经典易错题总汇编极限与数学归纳法
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十四章极限(理)14.1 数学归纳法
第十四章 极限(理)网络体系总览考点目标定位1.数学归纳法、数学归纳法的应用.2.数列的极限.3.函数的极限、极限的四则运算、函数的连续性.复习方略指南极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多地被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别,函数的极限与函数连续性的渐进性.14.1 数学归纳法巩固·夯实基础一、自主梳理1.数学归纳法的定义由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法:（1）先证明当n=n 0(n 0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k(k ∈N *,k ≥n 0)时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.2.数学归纳法的应用(1)证恒等式；(2)整除性的证明；(3)探求平面几何中的问题；(4)探求数列的通项；(5)不等式的证明.二、点击双基1.设f(n)=11+n +21+n +31+n +…+n 21(n ∈N *),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A.121+n B.221+n C.121+n +221+n D.121+n -221+n 解析:f(n+1)-f(n)=21+n +31+n +…+n21+121+n +221+n -(11+n +21+n +…+n 21)=121+n +221+n -11+n =121+n -221+n . 答案:D2.若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004的箭头方向依次为( )解析:2 002=4×500+2,而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.答案:D3.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立解析:若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立,若n=k+1时命题不成立,则n=k时命题也不成立.答案:C4.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有____________个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点；第二个图形中除中心点外还有两边,每边一个点；第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点；…；依次类推,第n 个图形中除中心点外还有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n2-n+15.用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为__________________.解析:34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.答案:34(34k+2+52k+1)-56·52k+1诱思·实例点拨【例1】比较2n与n2的大小(n∈N*).剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解:当n=1时，21>12,当n=2时，22=22,当n=3时，23<32,当n=4时，24=42,当n=5时，25>52,猜想:当n≥5时，2n>n2.下面用数学归纳法证明:(1)当n=5时，25>52成立.(2)假设n=k(k∈N*,k≥5)时,2k>k2,那么2k+1=2·2k=2k+2k>k2+(1+1)k>k2+C0k+C1k+C k-1k=k2+2k+1=(k+1)2.∴当n=k+1时，2n>n2.由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2n>n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n>n2；当n=2、4时，2n=n2；当n=3时，2n<n2.讲评:用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩. 链接·拓展当n≥5时，要证2n>n2,也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+C n-2n+C n-1n+C n n>1+n+2)1(-nn+2)1(-nn=1+n+n2-n>n2.【例2】数列{a n }满足a 1=1且a n+1=(1+n n +21)a n +n21(n ≥1). (1)用数学归纳法证明a n ≥2(n ≥2);(2)已知不等式ln(1+x)<x 对x>0成立,证明a n <e 2(n ≥1),其中无理数e=2.718 28….剖析:本题第二问中a n 不能求出,直接比较a n 与e 2的大小不行,且是与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法.证明:(1)①当n=2时,a 2=2≥2,不等式成立.②假设当n=k(k ≥2)时不等式成立,即a k ≥2(k ≥2),那么a k +1=［1+)1(1+k k ］a k +k 21≥2, 这就是说,当n=k+1时不等式成立.根据①②可知a n ≥2对所有n ≥2成立.(2)由递推公式及(1)的结论有 a n+1=(1+n n +21)a n +n 21≤(1+n n +21+n21)a n (n ≥1).两边取对数并利用已知不等式得 lna n+1≤ln(1+n n +21+n 21)+lna n ≤lna n +n n +21+n 21. 故lna n+1-lna n ≤)1(1+n n +n 21(n ≥1). 上式从1到n-1求和可得lna n -lna 1≤211⨯+321⨯+…+n n )1(1-+21+221+…+121-n =1-21+(21-31)+…+11-n -n 1+21·211211--n =1-n 1+1-n 21<2, 即lna n <2,故a n <e 2(n ≥1).讲评:利用数学归纳法证明问题,要严格按照数学归纳法的步骤进行.特别是由n=k 成立推证n=k+1成立时,过程要条理清楚、逻辑严密.【例3】 (经典回放)设a 0为常数，且a n =3n-1-2a n-1(n ∈N *).证明n ≥1时，a n =51［3n +(-1)n-1·2n ］+(-1)n ·2n ·a 0.剖析:给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.证明:(1)当n=1时，51(3+2)-2a 0=1-2a 0, 而a 1=30-2a 0=1-2a 0.∴当n=1时，通项公式正确.(2)假设n=k(k ∈N *)时正确，即a k =51［3k +(-1)k-1·2k ］+(-1)k ·2k ·a 0, 那么a k +1=3k -2a k =3k -52×3k +52(-1)k ·2k +(-1)k+1·2k+1a 0=53·3k +51(-1)k ·2k+1+(-1)k +1·2k+1·a 0 =51［3k+1+(-1)k ·2k+1］+(-1)k +1·2k+1·a 0. ∴当n=k+1时，通项公式正确.由(1)(2)可知，对n ∈N *，a n =51［3n +(-1)n-1·2n ］+(-1)n ·2n ·a 0. 讲评:由n=k 正确⇒n=k+1时也正确是证明的关键.注意拼凑系数及结构变形的方法应用. 链接·拓展本题也可用构造数列的方法求a n .解:∵a 0为常数，∴a 1=3-2a 0.由a n =3n-1-2a n-1,得n n a 33=-1132--n n a +1, 即n n a 3=-32·113--n n a +31. ∴n n a 3-51=-32(113--n n a -51). ∴{n n a 3-51}是公比为-32，首项为3230a --51的等比数列. ∴n n a 3-51=(54-32a 0)·(-32)n-1. ∴a n =(54-32a 0)·(-2)n-1×3+51×3n =51［3n +(-1)n-1·2n ］+(-1)n ·2n ·a 0. 注:本题关键是转化成a n+1=ca n +d 型.。
高中数学易错题大汇总及其解析
【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。
而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。
本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。
解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。
然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。
最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。
（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。
解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。
2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。
解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。
（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。
解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。
3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。
解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。
（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。
解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。
专题二 第三讲 极限、数学归纳法(理)
在 x＝1 处连
2 lim 续，故 lim f ( x ) ＝ f ( x ) ＝ f (1) ，所以 x ＋ax－3 必含有
因式(x－1)，即 x＝1 必为方程 x2＋ax－3＝0 的根，所 以 a＝2，则可得 b＝3，所以 2x 3 ＋ 3b ＋a 3 ＋2 3 lim x ＝3. x ＝ lim x x ＝ lim 2 x x x b －a 3 －2 1－3x
[做考题
查漏补缺]
(2011· 四川高考)已知定义在[0，＋∞)上的函数 f(x) 满足 f(x)＝3f(x＋2)，当 x∈[0,2)时，f(x)＝－x2＋2x.设 f(x) 在[2n－2,2n)上的最大值为 an(n∈N*)， 且{an}的前 n 项和为 Sn，则 lim Sn＝
n
( 5 B.2 C．2 3 D.2
解：由f(n)＝(2n＋7)· 3n＋9得f(1)＝36；f(2)＝3×36；f(3) ＝10×36；f(4)＝34×36. 由此猜想m＝36，下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，显然成立． (2)假设n＝k时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)· 3k＋9 能被36整除．
当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]· 3k＋1＋9＝(2k＋7)· 3k＋1＋27
答案：B
2x2 4．(2011· 湖北八校联考)已知 lim ( －ax－b)＝2，其 x x＋1 b 中 a、b∈R，则a的值为 A．－2 C．2 B．－6 D． 6 ( )
2x2 解析：由 lim ( －ax－b) x x＋ 1
2－a＝0， 2－ax2－a＋bx－b ＝ lim ＝2，得 x x＋1 －a＋b＝2，
x x0
lim f(x)＝f(x0)，则称函数 f(x)在点 x＝x0 处连续．
金榜时代考研数学经典易错题
金榜时代考研数学经典易错题在众多考研科目中，数学是让许多考生头疼的一门科目。
其中，经典易错题更是令人望而却步。
本文将介绍一些常见的数学经典易错题，并提供详细解析，帮助考生更好地理解和掌握这些题目。
一、函数的极限1. 设函数 f(x) = sin(x)，求极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x²。
解析：根据极限的定义，lim(x→0) (sin(x) - x) / x² = lim(x→0) [(sin(x) - x) / x] / x = 1/2。
这道题考查了对函数极限的应用和极限的换元法。
2. 已知函数 f(x) = x^a * ln(x)，其中 a 是常数，求函数 f(x) 在 x = 1处的极限。
解析：利用洛必达法则求得此极限为 a。
二、导数与微分3. 设函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求 f'(x) = 0 的解及 f(x) 的极值点，并判断其性质。
解析：对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令 f'(x) = 0，解得 x = 1，x = 3。
将这两个解带入 f(x) 的二阶导数判断其性质，最终得到 f(x) 在 x = 1 处取得极小值 6，x = 3 处取得极大值 2。
4. 已知函数 f(x) = x^2 * e^(2x)，求函数 f(x) 的最大值点。
解析：对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 2x * e^(2x) + x^2 * 2e^(2x)，令f'(x) = 0，解得 x = -1/2。
求得 f''(x) = 4x * e^(2x) + 4x^2 * e^(2x) +4e^(2x) > 0。
由此可知 x = -1/2 处取得函数 f(x) 的最小值。
三、定积分5. 计算定积分∫(0 to 1) (x - 1) ln(x) dx。
(整理)高等数学易错问题总结
关于大学数学遇到的一些疑难问题解析1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。
对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。
2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。
且对于方差在X-Y 小于0的情况下也有类似结论。
对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。
对Z=min(X,Y)同理可推。
避免了先求F Z(z)= F x(z)* F Y(z)和F Z(z)=1-(1- F x(z))* (1- F Y(z)),再对z求导的麻烦。
3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。
答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x) 在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。
高数极限易错题
1. 关于极值点的3种判别法：■法一：定义法；■法二：若f(x)可导，f'(xo)=0，且f’’(x)不为0，则f(x)在xo处取得极值，若二阶导<0，取得极大；＞0，极小。
法三：(n阶判别法)：若f'(xo)=二阶导(xo)=…=n-1阶导(xo)=0，且n阶导不为0，若n为偶数，且n阶导>0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则(xo，f(xo)为拐点，xo不是极值点。
证明：略2参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y''表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。
y''=d^2y/dx^2=[d(dy/dx)]/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y’(t)，和关于t的x'(t)，因为dy/dx=(dy/dt)×(dt/dx)=y'(t)/x‘(t)。
举例：已知y=cost，x=t^2，那么求dy/dx，d^2y/dx^2。
标准解答：1：y'(t)=-sint，x'(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=｛d[(-sint)/2t]｝/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t^3) ………★综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。
3求极限请注意自变量趋向什么。
我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：无穷小量×有界函数=无穷小量。
这里：|sinx|<=1，1/x是无穷小量。
再次重申：请注意x趋向什么。
4.关于极限的保号性。
若lim f(x)=A , A>0或(A<0)，则存在δ>0，当x取x0的δ去心x->x0 邻域时,f(x)>0(或f(x)<0)。
这是最原始结论：如果结论中不取去心邻域，那么结论是错的。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法例求极限3x 12limx1例1x 1(3x1)2223x 33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。
注：此题也能够用洛比达法例。
limn(n 2n 1)n例2分子分母同除以nn[(n 2)(n 1)]33limlimnnn2n121211解：原式=nn。
上下同除以3n(1)n 1nnlim 31(1)3nlim(2)n 1例3n2n3n 解：原式3。
3．两个重要极限lim sinx1（1）x0x1lim(1x)xelim(11)x ex（2）x0；x说明：不单要能够运用这两个重要极限自己，还应能够娴熟运用它们的变形形式，1xlim sin3x1lim(12x)2xelim(13)3e比如：x03x，x0，xx；等等。
利用两个重要极限求极限2sin 2x2sin 2x221lim2lim 1cosx3xx 26xx 0lim 12()例5x03x 2解：原式=2。
注：此题也能够用洛比达法例。
216sinx 16sinx xlim(13sinx)xlim(13sinx)3sinxxlim[(13sinx)3sinx ]e6例6x=xx0n13nn13nlim(n 2)nlim(13)3n1lim[(13)3]n1e 3例7nn1=nn1nn1。
4．等价无量小定理2无量小与有界函数的乘积仍旧是无量小（即极限是0）。
定理3当x 0时，以下函数都是无量小（即极限是0），且互相等价，即有：x ～sinx ～tanx ～arcsinx ～arctanx ～ln(1x)～e x 1。
说明：当上边每个函数中的自变量x 换成g(x)时（g(x)0），仍有上边的等价关系建立，比如：当x 0时，e3x 1～3x；ln(1x 2)～x2。
f(x),g(x),f 1(x),g 1(x)xx 0f(x)定理4假如函数都是时的无量小，且～f 1(x)f(x)f 1(x)lim lim lim f 1(x)g(x)g 1(x)xx 0g 1(x)xx 0g(x)f(x)xx 0g 1(x)，～，则当存在时，也存在且等于，f(x)f 1(x)limlim即xx 0g(x)=xx 0g1(x)。
专题3：数学易错题讨论(数列与极限)
专题3：高考数学易错题分析（数列与极限）一、典型例题分析【易错点1】已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况． 例1、数列{}n a 前n 项和n s 且1111,3n n a a s +==，求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式。
【易错点分析】此题在应用n s 与n a 的关系时误认为1n n n a s s -=-对于任意n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。
易得出数列{}n a 为等比数列的错误结论。
解析：易求得2341416,,3927a a a ===。
由1111,3n n a a s +==得()1123n n a s n -=≥故()111112333n n n n n a a s s a n +--=-=≥得()1423n n a a n +=≥又11a =，213a =故该数列从第二项开始为等比数列故()()21114233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩。
【评析引申】对于数列n a 与n s 之间有如下关系：()()1112n nn s n a s s n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩利用两者之间的关系可以已知n s 求n a 。
但注意只有在当1a 适合()12n n n a s s n -=-≥时两者才可以合并，否则要写分段函数的形式。
【易错点2】利用函数知识求解数列的最大项及前n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）例2、等差数列{}n a 的首项10a >，前n 项和n s ，当l m ≠时，m l s s =。
问n 为何值时n s 最大?【易错点分析】等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。
解析：由题意知n s =()()2111222n n dd f n na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭此函数是以n 为变量的二次函数，因为10a >，当l m ≠时，m l s s =故0d <即此二次函数开口向下，故由()()fl f m =得当2l m x +=时()f x 取得最大值，但由于n N +∈，故若l m +为偶数，当2l m n +=时，n s 最大。
数列极限和数学归纳法练习(有-答案)
数列极限和数学归纳法练习(有-答案)数列极限和数学归纳法一、 知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。
1、理解数列极限的概念：21,(1),nn n-等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞==<=nn n n q q C C n4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-nn a S Sq q数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64整除，2438(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。
二、 填空题1、 计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_____3_____。
2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，nV V V 21=+++∞→)(lim 21nn V V V 87. 3、20lim______313n n n →∞+=+134、 数列的通项公式，前项和为，则=______32_______. 5、 设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3 ．6、 在等比数列{}na 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim nn a a a →∞+++=_16±______.7、数列{}na 的通项公式是13(2)--+=+-n n na，则)(lim 21nn a a a +++∞→ =___76____ . 8、已知数列{}na 是无穷等比数列，其前n 项和是nS ，若232aa +=，341a a +=，则lim nn S →∞的值为 163.9、设数列{}n a 满足当2na n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题： （1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ． （4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是 （2）（3）{}na *1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩n nS lim nn S →∞（4） .（填写你认为正确的所有命题序号）10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为nS ，则=∞→nn S lim ___12________． 11、 在无穷等比数列{}na 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,412、设无穷等比数列{}na 的公比为q ，若245lim()→∞=+++nn a a a a ，则15-+13、 已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn C 23,12，其中n 为正整数，设nS 表示△ABC 的面积，则=∞→nn S lim ___2.5________．14、下列关于极限的计算，错误．．的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）（－n ）===；（4）已知=（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22nnnnnf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}na 为等比数列；④数列{}nb 为等差数列.其中正确结论的序号有 ① ③ ④ ．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能．．．是… ………（ （D ） ）（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.17、若21lim 12n n r r+→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是 （ （A ） ）（A ）1r ≤-或13r ≥- ；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或13r >- ；（D ）113r -≤≤- 观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .(A)；(B)(C)；(D)19、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，nS 是数列{}na 的前n 项和（ (A ） ）0>a 0>b 11lim 5n n nnn a ba b++→∞-=-b a +78910 ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+<(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈(A ）lim nn a →∞和lim nn S →∞都存在 ； (B) lim nn a →∞和lim nn S →∞都不存在 。
高三复习中极限、数学归纳法易错题型
命题角度 1 数学归纳法1．（典型例题）已知a>0,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a+na 1,n=1,2,…. (Ⅰ)已知数列{a n }极限存在且大于零，求A=n n a ∞→lim (将A 用a 表示)；(Ⅱ)设b n =a n -A,n=1,2…,证明：bn+1=-;)(A b A b n n+(Ⅲ)若|bn|≤n21, 对n=1,2…都成立，求a 的取值范围。
[考场错解] (Ⅰ)由n n a ∞→lim ，存在，且A=n n a ∞→lim （A>0）,对a a+1=a+na 1两边取极限得，A=a+A 1.解得A=.242+±a a 又A>0, ∴A=.242++a a (Ⅱ)由a n +b n +A,a n+1=a+n a 1得b n+1+A=a+Ab n +1. ∴.)(1111A b A b A b A A b A a b n n n n n +-=++-=++-=+ 即)(1A b A b b n nn +-=+对n=1,2…都成立。
(Ⅲ)∵对n=1,2,…|bn|≤n21，则取n=1时，21||1≤b ,得.21|4(21|2≤++-a a a ∴14.21|)4(21|22≤-+∴≤-+a a a a ,解得23≥a 。
[专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般，而且不知{b n }数列的增减性，更不能以b 1取代b n . [对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。
(Ⅲ)令|b 1|≤21,得.21|)4(21|2≤++-a a a ∴.21|421|2≤-+a a ∴.23,142≥≤-+a a a 解得 现证明当23≥a 时，n nb 21||≤对n=1,2,…都成立。
(i)当n=1时结论成立（已验证）。
(ii)假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即kk b 21||≤，那么.21||1|)(|||||1k k k k k A b A A b A b b ⨯+≤+=+故只须证明21||1≤+A b A k ，即证A|bk+A|≥2对a ≥23成立由于,422422aa a a A -+=++=而当a ≥23时，而当a ≥23时，.2,142≥∴≤-+A a a ∴,1212||||≥-≥-≥+k k b A A b 即A|b k +A|≥2. 故当a ≥23时，.212121||11++=⨯≤k kk b即n=k+1时结论成立。
求极限的方法及例题总结解读
求极限的方法及例题总结解读第一篇：求极限的方法及例题总结解读1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x→2lim(3x-1)=5 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B（2）limf(x)⋅g(x)=A⋅B （3）limf(x)A=,(此时需B≠0成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限limx→1例1 3x+1-2x-1(3x+1)2-223x-33lim=lim=x→1(x-1)(3x+1+2)x→1(x-1)(3x+1+2 )4解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 limn(n+2-n-1)n→∞nn[(n+2)-(n-1)]分子分母同除以lim=n→∞n+2+n-1limn→∞31+21+1-nn=32解：原式=(-1)n+3nlimnn例3 n→∞2+3。
上下同除以3n=解：原式1(-)n+1lim3=1n→∞2n()+13。
3．两个重要极限sinx=1x→0x（1）lim（2）x→0lim(1+x)=e1xlim(1+1)x=ex；x→∞说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim=1lim(1-2x)-2x=elim(1+)3=ex例如：x→03x，x→0，x→∞；等等。
高考数学热点难点全面突破专题-数学归纳法与极限(解析版)【2020年最新】
例题剖析
【例 1】已知数列 { an} 满足： nan 2 1007( n 1)an 1 2018( n 1)an( n N * ) ，且 a1 1 ，
a2
2 ，若 lim an 1
n
an
A ，则 A
．
【答案】 1009
【解析】 nan 2 1007( n 1)an 1 2018(n 1)an ， a1 1， a2 2 ，
高考数学热点难点全面突破专题 -数学归纳法与极限 （解析版）
专题点拨
1．数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当
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n 取第一个值 n0 时命题成立，然后假设当 n＝
k(k∈N*， k≥n0)时命题成立，并利用假设证明当 n＝ k＋ 1 时命题也成立，这两步缺一不可，
要完整地书写．
用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式， 整除性和平面几何问题等．
an 0 ， n 1 时， nan 2
1007 2018(n 1)an ，
( n 1)an 1
(n 1)an 1
lim an 1
n
an
A 0 ，对于上式两边取极限可得：
2018
A 1007
，
A
化为： ( A 1009)( A 2) 0 ，解得 A 1009．
故答案为： 1009 ．
【例 2】 在无穷等比数列 { an} 中， lim( a1 a2 n
22
【例 3】观察下列式子：
13 1＋ 22<2，
1＋
212＋
1 32<
5 3
，
1＋
212＋
312＋
2013高考数学三部曲(复习、诊断、练习)典型易错题会诊 考点14 极限-推荐下载
2．(典型例题)已知数列{an}中,a1=3,前 n 项和 Sn 满足条件 Sn=6-2an+1.计算 a2、a3、a4,然后猜想 an 的表达式。并证明你的结论。
所以
①
②
此猜想
[考场错解]
当
a2=
n=1
假设当
ak 1 ak
1=
1 2
3 2k 11
a1=
3 2
时，a1=
1, 2
当
,a3=
n≥2
(Ⅰ)证明：an≤
,n=2,3,4,….
2
2b b[log2
n]
1 2
1 3
a2=
a2=
ak=
3 2
3 4
.
n=k+1
+…+
，n=2,3,4,5,…;
(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数
[考场错解]
1）当
a=3
N，使得当
（1）利用数学归纳法证明不等式： an 1
1 2n(ຫໍສະໝຸດ )由,a>0,数列{an}满足
bn A(bn
对 n=1,2…都成立，求 a 的取值范围。
lim
n
A=a+ 1 . 解得 A= a a2 4 . 又 A>0, ∴A= a a2 4 .
A
(Ⅱ)由
∴
即
bn1
bn1
(Ⅲ)∵对
an+bn+A,an+1=a+
a
A
(a
a2 4) | 1 . 2
高考数学热点难点全面突破专题-数学归纳法与极限(解析版)
高考数学热点难点全面突破专题-数学归纳法与极限（解析版） 专题点拨1．数学归纳法证明问题有两个步骤：先证当n 取第一个值n 0时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，并利用假设证明当n ＝k ＋1时命题也成立，这两步缺一不可，要完整地书写．用数学归纳法证明的问题有：可以证明一些与正整数有关的命题，如数列求和公式，整除性和平面几何问题等．2．数列的极限的四则运算，特别是掌握只有在数列{a n }和{b n }的极限存在的条件下，才有四则运算，且数列运算性质是针对有限项数列运算的性质，不能推广至无限项．数列的三个基本极限：lim n →∞c ＝c ，lim 1n＝0，lim n →∞q n ＝0(|q |＜1)，它们是极限运算的基础，但是要区别，如果q 是收敛的等比数列的公比时，0＜|q |＜1.计算数列极限的类型也有两种：一是根式型；二是分式型，它们都有自己的运算特点．无穷等比数列各项和的公式S ＝a 11－q，可用于化循环小数为分数和解相应的应用题，这时关键是找出等比数列的首项和公比，然后代入公式计算．真题赏析1．(2016·上海)已知无穷等比数列的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＝S .下列条件中，使得2S n <S (n ∈N *)恒成立的是 ( )A ．a 1>0, 0.6<q <0.7B ．a 1<0, －0.7<q <－0.6C ．a 1>0, 0.7<q <0.8D ．a 1<0, －0.8<q <－0.7【答案】B【解析】 由题意得：S n ＝a 1·1－q n 1－q，所以 S n ＝a 11－q ＝S (0<|q |<1)，所以2a 1·1－q n 1－q <a 1·11－q(0<|q |<1)对一切正整数恒成立，当a 1>0时，q n >12不恒成立，舍去；当a 1<0时，q n <12，故选B.2．(2016·上海)对于无穷数列{a n }与{b n }，记A ＝{x |x ＝a n ，n ∈N *}， B ＝{x |x ＝b n ，d ∈N *，n ∈N *}，若同时满足条件：∈{a n }，{b n }均单调递增；∈A ∩B ＝∈且A ∈B ＝N *，则称{a n }与{b n }是无穷互补数列．(1)若a n ＝2n －1，b n ＝4n －2，判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列，并说明理由；(2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列，求数列{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列，{a n }为等差数列且a 16＝36，求{a n }与{b n }的通项公式．【解析】(1)因为4∈A ，4∈B ，所以4∈A ∈B ，从而{}a n 与{}b n 不是无穷互补数列．(2)因为a 4＝16，所以b 16＝16＋4＝20，数列{}b n 的前16项和为：()1＋2＋…＋20－()2＋22＋23＋24＝1＋202×20－()25－2＝180.(3)设{}a n 的公差为d ，d ∈N *，则a 16＝a 1＋15d ＝36.由a 1＝36－15d ≥1，得d ＝1或2.若d ＝1，则a 1＝21，a n ＝n ＋20，与“{a n }与{b n }是无穷互补数列”矛盾；若d ＝2，则a 1＝6，a n ＝2n ＋4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ≤5，2n －5，n >5. 综上，a n ＝2n ＋4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ≤5，2n －5，n >5. 例题剖析【例1】已知数列{}n a 满足：*211007(1)2018(1)()n n n na n a n a n N ++=-++∈，且11a =，22a =，若1limn n na A a +→∞=，则A = ． 【答案】1009 【解析】211007(1)2018(1)n n n na n a n a ++=-++，11a =，22a =， 0n a ∴>，1n >时，2112018(1)1007(1)(1)n n n n na n a n a n a ++++=+--，1lim 0n n na A a +→∞=>，对于上式两边取极限可得：20181007A A =+， 化为：(1009)(2)0A A -+=，解得1009A =．故答案为： 1009 ．【例2】在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋯⋯+=，则1a 的取值范围是 【答案】11(0,)(,1)22【解析】 因为无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋯+=，所以||1q <， 1112a q =-，所以11(1)2a q =-，11q -<<且0q ≠ 101a ∴<<且112a ≠ 故答案为：11(0,)(,1)22． 【例3】观察下列式子：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …根据上述规律，第n 个不等式应该为________． 【答案】 1＋122＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1. 【解析】根据上面例子的观察比较后得到1＋122＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1. 【变式训练】数列{2n －1}的前n 项1，3，7，…，2n －1组成集合A n ＝{}1，3，7，2n －1(n ∈N *)，从集合A n 中任取k (k ＝1，2，3，…，n )个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k (若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记S n ＝T 1＋T 2＋…＋T n ，例如当n ＝1时，A 1＝{1}，T 1＝1，S 1＝1；当n ＝2时，A 2＝{1，3}，T 1＝1＋3，T 2＝1×3，S 2＝1＋3＋1×3＝7，试写出S n ＝________．【答案】(1)221n n +-【解析】 当n ＝3时，A 3＝{1，3，7}，则T 1＝1＋3＋7＝11，T 2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T 3＝1×3×7＝21，∈S 3＝T 1＋T 2＋T 3＝11＋31＋21＝63，由S 1＝1＝21－1＝21×22－1， S 2＝7＝23－1＝22×32－1，S 3＝63＝26－1＝23×42－1， …猜想：S n ＝2n （n ＋1）2－1.【例4】已知n 为正整数，试比较n 2与2n 的大小．【解析】当n ＝1时，n 2＜2n ；当n ＝2时，n 2＝2n ；当n ＝3时，n 2＞2n ；当n ＝4时，n 2＝2n ； 当n ＝5时，n 2＜2n ；当n ＝6时，n 2＜2n ；…， 猜想：当n ≥5时，n 2＜2n .下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝5时，由上面的探求可知猜想成立．(2)假设n ＝k (k ≥5)时猜想成立，即2k ＞k 2， 则2·2k ＞2k 2，∈2k 2－(k ＋1)2＝k 2－2k －1＝(k －1)2－2， 当k ≥5时(k －1)2－2＞0，∈2k 2＞(k ＋1)2，从而2k ＋1＞(k ＋1)2，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立，综合(1)(2)，对n ∈N *，猜想成立．【变式训练】已知f n (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)若g (x )＝f 4(x )＋2f 5(x )＋3f 6(x )，求g (x )中含x 2项的系数；(2)若P n 是f n (x )展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，且a 1a 2…a n (a n ＋1－1)＝a n ＋1＋1，试用数学归纳法证明：P n (a 1a 2…a n ＋1)＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )．【解析】(1)g (x )中含x 2项的系数为C 44＋2C 45＋3C 46＝1＋10＋45＝56. (2)证明：由题意，P n ＝2n －1，∈当n ＝1时，P 1(a 1＋1)＝a 1＋1，成立； ∈假设当n ＝k 时，P k (a 1a 2…a k ＋1)＝(1＋a 1) (1＋a 2)…(1＋a k )成立， 当n ＝k ＋1时，(1＋a 1) (1＋a 2)…(1＋a k ) (1＋a k ＋1)＝2k －1(a 1a 2…a k ＋1)(1＋a k ＋1)＝2k －1 (a 1a 2…a k a k ＋1＋a 1a 2…a k ＋a k ＋1＋1)．(*)∈a k ＞1, a 1a 2…a k (a k ＋1－1)＝a k ＋1＋1，。
数学归纳法典型错误
数学归纳法易错题析－ 对假设设而不用例1：用数学归纳法证明 1++++ 22232)12).(1(612++=n n n n错证：①当1=n 时，左边＝1 右边＝)112()11(161+⨯⨯+⨯⨯＝1 所以等式成立。
②假设当n=k 时等式成立。
即)12)(1(6132`12222++=+++k k k k那么当n=k+1时为)1(1)1(32122222+=++++++k k k[(k+1)+1][2(k+1)+1]也就是说当1+=k n 剖析：用数学归纳法证明第n=k 的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出n=k 时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。
2)1(+k)]!(++k)32)(2)(1(61)6+++=+k k k]1)1(2][1++k由⑴⑵知对任何∈n N 等式成立，二 机械套用数学归纳法中的两个步骤致误例2：当n 为正奇数时，17+n能否被8整除？若能用数学归纳法证明。
若不能请举出反例。
证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。
命题成立。
⑵假设当n=k 时命题成立。
即17+k能被8整除。
则 当n=k+1时，6)17(7171-+=++kk 不能8整除.由（1）（2）知n 为正奇数。
71+n不能被8整除分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n 是整奇数的条件。
证明前要看准已知条件。
正解（2）n=k 时命题成立，即71+k能被8整除。
当n=k+2时，22271)17(717-++=++k k＝49（748)1-+k因71+k 能被8整除。
且48能被8整除。
所以172++k 能被8整除。
所以当 n=k+2时 命题成立 。
由⑴⑵知当n 为正奇数时，71+k能被8整除。
三 没有搞清从k 到k+1的跨度例3：求证：2111++++n n 错证：（1）当n ＝1（2） 假设n=k 则当n=k+1时，11>1121312346>=++=，不等式成立。
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经典易错题会诊与试题预测（十四）考点14 极限►数学归纳法 ►数列的极限 ►函数的极限 ►函数的连续性►数学归纳法在数列中的应用 ►数列的极限 ►函数的极限 ►函数的连续性 经典易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法1．（典型例题）已知a>0,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a+na 1,n=1,2,…. (Ⅰ)已知数列{a n }极限存在且大于零，求A=n n a ∞→lim (将A 用a 表示)；(Ⅱ)设b n =a n -A,n=1,2…,证明：bn+1=-;)(A b A b n n+(Ⅲ)若|bn|≤n21, 对n=1,2…都成立，求a 的取值范围。
[考场错解] (Ⅰ)由n n a ∞→lim ，存在，且A=n n a ∞→lim （A>0）,对a a+1=a+n a 1两边取极限得，A=a+A1. 解得A=.242+±a a 又A>0, ∴A=.242++a a(Ⅱ)由a n +b n +A,a n+1=a+n a 1得b n+1+A=a+Ab n +1. ∴.)(1111A b A b A b A A b A a b n nn n n +-=++-=++-=+ 即)(1A b A b b n nn +-=+对n=1,2…都成立。
(Ⅲ)∵对n=1,2,…|bn|≤n21，则取n=1时，21||1≤b ,得.21|4(21|2≤++-a a a ∴14.21|)4(21|22≤-+∴≤-+a a a a ,解得23≥a 。
[专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般，而且不知{b n }数列的增减性，更不能以b 1取代b n . [对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。
(Ⅲ)令|b 1|≤21,得.21|)4(21|2≤++-a a a ∴.21|421|2≤-+a a ∴.23,142≥≤-+a a a 解得 现证明当23≥a 时，n nb 21||≤对n=1,2,…都成立。
(i)当n=1时结论成立（已验证）。
(ii)假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即kk b 21||≤，那么.21||1|)(|||||1k k k k k A b A A b A b b ⨯+≤+=+故只须证明21||1≤+A b A k ，即证A|bk+A|≥2对a ≥23成立由于,422422aa a a A -+=++=而当a ≥23时，而当a ≥23时，.2,142≥∴≤-+A a a ∴,1212||||≥-≥-≥+k k k b A A b 即A|b k +A|≥2. 故当a ≥23时，.212121||11++=⨯≤k kk b即n=k+1时结论成立。
根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。
故|bn|≤n21对n=1,2,…都成立的a 的取值范围为[+∞,23]2．(典型例题)已知数列{a n }中,a 1=3,前n 项和S n 满足条件S n =6-2a n+1.计算a 2、a 3、a 4,然后猜想a n 的表达式。
并证明你的结论。
[考场错解] 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=6-2a n+1-(6-2a n )=2a n -2a n+1,即a n+1=21a n .因为a 1=3,所以a 2=21a 1=23,a 3=21a 2=43,a 4=21a 3=.83由此猜想a n =)(23*1N n n ∈-① 当n=1时，a 1=1123-=3,结论成立；② 假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即a k =123-k 成立，则当n=k+1时，因为a k+1=21a k ，所以,211=+k k a a 又a 1=3,所以{an}是首项为3公比为21的等比数列。
由此得a k+1=3·（21）k+1-1=1123-+k ,这表明，当n=k+1时结论也成立。
由①、②可知，猜想对任意n ∈N*都成立。
[专家把脉] ①应由a 1=S 1=6-2a 2,求得a 2=23,再由a n+1=21an(n ≥2)求得a 3=43,a 4=83,进而由此猜想an=123-n (n ∈E*).②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设123-=k k a ，而是根据等比列的通项公式求得a k+1=1123-+k .这种证明不属于数学归纳法。
[对症下药] 由a 1=S 1=6-2a 2,a 1=3,得a 2=.23当n ≥2时，a n =S n -S n -1=6-2a n+1-(6-2a n )=2a n -2a n+1,即a n+1=21a n .将a 2=23代入得a 3=21a 2=43,a 4=21a 3=83,由此猜想a n =*).(231N n n ∈-下面用数学归纳法证明猜想成立。
①当n=1时，a 1=3311=-a,猜想成立；②假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即a k =123-k 成立，则当n=k+1时，因为a k+1=21a k ，所以a k+1=21·123-k =112323-+=k k 这表明，当n=k+1时结论也成立。
由①，②可知，猜想对n ∈N*都成立。
3．（典型例题）已知不等式21+31+…+n 1>21[log 2n],其中n 为大于2的整数，[log 2n]表示不超过log 2n 的最大整数。
设数列{a n }的各项为正，且满足a 1=b(b>0),a n ≤11-+-n n a n na ,n=2,3,4,….(Ⅰ)证明：a n ≤][log 222n b b+，n=2,3,4,5,…;(Ⅱ)猜测数列{a n }是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0,都有a n <51. [考场错解] （1）利用数学归纳法证明不等式：.)(1bn f ba n •+≤1）当a=3时，b f ba a a a a a n •+=++≤+=+≤)3(112231333311222知不等式成立。
2）假设n=k(k ≤3)时，ak ≤,)(1b k f b +则.)1(1111)1()1(1bk f ba k k a k a k a kk k k •++≤+++=+++≤+即n=k+1时，不等式成立。
(Ⅱ)有极限，且.0=∞→n n n a lina(Ⅲ).51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令Θ解得n>10=1024.取N=1024,有a n <51.[专家把脉] （1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。
[对症下药] （Ⅰ）证法1：∵当n ≥2时，0<a n ≤,11-+-n n a n ma ∴na a n a na a n a n n n n n n 1111,111111≥--+-=--+≥即,于是有n a a a a a a n n 1111,,3111,21112312≥--≥-≥-Λ，所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵a1<b,∴.2][log 2][log 211122bn b n b a n +=+>∴an<.][log 222n b b+证法2：设f(n)=n 13121+++Λ,首先利用数学归纳法证不等式,)(1bn f ba n +≤n=3,4,5,….(i)当n=3时，由.)3(1122313333112223b f ba a a a a a +=++≤+=+≤知不等式成立。
(ii)假设当n=k(k ≥3)时，不等式成立，即a k ≤,)(1bk f b+则a k+1≤,)1(1]11)([1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(b k f bb k k f b b b k f k k b k b b k f k k a k k a k a k k k k ++=+++=+++++=++•++≤+++=+++即当n=k+1时，不等式也成立。
由（i ）、（ii ）知，a n ≤bn f b)(1+n=3,4,5,….又由已知不等式得,][22][log 21122n bog b bb n b a n +=+<n=3,4,5,….(Ⅱ)有极限，且0lim =∞→n n a ,(Ⅲ) ∵51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令，则有log 2n ≥[log 2n]>10,⇒n>210=1024,故取N=1024，可使当n>N 时 ,都有a n <51专家会诊1．一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。
2．运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。
考场思维训练1 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3· 5…(2n-1)(n ∈N +)”时，从n=k 到n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是 （ ）132.1)22)(12(.112.12.++++++++k k D k k k C k k B k A 答案： C 解析：略2 曲线C ：xy=1(x>0)与直线l:y=x 相交于A 1,作A 1B 1⊥l 交x 轴于B 1,作B 1A 2∥l 交曲线C 于A 2…依此类推。
（1）求点A 1、A 2、A 3和B 1、B 2、B 3的坐标；答案： A 1(1,1)、A 2（2+1, 2-1）、A 3（3+2,3-2）、B 1（2,0）、B 2（22,0）、B 3（23,0） （2）猜想A n 的坐标，并加以证明； 答案： A n ()1,1---+n n n n ,证明略. （3）.||lim11nn n n n B B B B -+∞→答案：设A n ().0,(),,1n n n nb B a a 由题图：A 1（1，1），B1（2，0） ∵a 1=1,b 1=2且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+=-)(1111上在直线n n n nn nn b x y A bn a a a a b Θ ∴11lim22lim |1||1|lim1---+==-+∞→+∞→∞→n n nn a a B B B B n n n n n n n n n ，分子分母乘以（)1)(1-+++n n n n ） 及∞→n lim1111111lim11=++-+=++-+∞→nnnn n n n3 设数列a1,a2,…，an,…的前n 项的和Sn 和an 的关系是Sn=1-ban-,)1(1nb +其中b 是与n 无关的常数，且b ≠-1。