经典高考概率分布类型题归纳

经典高考概率分布类型题归纳

高考真题

一、超几何分布类型 二、二项分布类型

三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法

五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法

高考真题 2010年

22、（本小题满分10分）（相互独立事件）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且

P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14

5

n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。

所求概率为3

344

0.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

（2012年）22．（本小题满分10分）（古典概型）

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．

【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，

∴共有23

8C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =4

11

.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1

的共有6

对，故

(P ξ==

2

126C =111

, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-==4111111-

-=611

. ∴随机变量ξ的分布列是

∴6111111E ξ=⨯=.

（2014•江苏）（古典概型）

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．

解

⑴2224322

9

518C C C P C ++==⑵

()4

4491

4126

C P X C ===

,()313145364

9

13

363C C C C P X C +===()()()11

214314

P X P X P X ==-=-==

所以随机变量X 的概率分布如下表：

X 234

P

111413631126

因此随机变量X 的数学期望：E(X)=2×

1114+3×13

63

+4×1126=

209

（2017年）23．（本小题满分10分）

已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现

将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其

中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,

,)k m n =+．

1

2

3

m n +

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；

（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期

望，证明：()()(1)

n

E X m n n <

+-．

试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：

1

1

C

C

n

m n

n

m n

n

p

m n

-

+-

+

==

+

．

（2）随机变量X的概率分布为

X 1

n

1

1

n+

1

2

n+

…

1

k

…

1

m n

+

P

1

1

C

C

n

n

n

m n

-

-

+

1

C

C

n

n

n

m n

-

+

1

1

C

C

n

n

n

m n

-

+

+

…

1

1

C

C

n

k

n

m n

-

-

+

…

1

1

C

C

n

n m

n

m n

-

+-

+

随机变量X的期望为

1

1

C

111(1)!

()

C C(1)!()!

n

m n m n

k

n n

k n k n

m n m n

k

E X

k k n k n

-

++

-

==

++

-

=⋅=⋅

--

∑∑．