概率论和数理统计第二章课后习题答案解析
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概率论与数理统计课后习题答案
第二章
1.一袋中有5 只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只
球中的最 大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】
35
35
24
35
3,4,51
(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6
C X P X P X P X ======
====
2.设在15只同 类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出 的次品个数,求: (1) X 的分 布律;
(2) X 的分 布函数并作图; (3)
—
133{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.
【解】
31331512213
3151133
150,1,2.
C 22
(0).
C 35
C C 12(1).
C 35
C 1
(2).C 35
X P X P X P X ========== 故X 的分布律为
(2) 当x <0时, F (x )=P (X ≤x )=0
当0≤x <1时 ,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)=
2235
当1≤x <2时 ,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435
当x ≥2时, F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函 数
0,
022
,0135
()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
(3)
·
3.射手向目标独立 地进行了3次射击,每次击中率为,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3.
312
3
2
2
3
3(0)(0.2)0.008
(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512
P X P X P X P X ============
故X 的 分布律为
0,
00.008,01()0.104,120.488,231,
3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪
=≤<⎨⎪≤<⎪
≥⎪⎩
(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==
4.(1) 设随机变量X 的分布律为
!
P {X =k }=!
k a
k
λ,
其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为
P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N ,
试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知
1()e !
k
k k P X k a a k λλ∞∞
======∑∑
故 e a λ-=
(2) 由分布律的性质知
;
1
1
1()N
N
k k a
P X k a N
======∑∑
即 1a =.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为,,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,),Y~b (3,
(1)
(3,3)P X Y ==
331212
33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++
222233
33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+
;
0.32076=
(2)
=
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为,且设各飞机
降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)
【 解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,,设机场需配备N 条跑道,则有
()0.01P X N ><
|
即 200
2002001
C (0.02)(0.98)
0.01k k k
k N -=+<∑
利用泊松近似
2000.02 4.np λ==⨯=
41e 4()
0.01!
k
k N P X N k -∞
=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有 一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊 松定理) 【解】设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000, 001)
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X = 1}=P {X =2},求概率P {X =4}. —
【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则
故
所以 4
4
51
210
(4)C ()33243
P X ===
. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,)
5
553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k
k k k P X -=≥==∑
(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,)
(
7
773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k
k k k P Y -=≥==∑
10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分
布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; ( 2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1 )3
2
(0)e P X -
== (2) 52
(1)1(0)1e P X P X -
≥=-==-
11.设P { X =k }=k
k
k
p p --22)
1(C , k =0,1,2