勾股定理经典提高题

勾股定理经典提高题

1.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，则图中空白部分的面积是________．

勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．

请解答：

（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是______．

（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是______，请说明理由．

3学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．于是，他们很快算出了旗杆的高度，请你也来试一

试．

4.探究学习：探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高（如图1）．

（1）若等腰△ABC的面积为24 cm2，腰的长为8 cm，则腰AC上的高BD的长为______cm；（2）若BD=h，M是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h1、h2．

①若M在线段BC上，请你结合图2证明：h1+h2=h；

②当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的关系为______．（直接写出结论，不必证明）

5.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如

图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．

6.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的

面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S

1、S

2

、S

3

、S

4

，则S

1

+S

2

+S

3

+S

4

等于

7.如图，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数

8如图所示，有高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，那么地毯至少需要多少米？

9如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC 边的点F处，已知AB=DC=8cm，AD=BC=10cm，求EC的长．

10.如图，长方体的长BE=20cm，宽AB=10cm，高AD=15cm，点M在CH 上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？

11.柱子是圆柱体,它的周长是米,高米,如图是柱子的一个侧面,左上是彩带的起点,左下彩带的终点, 彩带绕圆柱四圈, 这根柱子最少需要多少米的彩带?...

12.如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、米米，A处有一只蚂蚁，它想吃到B处食物，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？并求出最短

13.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220

千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C

移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

14.如图2-4，一架长的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是，当梯子的顶部A向下滑到A′时，梯子的底部向外移动多少米？

15.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．

16.如图，南北向MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A

艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

17、（2013•包头）如图，点

E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、

BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE ′C= 度．

18（2013•湘西州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，

DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE 的长；

（2）求△ADB 的面积．

19（2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

N

N

N

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据____________，易证_______，得EF=BE+DF。

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系____时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。

20. 2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E 在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE 的长为______.

21.若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．