协方差、相关系数、回归分析等 。
学习如何在实际项目中应用数字特征进 行数据分析和处理，提高实际应用能力 。
了解更多关于数字特征的进化和演化算 法，如遗传算法、粒子群优化算法等。
学习如何在实际问题中更加灵活地应用 数字特征进行数据分析和处理，例如在 机器学习和数据挖掘等领域的应用。
用样本的数字特征总体教案
用样本的数字特征总体教案第一章：引言1.1 课程目标通过本章学习，让学生了解样本数字特征的概念，理解样本数字特征在总体研究中的重要性，并能运用样本数字特征对总体进行初步分析和描述。
1.2 教学内容样本数字特征的定义与作用样本数字特征的计算与分析1.3 教学方法讲授法：讲解样本数字特征的定义、作用及计算方法案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解样本数字特征的应用第二章：样本数字特征的基本概念2.1 课程目标通过本章学习，让学生掌握样本数字特征的基本概念，包括众数、平均数、中位数等，并了解它们之间的关系。
2.2 教学内容众数的定义与计算平均数的定义与计算中位数的定义与计算样本数字特征之间的关系2.3 教学方法讲授法：讲解众数、平均数、中位数的定义及计算方法练习法：让学生通过练习，巩固样本数字特征的基本概念第三章：样本数字特征的计算与分析3.1 课程目标通过本章学习，让学生掌握样本数字特征的计算方法，并能运用样本数字特征对数据进行分析。
3.2 教学内容样本数字特征的计算方法样本数字特征在数据分析中的应用3.3 教学方法讲授法：讲解样本数字特征的计算方法案例分析法：分析实际案例，让学生掌握样本数字特征在数据分析中的应用第四章：样本数字特征在总体研究中的应用4.1 课程目标通过本章学习，让学生了解样本数字特征在总体研究中的应用，并能运用样本数字特征对总体进行初步分析和描述。
4.2 教学内容样本数字特征在总体研究中的作用样本数字特征在总体研究中的应用案例4.3 教学方法讲授法：讲解样本数字特征在总体研究中的作用案例分析法：分析实际案例，让学生深入理解样本数字特征在总体研究中的应用5.1 课程目标通过本章学习，让学生回顾并巩固样本数字特征的基本概念和计算方法，展望样本数字特征在总体研究中的未来发展。
5.2 教学内容回顾样本数字特征的基本概念和计算方法展望样本数字特征在总体研究中的未来发展5.3 教学方法讨论法：让学生探讨样本数字特征在总体研究中的未来发展前景第六章：样本数字特征的实证分析6.1 课程目标通过本章学习，让学生能够运用样本数字特征对实际数据进行实证分析，从而提高对数据的洞察力和分析能力。
北师大版高中数学必修第一册《样本的数字特征》说课稿
北师大版高中数学必修第一册《样本的数字特征》说课稿一、课程背景《样本的数字特征》是北师大版高中数学必修第一册的一节重要课程。
在统计学中，样本是指从总体中抽取的一部分个体的集合。
通过研究样本的数字特征，我们可以对总体的性质进行推断和分析。
本课程旨在帮助学生了解样本的数字特征，掌握样本均值、样本方差、样本标准差等重要概念和计算方法，培养学生的统计思维和数据分析能力。
同时，通过实际问题的应用，让学生深入理解数字特征在实际中的意义和作用。
二、教学目标•掌握样本的概念，了解样本的抽取方法和意义；•理解样本的数字特征的定义和计算方法；•学会计算样本的均值、方差和标准差；•能够应用数字特征解决实际问题，提高数据分析和统计思维能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•样本的数字特征的概念和计算方法；•样本均值、样本方差和样本标准差的计算；•数字特征在实际问题中的应用。
2. 教学难点•数字特征的概念的理解与运用；•样本方差和样本标准差的计算公式的掌握；•实际问题的转化和解决能力。
四、教学过程1. 导入与引入问题引导学生思考：当我们想要了解一个总体的性质时，有哪些方法可以使用？为什么要使用样本来进行研究？请举例说明。
2. 概念解释与计算方法介绍（1）样本的概念通过简单明了的例子，引导学生理解样本的概念。
样本是指从总体中抽取的一部分个体的集合。
（2）数字特征的概念数字特征是用数值来描述数据分布和统计性质的指标，它可以反映数据的中心位置、离散程度等信息。
（3）样本均值的计算样本均值是样本中各个观察值的平均数。
引导学生通过样本均值的计算公式进行实际计算。
（4）样本方差的计算样本方差是样本中各个观察值与样本均值之差的平方的平均数。
引导学生通过样本方差的计算公式进行实际计算。
（5）样本标准差的计算样本标准差是样本方差的正平方根，用于衡量数据的离散程度。
引导学生通过样本标准差的计算公式进行实际计算。
3. 应用实例分析与解决通过一些实际问题的提问，帮助学生运用样本的数字特征解决实际问题。
用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、 20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？ 解 若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20
y ( x ≠ y ).若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数 z ＝α x ＋(1－α) y ， 其中 0<α<12，则 n，m 的大小关系为( )
A.n<m C.n＝m
B.n>m D.不能确定
类型二 在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数 例2 以教材2.2.1节调查的100位居民的月均用水量为例，样本数据的频 率分布表和频率分布直方图如图所示，试估算月均用水量的中位数.
知识点三 平均数 定义 如果有 n 个数
x1，x2，x3，…，xn，那么
x
＝
1n(x1＋x2＋…＋xn)
Байду номын сангаас
叫做
这 n 个数的平均数.
特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的
“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中
点的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，
x＝
33
＝10833500≈3 288(元).
中位数是1 500元，众数是1 500元.
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？ 解 在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平， 因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均 数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平.
样本的数字特征高一数学精品课堂(北师大版2019)
择平均数较高者乙参赛.(平均数：甲8.5环，乙8.6环)
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P170例题
解：情境3，若教练员发现，按上面的标准，两名运动员水平相差不
大，且该运动队的成绩已经超过其它同水平运动队，只要维持目
前状态就能取得冠军，此时教练员需要选择一名运动水平相对稳
解：(1)人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13(人).
(2)设中位数为x，则0.2＋(x−55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
(3)平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13；(2)62.5；(3)64.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15
位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(
)
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
解：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其
他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成
绩排列后看第8位的成绩即可.
中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．
④实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
三、对方差与标准差概念的理解
对方差与标准差概念的理解：
①标准差、方差描述了一组数据偏离平均数的离散程度．
标准差、方差越大，数据的离散程度越大；
标准差、方差越小，数据的离散程度小．
然后，我们就可以用样本的数字特征来估计总体的数字特征.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。
《样本的数字特征》示范公开课教学课件【高中数学北师大版】
样本的数字特征
超脑需要大数据，才能做出准确恰当的判断辅助生活，那生活中还遇到其他的数据应用实例么？
天气指数
上证指数
积分排名
统计：一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科．
在终极的分析中，全部知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有判断都是统计．
一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．
①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．
解：从不同的角度分析如下：
某鞋店试销一款新女鞋，销售情况见下表：鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是( )A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．故选B．
前8进决赛断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．故选C
，对应不同决策．不同的标准没有好坏之分，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定．
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O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”， 由此估计总体平均数为多少？
平均数的估值 = 频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.25×0.04+0.75×0.08 +1.25×0.15+1.75×0.22 +2.25×0.25+2.75×0.14 +3.25×0.06+3.75×0.04 +4.25×0.02=2.02（t）.
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
（1）你认为众数应在哪个小矩形内？ 由此估计总体的众数是什么？
取最高矩形
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
中点的横坐标 2.25作为众数.
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
一组数据的和与这组 数据的个数的商
全体的信息； （3）受极端值的影响较大，任何
一个数据的改变都会引起平均数
的改变
4、标准差与方差：
（1）标准差：用来描述样本数据的离散程度.
假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，
则标准差的计算公式是：
s1 nx 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2.
情境创设：
小范在公司工作了一周后
经理，你忽悠了 我,我已问过其 他技术员,没有 一个技术员的工 资超过3000元.
平均工资确实 是每月3000元, 你看看公司的
工资报表.
思考回答： 下表是该公司月工资报表:
员工 工资
总工 程师
9000
工程 技术 师 员A
7000 2800
技术 技术 技术 技术 技术 见习 员B 员C 员D 员E 员F 技术
3、平均数: 一组数据的总和除以数据的总个 数所得到的商就是这组数据的平均数.
x1，x2，…，xn的平均数 x1 nx1x2xn.
探究：用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布
直方图，如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、 平均数？
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
员G
2700 1500 1200 1200 1200 400
(1)请观察表中的数据, 计算该公司员工的月平均 工资是多少? 经理是否忽悠了小范?
(2)技术员C与技术员D是否忽悠了小范？他们又 是用的数据中的那些量呢？
【知识梳理】
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数 据叫做这组数据的众数.
2、中位数：将一组数据从小到大（或从大到 小）依次排列，把 最中间 位置的一个数据 （ 或中间两个数据的平均数 ）叫做这组数 据的中位数，中位数把样本数据分成了相同个 数的两部分.
O 0.5 1 Βιβλιοθήκη .5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
（4）从居民月均用水量样本数据可知，该样本 的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是 1.973，这与我们从样本频率分布直方图得 出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
这是因为样本数据的频率分布直方图，只是直 观地表明分布的形状，损失了一些样本数据，得到 的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关 . 因此，在只有样本频率分布直方图的情况下，我们 可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由 此估计总体特征.
2、会用样本的数字特征来估计总体的数字特 征，理解样本估计总体的思想；
3、会应用相关知识解决简单的统计实际问题.
情境创设：
我们好几
个人工资 都是1200
元
我的工资是 1500元,在公 司算中等收入
技术员C
技术员D
应聘者小范
第二天，小范哼着小歌上班了.
赵 经 理
我这里报酬不错, 月平 均工资是3000元,你 在这里好好干!
用样本的数字特征 估计总体的数字特征
复习引入
1、频率分布直方图
2、频率分布折线图 3、总体密度曲线 4、茎叶图
我们学习了用图、表来组织数据，以及通过 图、表提供的的信息，用样本的频率分布估计 总体的分布 . 为了更好的把握总体的规律，还需 要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
【明确考纲】
1、会求样本的众数、中位数、平均数、方差、 标准差；
(3)在频率分布直方图中，众数左边和右边的直
方图的面积相等. ( × ) (4)标准差越小，样本数据的波动也越小.( √ )
(5) 用样本的数字特征估计总体的数字特征时，
只需求出平均数就可以了. ( × )
【典例解析】
例1:某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下:
（2）直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是: 0.04, 0.08, 0.15, 0.22, 0.25, 0.14, 0.06, 0.04, 0.02. 中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系？由此 估计总体的中位数是什么？
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01， 0.01÷0.5=0.02， 中位数是2.02.
【探究新知】
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
（1）众数：最高的矩形的底边的中点的横坐标． （2）中位数：左右两侧直方图的面积相等． （3）平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边
中点的横坐标之和．
注：利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值， 与实际数据可能不一致．
名称
定义
特征
众数
一组数据中出现 次数最多的数
（2）方差
s 2 1 n x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)
(1)对于数据1,3,4,6,8,9，这组数据的中位数是4
或6. ×( )
(2)比赛中，计算选手得分时，去掉一个最低分
和最高分对比赛结果影响不大. ( × )
（1）反映了数据的集中趋势； （2）只能表达样本数据很少的一 部分信息,无法客观反映总体特征
一组数据按大小依次 （1）反映了数据的集中趋势；
中位数
排列，中间位置的一 个数（或中间两个数
（2）不受少数极端值的影响，但
的平均数）
对极端值不敏感
（1）反映了数据的平均水平；
（2）反映出更多的关于样本数据
平均数