随机变量及其分布考点总结

随机变量及其分布考点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第二章 随机变量及其分布 复习

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x

),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ.

,2,1,01=≥i p 121=++++ i p p p 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：

1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)

c

P k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=

2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1

7

，现在甲乙两人从袋

中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率

3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。

4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5

．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．

2

()p K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(参考公式：2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

二、几种常见概率

1、条件概率与事件的独立性

（1）B|A 与AB 的区别：__________________

（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同 （3）P(AB)的计算公式_____________

注意三点：前提，目标，一般情况___________________

（4）P （A+B ）的计算公式__________

注意三点：前提，目标，一般情况____________________

典型例题：

1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？

2、把一副扑克52张随即均分给赵钱孙李四家，A={赵家得到六章草花}，B={孙家得到3张草花}，计算P(B|A)，P(AB)

3、从混有5张假钞的20张百元钞票中任取两张，将其中1张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率。

4、有外形相同的球分装在三个盒子，每个盒子10个，其中第一个盒子7球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一个球，若是A 球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是B 球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。

5、在图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概

率，当开关合上时，电路畅通的概率是________

6、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？

三、几种分布

1. ⑴独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独

立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k

n k k n q

p C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B

（n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q p C k

n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

2. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的

p q p)g(k,= 3,2,1.1=-=k p q 3. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则

其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξn

N

k n M

N k M -≤-≤≤≤⋅⋅=

=--.〔分

子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k C C C k)P(ξn b

a k

n b

k a =⋅=

=+-.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有

n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含k

n k k n b

a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)b

a a (1)

b a a (

C b)(a b

a C k)P(ηk

n k k n n

k

n k k n =+-+=+=

=--，即η～)(b a a n B +⋅

.[我们先为k 个次品选定位

置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：

当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 典型例题：