工程力学基础第3章 力系的静力等效和简化
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工程力学03力系等效简化
B
•
空间平行力系的中心
y
z
FR F1 F2 rC r1 r2 zC C F3 Fn r3
定义： 空间平行力系，当它有合力时， 合力的作用点C 就是该力系的中心。 平行力系的中心坐标公式
O x yC
rn
y z
xC
1）矢量形式
由合力矩定理： MO (FR ) MO (Fi )
rC FR r1 F1 r2 F2 rn Fn
i 1 i 1
•主矩 M O M i ri Fi
i 1 i 1
力系的主矢和主矩
主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢。 F FR 主矢与简化中心选择无关。只有大小和 方向,没有作用点概念. 思考:力系的主矢与合力的区别? 主矩 力系中各力对简化中心之矩的矢量和 称为力系对简化中心的主矩。 M O M O ( F ) 力系对简化中心的主矩和简化中心的选择有关。 力系的主矢和主矩是决定力系对刚体作用 效应（移动和转动）的两个基本特征量。
MO (F) M MO (F1 ) MO (F2 ) 10j 10k
FR F2i F1 j 100i 100j
FR Mo 0
力螺旋
•
。
例：在边长为 a 的立方体的A、B顶点上作用有大
小均为 F 的力F1和F2,试讨论此力系的最后合成结果 a
F1
A
F2
Fn'
Mn
O
FR
F2
M2
F1'
F1
M1 F ' 2
O
MO
{F1 , F2 ,, Fn } {F1 ' , F2 ' ,, Fn ' , M1 , M 2 ,, M n } {FR , M O }
工程力学静力学力系的简化
F
F
F
25
力系简化的基础－力向一点平移定理
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-F F
F
z
M F
Mx F
My
26
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第2章 力系的简化
平面力系的简 化
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平面力系的简化
平面一般力系向一点简化 平面汇交力系与平面力偶 系的简化结果 平面力系的简化结果
平面力系的简化结果
例题1
固定于墙内的环形螺钉上，作 用有3个力，各力的大小分别为：
F 1 ＝ 3 k、 N F 2 4 k、 N F 3 5 kN
试求：螺钉作用在墙上的力。
42
平面力系的简化
平面力系的简化结果－例题 1
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y
解：要求螺钉作用在墙上的
力就是要确定作用在螺钉上所有
44
平面力系的简化
平面力系的简化结果－例题 1
y
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x
α
FRx
FRy
FR
3
FRx Fix＝ F1xF2xF3x＝ 04kN5kNcos30＝ 8.33kN
23
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力系简化的基础－力向一点平移定理
M=Fd
F
rOA 需要指出的是，力偶矩与力矩一样也是矢量， 因此，力向一点平移所得到的力偶矩矢量，可以 表示成
M＝rOAF
其中为B点至A点的矢径。
24
力系简化的基础－力向一点平移定理
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建筑力学D03力系简化的基本知识
力的平移
将力平移到同一作用点或 同一物体上，以简化力的 作用方式。
力的简化
利用力的平行四边形法则 或三角形法则，将复杂力 系简化为简单、易于分析 的力系。
02
力系简化的基本原理
力的平移定理
总结词
力的平移定理是指力在刚体内可以平移，即力的作用点在刚体内任意平移时，该 力对刚体的作用效果不变。
详细描述
力系简化的目的
01
02
03
简化分析过程
通过将复杂的力系简化为 简单的力系，可以降低分 析难度，提高计算效率。
提高精度
在简化过程中，可以消除 一些次要因素，提高计算 结果的精度。
便于设计
简化后的力系更易于应用 于实际工程设计，提高设 计的可靠性和经济性。
力系简化的方法
力的合成与分解
通过力的合成与分解，将 多个力合成一个或一个力 分解为多个力，以达到简 化力系的目的。
05
总结与展望
力系简化的重要性
简化复杂问题
力系简化是解决复杂力学问题的关键步骤，通过简化可以将复杂问 题分解为更简单、易于分析的部分，提高解决问题的效率。
提高设计精度
准确的力系简化能够提高工程设计的精度，减少因简化不当导致的 误差，从而保证工程的安全性和稳定性。
促进技术创新
力系简化的深入研究能够推动相关领域的技术创新，促进工程实践的 发展和进步。
机械设计
在机械设计中，需要通过力系简化 来分析机器的运转情况和受力情况， 以确保机器的正常运转和安全性。
04
力系简化的注意事项
力的单位与方向
力的单位
国际单位制中，力的单位是牛顿 （N），根据牛顿第二定律，力等 于质量乘以加速度。
力的方向
3-第三章力系的简化和平衡解读
第三章 力系的简化和平衡引言力系分为：空间一般力系（空间汇交系、空间平行力系）和平面一般力系（平面汇交力系、平面平行力系）。
研究物体受力情况→作用在物体上的一组复杂力系→简化及合成→平衡条件研究。
§3.1 力线平移定理力线的平移定理：作用在刚体上O 点的力F 可平移到任意O '点，但必须附加上一个相应的力偶(称附加力偶)，这个附加力偶矩失等于原来的力F 对新作用点O '和矩。
且()d F F M M O ⋅==' (d 是力偶臂)力线平移定理不仅是力系简化的依据，也是分析力所物体效应的一个重要方法。
注：力线平移定理只能适应于静定刚体 证明：如F 图所示a. 力F 作用于刚体上O 点；b. 在刚上'O 处加上一对平衡力(F F ''',)，且F F F ''-='=。
根据加减平衡力系原理：（F F F ''',,）中（F F '',）等值反向不共线，是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶。
附加力偶距失()F M d F M O '=⋅=ba§3.2 力系的简化、主矢与主矩一、力系的简化在工程中，最常见的力系是不同一平面内，不完全相交，也不完全平行的空间的一般力系。
在对作用于物体的力系的研究过程当中，首先将力系向任意一点进行简化。
如图所示：空间力系(1F ,2F ,…n F )，O 点为任取的简化中心1) 根据力线平移定理，将力系中各力1F ,2F ,…m F 平移到O 点→作用于O 点的空间汇力系(1'F ,2'F ,…n F ')及附加力偶系(1M ,2M ,…n M )11'F F =，22'F F =,… n n F F '=()11F M M O = ()22F M M O =…()n O n F M M =2) 将以上两个力系分别合成F F F F F F F R n n ∑=+++=+++=' 2121 n O M M M M +++= 21()()()()i O n O O O F M F M F M F M ∑=+++= 21R ':原力系主矢，是空间一般力系中各力的矢量和，与简化中心无关。
工程力学 第三章 一般力系的简化
（3）、求合力作用线方程
' ' M o M o FR x FRy y FRx x FRy y FRx
即 2355 x 670.1 y 232.9 有： 670.1x 232.9 y 2355 0 求 FR 与x轴的交点 y 0
x 3.514m
§3–4
力对点的矩和力对轴的矩
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面。
（3–4）
又 则
（3–5） 力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为 （3–6)
2.力对轴的矩
（3–7） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。
M O M o ( Fi ) ( xi Fiy yi Fix )
Fy cos( FR, j ) FR
(3 1)
(3 2)
3、简化结果分析
=
其中
MO d FR
o R
M o FRd
O O i
FR FR FR
(3 3)
1、空间力偶矩以矢量表示
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
力偶矩矢
（3–11）
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变。
力偶矩
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
工程力学静力学第三章平面一般力系
工程力学静力学第三章平面一 般力系
目
CONTENCT
录
• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
目
CONTENCT
录
• 平面一般力系的简化 • 平面一般力系的平衡 • 平面一般力系的平衡问题 • 平面一般力系的平衡问题实例分析 • 平面一般力系中的摩擦力
01
平面一般力系的简化
力的平移定理
总结词
力的平移定理指出，一个力可以等效地分解为一个在原作用点作 用的力和一个通过某一定点、大小和方向与原力相同的力。
实例三：建筑结构的受力分析
总结词
通过建筑结构受力分析，深入理解平面一般力系在建 筑领域的应用。
详细描述
建筑结构是建筑物的重要组成部分，其受力分析是确保 建筑物安全和稳定的关键环节。在建筑结构的受力分析 中，需要考虑各种力的作用，包括重力、风载荷、地震 作用等。通过建立平面一般力系，可以详细分析建筑结 构的受力情况，从而优化设计方案、提高建筑物的安全 性能和稳定性。同时，合理的建筑结构受力分析也有助 于降低工程造价、节约资源和提高经济效益。
利用平衡方程进行受力分析，可以减少试验次数， 提高设计效率，降低成本。
03
平面一般力系的平衡问题
单个刚体的平衡问题
80%
刚体平衡的概念
刚体在力的作用下，如果保持静 止或匀速直线运动，则称该刚体 处于平衡状态。
100%
平衡条件的推导
根据力的平移定理和力的平行四 边形法则，推导出平面一般力系 的平衡条件为力系的主矢等于零 ，力系的主矩也等于零。
详细描述
在平面平行力系中，所有力的作用线都在同一平面内 且相互平行。这种力系可以通过合力或合力矩定理进 行简化。合力定理指出，作用于刚体上的所有外力的 合力为零，即这些力的矢量和为零。合力矩定理则指 出，作用于刚体上的所有外力对某一定点的力矩的矢 量和为零。通过这两个定理，我们可以将复杂的平面 平行力系简化为一个或几个单一的力或力矩，便于分 析和计算。
建筑力学 第三章 力系的简化
力矩.力偶的概念： §3-2 力对点的矩 定义：力对点的矩是力使物体绕点转动效 果的度量，它是一个代数量，其绝对值等 于力的大小与力臂之积， 其正负规定： 力使物体绕矩心逆时针 转动为正，反之为负。 m0（F）=±Fd （3-8）
问题： 1．当力的作用线通过矩心时，力臂d等于零， 则力对点的矩为？ 2．力矩的单位——？ 单位：牛顿·米（N · m）
相似处：
在物理意义和数学定义上——相似。
不同处：
力对点的矩——与矩心的位置有关，对不同 的矩心力的转动效果不同。 力偶矩——使物体绕不同点的转动效果相同。
二．力偶的性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡， 性质 ：力偶既没有合力，本身又不平衡，是 一个基本力学量。 一个基本力学量。 性质2： 性质 ：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等 于力偶矩，而与矩心的位置无关， 于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶 对刚体的效应用力偶矩度量。 对刚体的效应用力偶矩度量。
Rx = F x + F2x − F4x = ∑Fix 1
R y = − F1 y + F2 y + F3 y + F4 y = ∑ Fiy
R x = ∑ Fix
轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
R y = ∑ Fiy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影， 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
e d
二.平面汇交力系合成的解析法 平面汇交力系合成的解析法
1．力在坐标轴上的投影
Fx=F·cosα ：
Fy
Fy=F·sinα=F ·cosβ
F = Fx + Fy
2 2
Fx
Fx cos α = F
cos β =
第三章 静力学力系简化的基本知识
力的等效平移定理是力系简化的基础。
力的等效平移：在同一刚体上A点的力F可以等 效地平移到任意一点O。但必须附加一个力偶， 其力偶矩等于F对作用点O的之矩。 如图所示：
F
d
A
刚 体
B
A
刚 体
F´
B 附加力偶m
作用在刚体上A点的力F可以等效地平移到此刚体上的任 意一点B，但必须附加一个力偶m，且：m=MB(F)=Fd。
m2
m1
B
a
C a D 600 A
A
。
A： m2 = m1; B： m2 = 4 m1 / 3; C： m2 = 2 m1。
F = F1 + F2
§3-1 平面汇交力系合成与平衡条件
二、平面汇交力系合成
F4 F3 F3 F2 F1 FR F23 FR
F4 F2
F12
F1
®力的平行四边形法则
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用 力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。 给实际作图带来困难。 R=F1+F2+F3+…+Fn=∑F
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
y
F F
x y
0 S BC con 30 S AB Q sin 30 0 0 S BC cos 60 P Q cos 30 0
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
SBC
Q
3、平面汇交力系合成的解析法： 根据合力投影定理得
力的等效平移：在同一刚体上A点的力F可以等 效地平移到任意一点O。但必须附加一个力偶， 其力偶矩等于F对作用点O的之矩。 如图所示：
F
d
A
刚 体
B
A
刚 体
F´
B 附加力偶m
作用在刚体上A点的力F可以等效地平移到此刚体上的任 意一点B，但必须附加一个力偶m，且：m=MB(F)=Fd。
m2
m1
B
a
C a D 600 A
A
。
A： m2 = m1; B： m2 = 4 m1 / 3; C： m2 = 2 m1。
F = F1 + F2
§3-1 平面汇交力系合成与平衡条件
二、平面汇交力系合成
F4 F3 F3 F2 F1 FR F23 FR
F4 F2
F12
F1
®力的平行四边形法则
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用 力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。 给实际作图带来困难。 R=F1+F2+F3+…+Fn=∑F
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
y
F F
x y
0 S BC con 30 S AB Q sin 30 0 0 S BC cos 60 P Q cos 30 0
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
SBC
Q
3、平面汇交力系合成的解析法： 根据合力投影定理得
第三章力系的简化
M O M O ( Fi )
力系若有合力，力系合力对任意轴的 矩等于力系各力对同一轴的矩的矢量和；
M x M x ( Fi )
7. 空间任意力系简化为力螺旋
简化后，若FR0，MO0，且FR与MO平行， 此时无法进一步简化。 这样力与力偶作用面垂直的情况称为力螺旋。
FR与MO同向，称右手螺旋；
4.平面任意力系的简化
1) 平面任意力系向一点简化 平面任意力系
力线平移
平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系+平面力偶系
合成
平面汇交力系合力FR
平面力偶系合力偶MO
简化点O任选，称简化中心 简化后平面汇交力系的合力FR，有：
简化后平面力偶系的合力偶MO，有：
平面任意力系向作用面内一点简化后得到一个 力和一个力偶，该力的主矢等于原力系的主矢，该 力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 简化后有以下几种情况： 1） 若FR=0，MO0，则力系合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。这种情 况下，主矩与简化中心的位置无关； 2） 若FR0，MO=0，则力系合成为一个合力， 主矢FR与原力系主矢FR相等。主矢FR通过简化 中心。合力与简化中心的位置有关，换一个简化 中心，则MO不为零。
3）结论
任意平面汇交力系：
可以简化为一合力，合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几 何和），合力的作用线通过汇交点。 用矢量表示：
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的 合力等于零。
几何法求解平面汇交力系，一般适合三个 力汇交的情况
例：如图，为汽车制动机 构的一部分。驾驶员蹬踩 力F=212N，方向与水平 面夹角α=45º。平衡时， DA垂直，BC水平，求拉 杆BC所受的力。已知， EA=24cm，DE=6cm，点 在上，机构不计自重，C、 B、D均为光滑铰链。
工程力学基础第3章 力系的静力等效和简化
表面力。如果表面力的作用面很窄，则可认为载荷作用于一条 曲线上，称为线力。当受压表面为平面的情形，这种压力就组
1.系统组成与工作原理
图3-23
本章小结 1 力系的主矢、主矩和静力等效是静力学中的重要概念。等
效力系定理是力系等效转换的理论依据。力系的主矢和对任一
点的主矩的计算是静力学的基本计算，也是建立和研究刚体平 2 力系的简化是静力学的基本问题之一。研究力系的简化，
新编工程力学基础
第3章 力系的静力等效和简化 第一节 力系的静力等效
第二节
第三节
力系的简化
力系简化的应用
第一节 一、力系及其分类
力系的静力等效
二、力系的主矢和主矩
三、力系的静力等效
一、力系及其分类 作用于同一物体或同一质点系上的一组力称为力系。一般情形
下，构成力系的各力的作用线不在同一个平面内，称为空间
原理：在已知力系上任意增加或减去平衡力系，并不改变原力
系对刚体的作用效应。
（二）力偶的等效定理及其应用 力偶的等效定理：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们对同一
推论1
只要保持力偶矩的大小、转向不变，作用在刚体上的
力偶可以在其作用面内任意移转，或在作用面内同时改变组成
力偶的两个力的大小和力偶臂的大小，这些改变都不影响其作 用效果（图3-1）。 推论2 力偶在同一刚体上可以移动到与其作用面平行的任何 平面内，而不改变其对刚体的作用效果（图3-2
（二）力偶的等效定理及其应用
图3-1
（二）力偶的等效定理及其应用
图3-2
（二）力偶的等效定理及其应用 如图3-3所示，悬臂梁AB的A端固定，自由端B处受一集中力F 作用而处于平衡状态。由于A端不能移动，故应该有一约束力 FA作用。悬臂梁处于平衡状态，故作用于悬臂梁上的力系是一 个平衡力系。由主矢为零的条件可知，FA与F等值反向，但由 于FA与F平行，故组成一个力偶。平衡力系要求有另一个力偶， 以使主矩为零的条件得以满足，因此A端除存在约束力FA外， 还应有一个约束力偶MA，其作用面与F和FA组成的平面平行， 力偶矩的大小则由主动力F的大小、方向和作用位置确定。
1.系统组成与工作原理
图3-23
本章小结 1 力系的主矢、主矩和静力等效是静力学中的重要概念。等
效力系定理是力系等效转换的理论依据。力系的主矢和对任一
点的主矩的计算是静力学的基本计算，也是建立和研究刚体平 2 力系的简化是静力学的基本问题之一。研究力系的简化，
新编工程力学基础
第3章 力系的静力等效和简化 第一节 力系的静力等效
第二节
第三节
力系的简化
力系简化的应用
第一节 一、力系及其分类
力系的静力等效
二、力系的主矢和主矩
三、力系的静力等效
一、力系及其分类 作用于同一物体或同一质点系上的一组力称为力系。一般情形
下，构成力系的各力的作用线不在同一个平面内，称为空间
原理：在已知力系上任意增加或减去平衡力系，并不改变原力
系对刚体的作用效应。
（二）力偶的等效定理及其应用 力偶的等效定理：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们对同一
推论1
只要保持力偶矩的大小、转向不变，作用在刚体上的
力偶可以在其作用面内任意移转，或在作用面内同时改变组成
力偶的两个力的大小和力偶臂的大小，这些改变都不影响其作 用效果（图3-1）。 推论2 力偶在同一刚体上可以移动到与其作用面平行的任何 平面内，而不改变其对刚体的作用效果（图3-2
（二）力偶的等效定理及其应用
图3-1
（二）力偶的等效定理及其应用
图3-2
（二）力偶的等效定理及其应用 如图3-3所示，悬臂梁AB的A端固定，自由端B处受一集中力F 作用而处于平衡状态。由于A端不能移动，故应该有一约束力 FA作用。悬臂梁处于平衡状态，故作用于悬臂梁上的力系是一 个平衡力系。由主矢为零的条件可知，FA与F等值反向，但由 于FA与F平行，故组成一个力偶。平衡力系要求有另一个力偶， 以使主矩为零的条件得以满足，因此A端除存在约束力FA外， 还应有一个约束力偶MA，其作用面与F和FA组成的平面平行， 力偶矩的大小则由主动力F的大小、方向和作用位置确定。
力系的等效与简化
迎面 风力
侧面 风力
b
提出问题
假如一种刚体上承受旳力比较多， 多于3个，而且不是一种汇交力系， 这种情况下怎样处理这个刚体旳平 衡问题？怎样研究这些力之间旳关 系？再复杂些，例如还有力偶等等， 又怎样处理？
❖ 全部旳力向一点简化。 即可处理这一问题。
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成 已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
固定端（插入端）约束
阐明：
① 以为Fi这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一 力偶; ③ RA方向不定可用正交分力YA, XA表达; ④ YA, XA, MA为固定端约束反 力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为 限制转动。
固定端约束---简化成果旳应用
固定端约束
❖约束力涉及两个分力，和一种约束力偶。
③ R ≠0，MO =0，即简化为一种作用于简化中心旳合力。这
时简化成果就是合力（这个力系旳合力），R R 。
（ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
平面力系简化成果分析
① 平衡 ② 简化为一种力偶 ③ 简化为一种力
简化为一合力：
MO (FR )= MO MO= ∑MO(Fi)
MO (FR )= ∑MO(Fi)
合力矩定理
❖ 合力对某一点之矩等于力系中各力对同一点 之矩旳代数和。
④ R ≠ 0，MO ≠0，为最一般旳情况。此种情况还能够继续 简化为一种合力 R 。
合力 R 旳大小等于原力系旳主矢
合力 R 旳作用线位置
d MO R
结论：
平面任意力系旳简化成果 ：①合力偶MO ； ②合力 R
合力矩定理：因为主矩 而合力对O点旳矩
分布线荷载(线荷载)
A
侧面 风力
b
提出问题
假如一种刚体上承受旳力比较多， 多于3个，而且不是一种汇交力系， 这种情况下怎样处理这个刚体旳平 衡问题？怎样研究这些力之间旳关 系？再复杂些，例如还有力偶等等， 又怎样处理？
❖ 全部旳力向一点简化。 即可处理这一问题。
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成 已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
固定端（插入端）约束
阐明：
① 以为Fi这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一 力偶; ③ RA方向不定可用正交分力YA, XA表达; ④ YA, XA, MA为固定端约束反 力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为 限制转动。
固定端约束---简化成果旳应用
固定端约束
❖约束力涉及两个分力，和一种约束力偶。
③ R ≠0，MO =0，即简化为一种作用于简化中心旳合力。这
时简化成果就是合力（这个力系旳合力），R R 。
（ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
平面力系简化成果分析
① 平衡 ② 简化为一种力偶 ③ 简化为一种力
简化为一合力：
MO (FR )= MO MO= ∑MO(Fi)
MO (FR )= ∑MO(Fi)
合力矩定理
❖ 合力对某一点之矩等于力系中各力对同一点 之矩旳代数和。
④ R ≠ 0，MO ≠0，为最一般旳情况。此种情况还能够继续 简化为一种合力 R 。
合力 R 旳大小等于原力系旳主矢
合力 R 旳作用线位置
d MO R
结论：
平面任意力系旳简化成果 ：①合力偶MO ； ②合力 R
合力矩定理：因为主矩 而合力对O点旳矩
分布线荷载(线荷载)
A
力系的等效与简化共48页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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力系的等效与简化
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
3-第三章 力系的简化和平衡
第三章 力系的简化和平衡引言一、力系分类1.汇交力系: 空间平行力系和平面汇交力系。
2. 一般力系：平面一般力系、空间一般力系。
3.平行力系。
平面平行力系和空间平行力系。
二、物体受力计算路径研究物体受力情况→作用在物体上的一组复杂力系→简化及合成→物体受力结果。
§3.1 力线平移定理力线的平移定理：作用在刚体上O 点的力F 可平移到任意O '点，但必须附加上一个相应的力偶(称附加力偶)，这个附加力偶矩失等于原来的力F 对新作用点O '和矩。
且()d F F MM O ⋅=='(d 是力偶臂)力线平移定理不仅是力系简化的依据，也是分析力所物体效应的一个重要方法。
注：力线平移定理只能适应于静定刚体 证明：如F 图所示图中：力F 作用于刚体上O 点；在刚上'O 处加上一对平衡力(F F ''',)，且F F F ''-='=。
根据加减平衡力系原理：（F F F ''',,），中（F F '',）等值反向不共线，是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶。
附加力偶距失()F M d F M O '=⋅=。
b()ac§3.2 力系的简化、主矢与主矩一、力系的简化在工程中，最常见的力系是不同一平面内，不完全相交，也不完全平行的空间的一般力系。
在对作用于物体的力系的研究过程当中，首先将力系向任意一点进行简化。
如图所示：空间力系(1F ,2F ,…n F )，O 点为任取的简化中心1. 根据力线平移定理，将力系中各力1F ,2F ,…m F 平移到O 点→作用于O 点的空间汇力系(1'F ,2'F ,…n F ')及附加力偶系(1M ,2M ,…n M )11'F F =，22'F F =,… nn F F '=()11F M M O= ()22F MMO=…()n OnF MM=2.将以上两个力系分别合成F F F F F F F R n n ∑=+++=+++=' 2121nO MM M M+++= 21()()()()i O n O O OF M F M F M F M∑=+++=21R ':原力系主矢，是空间一般力系中各力的矢量和，与简化中的无关。
工程力学(李卓球) 第3章 力系的简化和平衡
∑X =0 ∑Y = 0 ∑M = 0
O
3.2
力系的平衡条件和平衡方程 ∑X =0
∑Y = 0 ∑F = 0
z
y
F1 F2
4 5 3
F3
∑M
x
=0
y
O
x
∑M ∑M
平面汇交力系
=0
=0
z
∑ ∑
X = 0
Y = 0
Y = 0
M
O
平面平行力系
∑ ∑
( Fi ) = 0
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
四、平面任意力系平衡方程的其他形式 (1)二力矩式 二力矩式
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
∑ ∑ ∑
Fx = 0
∑ M ∑ M
A B
(F i ) = 0 (Fi ) = 0
Fy = 0
M
O
(Fi ) = 0
∑
Fx = 0
A
B
∑Y ∑M
= 0
O
∑ M
(F i ) = 0
(Fi ) = 0
∑
M
(Fi ) = 0
AB连线与力不平行 连线与力不平行 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
h h
γy (1 × dy )
dy
= γy
1 2 γh 2
由合力矩定理， 由合力矩定理，有
1 Qd = ∫ yqdy = ∫ γy dy = γh 3 0 0 3
h h 2
d=
2 h 3
3.1
力系向一点简化
y A
2m
在长方形平板的O 例题 3-2 在长方形平板的 、A、 B、C 点上分别作用着有四个力： 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN ， ， 如图）， ），试求以上四个力构成 （如图），试求以上四个力构成 的力系对点O 的简化结果， 的力系对点 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。 该力系的最后的合成结果。 取坐标系Oxy。 解：取坐标系 。 1、求向 点简化结果： 点简化结果： 、求向O点简化结果 求主矢R′ ①求主矢 ′：
第三章 力系简化的基础知识
力偶矩这个代数量唯一确定。
3-4 平面力偶系合成与平衡条件
平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为合力偶， 合力偶矩等于平面各分力偶矩的代数和。 m1+m2+﹍+mn=∑ mi=m
3-4 平面力偶系合成与平衡条件
例
3-4 平面力偶系合成与平衡条件
力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似，力偶系的平衡即 为力偶系的作用不能使物体发生变速转动，物体处于平衡 状态，其合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代数和等 于零。m=mi =0 平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和等于 零。 mi =0
力可以使刚体移动，也可以使刚体转动。力对刚体的转 动效应取决于什么呢？ 力矩—力和力臂的乘积 力F对O点的矩 ：mO（F）=Fd，单位：N· m（牛顿· 米）； 其中，d为O点到力F作用线的（垂直）距离。
3-2 力对点的矩
力矩的性质： B •力通过矩心，其矩为零； •力沿作用线移动，不改变其 矩； •等值、反向、共线的两力对 F 同一点矩之和为零； •相对于矩心作逆时针转动的 力矩为正；反之为负。 A •力矩的数学定义： m O（F）=h × F m O（F）=±2⊿OAB面积
F1 F2
R
X
3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
二、平面汇交力系的合成 1、平面汇交力系合成的几何法 各分力的矢量和为合力矢R
F4
F3 R
F4
F2
F3
F2
R
R2
F1
F1
R1
®力的平行四边形法则： 汇交力系的几何法合成：力的多边形法则
3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
Rx=3cos45°+5cos30°-6cos60°-4 =-0.549kN Ry=3sin45°-5sin30°-6cos60°-0=-3.379kN y R=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN F1 =arc cos[(-0.549)/3.423]=260.8 ° F4 45° 30° x (R指向第三象限） 60° F3 F2
3-4 平面力偶系合成与平衡条件
平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为合力偶， 合力偶矩等于平面各分力偶矩的代数和。 m1+m2+﹍+mn=∑ mi=m
3-4 平面力偶系合成与平衡条件
例
3-4 平面力偶系合成与平衡条件
力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似，力偶系的平衡即 为力偶系的作用不能使物体发生变速转动，物体处于平衡 状态，其合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代数和等 于零。m=mi =0 平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和等于 零。 mi =0
力可以使刚体移动，也可以使刚体转动。力对刚体的转 动效应取决于什么呢？ 力矩—力和力臂的乘积 力F对O点的矩 ：mO（F）=Fd，单位：N· m（牛顿· 米）； 其中，d为O点到力F作用线的（垂直）距离。
3-2 力对点的矩
力矩的性质： B •力通过矩心，其矩为零； •力沿作用线移动，不改变其 矩； •等值、反向、共线的两力对 F 同一点矩之和为零； •相对于矩心作逆时针转动的 力矩为正；反之为负。 A •力矩的数学定义： m O（F）=h × F m O（F）=±2⊿OAB面积
F1 F2
R
X
3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
二、平面汇交力系的合成 1、平面汇交力系合成的几何法 各分力的矢量和为合力矢R
F4
F3 R
F4
F2
F3
F2
R
R2
F1
F1
R1
®力的平行四边形法则： 汇交力系的几何法合成：力的多边形法则
3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
Rx=3cos45°+5cos30°-6cos60°-4 =-0.549kN Ry=3sin45°-5sin30°-6cos60°-0=-3.379kN y R=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN F1 =arc cos[(-0.549)/3.423]=260.8 ° F4 45° 30° x (R指向第三象限） 60° F3 F2
第章力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化2.1 力系等效与简化的概念2.1.1 力系的主矢与主矩主矢的概念： 由若干多个力所组成的力系12(,,,)n F F F ⋅⋅⋅中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称为主矢，用R F 表示，即1nR ii F F ==∑注意：主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
对一个确定的力系主矢是唯一的。
主矩的概念： 力系中所有力对同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩，用O M 表示，即1()nO O i i M M F ==∑注意：主矩是对某一确定点的。
同一力系对不同的点其主矩一般不同。
12O O M M ≠2.1.2 等效的概念设有两力系12(,,,)n F F F ⋅⋅⋅和12(,,,)n F F F '''⋅⋅⋅。
1nR ii F F ==∑，1nR i i F F =''=∑1()nO O i i M M F ==∑，1()nOO i i M M F ='''=∑。
等效力系：如果两力系的主矢和对同一点的主矩分别对应相等，二者对同一刚体就会产生相同的运动效应，则称则两个力系为等效力系。
2.1.3 简化的概念力系的简化：将由若干个力和力偶所组成的力系，变为一个力或一个力偶或者一个力和一个力偶等简单而等效的情形。
这一过程就称为力系的简化。
2.2 力偶及其性质2.2.1 力偶-----最简单、最基本的力系 1、力偶的概念 工程实例：方向盘搅拌器丝锥力偶：两个大小相等，作用线不重合的反向平行力组成的力系。
记为),(F F '。
F F '-=F F '=力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离h ，称为力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面。
2、 力偶矩力偶使物体产生绕某点转动的效应。
F F '-=()()()O O A BA B AB M M F M F F r F r r r F r F''=+=⨯+⨯=-⨯=⨯若任意另取一点仍有AB M r F =⨯。
工程力学第3章 力系的简化
34
这个力偶使丝锥转动，而这个力F′却往往使攻丝不 正，甚至折断丝锥，见图3.18。
35
36
3.5 一般力系的简化
3.5.1 空间一般力系向任一点简化 设某刚体上作用一空间一般力系，如图3.19（a）所 示。在空间任选一点O为简化中心，根据力的平移定理， 将各力平移至O点，并附加一个相应的力偶。这样可得 到一个汇交于O 点的空间汇交力系F′1，F′2，…，F′n， 以及力偶矩矢分别为M1，M2，…，Mn的空间力偶系， 如图3.19（b）所示。其中
13
3.2.2 空间力系中力对点之矩 力对点之矩表示了力使物体绕该点，亦即绕通过该 点且垂直于力矩平面的轴的转动效应。在平面力系中， 各力的作用线与矩心决定的力矩平面都相同，因此，只 要知道力矩的大小和用以表明力矩转向的正负号，就足 以表明力使物体绕矩心的转动效应，即力对点之矩用代 数量表示就可以了。而在空间力系中，各力作用线不在 同一平面内，研究各力使物体绕同一点转动时其力矩平 面的方位，亦即转轴的方位各不相同。
5
6
2.二次投影法已知力F与某平面（如Oxy平面）的夹 角为 θ，又知力 F 在该平面（Oxy平面）上的投影Fxy与 某轴（x轴）的夹角为φ，如图3.4所示。则可用二次投影 法将力F先投影到Oxy平面上得Fxy，再将Fxy分别投影到x， y轴上，于是力F在各轴上的投影为
7
3.1.4 投影与分力的比较 1.联系 将力 F 沿空间直角坐标轴分解为三个正交分力 Fx，Fy， Fz，如图 3.5所示，则有
14
因此，在一般情况下力使物体绕某点的转动效应取决于如下3 个因素，简称力对点之矩三要素：①力矩大小，即力和力臂的乘 积；②力矩平面的方位，亦即转动轴的方位；③力矩转向，即在 力矩平面内，力使物体绕矩心的转向。因此，力对点之矩必须用 一个矢量来表示：过矩心O作垂直于力矩平面的矢量。该矢量的 方位表示力矩平面的法线方位，即转轴的方位；该矢量的指向由 右手螺旋法确定，即以右手四指弯曲的方向表示力矩的转向，则 拇指的指向就是该矢量的指向；该矢量的长度按一定比例尺表示 力矩的大小。如图3.8所示。这个矢量称为力对点之矩矢量，用符 号MO（F）表示。MO（F）是一个作用线通过矩心的定位矢量 （fixedvector）。在图3.8中，为了与其他矢量相区别，凡力对点 之矩矢量均以带圆弧箭头或带双箭头的有向线段表示。
第三章 力系的等效与简化
2、简化结果
平面任意力系向平面内任一点简化，得到一力 和一力偶。
该力称为原力系的主矢量，它等于原力系中各力 的矢量和，作用点在简化中心上，其大小、方向与 简化中心无关。
该力偶的矩称为原力系的主矩，它等于原力系中 各力对简化中心之矩的代数和，其值一般与简化中 心的位置有关。
主矢量
F F 2 F 2 ( F ) 2 ( F ) 2 R Rx Ry x y FRy Fy tan F Fx Rx
y A F1 F2
y
y
FR
O C F4
a
x
＝
MO
O x
＝
O
d
FR
x
D F3 a B (a) (b) (c)
图
（2）由于FR′≠0，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程， 可 将主矢FR′与主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向与 主矢FR′相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距d
工程力学
制作 郭智勇
第三章
力系的等效与简化
第一节
力的平行移动定理
由力的基本性质可知，在刚体内，力 沿其作用线滑移，其作用效应不变。 如果将力的作用线平行移动到另一位 置，其作用效应是否改变呢？
力的平移定理
作用于刚体上的力，平移到刚体上任意一点， 必须附加一个力偶才能与原力等效，附加力偶的 力偶矩等于原力对平移点之矩。
' FRx Fx F1x F2 x F3 x F4 x 0 2 F 2 F 3F F
F Fy F1 y F2 y F3 y F4 y F 2 F 0 0 F
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二、力系简化的最终结果 根据力系主矢和主矩的性质，力系可最终简化为下列四种情形 1 2 3 4 平衡力系 即与零力系等效。其条件为主矢F′R=0，主矩M 该力偶称为力系的合力偶。力系存在合力 该力称为力系的合力。
O=0 单一等效力偶 单一等效力 力螺旋 偶的条件为主矢F′R≠0，主矩MO≠0。 在最一般的情况下，力系的主矢和主矩不垂直
三、平面力系的简化结果
（1）沿直线路面行驶的汽车，若不考虑由于路面不平引起的
左右摇摆和侧滑，则由汽车所受的重力、空气阻力及地面对车 轮的约束力构成的空间力系将对称于汽车的纵向对称面。将该 力系向汽车的纵向对称面简化，就可得到一个平面一般力系， 如图3-11 （2）工厂车间里的桥式起重机，梁的自重、起重机小车的自 重和起吊物的重量均作用在梁的纵向对称面内。梁两端四个车 轮的约束力也对称于该平面，故该力系可简化为梁纵向对称面 内的一个平面力系，如图3-12所示。
图3-3
力的平移定理
可以把作用于刚体上点A的力F平行移动到任一
点O，同时附加一个力偶，其力偶矩矢M等于力F对点O的力矩
矢，即M=MO（F），则平移后得到的新力系与原力系等效， 如图3-4 力的平移定理可以直接用等效力系定理来证明。反之，作用于 同一刚体的同一平面内的一个力和一个力偶（即力偶矩矢和力 矢垂直时），可以用一个力等效代替。
（一般）力系，这是力系的最一般的形式。当力系中各力的作 用线位于同一平面内时，称为平面（一般）力系，这是工程实 际中常见的重要情形。有些空间力系通过等效转换的方法也可 以变为平面力系。如果力系中各力的作用线交于一点，则称为 汇交力系。如果力系全部由力偶组成，则称为力偶系。汇交力 系和力偶系也有空间和平面两种情形，汇交力系和力偶系是两
图3-4
第二节 一、力系向一点简化
力系的简化
二、力系简化的最终结果
三、平面力系的简化结果
一、力系向一点简化 力系的简化，就是把较复杂的力系用与其等效的较简单的力系
来代替。这种方法不仅在静力学的研究中占有重要地位，而且
力系简化的最常用的方法是把力系向一点简化。根据等效力系 定理，如果在简化中心点O处作用一个力，其大小和方向等于 原力系的主矢；再作用一个力偶，其力偶矩矢等于原力系对点 O的主矩，则由该力和力偶组成的力系与原力系等效。也就是 说，在最一般的情况下，空间力系可以用由一个力和一个力偶
新编工程力学基础
第3章 力系的静力等效和简化 第一节 力系的静力等效
第二节
第三节
力系的简化
力系简化的应用
第一节 一、力系及其分类
力系的静力等效
二、力系的主矢和主矩
三、力系的静力等效
一、力系及其分类 作用于同一物体或同一质点系上的一组力称为力系。一般情形
下，构成力系的各力的作用线不在同一个平面内，称为空间
原理：在已知力系上任意增加或减去平衡力系，并不改变原力
系对刚体的作用效应。
（二）力偶的等效定理及其应用 力偶的等效定理：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们对同一
推论1
只要保持力偶矩的大小、转向不变，作用在刚体上的
力偶可以在其作用面内任意移转，或在作用面内同时改变组成
力偶的两个力的大小和力偶臂的大小，这些改变都不影响其作 用效果（图3-1）。 推论2 力偶在同一刚体上可以移动到与其作用面平行的任何 平面内，而不改变其对刚体的作用效果（图3-2
三、平面力系的简化结果
图3-11
三、平面力系的简化结果
图3-12
三、平面力系的简化结果 （二）平面力系的简化结果
平面力系简化的一般方法是向力作用平面内的一点简化。此时，
力系的主矩矢如果不等于零，则必定垂直于力系作用平面，因 此平面力系简化的最终结果不可能是力螺旋，只能是以下三种 情况之一：平衡力系、合力、合力偶。
种简单力系。通过力系的等效变换，任何一般力系均可变换为
一个汇交力系加上一个力偶系，所以也将这两种力系称为基本 力系。
二、力系的主矢和主矩 定义力系的主矢为力系中各力的矢量和F′R=∑iFi（3-1
力系对某一固定点O的主矩等于力系中各力对该点的力矩矢的
矢量和MO=∑iMOFi（3-2 根据牛顿第三定律，力系中内力的矢量和及内力矩的矢量和显
然为零，因此力系对质点系或刚体的运动效应完全由其主矢和
三、力系的静力等效 （一）等效力系定理
（二）力偶的等效定理及其应用
（三）力的平移定理
（一）等效力系定理 等效力系定理：两力系对刚体运动效应相等的条件是其主矢相
等、且对同一点的主矩相等。主矢和对任一点的主矩都等于零
的力系称为零力系，也称为平衡力系。根据动量定理和动量矩 定理，处于平衡状态的刚体必定受平衡力系作用。由两个力组 成的平衡力系是最简单的平衡力系。根据定义，可以直接得到 二力平衡条件：作用在刚体上的两个力，使刚体平衡的必要充 由等效力系定理和平衡力系的性质可以直接得到加减平衡力系
（二）力偶的等效定理及其应用
图3-1
（二）力偶的等效定理及其应用
图3-2
（二）力偶的等效定理及其应用 如图3-3所示，悬臂梁AB的A端固定，自由端B处受一集中力F 作用而处于平衡状态。由于A端不能移动，故应该有一约束力 FA作用。悬臂梁处于平衡状态，故作用于悬臂梁上的力系是一 个平衡力系。由主矢为零的条件可知，FA与F等值反向，但由 于FA与F平行，故组成一个力偶。平衡力系要求有另一个力偶， 以使主矩为零的条件得以满足，因此A端除存在约束力FA外， 还应有一个约束力偶MA，其作用面与F和FA组成的平面平行， 力偶矩的大小则由主动力F的大小、方向和作用位置确定。
（隐含F′R≠0，MO≠0），此时力系既不平衡，也不能简化为一 个力或一个力偶。
二、力系简化的最终结果 一个力和与之垂直的平面内的一个力偶的组合称为力螺旋。
图3-7
二、力系简化的最终结果
图3-8
三、平面力系的简化结果 （一）平面力系
平面力系是工程中常见的一种力系。平面结构所受的主动力如
果都在结构平面内，则约束力也必定在该平面内，这些力组成 平面力系，如支撑屋顶的平面桁架，起重机的横梁等。有些空 间结构本身具有对称平面，如果该结构所受的主动力也对称于 这个平面，就可以把作用在结构上的力系简化为该平面内的一 个平面力系。