线性代数1_6-1PPT课件

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线性代数全套教学课件

a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记或
b1 b2 b1
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33

线性代数课件PPT

线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换，它将向量空间中的每一个向量映射到另一个向量空间中，保持向量的加法和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线性变换是连续的、可逆的、有逆变换等。这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。

《线性代数讲义》课件

在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组Av=λv来计算特征值和特征向量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用公式直接计算特征值和特征向量。
通过迭代的方式，不断计算矩阵的幂，最终得到特征值和特征向量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时，可以利用特征值和特征向量的性质进行求解。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换、线性方程组等。

线性代数及应用PPT课件

上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。因为元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
，则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例：问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目

线性代数总复习PPT 很全!.ppt

m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3

线性代数ppt课件同济

05
向量空间及其性质
向量空间的定义与性质
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合，其中每个向量都可以表示为一组基向量的线性组合。
向量空间的性质
向量空间具有一些重要的性质，例如封闭性、加法和数量乘法封闭性、加法和数量乘法的结合律和分配律等。
向量空间的基底与维数
向量空间的基底
一个向量空间可以由一组不相关的基向量构成，这些基向量是线性无关的，并且可以生成整个空间。
行列式的计算方法
要点一
总结词
行列式的计算方法包括高斯消元法、拉普拉斯展开式和递推法等。
要点二
详细描述
高斯消元法是一种常用的计算行列式的方法，它通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求解出阶梯形矩阵的行列式即可。拉普拉斯展开式是一种基于二阶子式和代数余子式的展开式，它可以用来计算高阶行列式。递推法是一种利用低阶行列式的值递推高阶行列式的方法，它适用于计算n阶行列式。
线性代数的背景
线性代数起源于17世纪，随着科学技术的不断发展和进步，线性代数的应用领域越来越广泛。它不仅在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，还在计算机科学、经济学、生物医学等领域发挥着重要的作用。
线性代数的应应用，例如求解线性方程组、计算矩阵的秩和特征值等。
现代发展
随着科学技术的发展，线性代数的应用领域越来越广泛，同时它也得到了不断的发展和完善。现代线性代数已经形成了一套完整的理论体系，为解决实际问题提供了更加有效的工具。
02
矩阵及其运算
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，通常表示为二维表格。矩阵的行数和列数可以分别为m和n。每个元素用a(i,j)表示，其中i表示行号，j表示列号。

线性代数总复习讲义PPT课件

在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使用数值计算方法来计算其特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中，特别是在求解二次规划问题时。通过将问题转化为二次型的形式，可以方便地应用各种优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。此外，二次型在统计分析、机器学习等领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密切相关。

线性代数完整版ppt课件

a 31 a 32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2p2（a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2 是p3偶排列时，对应的项取正号；
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21.
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
1.4
.
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
.
15
§2 全排列及其逆序数
问题把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？
定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
相减而得.
.
7
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22

线性代数ppt课件

VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为一门独立的数学分支，并在20世纪得到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。

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a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数第一章行列式
11
定义设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数第一章行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录线性代数第一章行列式退出
1
目
录
行列式矩阵线性空间线性方程组矩阵的特征值二次型
线性代数第一章主页行列式线性代数
退出
2
第一章行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数第一章行列式
3
§1.1
线性代数第一章行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等）证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义

j1 j2 jn

线性代数第一章第一节PPT课件

01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩阵中的每一行可以看作是一个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切相关的概念，矩阵可以看作是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、分配律等。
向量可以用有向线段、坐标系中的点或有序数对来表示。
向量有大小和方向两个基本属性，大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示二维数组。

线性代数课本PPT课件

是对应于l1 2的全部特征向量
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解特征值为 l1 2,l2 l3 1
当l2 l3 1时，齐次线性方程组为 A I x O
系数矩阵
2 1 0 1 0 1
A
I
4 1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 0
1
得基础解系
1
l
A . 且x仍然是矩阵
kA, Am , A1 , A
分别对应于
kl , l m ,l 1, 1 A 的特征向量. l
证 (3) 当A可逆时, l 0, 由Ax l x可得
A1 Ax A1 l x l A1x A1 x l 1 x
故l 1是矩阵A1的特征值,且x是A1对应于l 1的特征向量.
1
1
1 1
x1 x2
0 0
x1 x
x2 1 x
0 0
2
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p 1
1 1
.
当l1 =4时,
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
n
(2) li l1l2 ln＝ A i 1
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
(2) Am的特征值是l m;(m是正整数)
证 2因为Ax l x 所以 A Ax Al x l Ax l l x

《线性代数》PPT课件幻灯片PPT

特别当矩阵A与对角阵=diag(1, 2,···, n )相似时,
那么
Am = PmP-1; (A)= P()P-1.
而对于对角阵, 有
1k
k =
k2
;
kn
()=
(1)
(2)
(n).
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式
(A). 结论: 假设f( )为矩阵A的特征多项式, 那么矩阵
A的多项式 f(A)=O. 此结论的一般性证明较困难, 但当矩阵A与对角
因此, 当a = –1时矩阵A能对角化.
三、小结
1. 相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系, 它具有很多良好的性质, 除了课堂内介绍的以外, 还有: (1) 假设A与B相似, 那么det(A)=det(B); (2) 假设A与B相似, f(x)为多项式, 那么f(A)与f(B) 相似; (3) 假设A与B相似, 且A可逆, 那么B也可逆, 且A1与B2-1. 相相似似.变换与相似变换矩阵相似变换是对方阵进展的一种运算, 它把A变成 P-1AP, 可逆矩阵P称为进展这一变换的相似变换矩阵.
-2
P1AP
1 1.
矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相
互对应.
例3:设A= 110
0 1 0
a10,当a为何值时, 矩阵A能对角化?
0 1 解: | A –E | = 1 1 a = –(–1)2(+1).
1 0
得矩阵A的特征值 1 = –1, 2 = 3 = 1. 对应单根1 = –1, 恰好可求得一个线性无关的特
阵相似时很容易证明即.
f(A)=Pf()P=POP-1=O.
二、利用相似变换将方阵对角化
n阶方阵A是否与对角阵 =diag( 1, 2,···, n ) 相似, 那么我们需要解决如下两个问题:

线性代数及其应用PPT课件

金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方程组求解方法，对金融数据进行回归分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量计算，将金融数据降维，提取主要影响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转、平移等几何变换，实现图像的精确控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维度可能非常高，导致数据难以分析和处理。数据降维可以将高维数据降为低维数据，便于分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的定义
特征值计算的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定性，以及比较不同算法的误差和稳定性。