高中数学：任意角弧度制三角函数概念

定义推广：
设角 是一个任意角， ( x, y) 是终边上的任意一点， P 点 P 与原点的距离 r
Px, y
x2 y2 0
﹒
y

O
y y 那么① r 叫做 的正弦，即 sin r x 的余弦，即 cos x ② r 叫做 r x y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x
0
6 4
3
2
2 3 5 3 4 6

3 2 2
注：今后我们用弧度制表示角的时候，“弧
度”二字或者“rad”通常省略不写，而只写 。 这个角所对应的弧度数。但如果以度（ ） 。 为 单位表示角时，度（ ）不能省略。
3.确定三角函数值在各象限的符号
y （+） + o x （ - ）（ - ）
1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
逆时针方向
顺时针方向 没有作任何旋转
k 360 , k Z

长度等于半径长的弧
（3）与角度制的互化
180 弧度

（4）弧长公式：
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17 a 17 15a 15
规律总结
1、终边相同角的表示：
k 360 , k Z

2、角度制与弧度制的互化：
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
夯实基础
1.思考探究： (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于 90°的角是锐角吗？
2.写出一些特殊角的弧度数
角 度 弧 度
0

30 45 60 90 120 135 150180 270 360
180 弧度

3、三角函数的定义：
y sin r x cos r y tan x 0 x
作业布置
必做题：课时作业（十五） 选做题：
1.α＝ ＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝ ”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2.“tanα＝1”是“α＝ B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ”的 ( )
解析：由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角 的终边相同. 答案：B
2.已知角α的终边经过点(
，－1)，则角α的最小正值是
(
)
解析：∵sinα＝ ∴α＝ 答案：B
＝
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，且α的终边在第四象限，
3.已知cosθ · tanθ＜0，那么角θ是
A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角
l
{
1 180 rad 180 1弧度=____ ) ( r


1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
对的弧长， 为圆心角的弧度数，
r 为圆半径．）
3.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
sin
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
基础自测
1.与610°角终边相同的角可表示为
(
)
A.k· 360°＋230°，k∈Z
C.k· 360°＋70°，k∈Z
B.k· 360°＋250°，k∈Z
D.k· 360°＋270°，k∈Z
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则 ＝ .
那么:（1）
y tan ，即 tan y ( x 0) （3） 叫做 的正切，记作 x x
y
y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x
；
；
﹒ Px, y

O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
所在象限。
2.若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角α 为多少弧度时, 这个扇形的面积最大?
解：由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R(0＜R＜10).
＝(10－R)· R＝－R2＋10R.
∴当且仅当R＝5时，S有最大值25.
此时 ∴当α＝2 rad时，扇形面积取最大值.
2、已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0， 3.
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a
2
2
17 a a 0
1 若a 0则r 17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
(
)
解析：∵cosθ· tanθ＝sinθ＜0，cosθ≠0. ∴θ为第三、四象限角. 答案：C
4.弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为
，面积
为
. ，
＝4，
解析：弧长l＝3π，圆心角α＝
由弧长公式l＝α· r得r＝ 面积S＝ 答案：4 6π ＝6π. ＝
能力提升
1.若 是第二象限角，试判断