费马小定理及应用
费马小定理
费马小定理费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成这个书写方式更加常用。
（符号的应用请参见同余。
）证明若n不能整除a - b，x>0，(x,n)=1，则n也不能整除x(a-b)。
取整数集A为所有小于p的集（A构成p的完全剩余系,即A 中不存在两个数同余p），B是A中所有的元素乘以a组成的集合。
因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除，所以B 中的任何两个元素之差也不能被p整除。
因此即在这里W=1·2·3·...·(p-1)，且(W, p) = 1，因此将整个公式除以W即得到：广义费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果n和a的最大公约数是1，那么这里φ(n)是欧拉商数。
欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。
假如n是一个素数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
在费马小定理的基础上，费马提出了一种测试素数的算法；尽管它是错误。
神奇的费马小定理(1)——从实验、观察、发现到猜想和证明谢国芳（Roy Xie）Email: **************章节目录1. 费马的惊人断言——费马小定理的原始表述2. 我们的探索之旅——从实验、观察、发现到猜想和证明2.1 费马指数和最小费马指数2.2 “普通版费马小定理”和“加强版费马小定理”2.3 对最小费马指数更深入的探究3. 费马小定理的证明1.费马的惊人断言——费马小定理的原始表述十七世纪的法国律师、历史上最伟大的业余数学家、近代数论的先驱费马(Pierre de Fermat，1601～1665）在 1640 年10 月 18 日给他的朋友、数迷小团体成员之一弗莱尼科·德·贝西（Frénicle de Bessy, c. 1605～1675）的信中，写下了这样一段话（原文是法语）：« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances - 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné - 1 »[拙译]“任何一个质数总能除尽任何几何级数中的某一项减1，且该项的指数是这个给定的质数减1的因子。
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
费马小定理及应用
费马小定理及应用费马小定理是数论中一条非常重要的定理，它被广泛地应用于密码学、组合数学等领域。
本文将介绍费马小定理的概念、证明以及一些应用。
一、费马小定理的概念费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的。
它表述为：对于任意正整数a和素数p，若a不是p的倍数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
其中，≡表示同余关系，a^(p-1) (mod p) 表示a^(p-1)除以p的余数。
二、费马小定理的证明费马小定理的证明可以使用数学归纳法来完成。
首先，当p是素数且a是任意不是p的倍数的正整数时，显然有a^1 ≡ a (mod p)，即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)成立。
接下来，假设对于任意的正整数k (1 ≤ k ≤ n-1)，都有a^k ≡ 1 (mod p)成立，则需要证明a^n ≡ a (mod p)成立。
根据费马小定理的前提条件，我们知道a不是p的倍数，而p是素数，所以a与p互质。
由于a与p互质，根据欧拉定理可知a^ϕ(p) ≡ 1 (mod p)，其中ϕ表示欧拉函数，对于素数p，有ϕ(p) = p - 1。
所以我们可以得到a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
又因为n可以被p-1整除，即n = (p-1)*k (n为正整数，k为任意不小于1的正整数)，所以a^n = a^[(p-1)*k] = (a^(p-1))^k ≡ 1^k ≡ 1 (mod p)。
所以我们得到了a^n ≡ 1 (mod p)。
由于a^n ≡ 1 (mod p)和a^n ≡ a (mod p)同时成立，因此a ≡ 1 (mod p)。
综上所述，根据数学归纳法，费马小定理得证。
三、费马小定理的应用1. 模幂运算根据费马小定理，当p为素数且a不是p的倍数时，可以利用费马小定理简化模幂运算。
对于给定的a和n，可以先计算a^(n mod (p-1))，然后再对p取模，得到结果。
这样可以大大减少幂运算的时间复杂度。
费马小定理秒懂百科
费马小定理秒懂百科费马小定理是一项数论中的重要定理，它以法国数学家皮埃尔·德·费马的名字命名。
费马小定理可以简化计算，快速求解大数取模的问题，被广泛用于密码学、计算机科学和数学竞赛等领域。
本文将为您详细介绍费马小定理的定义、原理和应用。
一、费马小定理的定义费马小定理是在数论中，关于素数的一条重要定理。
设p是一个素数，a是任意整数，则有如下等式成立：a^p ≡ a (mod p)其中，a^p表示a的p次幂，mod p表示取模运算，即取a^p与p的商的余数。
二、费马小定理的原理费马小定理的原理基于数论中的模指数运算。
当p是素数时，对于任意整数a，a与p互质（即a和p没有公约数），那么a^p对p取模的结果必然等于a。
为了更好地理解费马小定理的原理，我们举一个例子：假设p是素数，a是一个整数，我们想要求解a^p对p取模的结果。
首先，我们可以使用二进制展开式将p转化为二进制形式，例如：p = b0 + 2 * b1 + 2^2 * b2 + ... + 2^n * bn其中，b0、b1、b2...bn是p的二进制表示中的0或1。
接下来，我们使用迭代的方法对a进行计算：a^p ≡ a^(b0 + 2 * b1 + 2^2 * b2 + ... + 2^n * bn) (mod p)根据指数运算的性质，上式可以转化为：a^p ≡ (a^b0) * (a^(2 * b1)) * (a^(2^2 * b2)) * ... * (a^(2^n * bn)) (mod p)我们观察上式可以发现，每个a的指数对应的系数（b0、b1、b2...bn）都是二进制表示中的位数，因此可以采用迭代的方式，从最低位开始计算，每一步将计算结果乘以自身再对p取模。
最终，我们能够得到a^p对p取模的结果。
三、费马小定理的应用费马小定理具有广泛的应用价值，特别是在计算和密码学领域。
以下是费马小定理的一些常见应用：1. 快速幂算法费马小定理可以用于快速计算大数的幂取模运算。
费马小定理讲解
费马小定理讲解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：费马小定理是数论中的一个重要定理，是法国数学家费马在17世纪提出的。
费马小定理在模运算中具有广泛的应用，可以帮助我们解决许多数论问题。
费马小定理的表述是：如果p是一个素数，a是一个整数且不是p 的倍数，那么a的p次方减去a都是p的倍数。
换句话说，如果a和p 互质，那么a的p次方与a在模p意义下是相等的。
这个定理的证明非常简单。
我们可以通过归纳法来证明费马小定理。
当p=2时，根据模2的性质，任何整数的二次方减去它本身都是2的倍数，即a^2 ≡ a (mod 2)。
接下来，我们假设费马小定理对于所有的素数p都成立。
现在，我们考虑一个素数q。
根据费马小定理的假设，对于任意整数a，a的q次方减去a都是q的倍数，即a^q ≡ a (mod q)。
我们将这个式子写成等价的形式：a * a^(q-1) ≡ a (mod q)。
费马小定理在密码学和密码破解中有着广泛的应用。
在RSA加密算法中，费马小定理可以帮助我们加快加密和解密的过程。
费马小定理也可以用来验证一个数是否为素数，从而用于因子分解等问题的解决。
费马小定理是数论中的一个重要定理，有着广泛的应用。
通过对费马小定理的理解和应用，我们可以更好地理解数论中的许多问题，并且可以应用它来解决实际的计算问题。
费马小定理的证明虽然简单，但背后蕴含着深刻的数论原理，对于数学爱好者来说，是一道很好的练习题目。
第二篇示例：费马小定理是由17世纪法国数学家皮埃尔·费马提出的一个关于素数理论的重要定理。
这个定理的证明虽然简单，却有着深远的应用。
在密码学、组合数学、计算机科学等领域中都有着重要的应用。
费马小定理的表述如下：如果p 是一个素数，而a 是一个整数，且a 不是p 的倍数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
a^(p-1) 表示a 的p-1 次方，mod p 表示取余运算。
费马小定理的证明可以通过数论的方法进行。
费马原理的应用例子
费马原理的应用例子1. 费马原理简介费马原理是由17世纪法国数学家费马提出的一条关于光的传播规律的基本原理。
该原理指出光在两点间传播时，会沿着路径所需时间最短的方向传播。
费马原理在光的传播、折射、反射等现象的解释和应用方面有重要作用。
以下是几个具体的应用例子。
2. 光的折射光在从一种介质到另一种介质传播时，会发生折射现象。
费马原理可以用来解释光的折射规律。
当光从一种介质进入另一种介质时，光线在两种介质的交界面上会发生折射，折射角和入射角之间遵循斯涅尔定律。
应用举例：水中的游泳池底部的边缘会出现一种“抬高”的幻觉。
这是因为光在水和空气之间折射的结果。
根据费马原理，光线会选择经过所需时间最短的路路径传播，所以我们看到的位置略高于实际位置。
3. 光的反射光在遇到光滑的表面时，会发生反射现象。
费马原理可以用来解释光的反射规律。
根据费马原理，光线在反射时会选择经过所需时间最短的路径。
光线的入射角等于反射角，根据这个原理可以推导出光的反射规律。
应用举例：我们常见的镜子就是利用光的反射原理制作的。
镜子表面光滑致使光线在入射时发生反射。
通过调整镜子的形状，我们可以改变反射光线的方向，实现镜面成像。
4. 光的路径优化费马原理可以应用于光的路径优化问题。
根据费马原理，光在传播过程中会选择所需时间最短的路径。
因此，当需要设计光学系统时，可以利用费马原理来优化光路径，使得光能够以最短的时间到达目标位置。
应用举例：激光切割机是一种利用激光束进行切割的设备。
设计激光切割机的时候，可以利用费马原理来优化激光束的路径，使得激光能够以最短的路径到达需要切割的位置，提高切割精度和效率。
5. 光学薄膜设计光学薄膜设计是利用光的干涉和反射原理来制备具有特定光学性质的薄膜材料。
费马原理是光学薄膜设计中的一个基本原理，可以用来优化光的传播过程，从而实现特定的光学效果。
应用举例：太阳能电池板上常用的反射膜就是利用光学薄膜设计制备的。
通过控制反射膜的厚度和折射率，可以达到减少反射和提高光吸收效率的目的。
费马小定理、
费马小定理、
摘要：
一、费马小定理的简介
二、费马小定理的数学表述
三、费马小定理的证明方法
四、费马小定理的应用领域
五、费马小定理的意义和影响
正文：
费马小定理是数论中的一个重要定理，它是由法国数学家皮埃尔·德·费马于17 世纪提出的。
这个定理在数学领域有着广泛的应用，是现代密码学的基础之一。
费马小定理的数学表述如下：对于任意整数a、n（其中n>1），如果a 与n 互质（即最大公约数为1），则a 的n-1 次方模n 等于1，即a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。
费马小定理的证明方法有很多种，其中最著名的是欧拉定理。
欧拉定理表明，如果a 与n 互质，则a 的φ(n)-1 次方模n 等于1，其中φ(n) 是欧拉函数，表示小于等于n 的正整数中与n 互质的数的个数。
由于φ(n) = n-1，所以欧拉定理实际上是费马小定理的证明。
费马小定理在许多领域都有广泛的应用，尤其是在密码学中。
现代密码学中的许多加密算法，如RSA 算法，都依赖于费马小定理。
此外，费马小定理在计算机科学、编码理论、组合数学等领域也有着重要的应用。
费马小定理的发现对数学领域产生了深远的影响。
它不仅揭示了整数环中的一个重要性质，还为后来的数学家提供了研究其他问题的方法和思路。
费马点的定理及应用
费马点的定理及应用费马点的定理是一项基本的几何学定理，它的内容是在给定的平面上，一个三角形的三条边上可以找到三个点，使得这三个点到三个顶点的距离的和最小。
费马点的定理是由法国数学家费马在1660年提出的，而费马点是指到三个点的距离的和最小的点。
在数学中，这个问题可以转化为求解费马点，也就是费马问题的解。
费马问题是对于一个给定的点到几个点的距离之和的最小化问题。
费马点的定理可以有很多应用，下面我将介绍其中的几个常见应用。
首先，费马点的定理可以用于建筑设计中的路径规划。
在建筑规划和设计中，我们经常需要确定最佳路径，以最小化人员和物资的运输成本。
使用费马点的定理可以帮助我们确定最佳路径，从而提高建筑设计的效率。
其次，费马点的定理可以用于无线通信中的天线布局。
在无线通信中，天线的布局对于信号的强弱和覆盖范围都有很大的影响。
利用费马点的定理，我们可以确定最佳的天线布局，以最大化信号的强度和覆盖范围。
此外，费马点的定理还可以应用于水资源管理中的水流路径规划。
在水利工程中，我们常常需要确定最佳的水流路径，以最大限度地减少水资源的浪费和损失。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的水流路径，提高水资源的利用效率。
另外，费马点的定理也可以应用于自动驾驶车辆的路线规划。
在自动驾驶技术中，路线规划是一个非常重要的问题，它直接影响到车辆的行驶安全和效率。
使用费马点的定理，我们可以确定最佳的路线规划，以最小化车辆的行驶时间和能耗。
最后，费马点的定理还可以应用于电力系统中的电缆布置。
在电力系统的规划和设计中，电缆的布置对于电力传输的效率和可靠性都有很大的影响。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的电缆布置方案，以最大化电力传输的效率和可靠性。
综上所述，费马点的定理是一项非常有用的几何学定理，它可以应用于各种领域，如建筑设计、无线通信、水资源管理、自动驾驶技术和电力系统等。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳路径、布局和规划方案，以提高效率、降低成本和提高系统的可靠性。
利用费马定理计算
利用费马定理计算
利用费马定理计算是一种常见的算法，可以用来计算大数的幂取模运算。
本文将从几个方面介绍费马定理的定义、计算公式、应用场景和注意事项，以便读者更好地理解和使用该算法。
一、费马定理的定义
费马定理又称为费马小定理，是指对于所有的质数 p 和任意整数 a，有a^p ≡ a(mod p)。
其中≡ 表示“同余于”，即两个数除以模数的余数相等。
二、基本计算公式
根据费马定理，可以得出以下计算公式：
a^p % p = a % p
该公式即为利用费马定理计算的基本公式，用于求取 a 的 p 次方对 p 取模后的余数。
这个公式其实非常简单，只需要对 a 取模之后再进行 p 次方运算，再对模数 p 取模就可以了。
三、应用场景及注意事项
1、应用场景
利用费马定理计算常见的应用场景包括密码学、组合数学、随机化算法等领域。
其中，密码学是利用费马定理实现 RSA 公钥加密算法的主要方法之一。
2、注意事项
（1）费马定理仅适用于质数情况，若 p 不是质数，则可能存在多解。
（2）当 p 很大时，直接用费马定理计算可能会导致整数溢出，需要采用优化算法。
（3）费马定理只适用于求幂取模问题，不适用于求模取幂问题。
四、总结
费马定理是一种简单易用的求取幂取模的算法，其基本计算公式可以解决大多数问题。
但是，为了得到正确的结果，在实际应用中需
要注意公式的使用场景及注意事项。
作为一名优秀的内容创作者，我们应该熟悉并应用这样的算法，为读者提供更加优质的内容服务。
费马小定理讲解
费马小定理讲解费马小定理是数论中的一条重要定理，它由法国数学家费尔马在17世纪提出，并由欧拉进行证明。
这个定理的内容是关于模运算的性质，它可以在很多数论问题中发挥重要作用。
费马小定理的表述是：如果p是一个质数，a是任意整数，且a不是p的倍数，那么a的p-1次方与p相除的余数等于1。
换句话说，a的p-1次方模p的余数等于1。
例如，我们可以取p=7，a=3，根据费马小定理，3的6次方模7的余数等于1。
我们可以计算一下，3的6次方等于729，而729除以7的余数确实是1。
费马小定理有许多重要的应用。
首先，它可以用来判断一个数是否是质数。
如果对于给定的数n，对于所有不是n的倍数的a，a的n-1次方模n的余数都等于1，那么我们可以认为n是一个质数。
因为如果n是合数，那么一定存在一个不是n的倍数的a，使得a的n-1次方模n的余数不等于1。
费马小定理可以用来求解模方程。
例如，我们可以考虑求解x的2次方模p的余数等于a的问题。
根据费马小定理，我们知道x的p-1次方模p的余数等于1，所以x的2次方模p的余数等于a，可以转化成求解x的p-1次方模p的余数等于a的问题。
费马小定理还可以用来简化大数的幂运算。
例如，我们可以考虑计算2的100次方模7的余数。
根据费马小定理，2的6次方模7的余数等于1，所以2的100次方模7的余数等于2的(6*16+4)次方模7的余数，即2的4次方模7的余数，等于16。
费马小定理的证明较为复杂，这里就不展开了。
但是可以看出，费马小定理在数论中具有重要的地位，它为我们解决很多问题提供了有力的工具。
无论是在判断质数还是在求解模方程，费马小定理都能发挥重要的作用。
因此，我们在学习数论的过程中，不可忽视费马小定理的重要性。
初等数论中的费马小定理及其应用
初等数论中的费马小定理及其应用数学是一门非常重要的学科，它是我们日常生活中不可或缺的一部分。
而在数学的众多分支中，初等数论是众多学科中最基础的学科之一。
初等数论是数论的一个分支，它主要讨论算术运算的规律，从整数的运算、分解质因数、同余、素数分布规律等方面进行研究。
在这个分支中，费马小定理是一个重要的理论，本文将会从费马小定理与同余的定义出发，进一步探讨费马小定理及其应用。
一、费马小定理及同余的定义同余的基本定义是$a\equiv b \pmod m$，即当$m|(a-b)$时，我们可以称$a$与$b$模$m$同余（或模$m$合同），简称$a$模$m$与$b$模$m$同余，其中$m$称作模数。
对于同余的运算，具有以下性质：1. 若$a\equiv b(\mod m)$，则$a$模$m$的余数与$b$模$m$的余数相同，即$a$与$b$在模$m$意义下同余。
2. 同余具有传递性：若$a\equiv b(\mod m)$，$b\equiv c(\mod m)$，则$a\equiv c(\mod m)$。
3. 同余具有可加性：若$a\equiv b(\mod m)$，$c\equiv d(\mod m)$，则$a+c\equiv b+d(\mod m)$。
同余可以用于解决许多数学问题，其中最重要的理论就是费马小定理。
费马小定理是由法国数学家费马在17世纪初提出的，它的核心思想是描述同余的特殊情况，即若$p$为质数，则对于任意整数$a$，$a^p$与$a$在模$p$意义下同余，即$a^p\equiv a(\mod p)$。
二、费马小定理的证明费马小定理的证明有多种方法，其中最常见的是利用数学归纳法证明。
当$p=2$时，结论显然成立。
当$p>2$时，我们假设当$p-1$时结论成立，即$a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$，且$p$为质数。
同时我们证明当$p$时结论也成立，即$a^p\equiv a(\mod p)$。
多项式费马小定理
多项式费马小定理一、费马小定理概述费马小定理是数论中的一个重要定理，它提供了一个多项式对模数的因数分解的新视角。
该定理是由法国数学家费马提出的，因此被称为费马小定理。
二、费马小定理的条件费马小定理需要满足以下条件：1.存在一个正整数n，使得多项式f(x)可以整除n。
2.存在一个正整数a，使得a可以整除n，并且a不能整除f(0)。
3.f(x)与f(0)对模数a同余。
三、费马小定理的结论如果满足上述条件，那么对于任何正整数x，都有f(x)对模数a 同余于f(0)。
换句话说，f(x)与f(0)具有相同的余数。
四、费马小定理的应用费马小定理在数论中有许多应用，例如在证明费马大定理的过程中。
此外，它还可以用于快速幂算法中，用于高效计算幂运算。
五、费马小定理的证明方法费马小定理的证明方法包括以下步骤：1.证明f(x)与f(0)对模数a同余。
2.证明f(x)可以整除n。
3.证明f(0)可以整除n。
4.证明f(x)与f(0)对模数a同余于1。
5.证明f(x)与f(0)对模数a同余于f(0)。
6.完成证明。
六、费马小定理的算法实现可以使用C语言实现费马小定理的算法，具体实现过程如下：1.定义一个多项式函数f(x)。
2.定义一个正整数n和模数a。
3.判断是否存在一个正整数x，使得f(x)可以整除n，并且a可以整除n，并且a不能整除f(0)。
4.如果存在，则输出f(x)与f(0)的余数，否则输出“不存在”。
5.在输出结果后，输出“结束”。
6.执行结束程序。
七、与费马小定理相关的概念和理论与费马小定理相关的概念和理论包括费马大定理、欧拉定理、中国剩余定理等。
这些理论和概念都与多项式和模数分解有关，可以帮助我们更好地理解和应用数学中的一些基本概念和方法。
费马小定理的几种证法及应用
费马小定理的几种证法及应用费马小定理是数论中最著名的结果之一，它也是整数论中最强大、最有用的定理之一。
费马小定理指出，如果p是一个素数，且a是一个小于p 的任意正整数，那么有 a^{p-1}≡1(modP)，即a在环Z/pZ上的阶为p-1。
费马小定理可以用一种简单、有效的证明方法，以更容易理解它以及它在数论领域中的重要性，而且有多种证明方法可以应用于费马小定理，包括质数的正则性证明，模分解法、欧拉定理和乘法原理等，下面我们来具体看一下这些证明方法及其应用：1、质数的正则性证明方法：假设p是一个素数，a是一个小于p的任意正整数，且有a^p≡a(modp)，对a^p-a取模p，则有a^p≡0(modP)，即a^p在环Z/pZ上的阶为p，根据素数的正则性性质，可推得a^(p-1)≡1(modP)2、模分解法：根据模分析，假设p是一个素数，a是一个小于p的任意正整数，则有a^p-1可以分解为(a-1)(a^{p-1}+a^{p-2}+…a+1)，对这个式子取模p，得到a^(p-1)≡1(modP)3、欧拉定理：假设p是一个素数，且有φ(p)=p-1，这意味着p和1之间只有p-1个不互质数，而欧拉定理告诉我们，任何一个数a，其无穷多个k都满足下列条件a^(p-1)≡1(modP)，只要k和φ(p)互质，即可知费马小定理为正确的。
4、乘法原理：我们假设p是一个素数，a是一个小于p的任意正整数，要证明a^(p-1)≡1(modP)，乘法原理则要求a的乘法逆元的存在，也就是存在一个数b，使得ab≡1(modP)，而根据欧拉定理，我们也知道，只要满足a^(p-1)≡1(modP)，即可知费马小定理为正确的，即a即为乘法逆元。
费马小定理有着重要的意义，可以用于很多不同的算法和置换系统，以及密码学上的应用。
费马小定理可以用于验证公钥加密算法下偷窥攻击者不能在受控时间内暴力破解，因为他以求出私钥需要暴力搜索整个公钥空间，这个搜索是无法在受控的时间内完。
质数的费马小定理和威尔逊定理
质数的费马小定理和威尔逊定理是数学中的两个重要定理，它们在数论和密码学等领域都有广泛的应用。
本文将通过简要介绍这两个定理的原理、性质和应用，帮助读者理解和掌握这两个定理。
一、费马小定理费马小定理是由17世纪著名数学家费马提出的，它是描述质数的一个重要定理。
具体来说，费马小定理表示：如果p是一个质数，a是一个整数，那么a的p次方减去a必定是p的倍数。
即：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
其中“≡”表示模运算，即取余运算。
例如，如果p=3，a=2，则2^2 ≡ 1 (mod 3)。
这里“2^2”表示2的平方，即2的2次方。
而“mod 3”表示模3取余，即2^2对3取余的结果是1。
费马小定理的证明比较繁琐，这里不再赘述。
但是，可以通过一些简单的例子来说明费马小定理的应用。
比如，在密码学中，可以使用费马小定理来实现公钥加密算法。
具体来说，Bob想要将一个消息m加密并发送给Alice。
他先选择两个质数p和q，然后计算n=pq，并选择一个整数e，使得e和(p-1)(q-1)互质。
Bob将n和e公开发布，而将(p,q)作为私钥保存。
接下来，Bob将消息m 编码成一个整数x，并使用公式 c=x^e (mod n)进行加密。
Alice收到密文c后，使用私钥（p,q）和公式 x=c^(p-1)(q-1) (mod n)进行解密，即可得到原始消息m。
这里的加解密过程都是基于费马小定理的，而且这种方法具有很高的安全性。
二、威尔逊定理威尔逊定理是另一个和质数有关的重要定理。
它是由18世纪英国数学家威尔逊提出的，表述如下：如果p是一个质数，则 (p-1)! ≡ -1 (mod p)。
其中“!”表示阶乘运算，即n!=1*2*3*...*n。
例如，5！=1*2*3*4*5=120。
而“-1”表示模p的逆元，即如果a和p互质，则a关于p的逆元是满足a*x ≡ 1 (mod p)的整数x。
威尔逊定理相对于费马小定理而言，更难证明。
数论费马小定理
数论费马小定理数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它是由法国数学家费马在17世纪提出的。
费马小定理给出了一种判断一个数是否为素数的方法，它为数论研究提供了一个重要的工具。
本文将详细介绍数论费马小定理的原理和应用。
1. 费马小定理的原理费马小定理是关于模运算的一个定理。
模运算是指在数学中，把一个数除以另一个数，求出余数的运算。
例如，当我们说“7除以3等于2，余1”时，2就是商，1就是余数。
费马小定理的原理是：如果p是一个素数，a是一个整数，那么a 的p次方减去a，再除以p，所得的余数一定是0。
换句话说，a的p次方与a取模p的结果是0。
2. 费马小定理的应用费马小定理在密码学领域有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在RSA加密算法中。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用了大素数的乘积来加密和解密数据。
RSA加密算法的安全性依赖于两个大素数的乘积难以分解成其素因子。
费马小定理可以用来检测一个数是否为素数，从而在RSA加密算法中选择合适的素数。
费马小定理还可以用来求解模线性方程。
模线性方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m都是整数。
费马小定理可以帮助我们在模运算中求解这类方程。
3. 费马小定理的例子为了更好地理解费马小定理，我们来看一个例子。
假设我们要判断数17是否为素数，我们可以选择一个整数a，比如2，然后计算2的17次方除以17的余数。
根据费马小定理，我们知道2的17次方与2取模17的结果应该为0。
具体计算过程如下：2^17 ≡ 2 (mod 17)上述计算结果为2，不等于0。
因此，我们可以得出结论，17不是一个素数。
4. 总结数论费马小定理是数论中的一条重要定理，它可以用来判断一个数是否为素数，求解模线性方程等。
在密码学领域，费马小定理被广泛应用于RSA加密算法中。
通过了解和掌握费马小定理的原理和应用，我们可以更好地理解数论的基础知识，并应用于实际问题中。
数论费马小定理的研究对于数学学科的发展具有重要的意义，它不仅为数论研究提供了有力的工具，也为密码学和模运算等相关领域的研究提供了理论基础。
费马小定理举例
费马小定理举例
一、费马小定理是什么呢？
费马小定理可是数论里超有趣的一个定理哦。
简单来说呢，如果p是一个质数，a是一个整数，并且a和p互质（就是除了1之外没有其他的公因数啦），那么a的(p - 1)次方除以p的余数就等于1。
这听起来是不是有点神奇？就像是数学世界里的一个小魔法一样。
二、费马小定理的举例
1. 当p = 5，a = 2的时候
首先呢，我们按照费马小定理的规则来计算。
这里p = 5，那么p - 1 = 4。
接着计算2的4次方，2的4次方等于16。
然后16除以5呢，16÷5 = 3余1，你看，余数正好是1呢，完全符合费马小定理。
2. 再看p = 7，a = 3的情况
p - 1 = 6。
3的6次方等于729。
729除以7呢，729÷7 = 104余1，又一次符合了费马小定理。
3. 还有当p = 11，a = 5的时候
p - 1 = 10。
5的10次方等于9765625。
9765625除以11呢，9765625÷11 = 887784余1。
三、费马小定理举例的意义
这些例子可不是随便举着玩的哦。
通过这些具体的例子，我们能更好地理解费马小定理这个有点抽象的概念。
就像我们认识一个新朋友，一开始可能觉得很陌生，但是通过一起做一些事情（就像这些举例的计算），就会越来越熟悉啦。
而且在密码学等很多领域，费马小定理都有着很重要的应用呢。
比如说在一些加密算法里，就会用到这种数学原理，来保证信息的安全和准确传输。
是不是感觉数学一下子变得很厉害又很有趣呢？。
(完整版)费马定理及其应用
(完整版)费马定理及其应用费马定理是数论中的一个经典问题，由法国数学家皮埃尔·费马在17世纪前半所提出。
这个定理与勾股定理之间有着密切的联系，费马定理被认为是勾股定理的一般情况。
费马定理的表述为：对于任何大于2的整数n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
费马定理在当时提出后引起了广泛的关注和研究，但直到数学家安德鲁·怀尔斯于1994年证明该定理才告一段落。
怀尔斯的证明借助了现代数论中的一些高深理论和方法，使得这个问题得到了完全的解决。
然而，费马定理的证明非常复杂，需要高深的数学知识和技巧。
因此，费马定理的证明过程并不适合在这个文档中进行详细阐述。
而本文档的重点主要是介绍费马定理及其应用。
费马定理作为一个经典问题，其应用广泛存在于数学和计算机科学的各个领域。
其中，一个重要的应用是在密码学中。
费马定理的一个推论是费马小定理，它为密码学中的一些算法提供了重要的依据。
根据费马小定理，如果p是一个素数，a是不可被p整除的整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理在RSA加密算法中起到了关键作用。
除了密码学，费马定理还有其他一些应用。
例如，在代数几何中，费马定理的一个推论被用于解决一些几何问题。
在概率论和组合优化中，费马定理也有一些应用。
此外，费马定理及其证明还对数学史的发展产生了深远影响，推动了数学中一些重要的研究方向。
综上所述，费马定理作为一项经典的数学问题，在数学和计算机科学中具有广泛的应用。
虽然费马定理的证明非常复杂，但其应用却可以在各个领域中找到。
费马定理的研究不仅扩展了我们对数学和计算机科学的认识，也促进了相关领域的发展。
参考文献：1. Andrew Wiles. "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem." Annals of Mathematics, Vol. 141, No.3, 1995.2. George E. Andrews. "Number Theory." Dover Publications, 1994.3. Harold M. Edwards. "Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory." Springer Science & Business Media, 2012.。
费马小定理、
费马小定理、摘要：1.费马小定理的概念和背景2.费马小定理的证明3.费马小定理的应用4.费马小定理的重要性和影响正文：1.费马小定理的概念和背景费马小定理，又称费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马于1637 年提出的一个著名数学猜想。
该定理的陈述如下：对于任意大于2 的自然数n，方程x^n + y^n = z^n 不存在正整数解。
换句话说，费马小定理表明当n 大于2 时，没有三个正整数可以满足该方程。
对于n=1 和n=2 的情况，该方程有解，分别对应勾股定理中的直角三角形和平方数之和等于平方数的情形。
2.费马小定理的证明费马小定理的证明经历了长达358 年的历程。
费马本人声称已经找到了一个惊人的证明，但由于篇幅有限，并未公布。
长达358 年的时间里，许多数学家都尝试证明这一定理，但一直无法找到确凿的证据。
直到1994 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才成功证明了费马小定理。
怀尔斯利用了代数几何和数论领域的许多深入结果，经过数年的研究，终于证明了这一困扰数学家数百年的问题。
3.费马小定理的应用费马小定理的证明揭示了代数几何与数论之间的深刻联系，推动了数学领域的发展。
尽管费马小定理的证明过程非常复杂，但它的结论却具有广泛的应用。
例如，在密码学中，费马小定理可以用来设计公钥密码系统，如RSA 加密算法，这种加密算法被广泛应用于网络通信和电子商务等领域。
此外，费马小定理还在计算机科学、信号处理等领域有着重要的应用。
4.费马小定理的重要性和影响费马小定理的证明使怀尔斯荣获了1996 年的菲尔兹奖，这是数学界的最高荣誉。
费马小定理的重要性不仅在于它的证明解决了一个长达358 年的数学难题，更在于它揭示了数学领域不同分支之间的联系，推动了数学的发展。
费马小定理 威尔逊定理 洛谷
费马小定理（Fermat's Little Theorem）、威尔逊定理（Wilson's Theorem）以及洛谷（Luogu）是数学领域中常见的概念和工具。
它们在数论、离散数学等领域中有着重要的应用和意义。
接下来，我将分别介绍这三个概念，并阐述它们的相关内容和特点。
一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）于17世纪提出的一条基本定理。
该定理是关于整数的一个重要性质，其内容可以用如下的形式来表述：1.1 定理内容如果p是一个质数，a是任意一个整数且a与p互质（即a与p没有公约数），则有如下等式成立：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)其中，a^(p-1) 表示a的p-1次方，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
1.2 定理应用费马小定理在密码学、离散数学等领域有着广泛的应用。
在密码学中，费马小定理常用于快速计算模幂运算，以及构造和破解RSA公钥密码系统。
在离散数学中，费马小定理可以用来证明一些数论性质，推导一些数论定理等。
二、威尔逊定理威尔逊定理是由英国数学家约翰·威尔逊（John Wilson）于18世纪提出的一条关于质数的定理。
它的内容可以用如下的形式来表述：2.1 定理内容对于任意一个正整数p，p是质数当且仅当：(p-1)! ≡ -1 (mod p)其中，(p-1)!表示(p-1)的阶乘，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
2.2 定理应用威尔逊定理在数论中有着重要的应用。
它可以用来判定一个数是否为质数，也可以用来证明一些数论性质和定理。
威尔逊定理还与费马小定理有一定的通联，可以互相补充和应用。
三、洛谷洛谷（Luogu）是一个面向中学生和高中生的上线OJ（Online Judge）系统，提供有关基于计算机编程的竞赛和练习评台。
它起源于我国大陆，为用户提供了一系列的习题和比赛，涵盖了多种编程语言和算法题型。
洛谷的主要特点包括：3.1 提供多种编程语言的支持，如C/C++、Java、Python等，让用户可以根据自己的喜好和实际需要选择合适的编程语言进行练习和比赛。
费马小定理理解
费马小定理理解
费马小定理是数论中的一个重要定理，它可以用来判断一个数是否为质数。
该定理的表述为：若p为质数，a是任意一个整数，则a 的p次方与a对p取余的结果相等，即a^p ≡ a(mod p)。
这个公式非常简单，但是却有着重要的应用。
费马小定理的证明有多种方式，其中一种比较简单的方法是利用归纳法来证明。
假设费马小定理对于任意的正整数k都成立，我们来证明它对k+1也成立。
对于任意的整数a，有：
(a^(p^(k+1))) ≡ a (mod p)
根据指数的性质，有：
(a^(p^(k+1))) ≡ (a^(p^k))^p (mod p)
又因为a^(p^k) ≡ a (mod p)（根据假设），所以有：
(a^(p^(k+1))) ≡ a^p (mod p)
最后，利用费马小定理的定义，我们可以得到：
(a^(p^(k+1))) ≡ a (mod p)
因此，费马小定理对于任意的正整数k都成立。
费马小定理的应用非常广泛，其中一个重要的应用是用来判断一个数是否为质数。
如果一个数n与任意一个小于n的数a都满足a^n ≡ a (mod n)，那么n就很有可能是质数。
如果n不是质数，那么一定存在一个a，使得a^n≠ a (mod n)。
这个方法虽然不是绝对可靠的，但是可以用来减少大量的试除法运算，从而提高了判断质数的效率。
除了判断质数，费马小定理还有其他一些应用，比如在密码学中被用来加密和解密信息。
总之，费马小定理虽然简单，但是却有着重要的理论和实际应用价值。
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费马小定理及应用知识定位费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。
要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p nαn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ ②若p 为素数，则1()1,()(1),kk p p p pp ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ； ④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n dϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系，∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k)，特别地，a u≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡.用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq r a a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡， 由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡（2）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k模m 互不同余.（3）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. （4）设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, ado −1对模p两两不同余.特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系.定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 3、费尔马小定理若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 4、证明费马小定理的预备定理定义1：设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。
在证明费马小定理之前，我们先给出几个引理引理1（剩余系定理2）若a ，b ，c 为3个任意整数，m 为正整数，若有)(m od ,1),()(m od m b a m c m bc ac ≡=≡则有和成立。
证明：由条件可知 )(mod 0n bc ac =-，化简有 )(mod 0)(m c b a =- 又因为 1),(=m c 所以有 )(mod 0m b a ≡-，即有)(mod m b a ≡ 引理2（二项式定理）若n 是一个正整数，则有()().)!(!!,)(0k n k n y xy x n kk kn nk n k n-==+-=∑其中证明：根据二项式的展开定理，我们有：nn n n n n n n n n n y x C y x C y x C y x C y x 011111100)(++++=+---n n n n n n n y xy C y x C x ++++=---1111由组合公式可得：()().)!(!!,)(0k n k n y xy x n kk kn nk nk n-==+-=∑其中引理3（多项式定理）如果k 1, k 2, k 3, ……k m ,和n 均是正整数，且有1≥n 和n k k k k m =++++ 321，则有()∑+=+++n=k m +k 3+k 2+k 121k m…… k 3, k 2, k 1,2121)( mk mkk nn m x x xx x x其中()!!!!21,,21mnk k k kk k nm=。
（1）初等方法证明：对任意的非负整数m 及素数p ，恒有【2】1)1(111++++=+-+m C mC m m p p p p p p )(mod 1p m p +≡ 即有)(m od 1)1(p m m pp ≡-+ 令1,,3,2,1,0-=a m 得)(mod 1)1()(mod 1)2()1()(mod 123)(mod 112)(mod 101p a a p a a p p p p p p p p p p p p p ≡--≡---≡-≡-≡-上面各式分别相加得)(mod p a ap≡（2）二项式的展开法证明：设集合)}(mod {p a a a s p ≡=，其中p 是质数，N a ∈， 因为00=p ，所以对任意的p 有00(mod )pp ≡ 则s ∈0 现假设 )(m od ,p p ks k p≡∈则，我们要想得到1,(1)(1)(mod )p k s k k p +∈+≡+，通过二项式定理有：()jp p j p jpppkk k --=∑++=+111)1()(mod 1p k +≡如果()1,=p a ，则化简)(mod p a ap≡有)(m od 11p a p ≡-如果a 是负数，则对任意的r 恒有)(mod p r a ≡成立，其中10-≤≤p r .从而有 (mod )ppa r r a p ≡≡≡.4、威尔逊定理：p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,- 中， 必然有一个数除以p 余1，这是因为x p x x )1(,,2,- 则好是p 的一个剩余系去0.从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ，使得)(mod 1p xy ≡； 若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -这不可能。
故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ，即1,,2,1-p 中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对，这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！∴p 为质数.5、算术基本定理任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数，α1、α2、…、αk 都是正整数.①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1)③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )④ n 的正约数的积为T (n )＝1()2r n n⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.（1）判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数.（2）n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p pnp n p n p n n P 从而可以写出n !的标准分解式.例题精讲【试题来源】【题目】证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1 【答案】如下解析【解析】 证明：∵P^4－1＝（P －1）（P ＋1）（P^2＋1）1°大于7的质数必是奇数,∴2| P^2＋1 ；2°（P －1）（P ＋1）是连续偶数,∴8|（P －1）（P ＋1）； （整数的性质——两个连续偶数中,其中一个是4的倍数.） 3° 若 P ≡±1 （mod5） 则5 | （P －1）（P ＋1） 若 P ≡±2 （mod5） 则5| P^2＋1 ； ∴ 5|（P －1）（P ＋1）（P^2＋1） 4° P 是大于7的质数必是奇数,则P ≡±1 （mod3）∴3 | （P －1）（P ＋1） p=7时,p^4-1=2400. 综上所述：240|P^4－1【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】 【题目】求20052003被17除所得的余数.【答案】14【解析】 解： ()2005200520052003171141414(mod17),=⨯+≡因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16141(mod17),≡故()()()()()5420052005161255520031414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡所以20052003被17除所得的余数是14.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字 【答案】01【解析】 解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数， ∴a 20＝aφ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)， 又∵(25, 4)＝1， ∴a 20≡1(mod 100)， ∴a 20的末两位数字01.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：方程325y x =+无整数解. 【答案】如下解析【解析】 证明：若y 是偶数，则8 |3y ，x 2≡3(mod 8)不可能.故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 36422232++=+, 知t 是偶数， 令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3)由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 21212)1()(---≡p p s (mod p )，于是 1-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4【试题来源】【题目】试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 【答案】如下解析【解析】 证明： 若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1， 则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n－n 被p 整除【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n n a n b n ++，则a ＝b . 【答案】如下解析【解析】证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡-由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1(mod ),nk p a aa p -+=≡所以0(mod ),na n p +≡也即,(mod )nnp b n b n b a p ++≡-再由费马定理，所以p b a -，矛盾.【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数. 【答案】如下解析【解析】 证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p≡知k |p ，故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素). 显然k ≠1，否则),(m od 121q ≡这不可能，因此k ＝p .由费马小定理)(mod 121q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).【知识点】费马小定理及应用【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数 【答案】如下解析【解析】证明： 因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1101(mod ),p p -≡故对每一个正整数l 有()11010(mod ),l p p --≡而()()()1111019999111,l p l p l p ----==⨯个个因()1(,9)1,101,l p p p -=-故()1111.l p p -个【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：若0(mod ),ppm n p +≡则20(mod ),ppm n p +≡这里p 是奇素数 【答案】如下解析【解析】 证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).ppm m p n n p ≡≡于是，(mod ).ppm n m n p +≡+故可由已知条件0(mod )ppm n p +≡得0(mod ).m n p +≡ 故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此()()()()()()()12122111210(mod ).p p p p p p p p p rp rrrp p ppm n m pk m pk C pk m C pk m Cpk m Cpk m p -----+=+-=-+++-++≡【知识点】费马小定理及应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4。