高中数学PPT 课件

(0 180)
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a |a|2或 |a|a a
（4）cos
|
ab a || b |
运算律
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
B
B
B
b
O
a B1A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
b
B1 O
aA
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
b
O(B1 ) a
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
平面向量的数量积及运算律
讨论总结性质： a ·b =|a | |b |cosθ
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
7．对任意向量 a 有 a2 |a|2
√
8. 0•a 0a ×
例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积；
（3） AC与BC 的数量积.
C
A
B
平面向量的数量积及运算律
1．a ·b= b ·a 交换律
2. (λ·a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b
（3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解 例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a ·b.
(1)130 5(2)a∥ b 3ab
a ·b =|a | |b |cosθ
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
120 60
A
通过平移 变成共起点！
B
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
|a||b|cos叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab |a|b ||co s
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a00． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．
平面向量的数量积及运算律
余洁
学与教的目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度， 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件
重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b =-| a | ·| b | ． 特别地 a a |a|2或 |a|a a
（4）cos
|
ab a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
问题
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？
W |F||s|cos
F
θ s
其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.
数量 F s cos 叫做力F 与位移s的数量积
向量的夹角
两个非零向量 a 和 b ，作O Aa,O Bb，
则 AO B(0 180) 叫做向量 a 和 b 的夹角． B
b
b
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是
同起点的
O
a
பைடு நூலகம்
A
a
B
a
Ob B
0
a 与b 同向
a
ABb O
A
180
a 与 b 反向
b
O
a
90 A
a 与 b 垂直，
记作 a b
例1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
×
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
×
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
×
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立×．
3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律
思考: 结合律成立吗: (a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
作 O A a， O B b，过点B作 BB1
θ s
垂直于直线OA，垂足为 B 1，则 OB1 | b | cosθ