线性代数1_6-1PPT课件

r2 r1
5 11 6 2 0
5 5 0
5 5 0
(1)13 6 5
2 5
8
0
2 40.
5
线性代数
四川农业大学
行列式按行（列）展开法则
第
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘
六
积之和，即 D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,,n
计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
线性代数
四川农业大学
行列式按行(列)展开 余子式与代数余子式
a11 a12 a13
第
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
节
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子
式乘积之和等于零，即ai1 Aj1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
线性代数
四川农业大学
计算行列式 利用运算 ri krj把行列式化为上三角形行列式．
行列式按行(列)展开 余子式与代数余子式
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除 aij外都为零，
a11 a12 a14
D a21 a22 a23 a24 M 23 a31 a32 a34 A23 1 23 M 23 M 23 .
a a a a 31
32
33
34
a41 a42 a44
第
a a a a 41
42
43
44
六 节
a21 a23 a24
a11 a12 a13 a14 M12 a31 a33 a34 , A12 1 12 M12 M12 .
线性代数
四川农业大学
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除 aij外都为零，
那末这行列式等于 aij与它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ．
第
六
例如
节
a11 D a21
0
a12 a22 0
a13 a23 a33
a14
a24 0
a11 1 33 a33 a21
a12 a22
式乘积之和等于零，即ai1 Aj1 a A i 2 j2 a A in jn 0, i j .
关于代数余子式的重要性质
n
D ,当 i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n
D ,当 i j,
aik Ajk
k 1
0
,当
i
j;
线性代数
例３ 计算行列式
3 5 3
D 0 1 0
7 72
行列式按行(列)展开 余子式与代数余子式
第 三阶 六 降价 节
二阶
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
那末这行列式等于 aij与它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ．
第
行列式按行（列）展开法则
六 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘 节 积之和，即 D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,,n
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子
D ai1
aij
ain
第
六
an1
anj
ann
节
在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下
来的 n 1 阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 Mij .
记
Aij
1i
j
M
，
ij
叫做元素 aij的代数余子式．
线性代数
四川农业大学
例如
a a a a 11
12
13
14
a14 a24 .
a41 a42 a43 a44
a41 a42 a44
线性代数
行列式按行（列）展开法则
四川农业大学
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘
积之和，即
第
i 1,2,,n
六
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
节
线性代数
四川农业大学
第
解 按第一行展开，得
六 节
1 D 3
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
线性代数
四川农业大学
例1 计算行列式
3 1 1 2
5 1 1 1
5 1 D
20
3 4 c1 2c3 11 1
1 1 c4 c3
00
3 1 10
1 5 3 3
5 5 3 0
第
六 节
5 11 (1)33 11 1 1
第
零．
六
性质 5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.则可拆为两个行列式之和.
节
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对 应的元素上去，行列式不变．
计算行列式 利用运算 ri krj把行列式化为上三角形行列式．
行列式的6个性质 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的 对列也同样成立).
线性代数
第
一
行列式
章
线性代数
四川农业大学
第 六
行列式按行(列)展开
节
(计算行列式)
线性代数 行列式的性质
四川农业大学
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k
乘此行列式.
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为
D a21 a22 a23 a24 ,
a41 a43 a44
a31 a32 a33 a34
a11 a12 a13
a41 a42 a43 a44 M44 a21 a22 a23 , A44 144 M44 M44 .
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
六
节
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a2来自百度文库 a33
a13
a21 a31
a22 a32
线性代数
四川农业大学
余子式与代数余子式
a11
a1 j
a1n