对偶定理
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max -f=-Yb -YA -C Y 0 根据变换关系，得到上式的对偶问题是：
min(-f’)=-CX -AX -b X 0 又因： min(-f’)=maxf 得到 maxf =maxz= CX AX b
X 0
2 弱对偶性 若 是原问题的可行解， 是对偶 问题的可行解，则存在: C b
证明：设原问题是
同理 可证明 C = bC
所以 是最优解
5.对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且 目标函数值相等。
证明：设 是原问题的最优解，他对应的基矩阵B 必存在C-CBB-1A 0.即得到 A C，其中 = CBB-1。 若此时 是对偶问题的可行解，它使
因原问题的最优解是 ，使目标函数取值 由此，得到
maxz=CX AX b X 0 因为 是原问题的可行解，所以A b
若 是给定的一组值，设它是对偶问题的可行解，将 左乘上式，得到 A b
原问题的对偶问题是： min f=Yb YA C Y 0 因为 是对偶问题的可行解，所以 A C 若 右乘上式，得到： A C 得到C A b
3.无界性 若原问题（对偶问题）为无界解， 则其对偶问题（原问题）无可行解。
这里YS=(YS1,YS2)当求得原问题的一个解： XB=B-1b 其相应的检验数为CN-CBB-1N与- CBB-1 令Y=CBB-1,代入上式，得到
YS1=0 -YS2=CN-CBB-1N
例4
布置作业
P74 2.2 2.4 2.6
反之 不成立
当原问题无可行解时，其对偶问题或具有 无界解或者无可行解。
例：
4 .可行解是最优解时的性质 设 是原问 题的可行解， 是对偶问题的可行解，当
C = b 时，两个解是最优解。
证明：若C = b ，根据性质2，可知，对偶问 题的所有可行解 都存在 b C ，因为 C = b ,所以 b b .可见 是使目标 函数取值最小的可行解，因而是最优解。
第三章 对偶线性规划
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
第七讲
(2 学时)
2005-09-22
P57
§4.2 对偶问题的基本性质
1. 对称性 对偶Baidu Nhomakorabea题的对偶是原问题
证明：设原问题是 maxz=CX AX b X 0
根据对偶问题的对称变换关系，得到对偶问题是
min f=Yb YA C Y 0 若将上式两边取负，得到：
可见 是对偶问题的最优解。
6 互补松弛性
证明：
7. 设原问题是 它的对偶问题是 则原问题单纯表的检验数行对应其对偶问
题的一个基解，对应关系如下：
Ys1是对应原问题中基变量XB的剩余变量， Ys2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量
证明：设B是原问题的一个可行基，于是 A=(B,N)原问题可以改写成：
min(-f’)=-CX -AX -b X 0 又因： min(-f’)=maxf 得到 maxf =maxz= CX AX b
X 0
2 弱对偶性 若 是原问题的可行解， 是对偶 问题的可行解，则存在: C b
证明：设原问题是
同理 可证明 C = bC
所以 是最优解
5.对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且 目标函数值相等。
证明：设 是原问题的最优解，他对应的基矩阵B 必存在C-CBB-1A 0.即得到 A C，其中 = CBB-1。 若此时 是对偶问题的可行解，它使
因原问题的最优解是 ，使目标函数取值 由此，得到
maxz=CX AX b X 0 因为 是原问题的可行解，所以A b
若 是给定的一组值，设它是对偶问题的可行解，将 左乘上式，得到 A b
原问题的对偶问题是： min f=Yb YA C Y 0 因为 是对偶问题的可行解，所以 A C 若 右乘上式，得到： A C 得到C A b
3.无界性 若原问题（对偶问题）为无界解， 则其对偶问题（原问题）无可行解。
这里YS=(YS1,YS2)当求得原问题的一个解： XB=B-1b 其相应的检验数为CN-CBB-1N与- CBB-1 令Y=CBB-1,代入上式，得到
YS1=0 -YS2=CN-CBB-1N
例4
布置作业
P74 2.2 2.4 2.6
反之 不成立
当原问题无可行解时，其对偶问题或具有 无界解或者无可行解。
例：
4 .可行解是最优解时的性质 设 是原问 题的可行解， 是对偶问题的可行解，当
C = b 时，两个解是最优解。
证明：若C = b ，根据性质2，可知，对偶问 题的所有可行解 都存在 b C ，因为 C = b ,所以 b b .可见 是使目标 函数取值最小的可行解，因而是最优解。
第三章 对偶线性规划
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
第七讲
(2 学时)
2005-09-22
P57
§4.2 对偶问题的基本性质
1. 对称性 对偶Baidu Nhomakorabea题的对偶是原问题
证明：设原问题是 maxz=CX AX b X 0
根据对偶问题的对称变换关系，得到对偶问题是
min f=Yb YA C Y 0 若将上式两边取负，得到：
可见 是对偶问题的最优解。
6 互补松弛性
证明：
7. 设原问题是 它的对偶问题是 则原问题单纯表的检验数行对应其对偶问
题的一个基解，对应关系如下：
Ys1是对应原问题中基变量XB的剩余变量， Ys2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量
证明：设B是原问题的一个可行基，于是 A=(B,N)原问题可以改写成：