江西省南康中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
江西省南康中学2018-2019学年高一上学期第二次月考(期中)数学试题(解析版)
2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（上）第二次月考数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜log 23}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |1＜x ＜e }B ．{x |1＜x ＜log 23}C ．{x |x ＜log 23}D ．Φ2．＝（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数，f （a ）＝6，则a 的值为（ ）A ．5B ．C ．5或D ．2或64．设x 0是函数f （x ）＝2x +3x ﹣7的零点，且x 0∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．若函数g （x ）＝a x （a ＞0且a ≠1）的图象与函数y ＝f （x ）的图象关于直线y ＝x 对称，且f （4）＝1，则f （2）+g （）＝（ ）A ．2B ．C ．3D ．46．函数f （x ）＝（）x ﹣（）x ﹣1+2（x ∈[﹣2，1]）的值域是（ ）A ．（，10]B ．[1，10]C ．[1，]D ．[，10]7．已知函数f （x ）的定义域为[3，+∞），则函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．下列函数①y ＝log 2x②③④为奇函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列三个数a＝log36，b＝log510，c＝log714的大小顺序是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数，则函数y＝[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}12．已知函数g（x）＝，若关于x的方程g2（x）﹣ag（x）+b＝0有7个不同实数解则（）A．a＞0且b＝0B．a＞0且b＞0C．a＝0且b＞0D．a＜0且b＝0二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．已知幂函数f（x）＝x n过点（4，2），则函数的单调递增区间为．14．已知y＝f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时f（x）＝x+1，则x ＜0时f（x）＝．15．已知a＞0，设函数f（x）＝+x3（x∈[﹣a，a]）的最大值为M，最小值为N，则M+N的值为．16．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；②同学乙发现：函数f（x）是偶函数；③同学丙发现：对于任意的x∈（﹣1，1）都有；④同学丁发现：对于任意的a，b∈（﹣1，1），都有；⑤同学戊发现：对于函数f（x）定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足．其中所有正确研究成果的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算：（1）16﹣（π+e）0（2）已知5x＝3y＝45，求的值．18．（12分）已知三个集合：A＝{x∈R|log2（x2﹣5x+8）＝1}，B＝{x∈＝1}，C＝{x∈R|x2﹣ax+a2﹣19＝0}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）已知A∩C≠∅，B∩C＝∅，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝．（1）判断函数y＝f（x）的单调性和奇偶性；（2）当x∈（﹣1，1）时，有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．求实数m的取值范围．20．（12分）已知f（x）＝2+log4x，x∈[1，16]，函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求函数g（x）的最大值及此时x的值．21．（12分）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：（Ⅰ）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天，x∈N*）；（Ⅱ）销售量g（x）与时间x的函数关系式为，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？22．（12分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c满足下列条件：当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f （x﹣1）＝f（﹣x﹣1）成立；当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈（2，+∞），不等式4f（x）≥（n+2）x﹣n﹣15恒成立，求实数n的取值范围．（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜log23}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜e}B．{x|1＜x＜log23}C．{x|x＜log23}D．Φ【分析】由1＜log23＜2，由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜log23}，由1＜log23＜2，可得则A∩B＝{x|1＜x＜log23}，故选：B．【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用对数函数的性质，考查定义法解题，属于基础题．2．＝（）A．B．C．D．【分析】直接由有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：．故选：B．【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．3．已知函数，f（a）＝6，则a的值为（）A．5B．C．5或D．2或6【分析】当a＞0时，f（a）＝2a﹣4＝6，当a＜2时，f（a）＝＝6，由此能求出a的值．【解答】解：∵函数，f（a）＝6，∴当a＞0时，f（a）＝2a﹣4＝6，解得a＝5；当a＜2时，f（a）＝＝6，解得a＝，不成立．综上，a的值为5．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．设x0是函数f（x）＝2x+3x﹣7的零点，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由函数的解析式可得f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝3＞0，且函数在R上是增函数，故函数f （x）在（1，2）上存在唯一零点，从而求得k的值．【解答】解：由函数的解析式可得f（1）＝2+3﹣7＝﹣2＜0，f（2）＝4+6﹣7＝3＞0，且函数在R上是增函数，故函数f（x）在（1，2）上存在唯一零点，所以k＝1，故选：B．【点评】题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5．若函数g（x）＝a x（a＞0且a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（4）＝1，则f（2）+g（）＝（）A．2B．C．3D．4【分析】f（x）为g（x）的反函数，根据f（4）＝1得出a，从而计算出答案．【解答】解：∵g（x）与f（x）图象关于直线y＝x对称，∴f（x）＝g﹣1（x）＝log a x，∵f（4）＝log a4＝1，∴a＝4，∴f（2）＝，g（）＝2，∴f（2）+g（）＝．故选：B．【点评】本题考查了反函数的概念，函数值的计算，属于中档题．6．函数f（x）＝（）x﹣（）x﹣1+2（x∈[﹣2，1]）的值域是（）A．（，10]B．[1，10]C．[1，]D．[，10]【分析】令t＝（）x（x∈[﹣2，1]），则t∈[，4]，f（x）＝g（t）＝t2﹣2t+2（t∈[，4]），结合二次函数的图象和性质，求出函数的最值，进而可得函数的值域．【解答】解：令t＝（）x（x∈[﹣2，1]），则t∈[，4]，f（x）＝g（t）＝t2﹣2t+2（t∈[，4]），由g（t）＝t2﹣2t+2的图象是开口朝上，且以直线t＝1为对称轴的抛物线，故当t＝1时，函数取最小值1，当t＝4时，函数取最大值10，故函数的值域为[1，10]，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的最值，函数的值域，二次函数的图象和性质，难度中档．7．已知函数f（x）的定义域为[3，+∞），则函数的定义域为（）A．B．C．D．【分析】由已知函数定义域，可得，求解分式不等式得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[3，+∞），∴由，得，则0．∴函数的定义域为（0，]．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．8．下列函数①y＝log2x②③④为奇函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意，依次分析四个所给函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，y＝log2x，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；对于②，，有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）＝lg＝lg（）﹣1＝﹣lg＝﹣f（x），即函数为奇函数，对于③，，其定义域为R，f（﹣x）＝，有f（x）+f（﹣x）＝+＝lg1＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），即函数为奇函数；对于④，若x为无理数，则﹣x也为无理数，则f（﹣x）＝f（x）＝﹣1，同理当x为有理数时，也有f（﹣x）＝f（x）＝0，即函数f（x）为偶函数；则②③为奇函数；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意先分析函数的定义域．9．下列三个数a＝log36，b＝log510，c＝log714的大小顺序是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】利用对数运算性质可得：a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72．根据log32＞log52＞log72．即可得出．【解答】解：a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72．∵log32＞log52＞log72．∴c＜b＜a．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．【点评】本题目对考察学生对图表的认知和解读能力很到位，也能体现学生对函数图象数据的处理能力和培养数学应用意识，也考查学生将图形语言转化为数学语言的能力．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，已知函数，则函数y＝[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0}【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可判断．【解答】解：函数＝∈（，）当＜f（x）＜0时，y＝[f（x）]＝﹣1，当0≤f（x）＜时，y＝[f（x）]＝0．∴函数y＝[f（x）]的值域是{﹣1，0}故选：D．【点评】本题考查了新定义的理解和应用．分离常数的化解方法．属于基础题．12．已知函数g（x）＝，若关于x的方程g2（x）﹣ag（x）+b＝0有7个不同实数解则（）A．a＞0且b＝0B．a＞0且b＞0C．a＝0且b＞0D．a＜0且b＝0【分析】题中原方程g2（x）﹣ag（x）+b＝0有且只有7个不同实数解，结合函数图象，对g（x）的取值情况进行分析，进而得出答案．【解答】解：g（x）图象如图：令g（x）＝t，由图象可得：g（x）＝t＞0有4个不相等的根，g（x）＝t＝0有3个不相等的根，g（x）＝t＜0没有实数根．∵题中原方程g2（x）﹣ag（x）+b＝0有且只有7个不同实数解，∴t2﹣at+b＝0有两个实根，且一根为0，一根大于零∴a＞0，b＝0，故选：A．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上）13．已知幂函数f（x）＝x n过点（4，2），则函数的单调递增区间为[0，+∞）．【分析】利用待定系数法求出名幂函数的表达式，然后利用幂函数的性质确定函数的单调性．【解答】解：设幂函数为f（x）＝xα，因为幂函数的图象过点（4，2），所以f（4）＝4α＝2＝22α，解得α＝，所以f（x）＝，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题主要考查幂函数的解析式的求法和幂函数的性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．14．已知y＝f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时f（x）＝x+1，则x ＜0时f（x）＝﹣x+1．【分析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式可得f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性可得f（x）的解析式，即可得答案．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）+1，又由函数为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），则f（x）＝﹣x+1；故答案为：﹣x+1【点评】本题考查函数奇偶性的性质与应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．15．已知a＞0，设函数f（x）＝+x3（x∈[﹣a，a]）的最大值为M，最小值为N，则M+N的值为4037．【分析】设g（x）＝x3﹣，因为2015x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．函数f（x）在[﹣a，a]上的最大值是f（a），最小值是f（﹣a）．所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N＝4032﹣g（a）﹣g（﹣a），由此能求出M+N的值．【解答】解：∵f（x）＝+x3＝+x3＝2016﹣+x3，x∈[﹣a，a]），设g（x）＝x3﹣，则g（﹣x）＝﹣x3﹣＝﹣x3﹣，即有g（﹣x）+g（x）＝﹣5，因为2016x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．函数f（x）在[﹣a，a]上的最小值是f（﹣a），最大值是f（a）．所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N＝f（a）+f（﹣a）＝2016﹣g（a）+2016﹣g（﹣a）＝4032﹣（g（a）+g（﹣a））＝4032+5＝4037．【点评】本题考查函数在闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，属于中档题16．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；②同学乙发现：函数f（x）是偶函数；③同学丙发现：对于任意的x∈（﹣1，1）都有；④同学丁发现：对于任意的a，b∈（﹣1，1），都有；⑤同学戊发现：对于函数f（x）定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足．其中所有正确研究成果的序号是①③④．【分析】利用对数函数的定义域、奇偶性、运算法则、单调性直接求解．【解答】解：在①中，∵，∴＞0，解得函数f（x）的定义域为（﹣1，1），故①正确；在②中，f（﹣x）＝＝﹣lg＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，故②错误；在③中，对于任意的x∈（﹣1，1），有f（）＝lg＝lg＝lg＝lg，2f（x）＝2lg＝lg，故③正确；在④中，对于任意的a，b∈（﹣1，1），有f（a）+f（b）＝lg+lg＝lg（×）＝lg，而f（）＝lg＝lg，故④正确；在⑤中，对于函数f（x）定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0，即说明f（x）是增函数．但f（x）＝lg＝lg（﹣1+）是减函数，故⑤错误．综上：①③④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查对数函数的定义域、奇偶性、运算法则、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算：（1）16﹣（π+e）0（2）已知5x＝3y＝45，求的值．【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解；（2）直接利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）16﹣（π+e）0＝＝；（2）由5x＝3y＝45，得x＝log545，y＝log345，∴＝log455+2log453＝log45（5×9）＝1．【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题．18．（12分）已知三个集合：A＝{x∈R|log2（x2﹣5x+8）＝1}，B＝{x∈＝1}，C＝{x∈R|x2﹣ax+a2﹣19＝0}．（Ⅰ）求A∪B；（Ⅱ）已知A∩C≠∅，B∩C＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（I）解方程求出集合A、B，计算A∪B；（II）根据A∩C≠∅，且B∩C＝∅，求出集合C的元素特征，求出实数a的取值范围．【解答】解：（I）A＝{x∈R|log2（x2﹣5x+8）＝1}＝{x|x＝2，x＝3}＝{2，3}，B＝{x∈＝1}＝{x|x2+2x﹣8＝0}＝{x|x＝2或x＝﹣4}＝{2，﹣4}，∴A∪B＝{2，3，﹣4}；（II）A∩C≠∅，B∩C＝∅，∴2∉C，﹣4∉C，3∈C；又C＝{x∈R|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，∴9﹣3a+a2﹣19＝0；解得a＝﹣2或a＝5，所以实数a的取值是{﹣2，5}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝．（1）判断函数y＝f（x）的单调性和奇偶性；（2）当x∈（﹣1，1）时，有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．求实数m的取值范围．【分析】（1）讨论a＞1，0＜a＜1时，运用指数函数的单调性，可得所求f（x）的单调性；由奇偶性的定义，即可得到所求奇偶性；（2）由（1）的结论，可得f（1﹣m2）＜﹣f（1﹣m）＝f（m﹣1），即有﹣1＜1﹣m2＜m﹣1＜1，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）当a＞1时，＞0，若x1＞x2，则＞，﹣＞﹣，则f（x1）＞f（x2），可得f（x）在R上递增；同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在R上也单调递增．由，∴f（x）为R上的奇函数；（2）由f（x）为奇函数，且在R上递增，可得f（1﹣m2）＜﹣f（1﹣m）＝f（m﹣1），即有﹣1＜1﹣m2＜m﹣1＜1，可得，解得1＜m＜，则m的范围为（1，）．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和定义法解题，属于中档题．20．（12分）已知f（x）＝2+log4x，x∈[1，16]，函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求函数g（x）的最大值及此时x的值．【分析】（1）由已知f（x）的定义域及复合函数的定义域的求解可知，，解不等式可求（2）由已知可求g（x）＝[f（x）]2+f（x2），结合二次函数的性质可求函数g（x）的最值及相应的x．【解答】解：（1）∵f（x）＝2+log4x，x∈[1，16]，g（x）＝[f（x）]2+f（x2）．由题意可得，，解可得，1≤x≤4即函数g（x）的定义域[1，4]；（2）∵f（x）＝2+log4x，x∈[1，16]，∴g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log4x）2+2+log4x2＝log42x+6log4x+6设t＝log4x，则t∈[0，1]，而g（t）＝t2+6t+6＝（t+3）2﹣3在[0，1]单调递增，当t＝1即x＝4时，函数有最大值13．【点评】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数g（x）的定义域是容易出错点．21．（12分）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：（Ⅰ）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天，x∈N*）；（Ⅱ）销售量g（x）与时间x的函数关系式为，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？【分析】（Ⅰ）价格直线上升，直线下降，说明价格函数f（x）是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f（x）的表达式；（Ⅱ）由销售额＝销售量×时间，得日销售额函数S（x）的解析式，从而求出S（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，当1≤x≤40时，一次函数y＝ax+b过点A（4，23），b（32，20），代入函数求得a＝，b＝22；…（2分）当40＜x≤100时，一次函数y＝ax+b过点C（60，22），B（90，7），代入函数求得a＝﹣，b＝52 …（4分）∴f（x）＝…（Ⅱ）设日销售额为S（x），则当1≤x≤40时，S（x）＝f（x）g（x）＝﹣（x2﹣21x﹣9592），当x＝10或11时，[S（x）]max＝808.5（千元），…（8分）当40＜x≤100时，S（x）＝f（x）g（x）＝﹣，当x＝41时，[S（x）]max＝714（千元）…（10分）∵714＜808.5，∴日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为808.5千元．…（12分）【点评】本题考查函数模型的构建，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，考查求二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．22．（12分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c满足下列条件：当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f （x﹣1）＝f（﹣x﹣1）成立；当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈（2，+∞），不等式4f（x）≥（n+2）x﹣n﹣15恒成立，求实数n的取值范围．（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．【分析】（1）由f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）＝f（﹣x﹣1）成立，可得顶点坐标为（﹣1，0），f（x）的最大值为1，即可求解a的值，可得解析式；（2）不等式4f（x）≥（n+2）x﹣n﹣15恒成立，不等式变形为：x2﹣nx+n+16≥0，利用二次函数的性质讨论即求解；（3）（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m【解答】解：（1）由题意，函数的顶点坐标为（﹣1，0），解析式可设为f（x）＝a（x+1）2当x＝1时，可得1≤f（x）≤1，∴f（1）＝1＝4a，∴∴经检验，当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．∴．（2）不等式变形为：x2﹣nx+n+16≥0令g（x）＝x2﹣nx+n+16，其对称轴x＝，当，即n≤4时，g（x）在x∈（2，+∞）上递增，可得g（2）＝20﹣n≥0，解得n≤20．∴n≤4；即n≤4时当即n＞4时，g（x）min＝g（）＝，解得：．∴≥n＞4．综上可得：n∈（﹣∞，）（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）2≤1，解得：﹣4≤t≤0．而y＝f（x+t）＝f[x﹣（﹣t）]是函数y＝f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，显然，f（x）向右平移的越多，直线y＝x与二次曲线y＝f（x+t）的右交点的横坐标越大，∴当t＝﹣4，﹣t＝4时直线y＝x与二次曲线y＝f（x+t）的右交点的横坐标最大．∴（m+1﹣4）2≤m，∴1≤m≤9，∴m max＝9．【点评】本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题。
2019-2020学年赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)(含解析)
2019-2020学年赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2−3x−4<0}，则M∩N=()A. [−1,3]B. (−1,3)C. [0,3]D. [−1,4]2.tan(−210°)=()A. √3B. −√3C. √33D. −√333.已知数列{a n}中满足a1=15，a n+1=a n+2n，则a nn的最小值为()A. 9B. 7C. 274D. 2√15−14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB=√3ac，角B=()A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π35.设单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，a⃗=2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则|a⃗|=()A. 3B. √3C. 7D. √76.已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=√7，AB=2则S△ABC=()A. 3B. 2√3C. 3√3D. 67.已知tanα=2，则sin2α+sinαcosα的值为()A. 65B. 1 C. 45D. 238.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象上所有的点向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于(π4,0)对称，则φ的值为()A. πB. 3π4C. 5π6D. 2π39.已知函数f(x)={log2x,(x>0)2−x,(x≤0)，则不等式f(x)>1的解集为()A. (2,+∞)B. (−∞,0)C. D. (0,2)10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB等于()A. 4B. √19C. 2√5D. 3√211. 设△ABC 的面积为S ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1，tanA =2，则S =( ) A. 1 B. 2C. √55D. 1512. 函数f(x)=log 12(x 2−ax)在区间[2,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 2<a ≤4 B. a ≤4 C. a <2 D. a ≤2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=10，S 10=30，则S 15=______． 14. 函数的单调递减区间是______ ．15. 在△ABC 中，若2cosBsinA =sinC ，则△ABC 的形状一定是______三角形．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ⃗⃗⃗ =(√3b −c,cosC)，n ⃗ =(a,cosA)，m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则tan A 的值等于______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知m ⃗⃗⃗ =(2cosA,√3sinA)，n ⃗ =(cosA,−2cosA)，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1．(1)若a =2√3，c =2，求△ABC 的面积； (2)求b−2cacos(60°+C)的值．18. 已知等差数列{a n }中，a 1=34，d =−4，(1)求它的通项公式，及前n 项和S n 。
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合UA B =（）（ ） A. {}3 B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5『答案』B『解析』{}2,3,5A =,{}2,5UB =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.2.已知全集U =R ，集合A ={0，1，2，3，4}，{20}B x x x =><或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {3，4}D. {0，3，4}『答案』A『解析』因为全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4A =，{|2B x x =>或0}x <， 所以{}|02U C B x x =≤≤，所以图中阴影部分表示的集合为{}0,1,2U A C B ⋂=， 故选A.3.集合2{}6|A x x y x y -∈∈N N ＝＝＋，，的真子集的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6『答案』C『解析』由于x ∈N ，y ∈N ，又因为2+6x y =-，则y 可取0，1，2，∴6{}25A =，，， 故集合A 的真子集个数为3217-=， 故选C ．4.已知集合{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A. (]1,2-B. ()1,-+∞C. ()2,-+∞D. [)2,+∞『答案』B『解析』因为{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<，将集合A ，B 在数轴上表示出来，如图所示，结合A B ⋂≠∅可得1a >-，故选B5.下列各图中，不可能表示函数y ＝f(x )的图像的是( )A.B.C.D.『答案』B『解析』B 中一个x 对应两个函数值，不符合函数定义. 故选B.6.已知集合{}04P x x =≤≤，Q={02y y ≤≤}，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. 2:3f x y x →=B. 1:3f x y x →=.C. 1:2f x y x →= D. :f x y →=『答案』A『解析』对A ，对应关系为2:3f x y x →=，当[]0,4x ∈，80,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，823>，故A 错；B 、C 、D 三项经检验都符合映射条件 故选A7.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）A. ()f x x =，()g x =B. ()f x =()2g x =C. ()211x f x x -=-，()1g x x =+D. ()2f x =，()g x =『答案』A『解析』对A, ()f x x ==()g x =对B, ())f x x R =∈，()()20g x x =≥定义域不同，不是同一函数；对C, ()()2111x f x x x -=≠-，()()1g x x x =+∈R 定义域不同，不是同一函数；对D, ()()20f x x =≤，())g x x =∈R故选：A8.设函数()223,122,1x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩，若()01f x =，则0x =（ ） A. -1或33 B. 2或-3C. -1或2D. -1或2或3 『答案』C『解析』当01x ≥时，由0231x -=，可得02x =，符合题意；当01x <时，由200221x x --=，可得01x =-或03x =（舍），综上可知，0x 的值是-1或2， 故选：C ．9.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A. ()f x x =B. ()f x x x =-C. ()1f x x =+D. ()f x x =-『答案』C『解析』A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=， C 中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=10.已知集合{|12},{|35}A x a x a B x x =-≤≤+=<<,则能使B A ⊆成立的实数a 的取值范围是( ) A. {|34}x a <≤ B. {|34}x a ≤≤C. {|34}x a <<D. φ『答案』B 『解析』B A ⊆成立1325a a -≤⎧∴⎨+≥⎩解得34a ≤≤故选B.11.若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（ ） A. 2b = B. 2b ≥C. ()1,2b ∈D. ()2,b ∈+∞『答案』A 『解析』()21222422b b b ⨯-⨯+=， 整理可得：2320b b -+=， 解方程有：2b =或1b =(舍去)， 综上可得2b =. 本题选择A 选项.12.对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A. 无最大值，无最小值 B. 有最大值2，最小值1 C. 有最大值1，无最小值 D. 有最大值2，无最小值『答案』D『解析』画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.2{|21}A x y x x ==-+， 2{|21}B y y x x ==-+则A B =________________『答案』[)0,+∞『解析』{}{}22|21,?|21A x y x x R B y y x x ==-+===-+=[0,)+∞, 所以A B ⋂=[)0,.+∞ 14.已知3,fx =-则()f x =___________.『答案』()22-0xx ≥『解析』令)0t t =≥,则：221,1t x x t =-=+，据此可得：()()()223120f t t tt =-+=-≥，则函数的解析式()()220f x xx =-≥.15.已知()()()()5646x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()3f 的值为___________．『答案』2『解析』由已知f （x ）()()()5646x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩＜，∵3＜6∴f （3）＝f （3+4）＝f （7） 又∵7≥6∴f （7）＝7﹣5＝2故答案为：216.已知函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()2f p =，()3f q =，那么()36f =__________．（用p ，q 表示） 『答案』()2p q +『解析』因为()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()2f p =，()3f q =，所以(6)(2)(3)f f f p q =+=+，所以(36)(6)(6)2()f f f p q =+=+，故填 2()p q +.三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.若,a b ∈R ，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭. 求：（1）+a b ； （2）20222019a a +.解：（1）∵a 是分母，∴0a ≠，因此只能0a b +=； （2）由0a b +=得1ba=-，即{}{}1,0,0,1,a b =-，∴1a =-，1b =， ∴20222019112a a +=+=.18.已知集合{}2|430A x x x =-+=，{}2|90B x x ax =-+=，且()R B C A =∅.（1）用反证法证明B A ≠； （2）若B ≠∅，求实数a 的值．解：（1）由2430x x -+=，解得1x =或3，∴{}1,3A =， 假设B A =，则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩，与39≠矛盾，∴假设错误，∴B A ≠； （2）∵()R BC A =∅又B A ≠，∴B A ⊂≠，又B ≠∅，∴B 可能为{}1，{}3， 当{}1B =或{}3时，则2360a ∆=-=，即6a =±， ①当6a =时，{}3B =适合B A ⊂≠；②当6a =-时{}{}2|903B x x ax =-+==-不适合B A ⊂≠，应舍去．综上，实数6a =． 19.已知方程20x px q ++=两个不相等实根为,αβ．集合{},A αβ=，{}2,4,5,6B =，{}1,2,3,4C =，A C A =，A B =∅，求,p q 的值？解：由A C A =知A C ⊆又{},A αβ=，则C α∈，C β∈.而AB =∅，故B α∉，B β∉显然即属于C 又不属于B 的元素只有1和3.不妨设1α=，3β=.对于方程20x px q ++=的两根,αβ应用韦达定理可得4,3p q =-=. 20.已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求： （1）求 ()f x 的解析式；（2）若[0,2]x ∈，试求函数()f x 的值域.解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则有()()2211222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，对任意实数x 恒成立，2222220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩，解之得1,1,1a b c ==-=-，()21f x x x ∴=--. （2）由(1)可得()f x 在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减，在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增，又1524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()0121f f =-<=,所以，函数()f x 的值域为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21.某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,100,2530,t t t p t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N ，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是()40030,Q t t t =-+<≤∈N ．求这种商品的日销售金额y 的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（注：日销售金额=日销售价格×日销售量）的解：∵日销售金额y p Q =⋅，∴()()2220800025,14040002530,t t t t y t t t t ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ()()()()2210900025,709002530,t t t t t t ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N . 当025t <<，t N ∈，10t =时，max 900y =（元）； 当2530t ≤≤，t N ∈，25t =时．max 1125y =（元）； ∵1125900>，∴第25天日销售金额最大，max 1125y =（元）． 22.已知函数()221f x x =-．（1）直接写出此函数的定义域与值域（用区间表示）； （2）证明：对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=； （3）用单调性定义证明()f x 在(],0-∞上是减函数． 解：（1）定义域(),-∞+∞，值域[)1,-+∞.（2）对于任意的x ∈R ，()()()222121f x x x f x -=--=-=. （3）令120x x <-∞<≤，∵()()()()2212122121f x f x x x -=---()()()2212121222x x x x x x =-=-⋅+，又∵120x x <-∞<≤，∴120x x -<，120x x +<，∴()()120f x f x ->即()()12f x f x >，∴()f x 在(],0-∞上是减函数．。
江西省南康中学2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题
南康中学2018～2019学年度第二学期高一第一次大考数 学 试 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行B ．零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同D ．平行向量一定是共线向量2.已知向量a =（1，3），b =（3，-2），则向量2a • b =（ ）A ．12B ．-3C ．3D ．-63.在△ABC 中，BD=2DC ．若AB =a ，AC =b ，则AD =（ ）中A ．32a 13+b B ．31a 23+b C ．32a 13- b D ．31a 23-b 4.设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （ ） A ．2B ．4C ．215D ．217 5.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( )A ．48B ．54C ．60D ．666.在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．19C ．10D ．97.已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）A ．5481a a a a +>+B ．5481a a a a +<+C ．5481a a a a +=+D ．81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定8.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，若n n b a 为正整数，n 的取值个数为( )。
A ．4B ．5C ．6D ．79.若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．400810.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC 的形状一定为（ ）A ． 等边三角形B ． 直角三角形C ． 钝三角形D ． 等腰三角形11.(){}()()，满足：已知数列定义：)(,,22,n ),0,0(,,x *∈=>>=N n n F F a a y x y y F n n x若对任意正整数n 都有的值为成立，则k k n a N k a a )(*∈≥( )A ．98 B ．1 C ．21 D ．8912.如图所示，设P 为△ABC 所在平面内的一点，并且=+，则△ABP 与△ABC 的面积之比等于（ ）A ．52 B ．21 C ． 31D ． 32二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ . 14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 2n a n π=（），则2019S 的值为 15.设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则当n ＞4时，f (n )＝ ． 16.已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，=x +y ，且2x+10y=5，则·=三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17.设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影；18.已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =;数列{}n b 满足11211n n b b n b +=++=，.（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是等差数列. （2）求数列{}n b 的通项公式．19.设向量e 1， e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．20.已知向量→a =（2，2），向量→b 与向量→a 的夹角为43π，且→a ·→b =－2，（1）求向量→b ；（2）若)2cos 2,(cos ,)0,1(2CA c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若ΔABC 的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围。
江西省南康中学2018-2019学年高一数学上学期第二次月考(期中)试题
南康中学2018-2019学年度第一学期高一第二次大考数 学 试 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合{}{}=⋂<=<<=B A x x B x x A ，则２１3log |,|2 ( ) A. {}e x x <<1| B. {}3log 1|2<<x x C. {}|12x x << D . φ2. 2327()8-=（ ）A.49 B.94C.32 D. 233. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,212,42)(x x x x x f ，6)(=a f ，则a 的值为 （ ）A. 5或６B.613C.5或613D. 54. 设0x 是函数732)(-+=x x f x的零点，且))(1,(0Z k k k x ∈+∈，则k 的值为（ ）A ．0B ． 1C. 2D ．35. 若函数()x g x a =（0a >且1a ≠）的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，且()41f =，则()122f g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ． 4B ． 3C.52D ．26. 函数()[]()11122,142xx f x x -⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是（ ）A ． []1,10B ．5,104⎛⎤⎥⎝⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知函数()f x 的定义域为[)+∞,3，则函数)11(+xf 的定义域为 （ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34, B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,8. 下列函数 ①x y 2log = ②1ln1xy x-=+ ③)1lg(2x x y ++= ④⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x y ,1,1为奇函数的有（ ）A.1个B. 2个C.3个D.4个9. 下列三个数14log ,10log ,6log 753===c b a 的大小顺序是 （ ）A. a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车 在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中 正确的是 ( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时， 消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时， 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数，例如：4]5.3[-=-，2]1.2[=，已知函数211)(-+=xx e e x f ，则函数)]([x f y =的值域是（ ） A ． }1,0{B ．}1{C. }1,0,1{- D ．}0,1{-12.已知函数()lg 2,20,2x x g x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20g x ag x b -+=有7个不同实数解，则（ ）A ．0a >且0b =B ．0a >且0b >C ．0a =且0b >D ．0a <且0b =二．填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分．请把正确答案填在答题卡中横线上） 13.已知幂函数nx x f =)(过点（４,２），则函数的单调递增区间为_______________. 14.已知)(x f y =是定义在()()+∞⋃∞-,00,上的偶函数，当0>x 时1)(+=x x f ，则0<x 时__________)(=x f .15. 已知0a >，设函数()[]()1320162011,20161x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +的值为 ．16. 某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第97页B 组第3题的函数xxx f +-=11lg )(为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数)(x f 的定义域为)1,1(-； ②同学乙发现：函数)(x f 是偶函数； ③同学丙发现：对于任意的)1,1(-∈x 都有)(2)12(2x f x xf =+； ④同学丁发现：对于任意的)1,1(,-∈b a ，都有)1()()(abba fb f a f ++=+； ⑤同学戊发现：对于函数)(x f 定义域中任意的两个不同实数21,x x ，总满足0)()(2121>--x x x f x f .其中所有正确研究成果的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2018下学期江西省南康中学高一第一次月考理科数学试卷(附答案)
2018下学期江西省南康中学高一第一次月考理科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．3、无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．4．在中,角的对边分别为,若，则角的值为（ ） A ．B ．C ．或 D ．或 5．在中，，则一定是（ ） A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．在内，使成立的的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．已知 ，则 （ ） {}{}|31,3,2,1,0,1M x x N =-<<=---M N ={}2,1,0,1--{}3,2,1,0---{}2,1,0--{}3,2,1---21n a n n =-+21n a n n =++n a =22nn +n a =22nn -ABC ∆,,A B C ,,a bc 222a c b +-=B 6π3π6π56π3π23πABC ∆260,sin sin sin B B A C =︒=ABC ∆),(ππ-ααsin cos >α)4,43(ππ-)4,0(π)43,()4,0(πππ--⋃),4()43,(ππππ⋃--1tan 2α=-=+αααcos sin sin 22A ．B ．C ．D ．8．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则（ ） A ．B ．C ．D ．9． 函数，若互不相等，若 则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ． 10． 如图，已知在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，，BC=2BD ，则sin C的值为（ ）A ．B C．D11．在中，，其面积，则夹角的取值范围为（ ）A ．B．C ．D ． 12．函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．051-52-25)22)(2sin(3πϕπϕ<<-+=x y 3π)0,4(πϕ=6π-6π3π3π-⎩⎨⎧>≤≤=1,log 10,sin )(100x x x x x f π,,a b c ()()()f a f b f c ==a b c ++)100,1()100,2()101,1()101,2(33ABC ∆3AB BC ∙=3[2S ∈AB BC 与[,]64ππ[,]43ππ[,]63ππ23[,]34ππ2()sin 2f x x x =+()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>1[0,]4x π∈2[0,]4x π∈12()()g x f x =4(1,)32(,1]32[,1]34[1,]3第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．已知数列是等差数列，是其前项和，若，则= ．14．设，其中、、、都是非零实数，若则 ．15．已知函数在上为增函数则范围为________． 16．在中，已知分别为角所对的边，为的面积．若向量=(4，)，=满足∥，则C=________．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 17．（本题满分10分） 在中，（1）求的值； （2）求的值．)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f m n 1α2α,1)2004(=f =)2005(f )62(log 221+-=ax x y )2,(-∞∈x a ABC ∆,,a b c ,,A B C S ABC ∆p 222a b c +-q )S p q18．（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，取最小值，最小值是多少？{}n a n n S 3410,44a S =-=-{}n a n n S已知，且．（1）求的值；（2）若，，求的值．已知向量，．（1）若，求的值．（2）记在中角的对边分别为且满足，求的取值范围．如图，函数的图像与轴交于点，若时，的最小值为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图像上一点，点是的中点，当时，求的值．()2cos()(0,0)2f x x πωθωθ=+>≤≤y 12()()4f x f x -=||21x x -2πθω,02A π⎛⎫⎪⎝⎭P 00(,)Q x yPA 00,2y x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦0x数学（理）答案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答．．．．．．．题卷上．．．） 1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．A8．B9．D10．D11．B12．D第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．2714．15．16．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 17．（1）∵∴………………2分∴ 即 ………………4分解得………………5分（2）由余弦定理得 ………………7分解得 ………………8分∴………………10分18．解：（1）由已知条件得 1-]25,2[3π112104644a d a d +=-⎧⎨+=-⎩…………………………………………6分 （2） 当或时，最小……………………………………12分 19．解：（1）∵，∴，．…………3分因为，所以．…………………6分（2）∵，，∴．又，得，……………………9分．……………………12分20．解：∴∴………………6分（2）∴，1142a d =-⎧∴⎨=⎩216n a n ∴=-1(1)(1)14222n n n n n S na d n --=+=-+⨯222151515()()22n S n n n ∴=-=--7n =8n S min ()56n S ∴=-∴………………9分∴∴∴又∵∴．…………………12分222.(12)(1)()(,),()()40(0)10,2221(2)(),,21112,2001111,()(1,1).2(3)()22,2221(2)(1)22x x x x xx xxx x f x f x x x f a a a y f x y y yy y y f x t t tf x t t -∞+∞-=-==-==⨯+-==+++∴=>>--∴-<<-⋅-≥-≥-+-+⋅+-≤分是定义在上的奇函数即 令得解得记即由知即的值域为不等式即为即220,2,(0,1],(1,2].(0,1],()22,(1,2](1)20.1(1)120,02(1)220x x u x u x tf x u u t u t t t t t t =∈∴∈∴∈≥-∈-+⋅+-≤-+⨯+-≤⎧∴≥⎨-+⨯+-≤⎩设当时恒成立即为时恒成立解得………………4分………………12分………………2分………………6分………………12分。
江西省南康市2017_2018学年高一数学下学期第一次月考试题理201804111527
江西省南康中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题理一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M x| 3 x 1 ,N 3, 2, 1,0,1 ，则M N （）A． 2, 1,0,1 B． 3, 2, 1,0C． 2, 1,0 D． 3, 2, 12．sin600o tan240o的值等于（）A. 3B. 322C.1 D. 133223、无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（）A．a n2 n 1B．a n2 n 1C．an n nn2 n2D．ann2n24.在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2 c2 b2 3ac,则角B的值为（）5A.B.C.或D.63665. 在 ABC中，B 60 ,sin2B sin A A sin C，则 ABC一定是（）3或23A．等腰三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6.在( , )内，使cos sin 成立的 的取值范围为（）3A. ( ,)B. (0,)44433(C. (0,)( ,)D. ,)(,)444417. 已知tan ，则2sin2 sin cos （）2122A. 0B.C.- D.5558.若将函数y 3sin(2x )( )的图象向右平移个单位后得到的图象关于点22 3(,0)对称，则 （）4A. C. D.B.6633- 1 -9.函数f(x)sin x,0log100 x, xx1，若a,b,c互不相等，若f a f b f c则a b c的1取值范围是（）A. (1,100)B. (2,100)C. (1,101)D. ( 2,101)10.如图,已知在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB= 3 BD,BC=2BD,则sin C的值为（）A.33B.36C.63D.6611. 在 ABC中，AB BC 3,其面积[3 , 3 3]S ，则AB与BC夹角的取值范围为2 2（）2 3A．[ , ] B．[ , ] C．[ , ] [ , ]D．6 4 4 3 6 3 3 412.函数f(x) sin 2x 2 3 cos2 x 3 ，g(x) m cos(2x ) 2m 3 (m 0) ，若对任6意x1 [0, ] 2 [0, ]，存在x ，使得g(x) f(x)成立，则实数m的取值范围是1 24 4（）A.4(1, )3B.2( ,1]3C.2[ , 1]3D.4[1, ]3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知数列a是等差数列，nS是其前n项和，若nS S S，则6 3, 12 6 9S18= .14．设f(x) m sin( x ) n cos( x ) ，其中m、n、12、1都是非零实数，2若f(2004) 1, 则f(2005) .15．已知函数y log1 (x2 2ax 6) 在x ( ,2) 上为增函数则a范围为________216.在 ABC中,已知a,b,c分别为角A, B,C所对的边，S为 ABC的面积.若向量p=(4,a2 b2 c2 ),q=( 3,S) 满足p∥q,则C=.- 2 -三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，写出必要的解答过程） 17.（本题满分 10分）在 ABC 中，2 ,1, c os 3 ABBC C4（1）求sin A 的值； （2）求CB CA 的值.18. （本题满分 12分）已知等差数列{a }的前 n 项和为 n S ，且 na S. 3 10, 4 44 ⑴求数列a 的通项公式；n⑵当 n 为何值时， S 取最小值，最小值是多少？n19．（本题满分 12分），且sin cos 2 3已知 ( , )2．223（1）求cos 的值；- 3 -3sin( ) ，(0, )（2）若，求sin 的值.5220．（本题满分 12分）xx x已知向量 m ( 3 sin ,1) n (cos ,cos )，244 4（1）若 m n 1，求 cos( )x 的值.3.（2）记 f (x ) m n 在 ABC 中角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c 且满足(2a c ) cos B b cos C ，求 f (A ) 的取值范围.21．（本小题满分 12分）如图，函数 f (x ) 2 cos( x )( 0,0 ) 的图像与 y 轴交于点 (0, 3)，若2f (x ) f (x ) 4 时,| x 1 x |的最小值为.1222（1）求 和 的值；（2）已知点A,02，点P是该函数图像上一点，点Q(x,y)是PA的中点，00当3y ,x,002 2时，求x的值.- 4 -22. （本小题满分12分）已知函数4f(x) 1 (a 0且a 1)是定义在( , )上的奇函数。
2018学年下学期江西省南康中学高一第一次月考试卷 数学(文)后附详解
2018学年下学期江西省南康中学高一第一次月考试卷数学（文）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．的值等于（）A．B．C．D．3、无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（）A．B．C．D．4．在中,角的对边分别为,若,则角的值为（）A．B．C．或D．或5．设向量，均为单位向量，且，则与的夹角θ为（）A．B．C．D．6．在中,角所对应的边分别为．若角依次成等差数列,且则（）ABC．D．7．已知，则（）A．B．C．D．8．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则（）A．B．C．D．9．设函数若，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图,已知在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=则sin C的值为（）A．B．C．D．11．在中，,其面积，则夹角的取值范围为（）A．B．C．D．{}{}|31,3,2,1,0,1M x x N=-<<=---M N={}2,1,0,1--{}3,2,1,0---{}2,1,0--{}3,2,1---21na n n=-+21na n n=++na=22nn+na=22nn-ABC∆,,A B C,,a b c222a c b+-=B6π3π6π56π3π23πa b||1a b+=a b3π2π23π34πABC∆,,A B C,,a b c,,A B C1,a b==ABCS∆=221tan2α=-=+αααcossinsin2251-25-25)22)(2sin(3πϕπϕ<<-+=xy3π)0,4(πϕ=6π-6π3π3π-2log(1),2,()1()1,2,2xx xf xx-≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩0()1f x>x(,0)(2,)-∞+∞(0,2)(,1)(3,)-∞-+∞(1,3)-3636ABC∆3AB BC∙=3[2S∈AB BC与[,]64ππ[,]43ππ[,]63ππ23[,]34ππ此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．已知数列是等差数列，是其前项和，若，则= ．14． ．15．在中，若，则是 三角形． 16．在中,已知分别为角所对的边，为的面积．若向量=(4,),=满足∥,则C= ．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．） 17．（本题满分10分） 在中，（1）求的值； （2）求的值．18．（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，取最小值，最小值是多少？x 23log 4≤-x a x⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x a ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41的单调递减区间是则函数若函数)(),34(log )(221x f x x x f +-=ABC ∆2sin sin cos 2AB C =ABC ∆ABC ∆,,a b c ,,A B C S ABC ∆p 222a b c +-q )S p q {}n a n n S 3410,44a S =-=-{}n a n n S19．（本题满分12分）已知，且．（1）求的值；（2）若，，求的值．20．（本题满分12分）已知函数(且)的部分图像如图所示（1）求函数的解析式；（2）若方程在上有两个不同的实根，试求的取值范围．()sin()f x A xωϕ=+0A>0,02πωϕ><<()f x()f x a=5(0,)3πa21．（本题满分12分）已知向量，．（1）若，求的值．（2）记在中角的对边分别为且满足，求的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数．（1）求的值；（2）求函数的值域．（3）当恒成立，求实数的取值范围．4()1(01)2xf x a aa a=->≠+且(,)-∞+∞a()f x(0,1],()22xx t f x∈⋅≥-时t2018学年下学期江西省南康中学高一第一次月考试卷数学（文）答案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请．把答案写在答题卷上．．．．．．．．．） 1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．A8．B9．C10．D11．B12．D第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．2714．15．等腰16．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过．．．．．．．．．．．．．．．．程或演算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．．．．） 17．（1）∵∴………………2分∴ 即 ………………4分解得………………5分（2）由余弦定理得 ………………7分解得 ………………8分∴………………10分18．解：（1）由已知条件得(3,)+∞3π112104644a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，…………………………………………6分 （2） 当或时，最小..........................................12分 19．解：（1）∵，∴，． (3)分 因为，所以． (6)分 （2）∵，，∴．又，得，……………………9分．……………………12分20．解：（1）由图像易知函数的周期为，所以 由图像知的图像过点，则又， ……………………（6分）（2）方程在上有两个不同的实根等价于与的图像 1142a d =-⎧∴⎨=⎩216n a n ∴=-1(1)(1)14222n n n n n S na d n --=+=-+⨯222151515()()22n S n n n ∴=-=--7n =8n S min ()56n S ∴=-()f x 724()2,163A πππ⨯-==1ω=()f x (,0)3π-sin()03πϕ-+=,3k k Z πϕπ∴-+=∈,3k k Z πϕπ∴=+∈(0,)2πϕ∈,()sin()33f x x ππϕ∴=∴=+()f x a =5(0,)3π()y f x =y a =在上有两个交点，作出的图像 其中实线为在上的图像当时， 当时，，由图像可以看出有两个交点时，（12分）21．解：∴∴…………6分 （2）∴，∴………………9分∴∴∴又∵∴． (12)分5(0,)3πy a =()sin()3f x x π=+5(0,)3π0x=()f x =53x π=()0f x=(1,0)a ∈-222.(12)(1)()(,),()()40(0)10,2221(2)(),,21112,2001111,()(1,1).2(3)()22,2221(2)(1)22x x x x x xx x x x f x f x x x f a a a y f x y y yy y y f x t ttf x t t -∞+∞-=-==-==⨯+-==+++∴=>>--∴-<<-⋅-≥-≥-+-+⋅+-≤分是定义在上的奇函数即 令得解得记即由知即的值域为不等式即为即220,2,(0,1],(1,2].(0,1],()22,(1,2](1)20.1(1)120,02(1)220x x u x u x tf x u u t u t t t t t t =∈∴∈∴∈≥-∈-+⋅+-≤-+⨯+-≤⎧∴≥⎨-+⨯+-≤⎩设当时恒成立即为时恒成立解得………………12分………………6分………………2分。
精版2018-2019学年高一数学上学期第一次月考试题
南康中学2018～2019学年度第一学期高一第一次大考数 学 试 卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1．把集合{}2450x x x --=用列举法．．．表示为( ) A ．{1x =-，5x =} B ．{x |1x =-或5x =} C ．{2450x x --=}D ．{1,5-}2．下列对应关系：①{1,4,9}A =，{3,2,1,1,2,3}B =---，:f x x →的平方根； ②,A R B R ==,:f x x →的倒数； ③,A R B R ==,2:2f x x →-；④{1,0,1}A =-,{1,0,1}B =-,2:f x x →. 其中f 是A 到B 的映射的是( ) A. ①③ B.②④C. ②③D. ③④3.已知5,(6)()(2),(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f =（ ）A ．2B ．3 C.4D ．54. 已知集合{|3,}nS x x n N *==∈，集合{|3,}T x x n n N *==∈，则S 与T 的关系是（ ） A. ST =∅ B. T S ⊆ C. S T ⊆ D. S ⊆T 且T ⊆S5．已知集合{}{}13, 2 2,P x x Q x x x =∈≤≤=∈≥≤-R R 或 则()PQ =R ð（ ）A ．[2,3]B ．(2,3]-C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-+∞ 6.下列函数中，在[)1,+∞上为增函数的是( ) A.()22y x =- B.1y x =- C.11y x =+ D.()21y x =-+ 7.如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象，已知n 分别取112±，，2四个值，相应曲线1C 、2C 、3C 、4C 的n 依次为（ ）A ．11122-，，，B ．12112-，，， C ．111222-，，， D ．112122-，，，8.已知(31)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．11[,)83B ．1[0,]3C. 1(0,)3D ．1(,]3-∞9.已知函数c bx x y ++=2，且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是（ ）A ．)2()0()2(f f f <<-B ．)2()2()0(f f f <-<C ．)2()2()0(-<<f f fD ．)2()0()2(-<<f f f10.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]11.若α、β是关于x 的方程()053222=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根，则22βα+ 的最大值等于（ ）A ．6B ．950C ．18D ．19 12．若函数()()()222f x x x xax b =+-++是偶函数，则()f x 的最小值为（ ）A.94 B.114 C.94- D.114- 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省南康中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
南康中学2017-2018学年度第一学期高一第一次大考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.2.已知，则（）A. 5B. －1C. －7D. 2【答案】D【解析】，选D.3.在同一直坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线恒过点（0，1），所以舍去A; 二次函数开口向上，所以舍去C;当时，二次函数顶点在x轴上方，所以舍去D，选B.4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，选C.5.若是一个完全平方式，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，选D.6.若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，选C.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.7.已知函数为奇函数,且当时, ,则( )A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】因为是奇函数，所以，故选A.8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由中，，得到，由中，得到，即，则，故选C.9.给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下，(3,1)的原像为( )A. (1,3)B. (1,1)C. (3,1)D. (，)【答案】B【解析】由题意得，所以选B.10.已知定义在上的奇函数满足，且当时时，．则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由条件可知函数的周期,，故选B.考点：函数性质的简单应用11.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行12.对于任意两个正整数，定义某种运算“※”，法则如下：当都是正奇数时，※；当不全为正奇数时，※，则在此定义下，集合※的真子集的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得共13组，所以真子集的个数是，选C. 点睛:集合的子集个数与集合元素个数相关,当集合中有个元素时,其子集个数为个;其真子集个数为个;,其非空真子集个数为个.而确定集合元素的方法一般利用枚举法得到.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，则_________.【答案】【解析】,所以14.若,则_________.【答案】【解析】15.设函数，集合，则如图中阴影部分表示的集合为__________．【答案】【解析】；，而阴影部分表示的集合为点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．16.已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】如图所示：当x>0时其解集为：(,π)∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数∴f(x)g(x)是奇函数∴当x<0时,f(x)g(x)>0∴其解集为：(,0)综上：不等式f(x)g(x)<0的解集是故答案为：三、解答题（共6小题，共70分）17.已知集合，.(1)当时，求;(2)若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求集合A，再求集合B补集，最后求两者并集（2）先求集合A，再由得集合A为集合B的子集，根据数轴得到a的关系式，解不等式可得实数a的取值范围.试题解析：解：(1)当时，，(2)，若,则当时，，即，不成立，解得的取值范围为18.已知集合，，．(1)求；(2)若,求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先将化简，然后根据交集，并集、补集的定义求解，注意正确求解相应的不等式，这是求解该题的关键；（2）利用补集的定义，结合（1）问的求解，写出相应的集合，先求出，再利用交集的定义求出.试题解析：．．又由，得，∴．（1）或；（2）∵，∴或，∴或.19.已知二次函数满足，且.（1）求函数的解析式；（2）令，求函数在上的最小值.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）设二次函数（），根据，得关于x的恒等式，由对应项系数相等得，，再根据，解得（2）先化简，再根据对称轴与位置关系分类讨论：当时，，当时，，当时，，最后按分段函数形式小结结论试题解析：解：（1）设二次函数（），则∴，，∴，又，∴∴（2）∵∴.，，对称轴，当时，；当时，；当时，综上所述，20.已知函数满足，且.（1）求函数的解析式；（2）若在上具有单调性，，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）先根据解得，再利用换元法求的解析式；（2）先化简，再根据条件得对称轴不在内，解对应不等式可得的取值范围.试题解析：解：（1）令，则，∴，∴，∵，∴，∴.（2）由题意得在上单调，∵函数的对称轴是，∴或，即或，又，∴或21. （12分）李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元。
2019～2020学年度学年度江西省赣州市南康中学高一第1学期第一次月考数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度江西省赣州市南康中学高一第一学期第一次月考数学试题一、单选题 1.已知全集,集合,集合,则集合( )A.B.C.D.【试题答案】B 【试题解答】,,则,故选B.本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知全集U =R,集合A ={0,1,2,3,4},{20}B x x x =><或,则图中阴影部分表示的集合为( )A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{0,3,4}【试题答案】A【试题解答】首先根据题中所给的韦恩图,判断阴影部分所满足的条件,得到其为U A C B ⋂,根据题中所给的集合,求得相应的补集和交集,得到最后的结果.因为全集U =R ,集合{}0,1,2,3,4A =,{|2B x x =>或0}x <, 所以{}|02U C B x x =≤≤,所以图中阴影部分表示的集合为{}0,1,2U A C B ⋂=, 故选A.该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有集合的补集,集合的交集,用韦恩图表示集合,属于简单题目.3.集合26{|}A x x y x N y N -∈∈＝＝＋，，的真子集的个数为( )A.9B.8C.7D.6【试题答案】C【试题解答】分析得到y 可取0,1,2,所以6{}25A =，，,再求集合A 的真子集的个数.由于x ∈N ,y N ∈,又因为2+6x y =-, 则y 可取0,1,2,∴6{}25A =，，, 故集合A 的真子集个数为3217-=, 故选:C.本题主要考查集合及其真子集,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 4.已知集合{}12A x x =-≤<,{}B x x a =<若A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围为( ) A.(]1,2- B.()1,-+∞C.()2,-+∞D.[)2,+∞【试题答案】B【试题解答】根据A B ⋂≠∅,说明集合A 与集合B 有公共元素存在,再将集合A 与集合B 在数轴上表示出来,进行求解即可因为{}12A x x =-≤<,{}B x x a =<,将集合A ,B 在数轴上表示出来,如图所示,结合A B ⋂≠∅可得1a >-,故选B.本题考查根据集合的交集运算求解参数问题,若不能明确看出两集合基本关系,常辅以数轴图加以理解,提升准确率5.下列各图中,不可能表示函数y ＝f(x)的图像的是( )A. B. C. D.【试题答案】B【试题解答】B 中一个x 对应两个函数值,不符合函数定义. 故选B.6.已知集合{}04P x x =≤≤,Q={02y y ≤≤},下列不表示从P 到Q 的映射是( ) A.2:3f x y x →=B.1:3f x y x →=C.1:2f x y x →=D.:f x y x →=【试题答案】A【试题解答】根据映射的概念判断四个对应关系,可判断A 错对A ,对应关系为2:3f x y x →=,当[]0,4x ∈,80,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,823>,故A 错；B 、C 、D 三项经检验都符合映射条件 故选:A本题考查映射与函数的关系,属于基础题 7.下列四组函数中,表示相同函数的一组是( ) A.()f x x =,()2g x x =B.()2f x x =()2g x x =C.()211x f x x -=-,()1g x x =+D.()2f x x =-,()2g x x =【试题答案】A【试题解答】根据函数相等的条件逐项判断即可.对A, ()f x x ==()2g x x =对B, ())2f x x x R =∈,()()20g x xx =≥定义域不同,不是同一函数；对C, ()()2111x f x x x -=≠-,()()1g x x x R =+∈定义域不同,不是同一函数；对D, ()()20f x x =≤,())g x x R =∈故选:A本题考查了函数的三要素的应用,是基础题 8.设函数()223,122,1x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩,若()01f x =,则0x =( ) A.-1或33 B.2或-3C.-1或2D.-1或2或3【试题答案】C【试题解答】分类讨论0x 的范围解方程即可.当01x ≥时,由0231x -=,可得02x =,符合题意；当01x <时,由200221x x --=,可得01x =-或03x =(舍),综上可知,0x 的值是-1或2, 故选:C.本题考查分段函数函数值问题,分段函数函数值问题和分段函数不等式问题经常出现在选择题中,一定要有分类意识.9.下列函数中,不满足:(2)2()f x f x =的是( ) A.()f x x = B.()f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-【试题答案】C【试题解答】试题分析:A 中()()2222f x x x f x ===,B 中()()2222f x x x f x =-=,C 中()()2212f x x f x =+≠,D 中()()222f x x f x =-=函数求值10.已知集合{|12},{|35}A x a x a B x x =-≤≤+=<<,则能使B A ⊆成立的实数a 的取值范围是( )A.{|34}x a <≤B.{|34}x a ≤≤C.{|34}x a <<D.φ【试题答案】B【试题解答】因为B A ⊆成立,所以1352a a -≤<≤+,解得即可.B A ⊆Q 成立1325a a -≤⎧∴⎨+≥⎩解得34a ≤≤ 故选B.本题考查集合之间的包含关系,属于容易题. 11.若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则( ) A.2b = B.2b ≥C.()1,2b ∈D.()2,b ∈+∞【试题答案】A【试题解答】结合二次函数的性质,函数()21242f x x x =-+的对称轴为2x =, 结合题意和二次函数的性质可得:()22f b b =,即:()21222422b b b ⨯-⨯+=,整理可得:2320b b -+=, 解方程有:2b =或1b =(舍去), 综上可得2b =. 本题选择A 选项.12.对任意实数x ,规定()f x 取4x -,1x +,()152x -三个值中的最小值,则()f x ( ) A.无最大值,无最小值 B.有最大值2,最小值1 C.有最大值1,无最小值 D.有最大值2,无最小值【试题答案】D【试题解答】由题意画出函数图像,利用图像性质求解画出()f x 的图像,如图(实线部分),由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A .故()f x 有最大值2,无最小值 故选:D本题主要考查分段函数的图像及性质,考查对最值的理解,属中档题.二、填空题13.2{|21}A x y x x ==-+, 2{|21}B y y x x ==-+则A B I =________________ 【试题答案】[)0,+∞【试题解答】求函数定义域与值域分别得集合A,B,再根据交集定义求结果.{}{}22|21,?|21A x y x x R B y y x x ==-+===-+=[0,)+∞,所以A B ⋂=[)0,.+∞集合的基本运算的关注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.14.已知()()()()5646x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩,则()3f 的值为___________.【试题答案】2【试题解答】根据已知中分段函数f (x )()()()5646x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩＜的解析式,将3代入运算后,即可得到f (3)的值.由已知f (x )()()()5646x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩＜, ∵3＜6∴f (3)＝f (3+4)＝f (7) 又∵7≥6 ∴f (7)＝7﹣5＝2 故答案为:2本题考查的知识点是函数的值,根据函数的解析式细心运算即可得到答案,属简单题型.15.已知函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()2f p =,()3f q =,那么()36f =__________.(用p ,q 表示)【试题答案】()2p q +【试题解答】因为()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()2f p =,()3f q =,所以(6)(2)(3)f f f p q =+=+,所以(36)(6)(6)2()f f f p q =+=+,故填 2()p q +.三、解答题16.已知3,fx =-则()f x =___________.【试题答案】()22-0xx ≥【试题解答】令)0t t =≥,则:221,1t x x t =-=+,据此可得:()()()223120f t t t t =-+=-≥,则函数的解析式()()220f x x x =-≥.:求函数解析式常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法； (2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围；(3)方程法:已知关于f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).17.若,a b ∈R ,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭. 求:(1)+a b ； (2)20222019a a +.【试题答案】(1)0a b += (2)202220192a a += 【试题解答】(1)利用集合相等求解(2)由集合相等的概念对集合中元素进行讨论,由集合元素的互异性,可求出a ,b 的值,验证集合中元素的特性后可得答案.(1)∵a 是分母,∴0a ≠,因此只能0a b +=； (2)由0a b +=得1ba=-,即{}{}1,0,0,1,a b =-, ∴1a =-,1b =,∴20222019112a a +=+=.本题考查集合相等的条件,考查了集合中元素的特性,是基础题.18.已知集合{}2|430A x x x =-+=,{}2|90B x x ax =-+=,且()R B C A =∅I .(1)用反证法证明B A ≠； (2)若B ≠∅,求实数a 的值.【试题答案】(1)证明见解析 (2)6a =【试题解答】(1)利用反证法得13139a+=⎧⎨⨯=⎩推出矛盾即可(2)由题意得B 可能为{}1,{}3,利用二次方程求解即可(1)由2430x x -+=,解得1x =或3,∴{}1,3A =,假设B A =,则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩,与39≠矛盾,∴假设错误, ∴B A ≠；(2)∵()R B C A =∅I 又B A ≠,∴B A ⊂≠,又B ≠∅,∴B 可能为{}1,{}3,当{}1B =或{}3时,则2360a ∆=-=,即6a =±, ①当6a =时,{}3B =适合B A ⊂≠；②当6a =-时{}{}2|903B x x ax =-+==-不适合B A ⊂≠,应舍去.综上,实数6a =.本题考查集合的运算及集合间关系,考查分类讨论思想 ,是中档题 19.已知方程20x px q ++=的两个不相等实根为,αβ.集合{},A αβ=,{}2,4,5,6B =,{}1,2,3,4C =,A C A =I ,A B =∅I ,求,p q 的值？【试题答案】4,3p q =-=.【试题解答】试题分析:先根据A∩C=A ,可确定集合A 、C 的关系,进而可得到α∈C,β∈C,再由A∩B=∅可知α∉B,β∉B,然后观察集合B 、C 中的元素即可确定α,β的值,然后根据韦达定理可确定p 、q 的值. 试题解析:由A C A =I 知A C ⊆ 又{},A αβ=,则C α∈,C β∈. 而A B =∅I ,故B α∉,B β∉显然即属于C 又不属于B 的元素只有1和3. 不妨设1α=,3β=.对于方程20x px q ++=的两根,αβ应用韦达定理可得4,3p q =-=.20.已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求: (1)求 ()f x 的解析式； (2)若[0,2]x ∈,试求函数()f x 的值域.【试题答案】(1) ()21f x x x =--;(2) 5()[,1]4f x ∈-. 【试题解答】试题分析:(1) 设()()20f x ax bx c a =++≠,则有()()11=f x f x ++-22222222ax bx a c x x +++=-,对任意实数x 恒成立,根据对应项系数相等可得方程组,解方程组即可得结果；(2) 由(1)可得()f x 在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减,在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增,又1524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()0121f f =-<=,比较大小即可得结果.试题解析:(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,则有()()2211222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-,对任意实数x 恒成立,2222220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩,解之得1,1,1a b c ==-=-,()21f x x x ∴=--. (2)由(1)可得()f x 在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减,在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增,又1524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()0121f f =-<=,所以,函数()f x 的值域为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21.某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是20,025,100,2530,t t t Np t t t N+<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩,该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是()40030,Q t t t N =-+<≤∈.求这种商品的日销售金额y 的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(注:日销售金额=日销售价格×日销售量) 【试题答案】max 1125y =元；第25天【试题解答】分情况讨论即可获得日销售金额y 关于时间t 的函数关系式,根据分段函数不同段上的表达式,分别求最大值取较大者即可解答.∵日销售金额y p Q =⋅,∴()()2220800025,14040002530,t t t t N y t t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩()()()()2210900025,709002530,t t t N t t t N ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩. 当025t <<,t N ∈,10t =时,max 900y =(元)； 当2530t ≤≤,t N ∈,25t =时.max 1125y =(元)； ∵1125900>,∴第25天日销售金额最大,max 1125y =(元).11本题考查分段函数的应用,考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力,属于中档题.22.已知函数()221f x x =-.(1)直接写出此函数的定义域与值域(用区间表示)；(2)证明:对于任意的x ∈R ,都有()()f x f x -=；(3)用单调性定义证明()f x 在(],0-∞上是减函数.【试题答案】(1)定义域(),-∞+∞,值域[)1,-+∞ (2)证明见解析 (3)证明见解析【试题解答】(1)利用二次函数性质直接求解定义域与值域；(2)利用偶函数定义证明(3)利用单调性定义直接证明(1)定义域(),-∞+∞,值域[)1,-+∞.(2)对于任意的x ∈R ,()()()222121f x x x f x -=--=-=.(3)令120x x <-∞<≤,∵()()()()2212122121f x f x x x -=---()()()2212121222x x x x x x =-=-⋅+,又∵120x x <-∞<≤,∴120x x -<,120x x +<,∴()()120f x f x ->即()()12f x f x >,∴()f x 在(],0-∞上是减函数.本题考查二次函数的图像与性质,考查单调性定义与判断,考查推理能力,是基础题。
江西省南康中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题(有答案)
南康中学2017-2018学年度第一学期高一第一次大考数 学 试 卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合{}2160A x x =->， {|26}B x x =-<≤，则A B 等于（ ）A. ()2,4-B.C.D.【答案】D 【解析】{}2160A x x =->(,4)(4,)(4,6]A B =-∞-⋃+∞∴⋂=,选D.2. 已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，则((2))f f =（ ）A. 5B. -1C. -7D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据所给解析式先求f （2），再求f [f （2）]．【详解】∵()()21123(1)x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩ ∴f （2）=﹣2×2+3=﹣1，∴f[f （2）]=f （﹣1）=（﹣1）2+1=2． 故选D ．【点睛】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围． 3. 在同一直坐标系中，一次函数1y ax =+与二次函数2y x a =+的图像可能是（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【详解】因为直线1y ax =+恒过点（0，1），所以舍去A; 二次函数2y x a =+开口向上，所以舍去C ;当0a >时，二次函数2y x a =+顶点在x 轴上方，所以舍去D .故选：B .4. 已知集合{}2230A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A. (1,)-+∞ B. [1,)-+∞C. (3,)+∞D. [3,)+∞【答案】C 【解析】[1,3]3A A B a =-⊆∴>，选C.5. 若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） A. 2mB. 214mC. 213mD.2116m 【答案】D 【解析】212x mx k ++22()416m m x k =+∴=，选D.6. 若函数,1()(23)1,1a x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩ 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2(,1)3B. 3[,1)4C. 23(,]34D. 2(,)3+∞【答案】C 【解析】由题意得02323034231a a a a a >⎧⎪-<∴<≤⎨⎪≤-+⎩，选C.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.7. 已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 8. 已知{}{}222|,,|1,,M y y x x R N y x y x R y R ==∈=+=∈∈，则MN =（ ）A. []22-,B. []0,2C. []0,1D. []1,1-【答案】C 【解析】由A 中， 20y x =≥，得到[)0,M =+∞，由N 中221x y +=，得到1y ≤，即(],1N =-∞，则[]0,1M N ⋂=，故选C.9. 给定映射()():,2,2f a b a b a b →+-，则在映射f 下，()3,1的原象是（ ） A. ()1,3 B. ()1,1C. ()3,1D. 1122，⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据映射的定义，可求得点()3,1对应的原象．【详解】设映射f 下，()3,1的原象是(),a b ，则()()2,23,1a b a b +-=，即2321a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得1a =，1b =，即映射f 下()3,1的原象是()1,1.故选：B ．【点睛】本题考查了映射中象与原象的对应关系，属于基础题．10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当3[0,)2x ∈时，3()f x x =-，则11()(2f =)A. 18- B.18C. 1258-D.1258【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论． 【详解】奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=，∴函数()f x 是周期为3的函数，当[0x ∈，3)2时，3()f x x =-，1111111()(6)()()22228f f f f ∴=-=-=-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．11. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A. (3)(2)(1)f f f <-<B. (1)(2)(3)f f f <-<C. (2)(1)(3)f f f -<<D. (3)(1)(2)f f f <<-【答案】A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行12. 对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算，法则如下：当,m n 都是正奇数时，mn m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，m n mn =，则在此定义下，集合(){,|M a b a=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（ ） A. 721- B. 1121-C. 1321-D. 1421-【答案】C 【解析】由题意，当m n ， 都是正奇数时，m n m n =+※ ；当m n ，不全为正奇数时，m n mn =※ ；若a b ， 都是正奇数，则由16a b =※ ，可得16a b += ，此时符合条件的数对为（115313151⋯，），（，），（，）满足条件的共8个； 若a b ，不全为正奇数时，m n mn =※ ，由16a b =※ ，可得16ab = ，则符合条件的数对分别为116284482161（，），（，），（，），（，），（，）共5个； 故集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，， 中的元素个数是13， 所以集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，，的真子集的个数是1321．- 故选C ．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合{}{}21,2,3,4,20A B x x x ==-->，则AB =_________.【答案】【解析】{}220B x x x =-->=(,1)(2,)-∞-⋃+∞,所以A B ⋂=34｛，｝14. 若,则_________.【答案】35【解析】22222222224345a ab b a a a a b a a -+-+==++15. 设函数()2215f x x x =--+，集合(){}|,A x y f x B ===(){}|y y f x =，则如图中阴影部分表示的集合为__________．【答案】[5,0)(3,4]-⋃ 【解析】(){}|A x y f x ==2{|2150}[5,3]x x x =--+≥=-；B =(){}|y y f x =2{|16(1)[0,4]}[0,4]y y x ==-+∈=，而阴影部分表示的集合为{|(),()}{|[5,4],[0,3]}[5,0)(3,4]x x A B x A B x x x =∈⋃∉⋂=∈-∉=-⋃点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．16. 已知()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，它们的定义域均为[],ππ-，且它们在[]0,x π∈上的图像如图所示，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是__________．【答案】【解析】如图所示：当x >0时其解集为：(3π,π) ∵y =f (x )是偶函数,y =g (x )是奇函数 ∴f (x )g (x )是奇函数 ∴当x <0时,f (x )g (x )>0 ∴其解集为：(3π-,0) 综上：不等式f (x )g (x )<0的解集是,0,33πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为,0,33πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题（共6小题，共70分）17. 已知集合{}023A x x a =<+≤，122B y y ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. (1)当1a =时，求()R C B A ;(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}1,2x x x ≤≥或（2）(]1,1- 【解析】【详解】试题分析：（1）先求集合A ，再求集合B 补集，最后求两者并集（2）先求集合A ，再由A B ⊂得集合A 为集合B 的子集，根据数轴得到a 的关系式，解不等式可得实数a 的取值范围. 试题解析：解：(1)当1a =时，1|12A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，1{|2}2R C B x x x =≤-≥或 (){|1, 2}R C B A x x x ∴⋃=≤≥或(2)3|22a a A x x -⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆,则当A =∅时，322a a --≥， 即03≥，不成立，A ∴≠∅122322aa ⎧-≥-⎪⎪∴⎨-⎪<⎪⎩ 解得11a a -<≤∴的取值范围为(]1,1- 18. 已知集合2{|9}A x x =≥， 7{|0}1x B x x -=≤+， {24}C x x =-<．(1)求A C ；(2)若U =R ,求()U A C B C ⋂⋂．【答案】（1）{}32x x x ≤->-或（2）{}36x x x ≤-≥或 【解析】【详解】试题分析：（1）先将,A C 化简，然后根据交集，并集、补集的定义求解，注意正确求解相应的不等式，这是求解该题的关键；（2）利用补集的定义，结合（1）问的求解，写出相应的集合，先求出()UB C ⋂，再利用交集的定义求出()()U A B C ⋂⋂.试题解析：{|33}A x x x =≥≤-或．{|17}B x x =-<≤． 又由24x -<，得26x -<<，∴{|26}C x x =-<<． （1）{|3A C x x ⋃=≤-或2}x >-； （2）∵,{|16}U R B C x x =⋂=-<<， ∴(){|1U C B C x x ⋂=≤-或6}x ≥， ∴()(){|6U A C B C x x ⋂⋂=≥或3}x ≤-.19. 已知二次函数()f x )满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．【答案】（1）2()215f x x x =-++，（2）min2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m ≤0时，当0＜m ＜2时，当m ≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案． 试题解析：（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2b = 又()215f =，∴15c =. ∴()2215f x x x =-++（2）①∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥ ②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--； 当0m <时，()()min 015g x g ==-；当02m ≤≤时，()()222min 21515g x g m m m m ==--=--综上所述，()min2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩20. 已知函数()y f x =满足(1)3f x x a +=+，且()3f a =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()1g x x f x f x λ=⋅++在()0,2上具有单调性，0λ<，求()g λ的取值范围. 【答案】（1）()2f x x =+；（2）(][),62,λ∈-∞-⋃-+∞． 【解析】试题分析：（1）先根据()3f a =解得a 1=，再利用换元法求()f x 的解析式；（2）先化简()g x ，再根据条件得对称轴不在()0,2内，解对应不等式可得λ的取值范围.试题解析：解：（1）令1t x =+，则1x t =-，∴()31f t t a =+-，∴()31f x x a =+-， ∵()f a 4a 13=-=， ∴a 1=，∴()f x x 2=+. （2）由题意得()()2g x x 2λx 2λ1=++++()0,2上单调，∵函数()g x 的对称轴是2λx 2+=-， ∴2λ22+-≥或2λ02+-≤， 即λ6≤-或λ2≥-，又λ0<， ∴λ6≤-或2λ0-≤< 21. 某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取：方案二：不收取管理费，每度0.58元．（1）求方案一的收费L （x ）（元）与用电量x （度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费35元，问老王家该月用电多少度？ （2）老王家该月用电量什么范围内，选择方案一比选择方案二好？【答案】（1）L （x ）0.520300.6130x x x x +≤⎧=⎨-⎩，＜，＞，60度电．（2）25＜x ＜50．选择方案一比选择方案二好．【解析】 【分析】(1)易得该函数为分段函数,分030x <≤与30x >两种情况分段求解,再求()35L x =的解即可. (2)令()()0.58g x x L x =-,再分析()0g x >的解即可. 【详解】（1）L （x ）0.520300.6130x x x x +≤⎧=⎨-⎩，＜，＞,①当0＜x ≤30时,令0.5x +2＝35,解得x ＝66（舍去）.②当x ＞30时,令0.6x ﹣1＝35,解得x ＝60.∴老王家该月用电60度电. （2）令g （x ）＝0.58x ﹣L （x ）,由（1）可得：g （x ）0.0820300.02130x x x x -≤⎧=⎨-+⎩，＜，＞.显然g （x ）＞0为所求.①当0＜x ≤30时,令g （x ）＝0.08x ﹣2＞0,解得x ＞25,∴25＜x ≤30. ②当x ＞30时,令g （x ）＝﹣0.02x +1＞0,解得x ＜50.则30＜x ＜50. 综上可得：25＜x ＜50.选择方案一比选择方案二好.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用以及求解等,需要根据题意求出分段函数并求解.属于基础题. 22. 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时， ()0f x <，又12f .(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求证： ()f x 是上的减函数；(3)若对一切实数，不等式()()()224f ax f x f x -<+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）f(x)为奇函数（2）见解析（3）(98，＋∞)． 【解析】 试题分析：（1）先确定f(0)值，再研究f(－x)与f(x)关系：相反，最后根据奇函数定义判断（2）根据单调性定义，先设R 上任意两数，利用条件得f(x 1)-f(x 2) ＝f(x 2－x 1)，再由0x >时， ()0f x <确定差的符号，最后根据单调性定义证明结论（3）先根据条件将不等式化为f(ax 2－2x)<f(x －2)，再根据单调性得ax 2－2x>x －2，最后根据二次函数性质或利用参变分离法求实数a 的取值范围．试题解析：解：(1)取x ＝y ＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.取y ＝－x ，则f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)对任意x ∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0，∴f(x 2)<－f(－x 1)，又f(x)为奇函数，∴f(x 1)>f(x 2)．∴f(x)是R 上的减函数．(3)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax 2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，则f(ax 2－2x)<f(x －2)，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x>x －2，当a ＝0时，－2x>x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a>0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>98； 当a<0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为(98，＋∞)． 点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集φ的对立面（如()f x m >的解集是空集，则()f x m ≤恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即()f x a <恒成立⇔max ()a f x >，()f x a >恒成立⇔min ()a f x <.。
江西省南康市18学年高一数学下学期第一次月考试题文
江西省南康中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题 文一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合{}{}|31,3,2,1,0,1M x x N =-<<=---，则M N = （ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}3,2,1,0---C ．{}2,1,0--D ． {}3,2,1---2．o o sin600tan240+的值等于（ ）A. C. 12-+ D. 12+ 3、无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（ ）A ．21n a n n =-+B ．21n a n n =++C ．n a =22n n +D ．n a =22n n -4.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222a cb +-=,则角B 的值为（ ）A .6πB .3πC . 6π或56πD . 3π或23π5．设向量a ，b 均为单位向量，且||1a b +=，则a 与b的夹角θ为（ ）A.3πB.2πC.23πD.34π 6. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若角,,A B C 依次成等差数列,且1,a b ==则ABC S ∆=（ ）A.C.2D.27. 已知 1tan 2α=-，则=+αααcos sin sin 22（ ） A. 0 B. 51- C. 25- D. 258.若将函数)22)(2sin(3πϕπϕ<<-+=x y 的图象向右平移3π个单位后得到的图象关于点)0,4(π对称，则ϕ=（ ） A. 6π- B. 6π C. 3π D. 3π-9．设函数2log (1),2,()1()1,2,2x x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(0,2)C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,3)-10. 如图,已知在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB=AD ,2AB=,BC=2BD ,则sin C 的值为（ ）A.11. 在ABC ∆中，3AB BC ∙= ,其面积3[]2S ∈，则AB BC 与夹角的取值范围为（ ）A ．[,]64ππB ．[,]43ππC ．[,]63ππD ．23[,]34ππ12．若关于x 的不等式23log 4≤-x a x在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,41二、 填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若61263,9S S S =-=，则18S = . 14． 的单调递减区间是则函数若函数)(),34(log )(221x f x x x f +-= .15．在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是 三角形。
2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}|12A x x =<<，2{|log 3}B x x =<，则A B =I （ ） A ．{|1}x x e << B ．2{|1log 3}x x <<C ．2{|log 3}x <D ．Φ【答案】B【解析】由2132log <<，由交集的定义，即可得到所求集合． 【详解】解：集合{|12},A x x =<<2{|log 3}B x x =<， 由2132log <<，可得则2{|1log 3}A B x x ⋂<<＝， 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的交集的求法，注意运用对数函数的性质，考查定义法解题，属于基础题． 2．23278-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94B ．49C ．23D ．32【答案】B【解析】直接由有理指数幂的运算性质求解即可． 【详解】解：223332734829--⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故选：B ． 【点睛】本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题．3．已知函数()24,21,22x x f x x x -≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，()6f a =，则a 的值为（ ）A ．5B ．136C ．5或136D ．2或6【答案】A【解析】当0a >时，()246f a a =-=，当2a <时， ()162f a a ==-，由此能求出a 的值． 【详解】解：Q 函数()()24,2,61,22x x f x f a x x -≥⎧⎪==⎨<⎪-⎩， ∴当0a >时，()246f a a =-=，解得5a =；当2a <时，()162f a a ==-，解得136a =，不成立． 综上，a 的值为5． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 4．设0x 是函数()237x f x x =+-的零点，且0(,1)()x k k k Z ∈+∈，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】因为函数()237xf x x =+-是单调递增函数，()()120,230f f =-=，故()01,2x ∈，所以1k =，故选B.5．若函数()xg x a =（0a >且1a ≠）的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，且()41f =，则()122f g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】B【解析】 因为函数()xg x a =（0a > 且1a ≠）的图象关于y x =对称，所以函数()g x 与()f x 互为反函数，故()log a f x x =. 又()41f =，则log 414a a =⇒=，所以()1241152()log 242222f g +=+=+=，故选B.6．函数()[]()11122,142x x f x x -⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是（ ）A ．5,104⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]1,10C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设11(),[2,1],[,4]22xt x t =∈-∴∈Q ，22()22(1)1f x t t t =-+=-+，当1t =时，min ()1f x =，当4t =时，max()10f x =，函数()[]()11122,142x x f x x -⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[1,10]，选B. 7．已知函数()f x 的定义域为[3,)+∞，则函数1(1)f x+的定义域为（ ） A ．4(,]3-∞ B ．4(1,]3C ．1(0,]2D ．1(,]2-∞【答案】C【解析】由已知函数定义域，可得113x+≥，求解分式不等式得答案． 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为[3,)+∞，∴由113x +≥，得12x ≥，则102x <≤． ∴函数1(1)f x +的定义域为1(0,]2．故选：C ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 8．下列函数 ：①2log y x =；②1lg 1xy x-=+；③)2lg 1y x x =+；④1,1,x y x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数为奇函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据题意，依次分析四个所给函数的奇偶性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，2log y x =，其定义域为()0+∞，，不关于原点对称，不是奇函数； 对于②，1lg1xy x -=+，有101x x->+，解可得11x -<<，即函数的定义域为()11-，，则()()1111lg lg lg 111x x x f x f x x x x --+-⎛⎫-===-=- ⎪+-+⎝⎭，即函数1lg 1x y x -=+为奇函数， 对于③，)2lg1y x x =+，其定义域为R ，())2lg1f x x x -=+，有()()())22lg1lg1lg10f x f x x x x x +-=+++==，即()()f x f x -=-，即函数为奇函数；对于④，若x 为无理数，则x -也为无理数，则()()1f x f x -==-， 同理当x 为有理数时，也有()()0f x f x -==， 即函数()f x 为偶函数； 则②③为奇函数； 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意先分析函数的定义域．9．下列三个数357log 6,log 10,log 14a b c ===的大小顺序是（ ） A ．c b a << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A【解析】利用对数运算性质可得：33log 61log 2a ==+，55log 101log 2b ==+，77log 141log 2c =++．根据357log 2log 2log 2>>．即可得出． 【详解】解：33log 61log 2a ==+，55log 101log 2b ==+，77log 141log 2c ==+．357log 2log 2log 2>>Q ．c b a ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[]3.54-=-， []2.12=，已知函数()112x xe f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（ ） A ．{}0,1 B ．{}1C ．{}1,0,1-D ．{}1,0-【答案】D【解析】利用分离常数法可得()111111221x x xe f x e e+-=-=-++,求得()f x 的值域, 由[]x 表示不超过x 的最大整数,即可求得函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域. 【详解】Q ()111111221xx x e f x e e+-=-=-++，由于11x e +> ∴ 11112212x e -<-<+ ∴ ()f x 的值域为:11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭Q 根据[]x 表示不超过x 的最大整数∴ 函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-.故选:D. 【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用,考查分离常数法求函数的值域,考查化归与转化的数学思想方法.解题关键是在解答时要先充分理解[]x 的含义.12．已知函数()lg 2,20,2x x g x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，若关于x 的方程()()20g x ag x b -+=有7个不同实数解则（ ）A ．0a >且0b =B ．0a >且0b >C ．0a =且0b >D ．0a <且0b =【答案】A【解析】作出函数()g x 的图象，令()g x t =，由图象可知()0g x t => 有4个不等实根，()0g x t ==时，有3个不相等的实数根，()0g x t =<时无实根.题中原方程2()()0g x ag x b -+=有且只有7个不等实根，即20t at b -+=有两个实根，一根为0，另一根大于零，则0,0a b >=，所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令()y g x =，先画出函数()g x 的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.二、填空题13．已知幂函数()f x x α=过点()42，，则函数的单调递增区间为_____． 【答案】[)0+∞，【解析】利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后利用幂函数的性质确定函数的单调性． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=，因为幂函数的图象过点()42，， 所以()24422f αα===，解得12α=， 所以()f x x =所以幂函数的单调递增区间为[)0+∞，． 故答案为：[)0+∞，． 【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法和幂函数的性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．14．已知()y f x =是定义在()()00-∞∞U ，，+上的偶函数，当0x >时()1f x x =+，则0x <时，()f x =_____．【答案】1x -+【解析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()f x -的表达式，结合函数的奇偶性可得()f x 的解析式，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设0x <，则0x ->，()()1f x x ∴-=-+，又由函数为偶函数，则()()f x f x -=， 则()1f x x =-+； 故答案为：1x -+ 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质与应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．15．已知0a >，设函数()()1320162011[,]20161x xf x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +的值为_____． 【答案】4037 【解析】设()3520161xg x x =-+，因为2015x 是R 上的增函数，所以()g x 是R 上的增函数．函数()f x 在[]a a -，上的最大值是()f a ，最小值是()f a -．所以函数()f x 的最大值M 与最小值N 之和()()4032M N g a g a +=---，由此能求出M N +的值．【详解】 解：()()1332016201615201620112016120161x x xx f x x x ++-+=+=+++Q ()32016201615,[]2016120161x x xx x a a +=-+∈-++，， 设()3520161x g x x =-+，则()335520162016120161x x xg x x x -⋅-=--=--++， 即有()()5g x g x +=-，因为2016x 是R 上的增函数，所以()g x 是R 上的增函数．函数()f x 在[]a a ﹣，上的最小值是()f a -，最大值是()f a ． 所以函数()f x 的最大值M 与最小值N 之和()()M N f a f a +=+-()()20162016g a g a =-+--()()()4032g a g a =-+-40325=+ 4037=．【点睛】本题考查函数在闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，属于中档题.16．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数1()lg1xf x x-=+为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下： ①同学甲发现：函数()f x 的定义域为(1,1)-； ②同学乙发现：函数()f x 是偶函数； ③同学丙发现：对于任意的(1,1)x ∈-都有22()2()1xf f x x =+； ④同学丁发现：对于任意的,(1,1)a b ∈-，都有()()()1a bf a f b f ab++=+； ⑤同学戊发现：对于函数()f x 定义域中任意的两个不同实数12,x x ，总满足1212()()0f x f x x x ->-.其中所有正确研究成果的序号是__________． 【答案】①③④【解析】①10111x x x ->⇒-<<+，故①正确；② ()()11lg lg 11x xf x f x x x+--==-=--+，奇函数，故②错误；③对于任意的()1,1x ∈-，22222212211lg lg 212111x x x x x f x x x x x --+⎛⎫+== ⎪+++⎝⎭++()()()()()2222111lg ,22lg lg 111x x x f x x x x ---===+++，故③正确；④对于任意的(),1,1a b ∈-，有()()11111lg lg lg lg 11111a b a b a b abf a f b a b b b a b ab------++=+=⨯=+++++++，而 111lg =lg 111+1a b a b ab a b ab f a b ab ab a b ab+-++--⎛⎫+= ⎪+++++⎝⎭+，故④正确；⑤对于函数()f x 定义域 中任意的两个不同实数12,x x ，总满足()()12120f x f x x x ->-，即说明()f x 是增函数，但()12lglg 111x f x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭是减函数，故⑤错误，综上①③④ 正确，故答案为①③④.【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的定义域、单调性、函数的奇偶性以及对数式的运算，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题17．计算：（1()210321298log 162525e π-+-++； （2）已知5345x y ==，求12x y+的值． 【答案】（1）15-；（2）1.【解析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解； （2）直接利用对数的运算性质求解． 【详解】解：（1()210321298log 162525e π-+-++ ()()213232331124154415555-=+--+=+--+=-；（2）由5345x y ==，得53log 45log 45x y ==，，()45454512log 52log 3log 591x y∴+=+=⨯=． 【点睛】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题．18．已知三个集合：()22{|log 581}A x R x x =∈+=﹣，{}2280B x R x x =∈+-=，22{|190}C x R x ax a =∈-+-=．（1）求A B U ；（2）已知,,A C B C ⋂≠∅⋂=∅求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}2,3,4-；（2）{}2-．【解析】（1）解方程求出集合A B 、，计算A B U ；（2）根据A C ⋂≠∅，且B C ⋂∅＝，求出集合C 的元素特征，求出实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）(){}22{|log 581}{|2,3}23A x R x x x x x =∈-+=====，， {}22280{|280}{|2B x R x x x x x x x =∈+-==+-===，{}4}2,4x =-=-，{}2,3,4A B ∴⋃=-；（2）,A C B C ⋂≠∅⋂∅＝，2,4,3C C C ∴∉-∉∈；又22{|190}C x R x ax a =∈-+-=，293190a a ∴-+-=；解得2a =-或5a =，当2a =-时{}2{|2150}3,5C x R x x =∈+-==-满足条件，当5a =时{}2{|560}3,2C x R x x =∈-+==不满足条件，舍去；所以实数a 的取值是{}2-． 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题题． 19．已知函数()()2,011x xa f x a a a a a -=->≠-其中且（1）判断函数的奇偶性和单调性；（2）当()1,1x ∈-时，有()()2110f m f m-+-<，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(2， 【解析】（1）先确定函数的定义域，再由()f x -与()f x 的关系，即可判断出奇偶性；再由指数函数的单调性即可判断出函数()f x 的单调性；（2）由（1）中函数的奇偶性可得 ()()211f m f m -<-，再由函数的单调性，即可得出结果.【详解】(1)函数的定义域为R ,()()()21x xa f x a a f x a --=-=--所以()f x 为奇函数， 当01a <<时201a a <-，x x a a --单调递减，所以()21x x aa a a ---单调递增; 当1a >时201a a >-，x x a a --单调递增，所以()21x x aa a a ---单调递增， 综上所述函数()f x 增函数.(2)因为()1,1x ∈-所以2111111m m -<-<-<-<且即02m <<由(1)得()f x 为奇函数且是R 上的增函数所以由()()2110f m f m-+-<得()()()22111f m f m f m -<--=-，即211m m ->- ，解得21m m -或综上得12m <<所以m 的取值范围是(2，. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，判断函数的单调性只需借助基本初等函数的单调性即可，判断函数的奇偶性，需要结合定义处理，利用函数基本性质解不等式，也是常考内容，属于基础题型.20．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．【答案】（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13．【解析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．21．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表： 时间第4天 第32天 第60天 第90天 价格（千元） 2330227（1）写出价格()f x 关于时间x 的函数关系式；（x 表示投放市场的第()x x N ∈天）； （2）销售量()g x 与时间x 的函数关系：1109()(1100,)33g x x x x N =-+≤≤∈，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？【答案】（1）122,140,4(){152,41100,2x x x N f x x x x N +≤≤∈=-+≤≤∈且且；（2）第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）.【解析】试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值. 试题解析：（1）由题意，设()(140,)f x kx b x x N =+≤≤∈且4231{,2232304k b k b k b +===+=则得 1()22,(140,)4f x x x x N ∴=+≤≤∈且 同样设()(41100,)f x mx n x x N =+≤≤∈且60221{,529072m n m b m n +==-=+=则得1()52,(41100,)2f x x x x N ∴=-+≤≤∈且122,140,4(){152,41100,2x x x N f x x x x N +≤≤∈∴=-+≤≤∈且且(2)设该产品的日销售额为(),()()()h x h x f x g x 则=⋅21140()(219592),12x h x x x ≤≤=---当时， 此时当max x=1011()808.5()h x =或时，千元2141x 100()(21311336)6h x x x ≤≤=-+当时，此时()(40)739()h x h 千元<=综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元） 【考点】函数应用问题.【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.22．设二次函数()2f x ax bx c =++满足下列条件：当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且()()11f x f x -=--成立；当()0,5x ∈时，()211x f x x ≤≤-+恒成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若对()2,x ∈+∞，不等式()()4215f x n x n ≥+--恒成立、求实数n 的取值范围； （3）求最大的实数()1m m >，使得存在实数t ，只要当[]1,x m ∈时，就有()f x t x +≤成立.【答案】（1）()2111424f x x x =++；（2）(,2217n ∈-∞+；（3）9. 【解析】（1）由()()11f x f x -=--知函数图象的对称轴是1x =-，最小值为0，因此顶点为(1,0)-，这样函数解析式可写为2()(1)f x a x =+，在不等式()211x f x x ≤≤-+令1x =得1(1)1f ≤≤，从而有(1)1f =，由此可求得a ；（2）不等式()()4215f x n x n ≥+--化为()2160g x x nx n =-++≥，当22n >时，应有()02n g ≥，当22n≤，应有(2)0g ≥．由此可得n 的取值范围；（3）由0t =，即()y f x =的图象与直线y x =切于点(1,1)P ，因此把()y f x =的图象向右平移，就有一部分满足()f x t x +≤，由此可找到m 的最大值． 【详解】解：（1）由题意，函数的顶点坐标为()1,0-， 解析式可设为()()21f x a x =+， 又()111f ≤≤，∴()114f a ==，∴14a =，∴()2111424f x x x =++，经检验，当2(,]x e e ∈时，()211x f x x ≤≤-+恒成立，∴函数解析式为()2111424f x x x =++. （2）不等式变形为：2160x nx n -++≥， 令()216g x x nx n =-++，对称轴为2nx =， 当22n≤即4n ≤时，()g x 在()2,+∞上单调增，∴()2200g n =-≥，解得20n ≤，∴4n ≤. 当4n >时，()2min 16024n n g x g n ⎛⎫==-++≥ ⎪⎝⎭，解得22172217n -≤≤+∴4217n <≤+综上所述(,2217n ∈-∞+.（本小问也可用分离参数的方法来求221621221711x x x x n x x +-++-+≤=--()171221721x x =-++≤-）（3）当0t =时，()y f x =与y x =相切于点()1,1P ，向右平移()y f x =的过程中， 令()y f x =与y x =相交于两点Q 和R （Q 在左），由图可知，当点Q 与P 重合时，点R 的横坐标即为m 的最大值. 此时()21214t +=，得0t =或-4，∴4t =-. ()2134y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得：21090x x -+=，解得1x =或9， ∴m 的最大值为9. 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的图象与性质．图象变换解题是本题得以解决的得力工具．。
南康区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
）
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思 维能力与计算能力． 3． 设 x，y∈R，且满足 A．1 B．2 ） C． D． C．3 ，则 x+y=（ D．4 ）
4． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P，直线 PF1（F1 为椭圆的左焦点）是该圆 的切线，则椭圆的离心率为（ A． B．
31 15
8． 如图，空间四边形 OABC 中， ，则
，点 M 在 OA 上，且
，点 N 为 BC 中点
A．
B．
C．
D．
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9． P 是双曲线 =1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2 分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则△PF1F2 ） C．c D．a+b﹣c
的内切圆圆心的横坐标为（ A．a 10． ( x
=（1，0）+（2，4）=（3，4）． =5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题． 14．【答案】a= ，b= ．
【解析】解：由 5，10，17，a﹣b，37 知， a﹣b=26， 由 3，8，a+b，24，35 知， a+b=15， 解得，a= 故答案为： ，b= ， ； ．
5． 已知函数 f ( x) a sin x 3 cos x 关于直线 x A、
6
对称 , 且 f ( x1 ) f ( x2 ) 4 ,则 x1 x2 的最小值为
6 3 6 3 6． 用一平面去截球所得截面的面积为 2π，已知球心到该截面的距离为 1，则该球的体积是（
a 2 3 sin( x )(tan
江西省南康中学2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
江西省南康中学2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.把集合用列举法表示为A. B. 或C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，解可得或5，用列举法表示可得；故选：D．根据题意，解可得或5，即可得，即可得答案．本题考查集合的表示法，注意正确求解一元二次方程．2.下列对应关系：4，，1，2，，f：的平方根，，f：的倒数，，f：0，，0，，f：其中是A到B的映射的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于，4，，1，2，，f：的平方根，不是映射，A中的元素在B中的对应元素不唯一；对于，，，f：的倒数，不是映射，A中的元素0在B中没有对于元素；对于，，，f：，符合映射概念，是映射；对于，0，，0，，f：，符合映射概念，是映射．故选：D．直接利用映射概念逐一核对四个命题得答案．本题考查映射概念，是基础的概念题．3.已知，则为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：，，根据已知中，将代入递推可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值，难度不大，属于基础题．4.集合，集合，则集合S与集合T的关系A. B. C. D. 且【答案】A【解析】解：集合3，9，，集合3，6，9，12，15，18，21，24，，故且，故选：A．用列举法分别列举出两个集合中的元素，观察规律可知，集合S是集合T的子集．本题考查两集合间的基本关系以及集合的表示方法，属于基础题目．5.已知集合，或，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：或，即有，则．故选：B．求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，属于基础题．6.下列函数中，在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：对于A，函数的图象是抛物线，对称轴是，当时是减函数，时是增函数，不满足题意；对于B，函数，当时，是增函数，时，是减函数，满足题意；对于C，函数，当，时，函数是减函数，不满足题意；对于D，函数的图象是抛物线，对称轴是，当时是减函数，时是增函数，不满足题意；结合A、B、C、D选项中四个函数的图象与性质进行判断，即可得出正确的答案．本题考查了基本初等函数的单调性问题，解题时应根据选项中的每一个函数的图象与性质，进行分析与解答，是基础题．7.如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，2四个值，相应与曲线、、、的n依次为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；对应的图象为抛物线，对应的图象应为；在第一象限内的图象是；与曲线、、、的n依次为2、1、、．故选：B．根据幂函数在第一象限内的图象与性质，分别得出曲线、、、的对应的n值．本题主要考查了幂函数的图象和性质的应用问题，基础题．8.是定义在上是减函数，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得，求得，故选：A．由题意可得、、且，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围．本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．9.已知函数且，则下列不等式中成立的是A. B.C. fD. f【答案】C【解析】解：，令，则，，的图象关于直线对称，又f的图象的开口方向向上，在单调递减，f，，即f．故选：C．由，从而可知f的图象关于直线对称，从而得到答案．本题考查二次函数的性质，求得二次函数的对称轴是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数为奇函数．若，则，又函数在单调递减，，，，解得：，故选：D．由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案．本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．11.若、是关于x的方程的两个实根，则的最大值等于A. 6B.C. 18D. 19【答案】C【解析】解：、是关于x的方程的两个实根，时，的最大值等于18故选：C．根据、是关于x的方程的两个实根，利用根与系数的关系表示出，利用配方法可求二次函数的最值．本题以方程为载体，考查韦达定理的运用，考查配方法求二次函数的最值，解题的易错点忽视判别式大于等于0，而导致错解12.若函数是偶函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，函数是偶函数，则有，即分析可得：，，解可得：，，则，，令，可得当时，取得最小值；又由函数为偶函数，则；故选：C．根据题意，由于函数为偶函数，则可得，即，分析可得a、b的值，即可得函数的解析式，对其求导，分析可得当时，取得最小值；计算即可的答案．本题考查函数的最值计算，关键是利用函数的奇偶性求出a、b的值，确定函数的解析式，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合2，，若，则______用列举法表示【答案】【解析】解：2，，，且，为的解，即，解得：，即方程为，解得：或，则，故答案为：由A，B，以及两集合的交集，确定出m的值，进而确定出B．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14.已知集合，则______．【答案】4【解析】解：集合，，，解得，，当，时，0，，，，成立，此时．当，时，0，，2，，成立，此时．故答案为：4．由集合，得到，，由此能求出的值．本题考查代数式求值，是基础题，考查集合相等等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.已知函数的值域为，则实数m的取值范围为______【答案】【解析】解：函数的值域为，能够取到大于等于0的所有数，当时，不合题意；当时，则，解得．实数m的取值范围为．故答案为：．把函数的值域为，能够取到大于等于0的所有数，然后对m分类求解得答案．本题考查函数值域的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16.给出定义：若其中m为整数，则m叫做离实数x最近的整数，记作在此基础上给出下列关于函数的四个命题：函数的定义域为R，值域为；函数的图象关于直线对称；函数是偶函数；函数在上是增函数其中正确的命题的序号是______．【答案】【解析】解：由题意，，时，，，时，，，时，，，画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为，故答案为：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究，进而得到函数的图象的草图，结合图象分析得到答案．本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数的定义域为集合A，已知集合，，全集为R．求；若，求实数m的取值范围．【答案】解：函数的定义域为：集合且，集合，或；若，而或，，可得时，，则，可得．【解析】求得集合A，再由补集和交集的定义，即可得到所求集合；运用并集和交集的定义，即可得到所求m的范围．本题考查集合的运算，注意运用交集、补集和并集的定义，考查函数的定义域的求法，以及运算能力，属于基础题．18.已知集合，或．Ⅰ当时，集合的元素中整数有多少个？Ⅱ若，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ，集合，或，．中的整数有，，，共3个．Ⅱ，当时，，解得；当时，或，解得或．综上，a的取值范围是．【解析】Ⅰ时，求出集合A，从而求出，由此能求出中的整数的个数．Ⅱ，当时，，当时，或，由此能求出a的取值范围．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.已知函数是定义在R上的偶函数，已知当时，．求函数的解析式；画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；试确定方程的解个数．【答案】解：当时，为R上的偶函数--------------分的图象如图：，--------------分单调增区间为和---------------8分由图知设，则由得或，当时，，有四个交点，当时，，有两个交点，当时，，有三个交点当时，，没有交点，从而知方程有9个解---------------12【解析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．作出函数图象，结合函数图象求出函数的单调区间利用复合函数之间的关系，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的对称性求出函数的解析式是解决本题的关键．20.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图注：利润和投资单位：万元分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【答案】解：根据题意可设，．则，．设B产品投入x万元，A产品投入万元，该企业可获总利润为y万元．则，，令，，则．所以当时，，此时，．所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为万元．【解析】根据题意可设，，代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式，设投入B产品x万元，则投入A产品万元，利润为y万元则，，利用二次函数的性质即可求出．本题考查的知识点是函数的选择与应用，函数的最值，难度不大，属于中档题．21.函数是定义在上的奇函数，且，确定函数的解析式；判断在上的单调性并用定义证明．解不等式．【答案】解：函数是定义在上的奇函数，，即且，，故函数的解析式，证明：，设，且在上，，，，且在上，，，，即，所以在上的单调递增．不等式，根据即化为：不等式，，解得；，不等式的解集为：【解析】，且，求解运用定义判断证明，主要是作差分解因式判断利用奇偶性，单调性，转化，解得；，可得解集．本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断与运用，求解析式，解不等式，是基本题型，难度不大．22.已知幂函数在上单调递增．求实数k的值，并写出函数的解析式；对于中的函数，试判断是否存在整数m，使函数在上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；设函数，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：幂函数在上单调递增，可得，解得，又，可得或1，即有，幂函数；---------------分由可知：，当时，在递减，可得取得最大值，且为1，不成立；当时，图象开口向上，最大值在或处取得，而，则，即为，不成立；当，即，；当，时，解得，则在上单调递减，因此在处取得最大值，而不符合要求，应舍去；当，时，解得m不存在；当，时，解得，则在处取得最小值，最大值在或1处取得，而不符合要求；由，即，满足m的范围．综上可知：满足条件的m存在且；---------------分由知，，令，，显然在递增，；--------------分故原问题转化到不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立；令，，由双勾函数知在递减，递增，，故---------------分【解析】根据幂函数的定义与性质求出k的值，写出的解析式；写出的解析式，讨论m的取值情况，求出满足条件的m值；设，把问题转化为关于t的不等式恒成立问题，从而求得a的取值范围．本题考查了函数的图象与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．。
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江西省南康中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下说法错误的是A. 零向量与任一非零向量平行B. 零向量与单位向量的模不相等C. 平行向量方向相同D. 平行向量一定是共线向量【答案】C【解析】解：零向量是模为0，方向任意，B对平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量错D对故选：C．利用零向量是模为0，方向任意；平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量对四个选项进行判断．本题考查的是零向量的对于、平行向量的定义．2.已知向量，，则向量A. 12B.C. 3D.【答案】D【解析】解：向量，，则向量，所以．故选：D．根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，计算即可．本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题．3.在中，若，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可得故选：C．由题意可得，而，，代入化简可得答案．本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题．4.设等比数列的公比，前n项和为，则A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】解：由于，；故选：C．根据等比数列的性质，借助公比q表示出和之间的关系，易得与间的关系，然后二者相除进而求得答案．本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式的综合应用等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视．5.在等差数列中，若，是数列的前n项和，则的值为A. 48B. 54C. 60D. 66【答案】B【解析】解：在等差数列中，若，则，是数列的的前n项和，故选：B．等差数列的等差中项的特点，由第四项和第六项可以求出第五项，而要求的结果前九项的和可以用第五项求出，两次应用等差中项的意义．观察具体的等差数列，认识等差数列的特征，更加理解等差数列的概念，对本问题应用等差中项要总结，更好培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力．6.在等差数列中，，，若，则A. 38B. 20C. 10D. 9【答案】C【解析】解：等差数列中，，，因为是等差数列，所以，由，可得：，所以，又，即，即，即，解得，故选：C．结合等差中项的公式，，得到的值再由的公式，解出n的值．本题是等差数列的性质的考查，注意到的运用，可使计算简化，属于中档题．7.已知，，，为各项都大于零的等比数列，公式，则A.B.C.D. 和的大小关系不能由已知条件确定【答案】A【解析】解：又，，，，为各项都大于零的等比数列另解：，由各项都大于零的等比数列，公式，不管还是，即可判断．故选：A．用作差法比较即可．本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．8.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：由等差数列的性质和求和公式可得：，验证知，当，2，3，5，11时为整数．故选：D．由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n项和之比，验证可得．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用，属基础题．9.若数列是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是A. 4 005B. 4 006C. 4 007D. 4 008【答案】B【解析】解：在等差数列中，，，，，，则，．使前n项和成立的最大自然数n是4006．故选：B．由题意可得，，再结合等差数列的前n项和得答案．本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．10.已知P为三角形ABC内部任一点不包括边界，且满足，则的形状一定为A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】解：，，，．而一定经过边AB的中点，垂直平分边AB，即的形状一定为等腰三角形．故选：D．利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义，考查了推理能力，属于难题．11.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数n，都有成立，则的值为A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】解：，，，当时，，当时；当，时，，所以当时．当时取到最小值为故选：D．根据题意可求得数列的通项公式，进而求得，根据，进而可知当时，，推断出当时数列单调增，时，数列单调减，进而可知时取到最小值求得数列的最小值，进而可知的值．本题主要考查了数列和不等式的综合运用考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．12.如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解：连接CP并延长交AB于D，、C、D三点共线，，且设，结合，得由平面向量基本定理解之，得，且，，可得，的面积与有相同的底边AB高的比等于与之比的面积与面积之比为，故选：C．本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由与为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP并延长后，我们易得到CP与CD长度的关系，进行得到的面积与面积之比．三角形面积性质：同等底同等高的三角形面积相等；同等底三角形面积这比等于高之比；同等高三角形面积之比等于底之比．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列中，已知，，则______．【答案】4【解析】解：由等比数列的性质可知，，，成等比数列，，该等比数列的公比则故答案为：4由等比数列的性质可知，，，成等比数列，结合等比数列的通项公式可求本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题14.已知是数列的前n项和，若，则的值为______．【答案】0【解析】解：由于数列的通项公式为：，当时，，当时，．当时，，当时，，当时，，所以：数列的周期为4，故：，所以：．故答案为：0．直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这n条直线交点的个数，当时，______．【答案】【解析】解：，，，，，累加可得：故答案为：要求出时的值，我们要逐一给出，，，，然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的办法进行求解．本题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据，，，，然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键．16.已知O是锐角的外心，，，若，且，则______．【答案】20【解析】解：分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，是锐角的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点，，．由此可得中，，．同理可得．，等式的两边都与作数量积，得，化简得，同理，等式的两边都与作数量积，化简得，又根据题意知，联解，可得，且．故答案为：20分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，由三角形外接圆的性质得且，由此利用直角三角形中三角函数的定义和数量积的公式，算出且最后在等式的两边分别与、作数量积，将得到的等式与组成方程组联解，可得的值．本题着重考查了三角形外接圆的性质、锐角的三角函数在直角三角形中的定义、向量量的数量积公式和方程组的解法等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设，，，求证与不共线，并求与的夹角的余弦值．求在方向上的投影．【答案】解：，，且，与不共线，又，，，，．，在方向上的投影为．【解析】根据共线向量的判断方法易得与不共线，再结合向量的数量积的运算，可得，的值，根据数量积的运算与投影的概念，可得在方向上的投影为，代入向量的坐标，计算可得答案．本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．18.已知数列满足，；数列满足，．证明：数列是等差数列．求数列的通项公式．【答案】解：证明：根据题意，数列满足，等式两边除以得；故数列是以为首项，为公差的等差数列；根据题意，由得，则，则【解析】根据题意，将变形可得，结合等差数列的定义分析可得答案；根据题意，分析可得，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查数列的递推公式的应用，涉及等差数列的求和，关键是对数列递推公式的变形．19.设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【答案】解：，，，．．设，．当时，与的夹角为．的取值范围是【解析】欲求实数t的取值范围，先根据条件，利用向量积的运算求出的值，由于夹角为钝角，所以计算得到的值是负值，最后解出这个不等式即可得到实数t的取值范围．本题考查平面向量积的运算，同时考查一元二次不等式的解法．20.已知向量，向量与向量的夹角为，且，求向量；若且，，其中A、C是的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围．【答案】解：设，则又联立解得或，或；由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，，且，．，，，，．【解析】设出向量，由向量与向量的夹角为及得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题．21.设数列满足，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】解：，，当时，．当时，，得，．．，适合上式，由得．．．【解析】利用数列的前n项和与通项的关系可得；利用“裂项求和”即可得出．本题考查了数列的前n项和与通项的关系、“裂项求和”，属于中档题．22.已知函数的图象经过点和，记，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，，若，求m的最小值；Ⅲ求使不等式对一切均成立的最大实数p．【答案】解：Ⅰ函数的图象经过点和，，，，，解得：，，，；Ⅱ由Ⅰ得，，，两式相减得：，，其中，随着n的增大而减小，随着n的增大而增大，且，又，的最小值为3；Ⅲ不等式对一切均成立，对一切均成立，记，则，，，随着n的增大而增大，，，即p的最大值为．【解析】Ⅰ通过将点和代入函数计算可知，进而；Ⅱ通过Ⅰ可知，利用错位相减法计算可知，通过作商可知随着n的增大而减小，进而可得结论；Ⅲ通过变形问题转化为求的最小值，通过作商可知随着n的增大而增大，进而可得结论．本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。