数字图像处理 几何变换

第i2行 g(i2, j)
g (i,
j)

g (i1 ,
j)

i i1 i2 i1
g (i2 ,
j)

g (i1 ,
j)
板书计算g(3,1)
g(3,1) f 21 3 2 f 31 f 21
42
( f 31 f 21) / 2
对剩余像素的值，可以利用该像素的左方与 右方的已填充像素的值，通过线性插值方法 计算得到。
f21 f23 f24 f25 f26
f41 f42 f43 f44 f45 ff4466
f31 f33 f34 f35 f36
f51 f52 f53 f54 f555 ff5566
f51 f53 f54 f55 f56
f61 f62 f63 f64 f65 ff6666
f61 f63 f64 f65 f66
6×6
3×3
算 法 描 述 ： 设 原 图 像 大 小 为 M×N, 缩 小 为 k1M×k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下： 1）设旧图像是f (i, j)，i=1, 2,…,M, j=1,2, …, N. 新图像是g (i, j), i=1,2,…,k1M, j=1,2,…,k2N. 2）计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2 3）g (i, j)=f (Δi×i, Δj×j)
由于基于等间隔采样的方法无法反映未被采样的像素信息。为 此可采用基于局部均值的图像缩小方法，其实现步骤如下： (1) 计算新图像的大小，计算采样间隔Δi=1/k1，Δj=1/k2 (2) 对新图像的像素g（i, j)，计算其在原图像中对应的子块f (i, j)：
（3）根据下式求出缩小的图像：
例题：k1=0.7, k2=0.6 → Δi=1.4, Δj=1.7
2）会出现许多的空洞点。 我们来看一个旋转图像的画面效果。 空洞点
新图像中的空洞可以采用插值方法填充
插值方法有两种方式： 一、近邻插值法 二、均值插值法
一、近邻插值法
对于判断为空洞点的像素，用其同一 行（或列）中的相邻像素值来填充。
二、均值插值法
对于空洞的像素，用其相邻四个像素的 平均颜色来填充。

j
'

i
sin

j
cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范围。
图像旋转时，为了避免信息的丢失，应当扩 大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。
图像的旋转例题
30
板书：计算像素（1，1） 的旋转新坐标
i ' 0.866i 0.5 j
4.2.2.1 基于像素放大原理的图像放大方法
基本思想是：如果需要将原图像放大k倍，则 将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应 的k×k大小的子块中。
放大5倍
当图像放大 k1×k2 倍，就好像每个像素放 大了 k1×k2倍。
算法描述：
设 原 图 像 大 小 为 M×N, 放 大 为 k1M×k2N ， （k1>1，k2>1）。算法步骤如下： 1）设原图像是F(i, j): i=1,2,…,M; j=1,2,…,N. 新图像是G(i, j): i=1,2,…,k1M; j=1,2,…,k2N. 2）计算采样间隔： Δi=1/k1 Δj=1/k2 3）G(i, j)=f(Δi×i, Δj×j)
i :[1,3]; j :[1,3]
i ' :[1, 2]; j ' :[1, 4]
i i 2

j

j
i '' :[1, 4]; j '' :[1, 4]
图像旋转之后，出现了两个问题：
1） 因为相邻像素之间只能有8个方向，而 旋转方向却是任意的，使得像素的排列 不是完全按照原有的相邻关系。

j'
N

j 1
其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i’, j’)为该像素在新图像中的坐标。
123 1
123 1
2
2
3
3
4.1.2 图像的镜像
二、垂直镜像（垂直翻转）
以图像水平中轴线为中心，交换图像
的上下两部分。设图像的大小为M×N，垂
直镜像的计算公式为：
i ' M i 1
板书演算：f（1，1），f（3，4）
4.2.2 图像放大
图像放大有两种：按比例放大或不按比例放大。 图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作。但
是，从信息处理的角度来看，图像缩小是对信息 的一种简化，而图像放大则需要为增加的像素填 入适当的灰度值，是对未知信息的估计。 两种图像放大方法： （1）基于像素放大原理的图像放大方法 （2）基于双线性插值的图像放大方法
j
'

j2
板书计算
photoshop演示
画布没有扩大 画布扩大
平移后的图像内容没有变化。
但“画布”一定要扩大，否则就会丢失信息。
4.1.2 图像的镜像（翻转）
镜像分为水平镜像和垂直镜像
一、水平镜像（水平翻转）
以图像垂直中轴线为中心，交换图像的左右
两部部分。假设图像的大小为M×N，水平镜像
计算公式为： i ' i
根据：g(i,j)=f(Δi×i, Δj×j) 对于：i=1，j＝1 → g(1,1)=f (1×3/2, 1×4/3)＝f 21 对于：i=2，j＝1 → g(2,1)=f (2×3/2, 1×4/3)＝f 31
……………………………
注意：不按比例 缩小会导致几何 畸变。
二、基于局部均值的的图像缩小方法
上沿行方向与列方向分别移动Δi与Δj。假设
平移后的像素坐标为（i’, j’)。则平移计算公
式为：
i ' i i

j'

j
j
注意：i与j是原图像的像素坐标，i’与j’是平移后 的图像像素坐标。
4.1.1 图像的平移
将图像进行平移， 取Δi＝1与Δj＝2
i ' i 1

第四章 图像的几何变换
数字图像的几何变换就是对图像进行如 下处理：改变图像的几何位置、几何形状、 几何尺寸等几何特征。
几何变换的特点是：改变图像像素的空 间位置，而不改变像素灰度值。
本章主要内容： 4.1 位置变换：图像的平移、镜像、旋转 4.2 形状变换：图像的缩放、错切 4.3 仿射变换：图像几何变换一般表示方法
错切的计算公式如下：
i '

j
i '
j
di
j
(水平错切)
i ' i

j
'

j d ji
(垂直错切)
图像错切的例题
i ' i

j
'

j d ji
(垂直错切)
i '

j
i '
j
di
j
(水平错切)
计算f(1,1)的新坐标
di 1
dj 1
可以看到，错切之后的像素坐标只有一种发生变化。 图像旋转，则是行坐标与列坐标同时发生变化。
Photoshop的实验综合运用几何变换技术
4.3 图像的仿射变换
图像仿射变换提出的意义是采用通用的数学 变换公式，来表示前面给出的几何变换。
为了能够采用统一变换公式表示平移变换， 引入齐次坐标概念。
i' i i
平移公式：

j'

j j
4.3.1 齐次坐标
原坐标为 (x,y)，定义齐次坐标为： （wx, wy, w）
(3) 通过双线性插值方法计算剩余像素的值。
对所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以 根据该像素的上方与下方的已填充的像素值，采用 双线性插值方法计算得到。
第j 列
第i1行 g(i1, j)
g (i1 ,
j)

i i1 i2 i1
g (i2 ,
j)

g (i1 ,
j)
第i行 g(i, j)

j
'

0.5i

0.866
j
i 'min 0.866 0.5*3 0.634
i 'max 0.866*3 0.5 2.098
j 'min 0.866 0.5 1.366 j 'max 0.866*3 0.5*3 4.098
结论：按照图像旋转计算 公式获得的结果与想象中 的差异很大。
例题: 缩小6×6的图像，设k1=2/3, k2=3/4; 板书计算
原图像f（i, j)＝f i j
新图像大小：k1M×k2N ＝4×5
f11 f12 f13 f14 f15 ff1166
f21 f22 f23 f24 f25 ff2266 采样间隔： Δi=3/2，新图像g（i, j）
f31 f32 f33 f34 f35 ff3366 Δj=4/3
4.1 图像的位置变换
图像的位置变换是指图像的尺寸和 形状不发生变化，只是将图像进行 平移，或者作镜像变换，或者进行 旋转。
图像的位置变换的一个应用实例： 目标配准。
4.1.1 图像的平移
目的：改变图像在画布上的位置。
方法：将图像的所有像素都按要求进行垂直
或者水平移动。
设图像的任一像素坐标为( i, j ), 图像在画布

j
'

j
其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i’, j’)为该像素在新图像中的坐标。
123
123
1
1
2
2
3
3
photoshop演示
4.1.3 图像的旋转
图像的旋转：以图像中的某一点为原点，按 照顺时针或逆时针旋转一定的角度。图像逆 时针旋转的计算公式如下：
i ' i cos j sin
图像缩小有按比例缩小和不按比例缩小两种情况。 图像缩小之后，像素的个数减少，承载的信息量小
了，画布可相应缩小。 图像缩小方法有两种：（1）基于等间隔采样的缩
小方法；（2）基于局部均值的缩小方法。
(a) 按比例缩小
(b) 不按比例缩小
一、基于等间隔采样的图像缩小方法
原理：该方法通过对原图像的均匀采样，等间隔地 选取一部分像素，从而获得小尺寸图像的数据，并 且尽量保持原有图像特征不丢失。
这里，令系数w取值为1，即像素（i，j） 的齐次坐标为（i，j，1）。
4.3.2 仿射变换
可以定义仿射变换 如下：
i ' ai bj i

j
'

ci

dj

j
有了齐次坐标 ， 就可以用矩阵形 式表示为：
i ' a b

j
'

c
d
1 0 0
g(1, 2) f 11 2 1 f 12 f 11
4 1
g(2,7)的推测 Photoshop演示算法效果
2 f 11 1 f 12
3
3
4.2.3 图像错切
图像的错切变换可看成是平面景物在投影平面上的 非垂直投影效果。
错切变换可分为两种。一种是水平错切，水平方向 的线段发生倾斜。另一种是垂直错切，垂直方向的 线段发生倾斜。
（0，128，0） （255，0，0）
计算平均颜色
（102，204，254）
（89，109，127）
（0，102，254）
经过插值处理之后，图像效果就变得自然。
Photoshop演 示镜像与旋转
4.2 图像的形状变换
所谓图像的形状变换是指图像 的形状发生了变化，主要包括放大、
缩小、错切等。
4.2.1 图像的缩小
第j1 列 第i 行 g(i, j1)
第j 列 g(i, j)
第j2 列 g(i, j2)
g (i,
j) g(i,
j1)
j j1 g(i,
j2 j1
j2 ) g(i,
j1)
g(i,
j1)
j j1 g(i,
j2 j1
j2 ) g(i,
j1)
板书计算g(1,2)
以上方法与等间隔采样的图像缩小方法大致相同
例题
k1=1Hale Waihona Puke Baidu2；k2=2.5 → Δi=0.83; Δj=0.4
G(i,j)=f(Δi×i;, Δj×j;)
G为4×8的新图像 G(2,4)的板书计算
教材g16有误
4.2.2.2 基于双线性插值的图像放大方法
基于双线性插值的图像放大方法能够有效消除图像高倍 放大时出现的“马赛克现象”，使得图像的放大效果更加 自然。请看potoshop软件的演示效果比较。（先缩10倍） 算法步骤如下：
(1)按照基于像素放大原理的图像放大方法，确定每一个 原图像的像素在新图像中对应的子块。
(2) 对新图像中每一个子块，仅对其一个像素进行填 充。在每个子块中选取一个填充像素的方法如下：
对右下角的子块，选取子块中右下角的像素； 对末列、非末行子块，选取子块中的右上角像素； 对末行、非末列子块，选取子块中的左下角像素； 对剩余的子块，选取子块中的左上角像素。
i i
j


j
1 1
4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换
图像的平移： 图像的旋转：
i ' 1 0 i i