多项式实数根

实系数多项式根的分布

实系数多项式的根的绝对值的上界

命题 设101()[]C n n n f x a x a x a x -=+++∈ ，其中00a ≠而1n ≥。令 12max{||,||,,||}n A a a a =

则对()f x 的任一实数根α，有0||1/||A a α<+。

证明 如果0A =，则0α=，命题成立。下面设0A >。

如果0||1/||A a α≥+，那么，因为()0f α=，故有

1101111||||||||||

(||1)(||1)/(||1) n n n n n n n a a a a a A A ----α=α++≤α++≤α++=α-α-

现在||1n α>，故从上式立刻得到

0||||/(||1)n n a A α<αα-

两边消去||n α，得0||1/||A a α<+，矛盾。

由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：00(1/||,1/||)A a A a --+。

类似地，也可以证明实系数多项式根 |x0| < (n+1)Cmax/C1，Cmax 为多项式系数绝对值的最大值。

假设|x0| >= (n+1)Cmax/C1，x0为根，所以有

$C_1*(x_0)^n + C_2*(x_0)^(n-1) +…+C_(n+1) = 0$

$C_1*(x_0)^n = -(C_2*(x_0)^(n-1) +…+C_(n+1) )$

$|C_1*(|x_0|)^n| = |(C_2*(x_0)^(n-1) +…+C_(n+1) )|$

$\leq |C_2|*(|x_0|)^(n-1) + ...+ |C_(n+1)|$ 由于|x0| >= (n+1)Cmax/C1 >1 $ \leq n*C_(max)* (|x_0|)^(n-1) < (n+1)* C_(max)* (|x_0|)^(n-1)$

即，$|C_1*(|x_0|)^n| < (n+1)* C_(max)* (|x_0|)^(n-1)$ 两边约去$(|x_0|)^(n-1)$, 得|x_0| < (n+1)* C_(max)/C_1，与假设矛盾。