离散数学1.3,4,5ppt

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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0,即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励,都不能说老妈的 话是假的,故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”, 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假,即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了,即pq为1
由于所有内容(整数,实数,字符,汉字,图片,声 音,视频,网页,……)进入电脑后,全是01组成的字 符串,从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现,命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散,由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索:数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性,到2018年12月时能确定的,若届 时建成了则它是对的、为真命题,否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如:
(7) x与y之和为100,其中x为整数,y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的,当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的,为二进制时正确,当为八进制、 十进制时是错的,因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀! (10)动作快点! (11)你是杨老师吗? 这三个语句不是陈述语句,因此不是命题。

离散数学教程PPT课件

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A=B C或A=B C或A=B C,则公式A是n+1层公式, n max( i, j)。
例(1)p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p:2是素数,q:3是偶数,r:2是有理数 p:2是素数,q:3是偶数,r:2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用: 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人 已说:王教授不是上海人,是苏州人 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人
例:1.如果3+3=6,那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了,我才去看电影。 3.只要天下雨,我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”,“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式,若A B为重言式, 则称公式A, B是等值的公式,记作A B。
例1.证明(p q) (q p); p p p.
注意: 和 的区别 是公式间的关系符号,如:p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例:1)海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:): 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:)火火星星上上有有生生命命。。 s4:)三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55))你你喜 喜欢 欢数学吗吗?? 66))我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77))啊啊, ,我 我的 的天天哪哪!! 88))我我正 正在 在说 说谎 谎。。

离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集

离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合,如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示,则称S是联结词全功能集.
说明:若S是联结词全功能集,则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合,且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9

例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *

离散数学课件ppt课件

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联结词可以嵌套使用,在嵌套使用时,规定如下优先顺序: ( ),┐,∧,∨,→, ,对于同一优先级的联结词,先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值:
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P,Q,R的真值分别为1,1,0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1,1,0。
2.在自然语言中,“如果P,则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中,P与Q可以无任何内 在联系。
3.在数学或其它自然科学中,“如果P,则Q”往往表达 的是前件P为真,后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中, 作为一种规定,当P为假时,无论Q是真是假,P→Q均为真。 也就是说,只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表: P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化,并指出它们的真值:
3如 两 圆O1 , O2的面积相等,则它们的半径相等;反之亦然. 4当王小红心情愉快时,她就唱歌;反之当她唱歌时,
真值为真的命题称为真命题;真值为假的命题为假命题。
说明:
1. 命题必须是陈述性语句,而不能是疑问句、命令句、 感叹句等;
2. 命题语句或者为真或者为假,二者必取其一,即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准: (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑

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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题,复合命题“p或q”称作p与q 的析取式,记作p∨q. ∨称作析取联结词,并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题,复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式,记作pq,并称p是蕴涵式的 前件,q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词,并 规定,pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系:q 为 p 的必要条件 “如果 p,则 q ” 的不同表述法很多:
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 = 4 当且仅当 3 + 3 = 6. (2) 2 + 2 = 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 = 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 = 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p:王晓用功,q:王晓聪明,则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词,整个句子是
若 p,就 q 只要 p,就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时,pq 为真 常出现的错误:不分充分与必要条件

离散数学的ppt课件

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科学中的许多问题。
03
例如,利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等,可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科, 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策,离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ,可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起,形成一个新的集合。
详细描述
例如,{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如,对于集合{1, 2, 3},{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
)的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系,强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如,集合{1, 2, 3}的基数是3,即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。

连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向,即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向,即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子(如necessity、possibility)的语义和语法。

《离散数学讲义》课件

《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
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目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

精品课程《离散数学》PPT课件(全)

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言1
为什么学习离散数学?
离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算机科学与技术 的理论基础,所以又称为计算机数学,是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研 究对象一般是有限个或可数个元素,因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课?
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数: (3) 只有 a能被2整除, a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除, a才能被2整除。
解: 令r: a能被4整除, s: a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题,复合命题“p或q” 称为p与q的析取式,记作p ∨ q,符号∨称 为析取联结词。 运算规则:
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点:只有参与运算的二命题全为假时,运算结果才 为假,否则为真。 相容或:二者至少有一个发生,也可二者都发生 排斥或:二者只有一个发生,即非此即彼 例如: (1)小王爱打球或爱跑步。 设p:小王爱打球。 q:小王爱跑步。 则上述命题可符号化为:p ∨ q (2)张晓静是江西人或湖南人。 设p:江西人。 q:湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为:p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)

(1)星期天天气好,带儿子去了动物园; (2)星期天天气好,却没带儿子去动物园; (3)星期天天气不好,却带儿子去了动物园; (4)星期天天气不好,没带儿子去动物园。
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q 0 (q p)
q (q p)
(q q) p
q (q p)
1 p
1
考虑问题:能否利用等价式来化简,或判断 公式的类型(重言,矛盾,可满足)。 判断一个公式是否重言式,矛盾式,可满足
式,或者判断两个命题公式是否等价。有两种方
且 A (B C) 与 A (B C) ,
( A B) ( A C )与( A B) ( A C )
均为相互对偶式,
所以可得: A ( B C ) ( A B) ( A C )
1.5
联接词的完全集:源自 A ( B C ) ( A B) ( A C )
二、重要等价式(逻辑恒等式)。
4、德摩根律
( A B) A B ,
( A B) A B
5、等幂律
6、吸收律
A A A ,A A A
A ( A B) A ,
A ( A B) A
(1) p (q r ) ( p q) r (2)
(3)
p (q r) p (q r) q r q (p q) p 1
例2、验证下列等价式。
(1) p (q r ) ( p q) r
解: p (q r )
A B A B
A B ( A B) ( B A)
A B B A
A B A B
13、假言易位
14、等值否定表达式
15、归谬论
( A B) ( A B) A
三、等价演算。 置换定理:如果 A B,则 ( A) ( B)。 例2、验证下列等价式。
p (q r )
p (q r )
(p q) r
蕴涵表达式
蕴涵表达式
结合律
德摩根律
( p q) r
( p q) r
蕴涵表达式
例2、验证下列等价式。
p (q r) p (q r) q r 解: p (q r) p (q r) (q r ) p (q r ) p 交换律
(2)
(q r ) ( p p)
(q r ) 1
qr
分配律
排中律
同一律
解: q (p q) p
(3) q (p q) p 1
q (p p) (q p)
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
2、判定 。
判断两公式 A, B 是否等价,即判断 A B
是否重言式 。
例1、判断 A, B 两公式是否等价。 (1) A ( p q) , B p q 解:作真值表如下:
例1、判断 A, B 两公式是否等价。
(2) A p q , B ( p q) (q p) 解:作真值表如下:
二、重要等价式(逻辑恒等式)。 1、交换律 A B B A ,A B B A 2、结合律 ( A B) C A ( B C ) ,
( A B) C A ( B C )
3、分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) ,
1.3 等价演算
内容:等价关系,24个重要等价恒等式式, 等价演算。 重点:(1) 掌握两公式等价的定义。
(2) 掌握24个重要等价式,并能利用
其进行等价演算。
一、两命题公式间的等价关系。
1、定义:设 A, B 为两命题公式,若等值式 A B
是重言式,则称 A与 B 是等价的,记作 A B 。
二、重要等价式。(逻辑恒等式)
7、零律
8、同一律
A 1 1 ,A 0 0
A 0 A ,A 1 A
9、互否律
A A 1 (排中律),
A A 0 (矛盾律)
10、双重否定律
(A) A
二、重要等价式。(逻辑恒等式)
11、蕴涵表达式
12、等值表达式
法,即真值表法和等价演算法。
例3、用两种方法证明: ( p q) (p q) p q [证法一] 用真值表法
由最后两列真值完全相同,于是命题成立。
例3、用两种方法证明: ( p q) (p q) p q [证法二] 用等价演算法
p q p q
A 与 A *互为对偶式。
p (q r )与p (q r ), 例如 : p q与 p q ,
( p q) 0 与 ( p q) 1
对偶原理。 若 A B ,则 A* B * 。 例如:已知 A ( B C ) ( A B) ( A C ) (分配律),
( p q) (p q) (p q) ( p q)
( p q) (p q)
蕴涵表达式
双重否定律 交换律
结合律 吸收律
p q p q
p q
1.4
对偶定理
定义:设公式 A 仅含联结词 , , ,则将 , , 0,1 分别用 , ,1, 0 替代,所得的公式 A *称 A的对偶式。
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