2019-2020学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用导学案 新人教A版选修2-2.doc
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教A
1．7.1 定积分在几何中的应用1．7.2 定积分在物理中的应用1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功．2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解．1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝⎠⎛ab f(x)d xf(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)<0 S＝－⎠⎛ab f(x)d x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x．2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛ba v(t)d t．(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功，W等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝⎠⎛ba F(x)d x．1．由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形的面积(1)如图①所示，f (x )>0，⎠⎛a b f (x )d x >0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)如图②所示，f (x )<0，⎠⎛ab f (x )d x <0，所以所求面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)如图③所示，当a ≤x ≤c 时，f (x )≥0，⎠⎛a c f (x )d x ≥0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≤0，⎠⎛cbf (x )d x ≤0.所以所求面积S ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋|⎠⎛cb f (x )d x |＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .2．由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积 (1)如图④所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(2)如图⑤所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋|⎠⎛a b g (x )d x |＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(3)如图⑥所示，所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b [g (x )－f (x )]d x ＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当f (x )＜0时，f (x )与x ＝a ，x ＝b (a <b )及x 轴所围图形的面积为⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf （x ）d x .( ) (2)在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( ) (3)在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( )A. 154B. 174C. 12ln 2 D ．2ln 2答案：D已知一质点做自由落体运动，其速度v ＝gt ，则质点从t ＝0到t ＝2所经过的路程为( )A ．gB ．2gC ．3gD ．4g答案：B一物体在F (x )＝5x ＋3(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝5(单位：m)处，则F (x )做的功等于________J.答案：77.5探究点1 不需分割型图形面积的求法由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6 【解析】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2可得x ＝4，所以由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163.【答案】 C图形面积不需分割求解的解题技巧对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了．[注意] 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的．求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．解：画出图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2，故阴影部分的面积S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x ＝⎠⎛02(6x －3x 2)d x ＝(3x 2－x 3)|20＝4.探究点2 需分割型图形面积的求法求由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3，x 轴，y 轴所围成的平面图形的面积． 【解】 作出曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝x 2＋1得第一象限中交点的横坐标为1，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝103.图形面积需分割求解的解题技巧由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”．求由曲线y ＝1x及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．解：作出曲线y ＝1x(在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1(舍去)，故B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，故C (3，3)．故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝(3x －ln x ) ⎪⎪⎪⎪113＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝4－ln 3.探究点3 利用定积分求变速直线运动的路程、位移一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 【解】 (1)在t ＝4 s 时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上，v (t )≥0，在区间[1，3]上，v (t )≤0，所以在t ＝4 s 时运动的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)．求变速直线运动物体的路程(位移)的方法(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛ab|v (t )|d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．(3)注意路程与位移的区别．1.一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则它在t ∈[1，2]内的位移为________．解析：由定积分的意义知，质点在t ∈[1，2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176. 答案：1762.一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．解：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t ≤1），2（1<t <3），13t ＋1（3≤t ≤6），由变速直线运动的路程公式，得s ＝⎠⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 探究点4 利用定积分求变力做功问题一物体在变力F (x )＝36x2(N )作用下沿坐标平面内x 轴正方向由x ＝8(m )处运动到x ＝18(m )处，求力F (x )所做的功．【解】 如图，阴影部分的面积即F (x )所做的功．因为W ＝⎠⎛81836x2d x＝－36x －1⎪⎪⎪188＝(－36×18－1)－(－36×8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52.所以F (x )所做的功为52J.求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．1.一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选D.由变力做功公式，得到W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )|31＝14(J)．故应选D.2．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05k ＝100，所以k ＝2 000.所以F (x )＝2 000x . 所以使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪0.150＝22.5(J)．1．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－2 3 C.323D.353解析：选C.S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝53＋9＝323， 故应选C.2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J解析：选C.依题意F (x )做的功是W ＝⎠⎛510F (x )d x ＝⎠⎛510(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )⎪⎪⎪105＝825(J)．3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________．解析：由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为⎠⎛0103t d t ＋⎠⎛1060⎝ ⎛⎭⎪⎫－35t ＋36d t ＝32t 2⎪⎪⎪100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－310t 2＋36t ⎪⎪⎪6010 ＝150＋750＝900 m. 答案：900 m4．如图所示，曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标分别为(1，1)，(0，0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－3）－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝136. 答案：136[注意] 一般地，若以x 为积分变量，需要把图形分割求解时，则可考虑以y 为积分变量时，计算是否简便.[A 基础达标]1．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A.⎠⎛－11(x －x 3)d xB.⎠⎛－11(x 3－x )d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10(x －x 3)d x解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝x3求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3的交点分别为(－1，－1)，(1，1)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .2．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( )A.gt 23 B ．gt 20 C.gt 202D.gt 206解析：选C.由定积分的物理意义，得所走的路程为s ＝⎠⎛0t0gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 00＝12gt 20.3．如图所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是()A ．1B ．2 C.π2D ．π解析：选B.这个阴影区域的面积是S ＝－⎠⎜⎜⎛π23π2 cos x d x ＝2.4.如图中阴影部分的面积是( ) A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：选C.阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋1e －2.5．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712解析：选A.作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，所以F (x )＝50x ， 所以W ＝⎠⎛00.1250x d x ＝25x 2|0.120＝0.36(J)．答案：0.36 J7．如图，在边长为2的正方形ABC D 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与C D 围成的阴影部分的面积是________．解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， D (2，1)，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p ＝14，所以y ＝±x2，所以S ＝2⎠⎛2x2d x ＝2×23×x 32|20＝83.答案：838．如图，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则x 0＝________．解析：由题意得⎠⎛0x 0x 2d x ＝12×14×x 0，即13x 30＝18x 0，解得x 0＝64. 答案：649．求由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＞0，x ＋y －6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A ＝⎠⎛028xd x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝22×23x 32|20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －12x 2|62＝423×232＋(36－18)－(12－2)＝403.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＞0，x ＋y －6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6y －12y 2－124y 3|40＝24－8－124×43＝403.10．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设A 到C 的时间为t 1s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20.则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|20＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m. (2)设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则B D ＝⎠⎛020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.[B 能力提升]11．如图，求由曲线y ＝－x 2，4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积为( )A.23B.43C.38D.34解析：选B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎠⎛01[－x 24－（－x 2）]d x ＋⎠⎛12[－x 24－（－1）]d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛013x 24d x －⎠⎛12x 24d x ＋⎠⎛121d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34|10－x 312|21＋x |21＝43. 法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2⎠⎛－10(2－y －－y )d y＝2⎠⎛－1－y d y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23×(－y )32|0－1＝43.12．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)，图形面积S ＝⎠⎛2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33|2a ＋k 0＝（k ＋2a ）32－（k ＋2a ）33＝（k ＋2a ）36＝92a 3， 所以k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax . 答案：y ＝ax13．求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 与直线x ＝－3π4，x ＝5π4围成的图形的面积．解：如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π4上的图象，它们共有三个交点，分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－22.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4上，sin x >cos x ， 所以所求的面积S ＝⎠⎜⎜⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π45π4 (sin x －cos x )d x ＝2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝－2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪5π4π4＝42.14．(选做题)如图，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2，4)移动，记直线OP 与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为S 1，直线OP、直线x ＝2与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解：(1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)令S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83， S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0. 因为0<t <2， 所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0； 2<t <2时，S ′>0.所以当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．。
高中数学 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用学案
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)xb[f(x)－g(x)]d x.即曲＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间b v(t)d t.[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ab F(x)d x.移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]与x 轴围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .( )(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为(4－x 2)d x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难][探究问题]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？提示：能．可表示为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：x 轴正方向一致)．求：(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝ba ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt ，在区间[c ，b ]上vt ＜0，则s ＝⎠⎛ac v tt－⎠⎛cb vtt ，s ′＝⎠⎛ab v tt所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)．因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( ) 【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52 D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．945 A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52J.。
《1.7.1 定积分在几何中的应用》教学案3
《1.7.1 定积分在几何中的应用》教学案3【课时】：20【课型】：新授课【教学目标】会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积；理解定积分的几何意义.【教学重点】定积分的概念；微积分基本定理.【教学过程】例1 计算由曲线22,x y x y ==所围成图形的面积.S思考：求面积的基本步骤？例2 计算由直线,4-=x y 曲线x y 2=以及x 轴所围成图形的面积.S思考：本题其它解法如何？并比较这些方法.变式训练：计算由直线,4-=x y 曲线x y 22=以及x 轴所围成图形的面积.S例3 由定积分的性质和几何意义，说明下列式子的值：dx x x ⎰---102))1(1(练习：⎰--a a dx x a 22=【作业】1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（ ） 2ln .A 2lg .B 21.C 1.D 2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（ ）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S =（ ）⎰b a dx x f A )(. ⎰-ba dx x f B )(. []⎰-b a dx a x f C )(. []⎰-ba dxb x f D )(. 4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ）316.A 38.B 34.C 32.D 5、如图阴影部分的面积S = ⎰c a dx x f A )(. ⎰c a dx x f B )(. dx x f dx x f C c b b a ⎰⎰+)()(. ⎰⎰-b ac b dx x f dx x f D )()(. 6、如图阴影部分的面积S =7、dx x ⎰-2024=8、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ9、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy .（3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y （课本1674P 题）10、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.。
高中数学 1.71定积分在几何中的应用导学案新人教版选修2-2
1．71 定积分在几何中的应用【学习目标】初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 【重点难点】恰当选择积分变量和确定被积函数,用定积分解决平面图形的面积一、自主学习要点1 几种典型的平面图形面积的计算(1)如图①，f (x )>0，⎠⎛ab f(x)d x>0， 所以S ＝ ； (2)如图②，f(x)<0，⎠⎛a b f (x)d x<0，所以S ＝(3)如图③，a≤x≤c 时，f(x)<0，⎠⎛a c f(x)d x<0；当c≤x≤b 时，f(x)>0，⎠⎛cb f(x)d x>0， 所以S ＝ ；(4)由两条曲线f(x)和g(x)，直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成平面图形的面积S. ①如图甲所示，当f(x)>g(x)>0时，S ＝②如图乙所示，当f(x)>0，g(x)<0时，S ＝⎠⎛a b f(x)d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b d x ＝二、合作，探究，展示，点评题型一 利用定积分几何意义求图形面积例1 求在[0,2π]上，由x 轴与正弦曲线y ＝sin x 围成的图形的面积．思考题1 由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x| C .⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x题型二 不分割型图形面积的求解例2 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．题型三 分割型图形面积的求解例3 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．思考题3 求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．题型四变更积分元、化繁为简例4 计算由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4所围成图形的面积．三、知识小结1．求平面图形面积的一般步骤(1)画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形．(2)对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积分表示其面积．(3)计算各个定积分，求出所求的面积.当堂检测1．如果⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，那么⎠⎛12f(x)dx ＝________.2．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，0≤x≤1，2－x ，1<x≤2，则⎠⎛02f(x)d x 等于________．4．若⎠⎛eb 2x d x ＝6，则b ＝________.5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a ＝________.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用导学案(
湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用导学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用导学案（无答案）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
7。
1 定积分在几何中的应用【学习目标】1、体会定积分在解决几何问题中的作用.2、会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.重点:求由两条或多条曲线围成的图形的面积.【合作探究】探究一不分割型图形面积的求解求由抛物线24y x=-与直线2y x=-+所围成图形的面积.变式一：求曲线2,xy e y e-==及直线x=1所围成的图形的面积。
探究二分割型图形面积的求解计算由直线6y x=-,曲线8y x=以及x 轴所围图形的面积.变式二：求由曲线1xy=及直线,2y x y==所围成的平面图形的面积.探究三定积分的综合应用如图所示，直线y kx=将抛物线围成2y x x=-与x轴所的图形的面积分成相等的两部分,求k的值.变式三:求由曲线2y x=和直线20,1,,(0,1)x x y t t===∈所围成的图形（如图所示阴影部分）的面积S的最小值.【学习评价】●自我评价你完成本节导学案的情况为（）A. 很好 B。
较好C. 一般 D。
广东省佛山市高明区高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用学案(无答案)新人
1.7.1 定积分在几何中的应用【学习目标】1.理解定积分的概念与性质，掌握定积分的计算方法.2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积. 【重点难点】重点：用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.难点：如何用定积分来表示平面曲线围成图形的面积.【学法指导】用定积分的几何意义解决相关问题【学习过程】一．课前预习阅读课本1.7.1节，记下疑惑之处，讨论下列问题：1.复习(1).求曲边梯形的思想方法是什么？ (2)定积分的几何意义是什么？(3).微积分基本定理是什么？【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例1计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.点评:在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.用微积分基本定理求定积分。
跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．探究点二 分割型图形面积的求解问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2.计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S .x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．x点评:利用定积分求面积时要注意定积分与面积的关系，一般地：x 轴上方部分的面积等于定积分，x 轴下方部分的面积等于定积分的相反数。
【补充例题】3．已知函数x e x f =)(，（1）求函数的图象在点1=x 处的切线l 的方程；（2）求由曲线)(x f y =、直线l 、x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积.【当堂检测】1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0 d x ＋ʃb a d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．2 B ．3 C ．52D ．4 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为_______4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________5.由定积分的几何意义计算出dx x ⎰--1121的结果是（ ）A. 0 π..B 2.πC π2.D【课堂小结】 1.求平面图形面积的方法与步骤：(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
1.7.1 定积分在几何中的应用导学案
y f (x)
B
C
A
D
y g(x)
a
b
x
- 38 -
第19课时
y 2x
பைடு நூலகம்
以及 x 轴所围图形的面积 S .
1.7.1 定积分在几何中的应用
学习目标
1．进一步理解定积分的几何意义. 2．了解应用定积分解决几何问题的思想方法. 3．能应用定积分解决一些简单的几何问题.
学习过程
一、学前准备 复习：（课本 P66A14）计算下列定积分： （1） 1
3
方法1： ；
，
x a ， x b （ a b ）和 x 轴围成的曲线梯形的面
积 S 等于（ A． a f ( x )dx
b
） B． a f ( x)dx D． a [ f ( x ) b]dx ）
2
b b
C． a [ f ( x ) a ]dx
b
3 ． （ 课 本 P60B3 ） 求 由 曲 线 y x 2 2 与 直 线 y 3 x, x 0 , x 所围成平面图形的面积 2
例2．（课本P57例2）计算由直线 y x 4 ，曲线
◆反馈练习
新课标第一网系列资料
课后作业
1． （课本 P60A1）求曲线 y cos x, x , x 3 , y 0 所
2 2
1．（课本 P58 练习）求下列曲线所围成的图形的 面积：（1） y x 2 , y 2 x 3 ；（2） y e x , y e, x 0 .
2．将由 y cos x ， x 0 ， x ， y 0 所围成的 图形的面积写成定积分形式为（ A． 0 cos xdx C． 0 2 cos xdx
调研课学案定积分在几何中的应用
《1．7．1定积分在几何中的应用》教学案教学目标1、知识与技能目标让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理，初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法。
2、过程与方法目标探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
3、情感态度价值观通过探究式的体验，激发学生的求知欲以及他们学习数学的兴趣，培养学生严谨的科学思维习惯和方法。
教学重点与难点教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数教学过程一、导学1. （１）10xdx =⎰ （２）120x dx =⎰ （３）0=⎰2.积分⎰20sin πxdx 在几何上表示由 、 、 ，与x 轴所围成的曲边梯形的面积。
3.计算⎰-0sin πxdx = ，由曲线y=sinx, 直线x=-π、x=0以及x 轴所围成的曲边梯形的面积= 。
4.定积分的几何意义：设曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为S①当函数y=f(x)在区间（a,b ）上有f(x)≥0时，S= 。
②当函数y=f(x)在区间（a,b ）上有f(x)≤0时，S= 。
二、体验1.探究：试用定积分表示下面各平面图形的面积S 1= S 2= S 3= S 4= 2.试一试 如下图，阴影部分的面积是（ ）A ．32B ．329-C ．332 D ．3353.练一练 例1计算由两条抛物线x y =2和2xy =所围成的图形的面积.(1)(2)x(3) ()y f x =()y g x =(4)2x y =y xA BC D O例2 计算由曲线y=x 2直线y=x －4以及x 轴所围成图形的面积三、评价（展示实力的时候到了，要细心呦！）1．如右图，阴影部分面积为（ ）A ．[()()]ba f x g x -⎰d x B ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d x D ．[()()]ba g x f x +⎰d x2. （2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.14B. 15C. 16D. 17四、总结1求曲边图形面积的步骤是_______________________________________________。
2019-2020学年高中数学 1.7第20课时 定积分在几何中的应用教案 理 新人教A版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 1.7第20课时 定积分在几何中的应用教案理 新人教A 版选修2-2【课时】：20【课型】：新授课【教学目标】会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积；理解定积分的几何意义.【教学重点】定积分的概念；微积分基本定理.【教学过程】例1 计算由曲线22,x y x y ==所围成图形的面积.S思考：求面积的基本步骤？例2 计算由直线,4-=x y 曲线x y 2=以及x 轴所围成图形的面积.S思考：本题其它解法如何？并比较这些方法.变式训练：计算由直线,4-=x y 曲线x y 22=以及x 轴所围成图形的面积.S例3 由定积分的性质和几何意义，说明下列式子的值：dx x x ⎰---102))1(1(练习：⎰--aa dx x a 22=【作业】1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（ ） 2ln .A 2lg .B 21.C 1.D 2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（ ）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S =（ ）⎰b a dx x f A )(. ⎰-ba dx x f B )(. []⎰-b a dx a x f C )(. []⎰-ba dxb x f D )(. 4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ） 316.A 38.B 34.C 32.D 5、如图阴影部分的面积S = ⎰c a dx x f A )(. ⎰c a dx x f B )(. dx x f dx x f C c b b a ⎰⎰+)()(. ⎰⎰-b ac b dx x f dx x f D )()(. 6、如图阴影部分的面积S =7、dx x ⎰-2024=8、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ9、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy .（3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y （课本1674P 题）10、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.。
《_定积分在几何中的应用》导学案
1.7.1 定积分在几何中的应用导学案班级 姓名一、 学习目标：1了解定积分的几何意义及微积分的基本定理2掌握利用定积分求曲边图形的面积二：学习重点与难点：（1）定积分的概念及几何意义（2）定积分的基本性质及运算的应用三、学习过程（一）课前预习1.定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是什么? 2. 如何求曲边图形的面积?（1）.当()f x 在[,]a b 上有正有负时，则|()|b a A f x dx =⎰ （2）平面图形是由两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x a b ∈及直线,x a x b ==所围成且 ()()f xg x >.其面积都可以用公式[()()]ba A f x g x dx =-⎰求之. （3）.当介于两条曲线1()y f x =，2()y g x =，[,]x ab ∈和两条直线,y a y b ==之间的平面图形的面积公式为：[()()]ba A f x g x dx =-⎰ （二）讲授新课.例1.求曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S变式1 : 计算由直线4y x =-，曲线 y 2 = 2x 与x 轴所围图形的面积S.小结 求平面图形的面积的一般步骤 ：例2：在曲线2y x =(0)x ≥上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求切点A 的坐标以及切线方程。
（三）当堂检测1、 若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b==所围成的平面区域的面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰ B ．[()()]b a g x f x dx -⎰C ．|()()|b a f x g x dx -⎰D ．|()()|ba f x g x dx -⎰ 2、 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是（ ） A ．2 B ．3 C ．52 D ．4 3．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．24.求椭圆 的面积，其中 a > 0，b > 0.5. 由抛物线342-+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的面积6. 抛物线bx ax y +=2在第一象限内与直线4=+y x 相切。
高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用教案 2数学教案
定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S . 因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图． 解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|4＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)， 其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.☆课堂提高☆1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A.f(x)dx B.f(x)dx C.f(x)dx+f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx【答案】D【解析】 因为在区间[a ，b]上f(x)<0，所以在区间[a ，b]上对应图形的面积为-f(x)dx ，所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.2.已知a =(cosx ，sinx)，b =(cosx ，-sinx)，f(x)=a ·b ，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( ) A.B.C.D.【答案】C由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x|4π-sin2x|34ππ=-+=.3．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623 【答案】 C【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1. 如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.4．直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积表示为( )A.sinxdxB.sinxdxC.2sinxdxD.2sinxdx【答案】D【解析】由于y=sinx，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.5．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．6．求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t∈(0，1)，所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′- 0 +S ↘极小值↗所以当t=时，S最小，且S min=.。
《定积分在几何中的应用》导学案1
1.7.1定积分在几何中的应用学习目标：1、 理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法2、 掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成的图形面积。
自主学习过程： 一、复习与思考：1、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？2、定积分的概念、几何意义是什么？微积分基本定理的内容是什么？ 二、学习探究：探究：利用定积分求平面图形的面积问题：观察下列几种平面图形，它们的面积和定积分有什么关系？由此，你能得到求平面图形面积的一般方法吗？新知1：几种典型的平面图形的面积的计算（1）由曲线)(x f y =和直线x =a ，x =b (a <b )及0=y 围成的平面图形的面积S 。
①如图1所示，0)(>x f ，⎰>b adx x f 0)(，S=⎰ba dx x f )(； ②如图2所示，0)(<x f ，⎰<b adx x f 0)(，S=|⎰b a dx x f )(|= –⎰ba dx x f )(；图1图2图3图4图5③如图3所示，当a ≤x ≤c 时，)(x f ≤0，⎰<ba dx x f 0)(，当c <x ≤b 时，)(x f ≥0，⎰>ba dx x f 0)(，S=|⎰c adx x f )(|+⎰b c dx x f )(= –⎰ca dx x f )(+⎰bc dx x f )(； （2）由两条曲线)(x f 与)(x g ，直线x =a ，x =b (a <b )围成的平面图形的面积S 。
①如图4所示，当)(x f >)(x g >0时，⎰-=badx x g x f S )]()([； ②如图5所示，当)(x f >0，)(x g >0时，S=⎰b adx x f )(+|⎰b a dx x g )(|=⎰-ba dx x g x f )]()([。
新知2：利用定积分求曲线所围成平面图形的面积的步骤： （1）根据题意画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意被积函数上下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。
2019年高中数学 1.7.1定积分在几何中的应用教案 新人教A版选修2-2
1.7.1定积分在几何中的应用
教学建议
1.教材分析
本节通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形的面积问题.本节的重点是利用定积分解决平面图形的面积,难点是将实际问题转化为定积分的问题.
2.主要问题及教学建议
用定积分求平面图形的面积.建议教师在教学中应特别注意定积分的几何意义,借助图形直观地把平面图形进行适当的分割,从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形的面积问题.要结合例题归纳总结解题步骤.
备选习题
1.
如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是.
解析:因为S阴影=sin x d x=-cos x=-co s π+cos 0=2,又S矩形=2π,
所以所投的点落在阴影部分的概率是P=.
答案:
2.过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为a3,求直线l的方程.
解:易知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx,则与y=x2-2ax联立可得x=0或x=2a+k.
(1)若2a+k≥0,则S=(kx-x2+2ax)d x=a3,∴k=a.
∴l的方程为y=ax.
(2)若2a+k<0,则S=[(k+2a)x-x2]d x=-a3.∴k=-5a.∴l的方程为y=-5ax.
综上,知直线l的方程为y=ax或y=-5ax.。
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2019-2020学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用导学案新人教A版选
修2-2
[学习要求]
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
[学法指导]
本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.
1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.
2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积
S＝__________.
3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线
y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝_____________.(如图)
探究点一求不分割型图形的面积
问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
探究点二分割型图形面积的求解
问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.
跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13
x 所围成图形的面积．
探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112
，试求： 切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．
跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为
面积
相等的两部分，求k 的值．
[达标检测]
1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有(
)
S ＝ʃa b [f(x)－g(x)]dx S ＝ʃ80 (22x －2x ＋8)dx S ＝ʃ41f(x)dx －ʃ74f(x)dx ① ② ③
④
A ．①③ B．②③ C．①④ D．③④
[]+-=⎰x x f x g S a d )()(0
[]x
x g x f b
a d )()(⎰-
2．曲线y ＝cos x(0≤x≤32
π)与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．2
B ．3 C. 52 D ．4
3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________．
4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．。