上海高考数学理科真题含解析

2016年上海高考数学(理科）真题

一、解答题(本大题共有1４题,满分56分） 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为 【答案】(2,4)

【解析】131x -<-<，即24x <<,故解集为(2,4)

2. 设32i

i

z +=，其中i 为虚数单位,则Im z =

【答案】3-

【解析】i(32i)23i z =-+=-,故Im 3z =-

3. 1l ：210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为

25

【解析】221125

21

d +==+

４. 某次体检,6位同学的身高（单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是 （米) 【答案】1.76

5． 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -= 【答案】2log (1)x -

【解析】319a +=,故2a =,()12x f x =+

∴2log (1)x y =-

∴12()log (1)f x x -=-

6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3

, 则该正四棱柱的高等于 【答案】2【解析】32BD =12

223

DD BD =⋅

=

７. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为

【答案】π5π,66

x =

【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=

∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=

∴1

sin 2x =

∴π5π,66

x =

8． 在2n

x ⎫⎪⎭的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于

【答案】112

【解析】2256n =, 8n =

通项8843

3882()(2)r r

r r r r C x C x x

--⋅⋅-=-⋅

取2r =

常数项为228(2)112C -=

9． 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于

【解析】3,5,7a b c ===,2221

cos 22

a b c C ab +-=

=-

∴sin C =

∴2sin c R C ==

10. 设0,0a b >>,若关于,x y 的方程组1

1

ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是

【答案】(2,)+∞

【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>

11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大

值为 【答案】4

12. 在平面直角坐标系中,已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =,则BP BA ⋅的取值范围 是

【答案】[0,1+

【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+

π

cos [0,1sin 1)14

BP BA ααα⋅=++=+∈+

13． 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈,若对任意实数x 都有π

2sin(3)sin()3

x a bx c -=+,则满足条件的有序实数组

(,,)a b c 的组数为 【答案】4

【解析】（i)若2a =

若3b =,则5π3c =； 若3b =-,则4π

3

c =

()若2a =-，若3b =-,则π3c =；若3b =,则2π

3

c =

共4组

１4． 如图,在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ,任取不同的两点,i j A A ,点P 满足0i j OP OA OA ++=,则点P 落在第一象限的概率是

【答案】

528 【解析】2855

28C =

二、选择题（本大题共有4题,满分２０分)

15. 设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( ) ﻩA. 充分非必要条件 Ｂ． 必要非充分条件ﻩ C. 充要条件 ﻩD. 既非充分也非必要条件 【答案】Ａ

1６. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ﻩ B. 65sin ρθ=+ ﻩＣ. 65cos ρθ=-ﻩ D. 65sin ρθ=- 【答案】Ｄ

【解析】π

2

θ=-时,ρ达到最大

17． 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞

=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒

成立的是（ )

A. 10a >, 0.60.7q << ﻩ

B. 10a <， 0.70.6q -<<- ﻩC ． 10a >, 0.70.8q <<ﻩﻩﻩD. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B

【解析】1(1)

1n n a q S q -=-， 11a S q =-, 11q -<<

2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >,则12n

q >，不可能成立

若10a <，则12

n

q <，B 成立

18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +,()()f x h x +,()()g x h x +均为

增函数,则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数;②若()()f x g x +,()()f x h x +，

()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) Ａ． ①和②均为真命题 ﻩﻩﻩﻩＢ. ①和②均为假命题

ﻩC. ①为真命题,②为假命题 ﻩﻩＤ. ①为假命题，②为真命题 【答案】D

【解析】①不成立,可举反例

2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 0

3,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨

⎪⎩

, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++

()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++

前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式,可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D

三、解答题（本大题共有5题，满分７４分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要

的步骤． １9. (本题满分1２分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图，AC 长

为23π，11A B 长为3

π

,其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (１) 求三棱锥111C O A B -的体积

（2） 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小 【解析】(１) 连11O B ,则111113

AO A B B π

∠==

∴111O A B 为正三角形

∴111

3

O A B S

∴111111113

3C O A B O A B V OO S -=⋅=

(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥