江苏省南通中学高考数学模拟试卷一

7 8 994 4 6 4 7 3江苏省南通中学2008届高考数学模拟试卷一一．填空题：1．已知数列｛a n ｝对于任意m 、n ∈N *，有a m +a n =a m+n ，若，411=a 则a 40等于10 2．已知复数,,4321i t z i z +=+= 且21z z ⋅是实数，则实数._________=t3.右图是用二分法求方程51610x x -+=在[2,2]-的近似解的程序框图，要求解的精确度为0.0001，①处填的内容是____()()0f a f m ⋅<_______, ②处填的内容是________0.0001a b -<______________.4．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为85，1.65．已知)cos(sin 2sin 3,0παααπα-=<<，则等于－616．已知点P(x,y)满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = -6 . 7．已知动直线(,3x t t ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦）与两函数()sin ,()()2f x x g x x π==-图像分别交于两点P ,Q ，则点P ,Q 间长度的最大值为8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若在正方体内（包括边界）任取一点M ，则四棱锥M —ABCD 的体积不小于81的概率是 85。

9．如图，在△ABC 中，,0,212tan=⋅=C 0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为210．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数g (x )过点（－1，1）， 且g (x )＝f (x －1)，则f (7)+f (8)的值为_____ -111．底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱ABCD －A l B l C l D l 的8个顶点都在球O 的表面上，E 是侧棱AA l 的中点，F 是正方形ABCD 的中心，则直线EF 被球O 截得线段长为34212．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅定义且内一点∆其中p n m 、、分别是yx y x M f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=则若的面积∆∆∆ 的最小值是__18_____________.13.一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序． （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31； （2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到 135， ；要想从B口得到23031，则应从A 口输入自然数 24 . 14．设函数12()log f x x =，给出下列四个命题：①函数()f x 为偶函数；②若()()f a f b = 其中0,0,a b a b >>≠，则1ab =；③函数2(2)f x x -+在()1,2上为单调增函数；④若01a <<，则(1)(1)f a f a +<-。

则正确命题的序号是 _ - ①②③④ 二．解答题：15.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．（1） 若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率； （2） 若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；（3） 若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a ，第二次朝下面上的数字为纵坐标b ，求点（b a ,）落在直线1=-y x 下方的概率．解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A ，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}， {1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则43)(=A P ；---------------------------------------------------------------------------- （2）记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B ，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6种，P （B ）=83166=．---------------------------------------------------------------------------- （3）记事件“抛掷后点（b a ,）在直线1=-y x 的下方”为C ，要使点（b a ,）在直线`1=-y x 的下方，则须1-<a b ，当1=b 时，3=a 或4；当2=b 时，4=a ，则所求的概率P （C ）=163．----- 16．如图，平面四边形ABCD 中，AB=13，AC=10，AD=5，DAC ⋅=∠,53cos =120. （1）求cos ∠BAD ；（2）设y x y x 、⋅+⋅=的值. 解：（1）设βα=∠=∠CAD CAB ,，53cos ,1312130120cos ====βα，………………3分,54sin ,135sin ==∴βα……………………5分651654135531312sin sin cos cos )cos(cos =⋅-⋅=-=+=∠∴βαβαβαBAD ……7分 （2）由⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=⋅⋅+=⋅⋅+⋅=22:y x ABAD y AB x AB AC AD y AB x AC 得……10分⎩⎨⎧+=+=∴yx y x 25163016169120………………解得：63506340==y x ………………14分 17.已知圆C 过原点O ，且与直线4x y +=相切于点A (2,2).(1) 求圆C 的方程；(2) 过原点O 作射线交圆C 于另一点M ,交直线3x =于点N .①OM ON ⋅是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；②若射线OM 上一点00(,)P x y 满足2OP OM ON =⋅,求证：3200000660x x y x y +--=.解：(1)由题意得:圆心为OA 的中点(1,1)，∴圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-= --------------5’ (2)设射线所在直线方程为y kx =，将它代入22(1)(1)2x y -+-=得： 22(1)(22)0k x k x +-+=，2221M k x k +∴=+ -------------7’ 射线y kx =与直线3x =相交M x ∴与3同号1k ∴>-，OM ON ∴⋅=＝ -------------9’ 1k >-OM ON ∴⋅无最小值 -------------11’(3)2OP OM ON =⋅220066x y k ∴+=+ -------又00y kx =00y k x ∴=代入上式得 3200000660x x y x y +--=18.如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ．（Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；（Ⅱ）若a AA =1，当a 为何值时，D AB PC 1//平面(Ⅰ)证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以PCD ∆为等腰直角三角形，所以PCPD ⊥．因为1111D C B A A B C D -是一个长方体，所以DD CC BC 11面⊥，而DD CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面⊂，所以PD BC ⊥． ……因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥．…4分(Ⅲ)解：当2=a 时，D AB PC 1//平面． 当2=a 时，四边形D D CC 11是一个正方形，所以145=∠DC C ，而45=∠PDC ，所以190=∠PDC ，所以PD D C ⊥1． ……10分而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//． … 而DC ABD C 111面⊂，所以DC AB PC 11//面，所以D AB PC 1//平面． …19.已知函数2()m x f x x-=()m R ∈ （1）若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数，求实数m 的取值范围；（2）设()()ln g x f x x =+，当2m ≥-时，求()g x 在1[,2]2上的最大值。

D 1C 1B 1A 1PDCB A解：（1）因为函数13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得()f x 在[1,)+∞上是单调减函数，其导数在[1,)+∞上恒小于等于0，且满足()8f x <在[1,)+∞上恒成立，所以22'()0x m f x x --=≤恒成立，即220x mx +≥在[1,)+∞上恒成立，解得1m ≥-要使()8f x <在[1,)+∞上恒成立，只需要max [()]8f x <，又()f x 在[1,)+∞上单调减函数，(1)8f ∴<，解得9m <，19m ∴-≤<（2）2222211()24()ln ,'()x m m x x x m g x x g x x x x-+---+=+=-=- 当104m -≥，即14m ≥时，'()0g x ≤，()g x ∴在1[,2]2上单调递减，max 11()()2ln 222g x g m ∴==--当124m -≤<时，由'()0g x =得121122x x +==， 显然121211111,2,[,2],[,2]2222x x x x -≤<<≤∴∉∈，又122()()'()x x x x g x x--=- 当212x x ≤≤时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；（注意画草图，利用数形结合） 当22x x <≤时，'()0g x <，()g x 单调递减max 2111()()ln ln222g x g x +∴==-+=综上所述，（1）当14m ≥时，max 1()2ln 22g x m =--；（2）当124m -≤<时，max ()ln g x =20.已知向量//m n ,其中31(,1)1m x c =-+-,(1,)n y =-(,,)x y c R ∈, 把其中,x y 所满足的关系式记为()y f x =,若函数()f x 为奇函数. (Ⅰ) 求函数()f x 的表达式；(Ⅱ) 已知数列{}n a 的各项都是正数, n S 为数列{}n a 的前n 项和,且对于任意*n N ∈,都有“{}()n f a 的前n 项和等于2n S ,”求数列{}n a 的通项式；(Ⅲ) 若数列{}n b 满足142()n a n nb a a R +=-⋅∈,求数列{}n b 的最小值.解：(Ⅰ) //m n 3331101(10)1y y x c x c x c ∴⋅-=⇒=+-+-≠+-,因为函数()f x 为奇函数.所以1c =,3()(0)f x x x ⇒=≠ …………4分(Ⅱ)由题意可知,23333212123()()()n n n nf a f a f a S a a a a S +++=⇒++++=…..① 时2≥n 3333212311n n a a a a S --∴++++=………②由①-②可得:32211()n n n n n n a S S a S S --=-=+,{}n a 为正数数列 12-+=∴n n n S S a ③ ……2分 n n n S S a +=∴++121④由④-③可得: n n n n a a a a +=-++1221,1,011=-∴>+++n n n n a a a a ……2分且由①可得321111,01a a a a =>⇒=，,20,22223231=⇒>=+a a S a a 112=-∴a a {}n a ∴为公差为1的等差数列,)(*N n n a n ∈=∴ ……2分(Ⅲ) )(*N n n a n ∈= ,)()2(24*221N n a a a b n n n n ∈--=⋅-=∴+ ……2分 令2(2)nt t =≥,22()(2)n b t a a t ∴=--≥(1)当2a ≤时,数列{}n b 的最小值为：当1=n 时, .441a b -= ……2分(2)当2a >时①若)(2*1N k a k ∈=+时,数列{}n b 的最小值为当1+=k n 时,.21a b k -=+ (1)分②若)(222*1N k a k k ∈+=+时,数列{}n b 的最小值为, 当n k =或1n k =+时，221(2)k k k b b a a +==--. …1分③若)(2222*1N k a k k k∈+<<+时, 数列{}n b 的最小值为, 当n k =时,22(2)k k b a a =-- ……1分④若)(2222*11N k a k k k ∈<<+++时,数列{}n b 的最小值为, 当1n k =+时，1221(2)k k b a a ++=--.……1分。