八年级数学下册17_1变量与函数17_1_1变量与函数教案新版华东师大版
华师大版八年级下册数学教案：17.1 变量与函数
17.1 变量与函数课题变量与函数课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)认识变量、常量.(2)学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.2.过程与方法(1)经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点.(2)逐步感知变量间的关系.3.情感、态度与价值观(1)积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.(2)形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重难点重点:1.认识变量、常量.2.用式子表示变量间的关系.难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量.教学活动设计[来源:学。
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K]二次设计课堂导入情景问题:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.1.请同学们根据题意填写下表:t/小时12345s/千米2.在以上这个过程中,变化的量是,不变化的量是.3.试用含t的式子表示s.通过本节课的学习,相信大家一定能够解决这些问题.探索新知合作探究自学指导自学课本并思考课堂导入中的几个问题.自我总结:以上问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化,其中有些量是按照某种规律变化的,如上例中的时间t、里程s,有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60千米/小时.合作探究1.每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10 cm,每 1kg重物使弹簧伸长0.5 cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?设计意图:让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.续表探索新知合作探究探究结论:1.早场电影票房收入:150×10=1 500(元)日场电影票房收入:205×10=2 050(元)晚场电影票房收入:310×10=3 100(元)关系式:y=10x2.挂1 kg重物时弹簧长度:1×0.5+10=10.5(cm)挂2 kg重物时弹簧长度:2×0.5+10=11(cm)挂3 kg重物时弹簧长度:3×0.5+10=11.5(cm)关系式:L=0.5m+10通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量(variable),那么数值始终不变的量称之为常量(constant).教师指导1.归纳小结:常量与变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.2.方法规律:(1)变量和常量往往是相对的,相对于某个变化过程,比如s,v,t三者之间,在不同研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的.(2)常量、变量与字母的指数没有关系,如S=πr2中,不能说自变量是r2.当堂训练1.分别指出下列各式中的常量与变量.(1)圆的面积公式S=πr2;(2)正方形的周长l=4a;(3)大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x(kg)与金额y的关系为y=2.5x.2.写出下列问题的关系式,并指出常量和变量.(1)某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10 000元本金,按国家规定,取款时,应缴纳利息部分的20%的利息税,求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.(2)如图,每个图中是由若干盆花组成的图案,每条边(包括两个顶点)有(n+1)盆花,每个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式.板书设计常量与变量1.什么是常量2.什么是变量3.常量与变量的区分教学反思课题变量与函数课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.(2)进一步理解掌握确定函数关系式.(3)会确定自变量取值范围.2.过程与方法(1)经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力.(2)通过从图或表格中寻找两个变量间的关系,提高识图及读表能力,体会函数的不同表达方式.3.情感、态度与价值观(1)积极参与活动、提高学习兴趣.(2)形成合作交流意识及独立思考的习惯.教学重难点重点:1.进一步掌握确定函数关系的方法.2.确定自变量的取值范围.难点:认识函数、领会函数的意义.教学活动设计二次设计课堂导入如图,水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆,它的面积随着半径的变化而变化;随着半径的确定而确定.在上述例子中,每个变化过程中的两个变量,当其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化;当一个变量确定时,另一个变量也随着确定.你能举出一些类似的实例吗?从今天开始,我们就研究和此有关的问题——函数.探索新知合作探究自学指导问题:我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量,变量间存在什么联系.探究内容中两个问题都有两个变量.问题(1)中,经计算可以发现:每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150,则y=1 500;日场x=205,则y=2 050;晚场x=310,则y=3 100.问题(2)中,通过实验可以看出:每当重物质量m确定一个值时,弹簧长度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10 cm,每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm.当m=10时,则L=15,当m=20时,则L=20.其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.(1)如图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?探索新知合作探究(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?中国人口数统计表年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52我们通过观察不难发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量值为a时的函数值.从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.教师指导1.归纳小结:函数:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量值为a时的函数值.2.方法规律:对函数概念的理解,主要应该抓住以下三点:①有两个变量;②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化;③自变量每确定一个值,函数有一个并且只有一个值与之对应(但可以有多个自变量数值对应一个函数值).当堂训练1.下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.(1)改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.(2)某村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.2.一辆汽车油箱现有汽油50 L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系式;(2)指出自变量x的取值范围;(3)汽车行驶200 km时,油桶中还有多少汽油?板书设计变量与函数1.函数的概念2.函数自变量的取值范围3.函数值教学反思课题平面直角坐标系课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;认识并能画出平面直角坐标系;能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.2.过程与方法[来源:学科网ZXXK]通过画坐标系、由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识.3.情感、态度与价值观由平面直角坐标系的有关内容,以及由点找坐标,反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.教学重难点重点:1.理解平面直角坐标系的有关知识.2.在给定的平面直角坐标系中,会根据点的位置写出它的坐标.3.由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系,说明坐标轴上点的坐标有什么特点.难点:1.横(或纵)坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究.2.坐标轴上点的坐标有什么特点的总结.教学活动设计二次设计课堂导入同学们,你们喜欢旅游吗? 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?如图给出一张某市旅游景点的示意图,根据示意图,回答以下问题:(1)你是怎样确定各个景点位置的?(2)“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格?“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格?(3)如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看做一个单位长度,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?自学指导1.什么是数轴?2.平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分.学生看书,教师巡视,教师督促每一位学生认真、紧张地自学,鼓励学生质疑问难.探索新知合作探究合作探究1.组织学生探究平面直角坐标系的相关知识点.【例】写出图中的多边形ABCDEF各顶点的坐标.2.想一想在例题中,(1)点B与点C的纵坐标相同,线段BC的位置有什么特点?(2)线段CE位置有什么特点?(3)坐标轴上点的坐标有什么特点?教师指导归纳小结:(1)认识并能画出平面直角坐标系.(2)在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.(3)能适当建立直角坐标系,写出直角坐标系中有关点的坐标.(4)横(纵)坐标相同的点的直线平行于y轴,垂直于x轴;连接纵坐标相同的点的直线平行于x轴,垂直于y轴.(5)坐标轴上点的纵坐标为0;纵坐标轴上点的坐标为0.(6)各个象限内的点的坐标特征是:第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网]当堂训练1.D(2,-3)的横坐标是,纵坐标是,点D在第象限.2.如果点E的横坐标为0,那么点E在轴上.3.如果点F的纵坐标为0,那么点F在轴上.板书设计平面直角坐标系1.平面直角坐标系的定义2.横坐标、纵坐标3.象限教学反思。
华师大版八年级数学下册：第17章《单元复习(1)》教案
3、平面直角坐标系：①不同位置点的特征：x轴上的点_______坐标为零；y轴上的点_______坐标为零；第二象限的点，横坐标为____，纵坐标为_____；②对称点的坐标的特征：关于x轴对称的两个点的______相同，_______相反；关于原点对称的两个点的横坐标______，纵坐标______。③在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。
6、待定系数法：待定系数法求函数关系式的一般步骤有____________________。
7、反比例函数：反比例函数的一般形式是________，通常可以变形为_______或________；当k＞0时，函数的图象在第____、____象限,在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而_________。
4、农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前y与x之间的关系式
(3))降价后他按每千克 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是 元,试问他一共带了多少千克土豆?
例题分析
1、若每千克散装色拉油售价6.25元,则货款金额y(元)与购买数量x(千克) 之间的函数关系式为________,其中_______是自变量,_______是因变量.
2、函数y＝ 自变量的取值范围是________，y= 自变量的取值范围是_______；
17.1 变量与函数 华东师大版数学八年级下册素养提升练习(含解析)
第17章 函数及其图象单元大概念素养目标单元大概念素养目标对应新课标内容了解函数、变量、常量的意义,能确定实际问题中自变量的取值范围,会求函数值探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义……能对变量的变化情况进行初步讨论【P57】了解一次函数、正比例函数的意义,会用待定系数法求一次函数的表达式,会画一次函数的图象,能判断图象的分布情况结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式……理解正比例函数【P57】能应用一次函数的图象与性质解决问题体会一次函数与二元一次方程的关系.能用一次函数解决简单实际问题【P57】了解反比例函数的意义,掌握反比例函数的图象和性质结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式……能用反比例函数解决简单实际问题【P57、P58】17.1 变量与函数基础过关全练知识点1 变量与常量1.(2022广东湛江中考)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r 的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )A.2是变量B.π是变量C.r是变量D.C是常量2.【跨学科·物理】弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的关系如下表(弹簧的弹性范围x≤10):x(kg)0246810y(cm)1010.51111.51212.5下列说法不正确的是( )A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为10 cmC.所挂物体质量为5 kg时,弹簧长度增加了1.25 cmD.所挂物体质量为9 kg时,弹簧长度增加到11.25 cm知识点2 函数3.(2023河南洛阳中成外国语学校月考)下列选项中,表示y是x的函数的是( )A B C D4.【函数思想】(2022河北石家庄晋州期中)一个蓄水池现储水100 m3,有两个进水口和一个放水口.现关闭所有进水口,打开放水口匀速放水,水池中的水量和放水时间的关系如下表所示,则下列说法不正确的是( )放水时间(min)1234…水池中水量(m3)95908580…A.放水时间是自变量,水池中的水量是放水时间的函数B.放水口每分钟放水5 m3C.放水20 min后,水池中的水全部放完D.放水8 min后,水池中还有40 m3的水5.【教材变式·P31T3(1)】圆的面积S与周长C之间的函数关系式为S= .6.【新独家原创】用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案用了9根木棍,第②个图案用了14根木棍,第③个图案用了19根木棍,第④个图案用了24根木棍,……,按此规律排列下去,若第●n个图案用的木棍根数是y,则y与n之间的函数关系式为 .知识点3 函数自变量的取值范围7.若等腰三角形的周长为50 cm,底边长为x cm,一腰长为y cm,则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是( )A.y=50-x(0<x<50)B.y=50-2x(0<x<25)(50-2x)(0<x<50)C.y=12D.y=1(50-x)(0<x<25)28.(2023吉林长春新解放学校月考)在函数y=3中,自变量x的取值范围是 .4x-39.【易错题】如图,某农户准备围成一个长方形养鸡场,养鸡场一边靠墙AB(AB=18米),另三边利用现有的36米长的篱笆围成,现要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门,且篱笆没有剩余.(1)设边CD=x米,写出该长方形的面积S(平方米)与该边长x(米)之间的函数关系式;(2)求出x的取值范围.知识点4 函数值,当x=2时,y= .10.对于函数y=6xx+311.【新素材】(2023广东清远英德期中)在地球某地,地表以下岩层的温度y(℃)与所处深度x(km)之间的关系可以近似地用表达式y=35x+20来表示,当x的值为2时,对应的y值是 .12.【新独家原创】下图是一组有规律的图案,每个图案均由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,……(1)设第n个图案中有S个白色圆片,试写出S和n之间的函数关系式;(2)第100个图案中有多少个白色圆片?(3)是否存在一个图案,其中含有121个白色圆片?若存在,请求出是第几个图案;若不存在,请说明理由.能力提升全练13.(2023河北石家庄期中,2,★☆☆)某学校用100元买乒乓球,所购买的球的个数w,其中( )与单价n(元)之间的关系是w=100nA.100是常量,w,n是变量B.100,w是常量,n是变量C.100,n是常量,w是变量D.无法确定哪个是常量,哪个是变量14.(2023辽宁沈阳和平期末,6,★☆☆)小明一家自驾到离家500 km的某景点旅游,出发前将油箱加满油.下表记录了行驶路程x(km)与油箱余油量y(L)的部分数据:行驶路程x(km)050100150200…油箱余油量y(L)4541373329…下列说法不正确的是( )A.该车的油箱容量为45 LB.该车每行驶100 km耗油8 LC.油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45-8xD.当小明一家到达景点时,油箱中剩余5 L油15.【跨学科·物理】(2023广东中考,13,★☆☆)某蓄电池的电压为48 V,电流I(单位:A).当R=12 Ω时,I的值为 A.与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为I=48R16.【新考向·代数推理】(2021四川达州中考,12,★★☆)下图是一个运算程序示意图,若开始输入x的值为3,则输出y的值为 .17.(2023河南平顶山汝州期末,17,★★☆)由于惯性的作用,行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某品牌小型载客汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对该品牌该型号的汽车进行了测试,测得的数据如下表:刹车时车速010********…v(km/h)刹车距离s(m)0 2.557.51012.5…请回答下列问题:(1)在这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;(2)当刹车时车速为60 km/h时,刹车距离是 m;(3)根据上表反映的规律写出该品牌该型号汽车s与v之间的关系式: ;(4)该品牌该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为32 m,推测刹车时车速是多少,并说明事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶.(相关法规规定:高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120 km.)素养探究全练18.【模型观念】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C移动到点C时停止,设移动的时间为x秒,△APC的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.答案全解全析1.C 根据变量、常量的定义判断,r 是变量.2.D A.x 与y 都是变量,且x 是自变量,y 是因变量,故A 正确,不符合题意;B.弹簧不挂重物时的长度为10 cm,故B 正确,不符合题意;C.所挂物体质量为5 kg 时,弹簧长度增加了1.25 cm,故C 正确,不符合题意;D.所挂物体质量为9 kg 时,弹簧长度增加到12.25 cm,故D 错误,符合题意.故选D.3.C 选项C,图象描述了对于自变量x 取值范围内的每一个值,都有唯一的y 值与之对应,而选项A 、B 、D 中有一个x 值对应2个y 值的情况,故选项A 、B 、D 不符合题意,选项C 符合题意,故选C.4.D 设水池中水量为y m 3,放水时间为t min,则可得y=100-5t.A.放水时间是自变量,水池中的水量是放水时间的函数,故此选项正确,不符合题意;B.放水口每分钟放水95―902―1=5(m 3),故此选项正确,不符合题意;C.当t=20时,y=100-5×20=0,故放水20 min后,水池中的水全部放完,故此选项正确,不符合题意;D.当t=8时,y=100-5×8=60,故放水8 min 后,水池中还有60 m 3的水,故此选项错误,符合题意.故选D.5.答案 C 24π解析 设圆的半径是r,由2πr=C 可得r=C2π,所以S=π·r 2=π·C 24π2=C 24π.6.答案 y=5n+4解析 由题图可得,图案①有4+5=9根木棍;图案②有4+5×2=14根木棍;图案③有4+5×3=19根木棍;……依次类推,第n 个图案有(4+5n)根木棍,∴y=5n+4.7.D 依题意得y=12(50-x).∵x>0,50-x>0,且x<2y,即x<2×12(50-x),∴0<x<25.故选D.8.答案 x≠34解析 ∵4x-3≠0,∴自变量x 的取值范围是x≠34.9.解析 求x 的取值范围时,易忽略AB 的长导致解题错误.(1)∵CD=x 米,∴CF=(36+2-2x)=(38-2x)米,∴S=x(38-2x)=-2x 2+38x.(2)由题意得38―2x ≤18,38―2x >2,解得10≤x<18.∴x 的取值范围是10≤x<18.10.答案 125解析 将x=2代入得y=6×22+3=125.11.答案 90解析 当x=2时,y=35×2+20=90.12.解析 (1)第1个图案中有2×2=4个白色圆片;第2个图案中有2×3=6个白色圆片;第3个图案中有2×4=8个白色圆片;……第n 个图案中有2(n+1)个白色圆片.故S=2(n+1)=2n+2.(2)当n=100时,S=2×100+2=202.所以第100个图案中有202个白色圆片.(3)不存在,理由:当S=121时,2n+2=121,解得n=59.5,而n 是正整数,故n=59.5不符合题意,故不存在含有121个白色圆片的图案.能力提升全练13.A 由题意可知100是常量,w,n 是变量.故选A.14.C 当x=0时y=45,该车的油箱容量为45 L,选项A 正确,不符合题意;由表格数据可得该车每行驶100 km 耗油8 L,选项B 正确,不符合题意;由表格数据可得油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45-0.08x,选项C 错误,符合题意;45-0.08×500=5(L),即当小明一家到达景点时,油箱中剩余5 L 油,选项D 正确,不符合题意.故选C.15.答案 4解析 当R=12 Ω时,I=4812=4 A.16.答案 2解析 ∵3<4,∴把x=3代入y=|x|-1,得y=3-1=2.17.解析 (1)刹车时车速;刹车距离.(2)15.(3)由表格可知,刹车时车速每增加10 km/h,刹车距离增加2.5 m,∴s 与v 之间的关系式为s=0.25v(0≤v≤140).(4)当s=32时,32=0.25v,解得v=128,∵128>120,∴汽车超速行驶.答:刹车时车速是128 km/h,事故发生时,汽车是超速行驶.素养探究全练18.解析 在Rt △ABC 中,AC=3,BC=4,由勾股定理得AB=32+42=5,如图,过C 作CD ⊥AB 于D,由三角形的面积公式,可知12AB·CD=12AC·BC,即12×5CD=12×3×4,解得CD=125.点P 的移动有两种情况:(1)当点P 在AB 上移动时,AP=2x,所以y=12AP·CD=12·2x·125=125x,自变量x 的取值范围是0<x≤52;(2)当点P 在BC 上移动时,如图,PB=2x-5,则PC=BC-PB=4-(2x-5)=9-2x,所以y=12AC·CP=12×3×(9-2x)=272-3x,自变量x 的取值范围是52<x<92.综上所述,y 与x 之间的函数关系式为x 0<x ≤-3<x。
《17.1变量与函数(1)》教学设计
17.1《变量与函数》教学设计（打磨后教案）惠安县小岞中学庄文河指导老师：康荣彬一、教学目标1．知识技能目标（1）掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；（2）了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图像法，并会用解析法表示数量关系．2．过程性目标（1）通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；（2）引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．二、教学过程（一）创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．问题1 如图是某地一天内的气温变化图．看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？（公开课打磨后添加）解：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；（2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．（公开课打磨后添加）从图中我们可以看到，随着时间t （时）的变化，相应地气温T （℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？（二）探究归纳问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x 的增长，相应的年利率y 是如何变化的．解：随着存期x 的增长，相应的年利率y 也随着增长．问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m ）和千赫兹（kHz ）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：（1）波长l 和频率f 数值之间有什么关系?（2）波长l 越大，频率f 就________．解：（1） l 与 f 的乘积是一个定值，即lf ＝300 000，或者说l300000 f ． （2）波长l 越大，频率f 就 越小．问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系：S ＝_________．利用这个关系式，试求出半径为1 cm 、1．5 cm 、2 cm 、2．6 cm 、3．2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．解：S ＝πr 2．圆的半径越大，它的面积就越大．（公开课打磨后添加）在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ，气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable ）．上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关（公开课打磨后添加） 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量（independent variable ），y 是因变量（dependent variable ），此时也称y 是x 的函数（function ）．表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法，如问题3中的l300000f ，问题4中的S ＝π r 2，这些表达式称为函数的关系式．（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表．（3）图像法，如问题1中的气温曲线．问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant ），如问题3中的300 000，问题4中的π等．（三）实践应用例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高．（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?（2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?（3）上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?解：（1）平均身高是146.1cm；（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：（1）圆的周长C与半径r的关系式；（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；（3）n边形的内角和S与边数n的关系式．解：（1）C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；（2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；（3）S＝（n－2）×180，2、180是常量，n、S是变量．（四）交流反思（公开课打磨后添加）1．函数概念包含：（1）两个变量；（2）两个变量之间的对应关系．2．在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．3．函数关系三种表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法．（五）检测反馈1．举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．2．分别指出下列各关系式中的变量与常量：（1）三角形的一边长5cm ，它的面积S （cm 2）与这边上的高h （cm ）的关系式是h S 25 ； （2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90－α ；（3）若某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y （元）与x 间的关系是：y ＝ax ．3．写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：（1）每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y （元）与学生数n （个）的关系；（2）计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n （个）与单价a （元）的关系．4．填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x 表示涂黑的格子横向的乘数，y 表示纵向的乘数，试写出y 关于x 的函数关系式．。
华师版八年级数学下册17.1 第1课时 变量与函数的概念及其表示方法教案与反思
17．1 变量与函数随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》车前学校陈道锋第1课时变量与函数的概念及其表示方法1．了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；初步理解函数的概念，了解自变量与函数的意义；(重点)2．通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力；3．引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．(难点)一、情境导入在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图．从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？二、合作探究探究点一：变量与常量写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：(1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t；(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式s＝40t.解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．解：(1)常量：6，变量：n，t；(2)常量：40，变量：s，t.方法总结：确定在该过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称之为常量．探究点二：函数的相关概念【类型一】识别函数下列关系式中，哪些y是x的函数，哪些不是？(1)y＝x；(2)y＝x2＋z；(3)y2＝x.解析：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．解：(1)此关系式只有两个变量，且每一个x值对应唯一的一个y值，故y 是x的函数；(2)此关系式中有三个变量，因此y不是x的函数；(3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值，如当x＝4时，y＝±2，故y不是x的函数.方法总结：由函数的定义可知在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于每一个确定的x值，y值有且只有一个值与之对应.当x值取不同的值时，y的值可以相等，也可以不相等，但如果一个x的值对应着两个不的y值，那么y一定不是x的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．【类型二】判断函数关系判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是( ) A．x，y是变量，y2＝4x2B．某人的数学成绩和物理成绩C．三角形的底边长与面积D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间解析：选项中根据x（或y）每取一个值，y（或x）有两个值与其对应，故不存在函数关系，故此选项错误；选项B中数学成绩与物理成并无对应关系，故此选项错误；选项C中高不能确定，共有三个变量，故不存在函数关系，故此选项错误；选项D中速度一定的汽车所行驶的路程与时间，存在函数关系，故此选项正确．故选D.方法总结：判断函数关系时，应先看问题中是否仅有两个变量，再看一个变量是否随着另一个变的变化而变化，最后看定一个自变量的值，因变量的值是否有唯一的值与它对应．【类型三】确定实际问题中函数关系式以及自变量下列问题中哪些量是自变量？哪些量是因变量？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体积公式列出函数关系式．解：(1)y＝10＋0.5x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是因变量；(2)V＝30a2(a>0)，其中a是自变量，V是因变量．方法总结：函数关系式中，通常等式右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示因变量．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式变量和函数是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明．函数的概念是学好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知水平，使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来．【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
初中数学《变量与函数》教案
初中数学《变量与函数》教案一、教学目标1. 让学生理解变量的概念，能够识别常量和变量。
2. 让学生掌握函数的定义，能够判断两个变量之间的函数关系。
3. 培养学生运用函数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 常量与变量的概念。
2. 函数的定义及其相关性质。
3. 函数关系的判断。
三、教学重点与难点1. 教学重点：常量与变量的概念，函数的定义及其性质。
2. 教学难点：函数关系的判断。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究常量与变量、函数的关系。
2. 利用实例分析，让学生直观理解函数的概念。
3. 运用小组合作学习，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中常见的变化现象，引导学生认识常量和变量。
2. 自主学习：让学生通过教材自主学习常量与变量的概念，并尝试判断生活中的常量和变量。
3. 课堂讲解：讲解常量与变量的概念，并通过实例让学生理解函数的定义。
4. 课堂练习：设计相关练习题，让学生判断生活中的函数关系。
5. 拓展应用：让学生运用函数解决实际问题，如计算购物时的折扣等。
6. 总结反馈：对本节课的内容进行总结，收集学生反馈，为后续教学做好准备。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关常量、变量和函数的练习题，要求学生在课后进行自主复习和巩固。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答以及合作学习的表现，了解学生的学习情况。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如购物折扣、行程规划等。
七、教学拓展1. 介绍函数在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数、物理学中的速度与时间函数等。
2. 引导学生探究函数的图像，如直线、曲线等，并了解它们的特点和应用。
八、教学资源1. 教材：提供《变量与函数》的相关章节内容，供学生自主学习和参考。
2. 实例素材：收集生活中的实例，用于讲解和展示函数的应用。
3. 练习题库：准备不同难度的练习题，用于课堂练习和课后巩固。
第17章 函数及其图象
知识点 函数的表示方法
棱长为a的小正方体,按照如图所示的方法一直
摆放下去,自上而下分别叫第1层,第2层,…,第n(n>0)层,第n层的小正方体 的个数记为S,则第n个图中第n层小正方体的个数S可用下表来表示:
知识点 函数的表示方法
第1个图有1层,共1个小正方体; 第2个图有2层,第2层共有小正方体的个数为1+2=3; 第3个图有3层,第3层小正方体的个数为1+2+3=6,…, 以此类推,第n个图有n层,第n层小正方体的个数为S=1+2+3+4+…+n=
知识点 一次函数的性质
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左向右呈现上升趋势.
知识点 一次函数的性质
(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左向右呈现下降趋势.
知识点 一次函数的性质
由k,b的符号可以确定一次函数y=kx+b(k≠0)图象所经过的象限;反过来, 由一次函数y=kx+b(k≠0)图象所经过的象限也可以确定k,b的符号.
k
知识点 反比例函数y= x (k≠0)的图象和性质
双曲线教堂 伦敦著名的建筑事务所steynstudio,最近在南非,美丽的乡村庄园中完成 了一个惊艳世界的作品——双曲线建筑的教堂,建筑师通过双曲线的设 计元素赋予了这座教堂轻盈、极简和雕塑般的气质.
k
知识点 反比例函数y= x (k≠0)的图象和性质
知识点 平面直角坐标系内点的坐标特征
(2)平面直角坐标系中对称点的坐标特征:
知识点 函数的图象及其画法
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:兔子和乌龟同时起跑后,领先的兔子看着慢慢 爬行的乌龟骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙 追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……下面表示的是乌龟和兔子所行 的路程s与时间t的函数图象,你觉得这个图象与故事情节相吻合关概念
新华师版初中数学八年级下册【教学设计】函数
17.1.2 函数一．内容和内容解析【教学内容】《函数》是义务教育教科书华师大版八年级下册第十七章第一节第2课时，介绍函数的概念，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出函数概念，其中函数的概念是本节课核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用含x的式子表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”【学情分析】学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．认识“唯一确定、唯一对应”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．五、教学过程引言：其实，我们一直生活在一个充满变化的世界里，在我们身边到处都存在着在一个变化过程中一直变化着的量，要想更好地了解这个客观世界，就离不开研究这些量，今天我们就来研究两个量的关系，怎样由一个量来确定另一个量。
华师版八年级数学下册课件 第17章 函数及其图象 实践与探究 第1课时 一次函数与二元一次方程(组)
第十七章 函数数与二元一次方程(组)
1．下列图象中，以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图象是( )C
2．(2021·梧州)如图，在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝14 x＋12 与直线 l2：
y＝kx＋3 相交于点 A，则方程组y＝14x＋12，
x＝2 的解为____y_＝__1____.
y＝kx＋3
3．(呼和浩特中考)若以二元一次方程 x＋2y－b＝0 的解为坐标的点(x，y)
都在直线 y＝－12 x＋b－1 上，则常数 b＝( B )
A．12
B．2
C．－1
D．1
4．(巴中中考)已知二元一次方程组xx－ ＋y2＝y＝－－5，2 的解为xy＝＝1－，4， 则在同一平面直角坐标系中， 直线 l1：y＝x＋5 与直线 l2：y＝－12 x－1 的交点坐标为_(_－__4_，__1_)__．
7．(2021·云南)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售 人员的工资y1(单位：元)和y2(单位：元)与其当月鲜花销售量x(单位：千克)(x≥0)的函 数关系． (1)分别求y1，y2与x的函数表达式； (2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工 资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
解：(1)y1＝30x(x≥0)；y2＝10x＋800(x≥0) (2)当x＝70时，y1＝30×70＝2100＞2000；y2＝10×70＋800＝1500＜2000； ∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资
华东师大版数学八年级下册1.一次函数教案与反思
第17章函数及其图象原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！师者，所以传道，授业，解惑也。
韩愈17.3一次函数1.一次函数【知识与技能】1.理解一次函数和正比例函数的概念；2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．【过程与方法】探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力【情感态度】通过理解函数与变量之间的关系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维【教学重点】一次函数、正比例函数的概念及关系【教学难点】理解一次函数与正比例函数的联系和区别一、情境导入,初步认识1.作函数图象一般步骤是什么?2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．(1)y=2 (2)y=x＋2【教学说明】对上节课的知识进行复习，为本节课作准备.二、思考探究，获取新知探究：一次函数的概念问题1：小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是：s=570－95t．问题2：弹簧下端挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数.已知一根弹簧不挂重物时的长度是6厘米，在一定的弹性限度内，每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米，求这个函数解析式.解：y=0.3x+6以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?【归纳结论】上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y=kx＋b的形式，其中k、b是常数，k ≠0．特别地，当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0）也叫正比例函数，正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例.【教学说明】由两个实际问题所列出两个函数关系式，通过观，总结出一次函数的解析式.三、运用新知，深化理解1.下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？(1)面积为10cm2的三角形的底边边长a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．分析：确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx＋b(k≠0)或y=x(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．解:(1)a=20h，不是一次函数．(2)L=2b＋16，L是b的一次函数．(3)y=120－5x，y是x的一次函数．(4)s=40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．2.把直线y=32x＋1向上平移3个单位所得到的解析式为_______. 解：y=32x＋43.已知函数y=+1,求函数图像与坐标轴围成的三角形的面积？解：1 24.已函数y=(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．分析：根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．解：若y=(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1=0,即k= 。
华师版八年级数学下册17 第1课时 一次函数图象的画法及其平移教案与反思
2. 一次函数的图象第1课时 一次函数图象的画法及其平移1．会用两点法画出一次函数的图象；(重点)2．掌握一次函数图象平移的相关问题．(重点)一、情境导入做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．(1)y ＝12x ； (2)y ＝12x ＋2； (3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2.观察函数图象有什么特点？二、合作探究探究点一：一次函数的图象的画法在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象．(1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3；(3)y ＝－2x; (4)y ＝5x .解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1的图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1， －2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)．解：如图所示．方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可． 探究点二：一次函数图象的平移【类型一】判断一次函数图象的位置关系（1）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x+1；②y＝x﹣1；③y＝x﹣2．并判断出这三个函数图象之间的位置关系．（2）已知直线y1＝k1x+b1和直线y2＝k2x+b2，猜想：当k1，k2，b1，b2满足怎样的关系时，直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2相互平行（不用说理）．解析：（1）根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可；（2）观察（1）的结果，归纳总结即可.解：（1）函数y＝x+1经过点（0，1），（﹣1，0），函数y＝x﹣1经过点（0，﹣1），（1，0），函数y＝x﹣2经过点（0，﹣2），（2，0），它们的图象如图所示：观察发现，三个函数图象相互平行；（2）由（1）的图象知，当k1＝k2，b1≠b2时，直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2相互平行；方法总结:本题主要考查了两直线平行和相交的问题，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线．【类型二】一次函数图象的平移的应用在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是()A．将l1向右平移3个单位长度B．将l1向右平移6个单位长度C．将l1向上平移2个单位长度D．将l1向上平移4个单位长度解析：∵将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2＝－2x＋4，解得a＝－3，故将l1向右平移3个单位长度．故选A.方法总结：求直线平移后的关系式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．关系式变化的规律是：左加右减，上加下减．三、板书设计1．一次函数图象的画法2．一次函数图象的平移的应用本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状．二是两点法画一次函数的图象．三是探究一次函数的图象平移的规律．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨．为了达到上述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果．。
第2课时求自变量的取值范围与函数值课件华东师大版数学八年级下册(1)
（4）自变量取值范围为x≥3， 当x=3时， y x 3 3 3 0
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
自变量的取值范围
当函数解析式为分式时，其自变量的取值范围是分母不等于零的未知数的值. 当函数解析式为被开偶次方时，自变量的取值应使被开方式大于等于零. 当函数解析式为综合算式时，函数的取值范围应使函数的各个部分都有意义.
学习目标
概念剖析
典型例题
（一）函数自变量的取值范围
当堂检测
课堂总结
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的.在限制的范围内， 函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义. 我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
（3）将t=5,代入上式,得Q=-5×25+300=175m³， 即第5 h末，游泳池内还有175 m³水.
函数自变量的取值范围要使得函数解析式有意义，实际问题中还要符合实际.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，每分钟流出1kg，则油箱中剩余 油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 Q=-t+30 ，自变 量t的取值范围是0≤t≤30 .
故B正确.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
2.已知x与y的关系式为y=3x-2,当x=2时，对应的函数值为（ C ） A.6 B.2 C.4 D.3
分析：将x=2代入关系式有：y=3×2-2=6-2=4，故选C.
学习目标
概念剖析
八年级数学《一次函数 ( 1 )》教案
课后反思
中学“自导式”教学设计方案
课时累计:1 主备: 备课组长： 审阅:（ ）
时间
年 月 日
第 周 星期
年级学科
八年级数学
课题
19.1.1变量与函数
教学目标
（四维）
1.知识：理解常量、变量与函数的概念
2.技能：了解函数的概念，能在具体实例（解析式、表格、图像）中辨别变量之间的关系是否是函数关系，能举出函数的实例。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
2.某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元。此问题中的常量和变量分别为什么？
变量为t和w ;常量为0.2和30
教师和学生一起分析以下变化过程中变量之间的关系。
教材71问题（1）
在变化过程（1）中，存在两个变量s，t，s随着t的变化而变化。
追问：s是怎样随着t的变化而变化呢?能用数值加以说明吗？教师引导学生根据给定的t的一些值，计算s的对应值。
发现：当t的值取定后，s的值有一个并且只有一个。也就是说，当t取定一个值时，s的值由程（2）中，存在两个变量x,y,y随着x的变化而变化，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与之对应。
问题（3）
在变化过程（3）中，存在两个变量r，s,s随着r的变化而变化，当r取定一个值时，s有唯一确定的值与之对应。
问题（4）
在变化过程（4）中，存在两个变量x,y,y随着x的变化而变化，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与之对应。
教师引导学生归纳：
变化过程中有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应。举例
2.完成练习册P 自主学习的内容。
华东师大版八年级下册17.1 变量与函数(第1课时 函数的表示方法)
存期x 利率y() 三月 1.80 六月 2.25 一年 2.52 二年 3.06 三年 3.69 五年 4.14
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率 y是如何变化的． 在以上变化过程中存在着两个变量x和y,对于x每 取一个值, y都有唯一的值与之对应. 我们就说x是自变量, y是因变量.也称y是x的函数.
2 12.57
2.6 21.24
3.2 32.17
…
圆面积S(cm² ) 3.14
…
在以上变化过程中存在着两个变量r和S,对于r每取一个值, S都有唯一的值与之对应. 我们就说r是自变量, S是因变量.也称S是r的函数.
概括
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依 赖,密切相关.
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的 半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系： r² S＝____________ ． 利用这个关系式,试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积,并将结果填入下表:(≈3.14)
问题4
半径l(cm)
1
1.5 7.07
1.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C与半径r的关系式; (2)火车以90千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所 用时间t(时)的关系式; (3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
1.解: (1)C=2r, (2) s=90t,
是常量，r和C是变量.
90是常量，t和s是变量. 2和180是常量， n和S是变量.
华师大版八年级数学HS下册名师授课课件 第17章 函数及其图象 第17章 小结与复习
考点一 函数的有关概念及图象
例1 王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900 米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家 中．下面图形表示王大爷离家时间x（分）与离家距离 y（米）之间的关系是（ D ）
O
A
O
B
O
C
O
D
针对训练 1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ C ）
取值发生变化的量 叫变量， 取值固定不变的量 叫常量. 2.函数定义： 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对 于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数 的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐 标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
特别地，当b＝__0__时，一次函数y 正比例函数 ＝k x＋b变为y＝ __k_x__(k为常数，
k≠0)，这时y叫做x的正比例函数.
y随x增大而 增大
y随x增大而
减小
字母系
函数 数取值
（ k>0 ）
图象
b>0 y＝
kx+b b=0
(k≠0)
b<0
经过的象限
函数 性质
第一、二、三象限 y随x 增大
（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写 出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法.
5.一次函数与方程 (1)一次函数与一元一次方程
求ax+b=0(a，b是
x为何值时，函数
常数，a≠0)的解．从“数”的角度看 y= ax+b的值为0？
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解．从“形”的角度看
17-1-1 变量与函数(1)-2020-2021学年八年级数学下册教材配套教学课件(华东师大版)
函数解析式是数学式子的自变量取值范围：
1.当函数解析式是只含有一个自变量的整式时，
自变量的取值范围是全体实数.
2.当函数解析式是分式时，
自变量的取值范围是使分母不为零的实数.
3.当函数解析式是二次根式时，
自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数.
例4 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕
地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，
y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y 不是x的函数.
时间t、
1．在以上这个过程中，变化的量是_______
速度60千米/时
路程s
_________．不变化的量是_____________．
60 t
2．试用含t的式子表示s．s=_______
s
t
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化
过程.
问题3：下面是收音机上一些波长与频率的对应的数值：
2
则S与r之间满足下列关系：S＝____________．
πr
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆
的面积，并将结果填入下表：
半径r（cm)
圆面积S（ cm2
1
）
1.5
2
2.6
3.2
…
2.25 4
6.76 10.24 …
湖南省耒阳市冠湘中学八年级华师大版数学下册课件：171变量与函数(1)(共31张PPT)
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究 这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
先看什么叫变量?
（1）你坐过 摩天轮吗？你 坐在摩天轮上 时,随着时间t的 变化,你离开地 面的高度h是如 何变化的？
h（米）
3
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
与单价 a（元）的关系式是 n 50 ，
其中变量是 a ，n ，常量是a 50
.
· 问题1：如图是某地一天内的气温变化图
·ห้องสมุดไป่ตู้
看图回答：
当时间t发生变化时,
(1)这天的6时、10时和14时的气温温分度别T为也多随少着？变任化意
给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系
式．
（2）试写出等腰三角形中顶角的度数 y与底角的度数x之间的函数关系式．
y 180 2x
y
x
等腰三角形两底角相等
在上面“试一试”中所出现的各个函 数中，自变量的取值有限制吗？如果 有，写出它的取值范围。
y 10 x (x取1到9的自然数)
y 180 2x (0 x 90 )
半径l(cm) 1 1.5 圆面积S(cm²) 3.14 7.07
2
2.6
12.56 21.23
3.2 …
32.15 …
圆的面积随着半径的增大而增大，
所以 r 和 S 是变量， 是常量。
柳暗花明
问题
变量 自变量 因变量
图 17.1.1
“气温变化问题”
波长 300 500 600 1000 1500
部编版八年级数学下册《变量与函数》说课稿
部编版八年级数学下册《变量与函数》说课稿一、教材分析1. 教材概述本课是部编版八年级数学下册中的《变量与函数》单元。
本单元主要介绍了变量、函数的概念和相关知识，培养学生运用函数概念解决实际问题的能力。
2. 教材内容本单元主要包括以下几个内容：•了解变量的概念和意义•掌握一元一次方程的解法•学习正比例函数的概念和性质•理解反比例函数的概念和性质•运用函数概念解决实际问题二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握变量的概念和使用方法•理解一元一次方程的解法•熟练运用正比例函数和反比例函数解决实际问题2. 过程与方法目标•培养学生的逻辑思维和分析问题的能力•注重培养学生的独立思考和解决问题的能力•通过趣味性的教学方法激发学生的学习兴趣3. 情感态度与价值观目标•培养学生的数学思维和创造力•培养学生的合作精神和团队意识•培养学生的实际应用能力，将数学与实际生活相结合三、教学重难点1. 教学重点•理解变量的概念和意义，能够运用变量解决问题•掌握一元一次方程的解法，能够解决实际问题•熟练运用正比例函数和反比例函数解决实际问题2. 教学难点•培养学生对函数概念的理解和运用能力•解决复杂问题时的思维逻辑和策略四、教学准备1. 教具准备•教科书《数学八年级下册》•板书工具：黑板、彩色粉笔2. 环境准备•教室要保持安静、整洁•确保黑板清晰可见，粉笔足够明显五、教学过程设计1. 导入新知识•激发学生学习兴趣，可以通过集体活动或趣味小游戏引入变量和函数的概念。
例如，通过猜谜语、找规律等方式让学生感受到变量和函数在日常生活中的应用。
2. 讲解与示范•在导入部分的基础上，向学生介绍变量和函数的概念，并通过示例讲解如何使用变量和函数解决问题。
可以使用具体的实例，让学生能够理解和接受相关概念。
3. 练习与巩固•设计一些练习题，并引导学生运用刚刚学到的知识进行解答。
通过个别辅导和小组合作，提高学生的解题能力和合作交流能力。
难度可以逐渐递增，从简单到复杂。
八年级数学下册《函数》教学设计
课题
20.2函数
课型
新授
执笔人
参与人
学生
姓名
班级
八年级
时间
审核人
教学
目标
1．理解解变量与常量的定义，能识别一个公式中或变化过程中的变量与常量
2．理解函数的概念并能判断给定的两个量是否成函数关系
重点
理解函数的 概念并能判断给定的两个量是否成函数关系
难点
理解函数的概念并能判断给定的两个量是否成函数关系
（二）小组合作探究
★探究1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该 场的票房收入是元；（ 2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是元；（3）若设一场售出x张电影票，票房收入为y元，则y=。
★探究2.行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行 驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：
2．一个梯形的上底4，下底9，写出面积S随高h变化的函数关系式，常量，变量，自变量是，
3．小张存有50元，从现在起每个月节存12元．设x个月后小张的存款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式，其中常量是，变量是，自变量是，是的函数。
4.一个三角形底边5，高h可伸缩，三角形面积也随之变化.（1）面积s随h变化的关系式s =，其中常量是，变量是 ，是自变量，是的函数；（2） 当h=3时，面积s=______，
t/时
1
2
3
4
……
S/千米
……
★探究3.温度变化问题：如图是南通冬季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答
（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，22时的气温是℃；（2）这一天中最高气温是℃，最低 气温是℃；
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变量与函数
如图18.1.1是所示某地一天内的气温变化图.
温度T(℃)
时间t(时)
看图回答:
(1)这一天的6时、10时和14时的气温分别为多少?
(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?
(3)这一天中,什么时段气温在逐渐上升?什么时段气温在逐渐降低?
生:首先独立思考,再小组交流、讨论,然后举手回答.
师:在这个变化过程中,任选时刻t的一个确定值,温度T•有几个值和这个时刻相对应?
师生共同归纳:在该图形(或图象)中,任取一个时刻t的一个确定值,温度T 都有唯一的一个值和该时刻t相对应.
互动2
师:利用幻灯片2演示问题2.
银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2006年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.
存期X 三月六月一年二年三年
年利率y(%) 1.80 2.25 2.52 3.06 3.69 观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
生:逐个举手回答,不断补充完善.
师:观察上述表格,在上述变化过程中,任取存期x的一个确定的值,年利率y有几个值和它对应?
生:讨论并回答问题.
明确师生共同归纳:从表格中可以看出,任取一个存期x的一个确定值,年利率y都有唯一的一个值和该存期x相对应.
互动3
师:利用幻灯片3演示问题3.
如图所示的收音机刻度盘的波长和频率分别是用米和千赫兹为单位表刻-的.下表是一些对应的数值.
┌───────┬──┬──┬───┬──┬───┐
│波长L(米) │300 │ 500│ 600 │000 │1500 │
├───────┼──┼──┼───┼──┼───┤
│频率f(千赫兹) │1000│ 600│ 500 │300 │ 200 │
└───────┴──┴──┴───┴──┴───┘
观察表格,你发现L与f之间存在怎样的规律?波长L越长,频率f将怎样变化?
生:举手回答问题.
师:观察表格,在上述变化过程中,任取波长L的一个确定值,频率f有几个值和它对应?
生:独立思考后,举手回答.
明确师生共同归纳:结论与问题1、2相同.
互动4
师:利用幻灯片4演示问题4,并播放“圆的面积与半径的关系”课件.
如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积,则S与r满足的关系是:S=_____.•利用这个关系式填写下表:
┌──────┬─┬──┬─┬──┬───┬──┐
│半径r(厘米) │ 1│ 1.5│ 2│ 2.6│ 3.2 │…│
├──────┼─┼──┼─┼──┼───┼──┤
│面积S(厘米2)│││││││
└──────┴─┴──┴─┴──┴───┴──┘
从表格中你发现:圆的半径越大,它的面积就_______.
生:完成上述空格,并和同桌交流结果.
师:在上述变化过程中,任取圆的半径r的一个确定值,其面积S•有几个值和它相对应?
生:思考交流后举手回答.
明确师生共同归纳:结论与问题1、2、3相同.
互动5
师:在问题1、2、3、4中,分别涉及几个可以取不同值的量(变量)?•把它们一一说出来.
生:讨论交流.
师:同学们能够把问题1、2、3、4•中反映变化过程的共同规律用自己的语。