2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
1+2+3+…+100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前
后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 f
（x）=
（m＞0），则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m+2018）等于（ ）
）
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12. 已知椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作垂直 x 轴的
直线交椭圆 E 于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上方．若|AB|＝3，△ABF2 的内切圆的面积
为 ，则直线 AF2 的方程是（
）
A. 3x+2y﹣3＝0
B. 2x+3y﹣2＝0
是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（）
A. 2i
B. ﹣2i
C. i
D. ﹣i
3. 已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为 4 ，且两条渐近线互相垂直，则该双
曲线的实轴长为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 已知变量 满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）
A. -9
5. 函数 f（x）=
C. 4x+3y﹣4
D. 3x+4y﹣3＝0
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知两个单位向量 ， 的夹角为 60°， =2 -3 ， = +t ，若 ，则实数 t=______．
14. 在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球的概
率为______．
7.答案：D
解析：解：几何体的直观图如图是正方体的一部分，
由题意可得：6×6×6-
=204．
故选：D． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体 积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解 题的关键．
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8.答案：A
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题．利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】
交于点 A，B，且|AB|=8． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C 于不同于 R（1，2）的两点 D、E，若直线 DR，ER 分别交直线 l：y=2x+2 于 M，N 两点，求|MN|取最小值时直线 DE 的方程．
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21. 已知函数 f（x）=ax-2lnx+2（1-a）+ （a＞0）．
A. [kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） B. [kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） C. [kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） D. [kπ，kπ+ ]（k∈Z）
11. 已知 f（x）=
的取值范围是（ ）
A. （
）
C. {-8}∪[
）
，若方程 f（x）-2ax=a-1 有唯一解，则实数 a
B. [
）
D. {-8}∪（
2020 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-5x-6＜0}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，则 A∩B 等于（ ）
A. {2，3，4}
B. {1，2，3}
C. {2，5}
D. {1，4}
2. 已知复数 z＝
A.
B.
C.
D.
9. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积 S＝ cosC，且
a＝ ，b＝ ，则 c＝（）
A. 2
B.
C.
D.
10. 设函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则函数 y＝f
（x）+ f（x+ ）的单调增区间为（）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 Tn 为数列{ }的前 n 项和，求满足 Tn＞ 的最小的 n 值．
18. 某职业学校有 2000 名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了
100 名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示． （1）试估计该校学生在校月消费的平均数； （2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额 x（元）和服务部可
解：f（-x）= =-f（x），
即函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除，A，B， 当 x＞0 时，f（x）＞0，排除 D. 故选：C．
6.答案：C
解析：解：第一次 k=m，k＞m+2 否，S=m，k=m+1， 第二次 k=m+1，k＞m+2 否，S=m+m+1=2m+1，k=m+2， 第三次 k=m+2，k＞m+2 否，S=2m+1+m+2=3m+3，k=m+3， 第四次 k=m+3，k＞m+2 是，输出 S=3m+3=30， 得 3m=27， 得 m=9， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：∵集合 A={x|x2-5x-6＜0}={x|-1＜x＜6}， B={x|x=3k+1，k∈Z}， ∴A∩B={1，4}． 故选：D． 先求出集合 A，再利用交集定义求解． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题．
解：∵△ABC 的面积 S= cosC，且 a= ，b= ，
∴ cosC=
∴tanC= ，
∴cosC=
=，
sinC，cosC＞0，
∴c=
=
故选：A．
10.答案：A
=2．
解析：【分析】 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是 解决本题的关键．考查学生的推理能力． 利用图象确定 A，ω 和 φ 的值，求出函数的解析式，利用辅助角公式进行化简，结合三 角函数的单调性进行求解即可． 【解答】
15. 若曲线 f（x）=aex+e-x 在点（0，f（0））处的切线与直线 x+3y=0 垂直，则函数 f（x）
的最小值为______．
16. 已知三棱锥
的四个顶点都在球 O 的球面上，若 平面 ，
，
，
，则球 O 的表面积为__________．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝120，a2﹣a1，a4﹣a2，a1+a2 成等比数列．
函数 y=f（x）+ f（x+ ）=2sin（2x- ）+2 sin（2x+ ）=2sin（2x- ）+2 sin[ +（2x- ）]
=2sin（2x- ）+2 cos（2x- ）=4[ sin（2x- ）+ cos（2x- ）]=4sin（2x- + ）=4sin2x，
由 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ，k∈Z 得 kπ- ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ- ，kπ+ ]（k∈Z），
故选 A．
11.答案：D
Leabharlann Baidu
解析：【分析】 本题考查了函数零点问题，考查数形结合思想，属于中档题． 求出 f（x）的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出 a 的范 围即可． 【解答】解：令-1＜x＜0，则 0＜x+1＜1， 则 f（x+1）=x+1，
解：由变量 x，y 满足约束条件
作出
可行域如图，
联立
，解得 A（-3，-2），
由图可知，当直线 z=x+2y 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为-7． 故选：B．
5.答案：C
解析：【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，考查函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号的 一致性，属于基础题． 结合函数奇偶性和函数值的对应性进行排除判断即可． 【解答】
2.答案：A
解析：【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值，则答案可求． 【解答】
解：∵复数 z=
=
是纯虚数，
∴
，即 a=-2．
∴z=2i． 故选 A．
3.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生转化和化归思想，考查计算能力，属于 中档题． 设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜 率之积为-1 进而求得 a 和 b 的关系，再利用焦距为 4，即可求出双曲线的实轴长． 【解答】
（1）若 f（x）≥0 在[1，+∞）上恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）证明：1+ + +……+ ＞ ln（2n+1）+ （n∈N*）．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
(α 为参数),以坐标原点为
极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )=2 ．
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19. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F 分别为 A1C1，BC 的中
点，AB=BC=2，C1F⊥AB． （1）求证：AB⊥BC； （2）若直线 C1F 和平面 ACC1A 所成角的正弦值等于 ，求二面 角 A-BE-C 的正弦值．
20. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F，斜率为 1 的直线与抛物线 C
（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．
23. 已知函数 f（x）=|2x+a|-|x-3|（a∈R）．
（1）若 a=-1，求不等式 f（x）+1＞0 的解集； （2）已知 a＞0，若 f（x）+3a＞2 对于任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．
获得利润 y（元），满足关系式：y=
，根据以上抽样调查数
据，将频率视为概率，回答下列问题： （i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为 ξ，求 ξ 的分布列及数 学期望．
（ii）若校服务部计划每月预留月利润的 ，用于资助在校月消费低于 400 元的学生，
估计受资助的学生每人每月可获得多少元？
解：双曲线 - =1（a＞0，b＞0），则双曲线的渐近线方程为 y=± x
∵两条渐近线互相垂直，
∴ ×（- ）=-1，
∴a2=b2， ∵焦距为 4， ∴2c=4 ， ∴c=2 ， ∴a2=8-a2， ∴a2=4， ∴a=2， ∴双曲线的实轴长为：4． 故选 B．
4.答案：B
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解析：【分析】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解 题思想方法，是中档题． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程 的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求 得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】
解：∵函数 f（x）=
（m＞0），
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m+2018）
=
+
+……+
=
=
=
．
故选 A．
9.答案：A
解析：【分析】 本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中 的综合应用，考查了转化思想，属于基础题. 由已知利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求 tanC，进而可求 cosC 的 值，根据余弦定理可求 c 的值． 解析：
解：由图象知 A=2， = -（- ）= 得 T=π，即 =π，得 ω=2，
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则 f（x）=2sin（2x+φ）， ∵f（- ）=2sin[2×（- ）+φ]=2sin（- +φ）=-2，
∴sin（- +φ）=-1，得 φ- =2kπ- 得 φ=2kπ- ，k∈Z，
得 f（x）=2sin（2x+2kπ- ）=2sin（2x- ），
故 f（x）=
，
如图示：
由 f（x）-2ax=a-1， 得 f（x）=a（2x+1）-1，
函数 y=a（2x+1）-1 恒过 A（- ，-1），
故
，
若方程 f（x）-2ax=a-1 有唯一解，
则 2a＞ ，即 a＞ ；
当 2ax+a-1= -1 即图象相切时， 根据△=0，9a2-8a（a-1）=0， 解得 a=-8，
B. -7
的图象大致是（
C. -5
）
D. -3
A.
B.
C.
D.
6. 如图所示的程序框图，若输出的 S＝30，则输入的整数 m 值为（）
A. 7
B. 8
C. 9
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
D. 10
）
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A. 210
B. 208
C. 206
D. 204
8. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19 岁的高斯得到了一个数学史