隐函数与参数式函数的求导

第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 一、隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
函数 y f (x) 刻画了变量 y 与 x 的对应关系.
这种对应关系可以有多种表示方式. 常见的表示方式为
y sin x, y ln(x x2 a2 ), .....
上述函数称为显式函数.
此外, y 与 x 的对应关系还可以通过方程 F(x, y) 0 来
dx 解 y y(x) 是方程 ey ex xy 0 确定的隐函数
ey(x) ex xy(x) 0.
上述方程两边关于x求导，得
ey(x) ex xy(x) 0.
ey(x) y(x) ex y(x) xy(x) 0.
(ey(x)
x) y(x)
ex
y(x)
y( x)
y0
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
2 y |x1 cos 0 ( y |x1 )2 sin 0 y |x1 0 y |x1 2.
y0
y0
y0
y0 9
二、对数求导法
方法：先对函数两边取对数,利用对数性质化简,然后 应用隐函数求导的方法求得导数. 回顾对数性质：
loga (MN ) loga M loga N ;
loga
M N
loga M
loga
N;
loga M p p loga M ;
对数恒等式 loga ax x, aloga x x.
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例5 求函数 y (x 1) 3 x 1 的导数. (x 4)2 ex
解 等式两边取对数,化简
ln y ln (x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
体现.
例如,方程: x3 y3 1可以确定函数 y 3 1 x3 . 方程: ey ex xy 0 也确定了一种函数对应关系. 1
定义 对于 x, y 的二元方程 F(x, y) 0 ,若存在函数
y y(x) 使得 F(x, y(x)) 0 ,则称 y y(x) 是由方程 F(x, y) 0 所确定的隐函数. 例如：函数 y 3 1 x3 就是由方程 x3 y3 1 确定的 隐函数. 因为 x3 ( 3 1 x3 )3 1 0.
2， 6
所以所求切线方程为：
y 4 2 2 (x 1) ， 即 x 3 2 y 9 0 . 36
7
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
解
由例2得， dy 2x , dx 1 sin y
dy dx
x1 2.
ln[(x 1) 3 x 1] ln[(x 4)2 ex ]
ln(x 1) ln 3 x 1 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1)3 ln(x 4)2 ln ex
1
ln(x 1) ln(x 1) 2 ln(x 4) x
3
11
说明：严格来讲,取对数时应取绝对值,如 ln x2 2 ln | x | ,
方程：ey ex xy 0.
问题: 如何求隐函数的导数？ （这里假设隐函数存在且可导，至于隐函数存在且 可导所需的条件，下学期学习.）
情形1: 隐函数可以显化, 显化后求导即可.
情形2: 隐函数无法显化, 应用隐函数求导法则求导.
3
例1 设 y y(x) 是由方程 ey ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
y0
ex y(x) ey(x) x .
4
例1 设 y y(x) 是由方程 eபைடு நூலகம் ex xy 0 所确定的 隐函数,求 dy .
dx
解 上述过程亦可如下表述：
方程两边关于x求导，注意y是x的函数
ey ex xy 0.
ey y ex y xy 0.
(ey x) y ex y
注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的. 一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.
例如 方程 x2 y2 1在实数域内不存在隐函数.
2
部分隐函数可以显化，即从方程中解出 y(x) 的表达式.
显化
x3 y3 1 y 3 1 x3 .
但许多隐函数不易或者不能显化. 例如：
Kepler方程：y x sin y 0 (0 1).
y
ex ey
y x
.
5
隐函数求导法则
思想: 在方程 F(x, y) 0 中,将 y 视作 x 的函数,
应用复合函数求导法则直接对方程关于x进行求导 ，
从中解出 y 即可.
例2
求由方程 x2 y cos y 0确定的隐函数的导数 dy dx
x1 .
y0
解 方程两边关于x求导（注意y是x的函数)，得
ln
y
ln
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
2x y sin y y 0
解得
y 2x ， dy 1 sin y dx
x1 y0
2x 1 sin
y
x1 2.
y0
6
例3 求椭圆 x2 y2 1 在点 P(1, 4 2 ) 处的切线方程.
94
3
解 方程两边关于x求导，得
2x 2y y 0， y 4x ，
94
9y
k y P
但因为 (ln | x |) 1 / x ,故省略绝对值.
x 0 , (ln x) 1 ; x
x 0 , [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
所以 (ln | x | ) 1 . x
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例5 求函数 y (x 1) 3 x 1 的导数. (x 4)2 ex
解 等式两边取对数,化简得