一种基于奇异值分解的图像压缩方法

果Ａ表示行个优维向量，可以通过奇异值分解表 示为仇＋以个ｒ维向量。若Ａ的秩远远小于ｍ和
咒，则通过奇异值分解可以大大降低Ａ的维数。
用奇异值分解来压缩图像的基本思想是对图
像矩阵进行奇异值分解，选取部分的奇异值和对应
的左、右奇异向量来重构图像矩阵。
对于一个佗×咒像素的图像矩阵Ａ，假定Ａ—
Ｕ∑矿，其中，奇异值按照从大到小的顺序排列。
“Ｆ—ｒ∑， ｏ］
Ｌ ｏ ｏ．Ｊ 且∑１一ｄ缸ｇ（口１，眈，…，ｃｒｒ），其对角元素按照 顺序ｄ１≥盯２≥…≥ｃｒｒ＞ｏ，ｒ—ｍ咒忌（Ａ）排列。 优×咒矩阵Ａ的奇异值盯ｉ是矩阵ＡＡＨ的特征
·收稿日期：２００９年２月２５日，修回日期：２００９年３月１７日 作者简介：吴俊政，男，硕士研究生，研究方向：信号与信息处理。
口 压缩比奇异值个数愚
Ｏ．９９ ５．２９
６
Ｏ．９９６ ３．５３
９
Ｏ．９９９ ２．４４
１３
５ 结语
用奇异值分解进行图像压缩，虽然取得了一定 的成功，具有较好的应用价值，仍然需要进一步的 工作，对进一步工作可以有以下考虑：
１）对子块的划分可以采取更加有效的方法来 完成。例如对规模很大的矩阵，随机抽取矩阵的某 些行列得到规模较小的矩阵，计算小矩阵的奇异
按奇异值从大到小取忌个奇异值和这些奇异值对
应的左奇异向量及右奇异向量重构原图像矩阵Ａ。
如果选择的志≥，．，这是无损的压缩，基于奇异值分 解的图像压缩讨论的是忌＜ｒ，即有损压缩的情况。
这时，可以只使用志（２咒＋１）个数值代替原来 的理×咒个图像数据。这是（２竹＋１）个数据分别是
矩阵Ａ的前尼个奇异值，咒×扎左奇异向量矩阵【厂
的前忌列和咒×咒右奇异向量矩阵ｙ的前忌列元
素。 比率ＩＤ一赤
（１）
称为图像的压缩比。
显然，被选择的奇异值的个数愚应该满足条件
忌（２，ｚ＋１）＜咒２，即是＜竹２／（２咒＋１），这样，在传送图
像的过程中，不需要传，ｚ×，ｚ个数据，而只需要传忌
பைடு நூலகம்
（２押＋１）个有关奇异值和奇异向量的数据即可。在
接收端，在接收到奇异值口，，ｃｒ２，…，巩以及左奇异
要求的基础上，按奇异值
的大小选择合适的奇异值个数志＜ｒ，就可以通过Ａ 将图像Ａ恢复。愚越小，用于表示Ａ的数据量就小，
压缩比就越大，而愚越接近ｒ，则Ａ和Ａ就越相似。
在一些应用场合中，如果是规定了压缩比，则可以由
＾
式（１）求出志，这时也同样可以求出∑矗。 ｆ＝ｌ
４实验结果
在对实际图像进行操作时，因为矩阵的维数一 般较大，直接进行奇异值分解运算量大，可以将图 像分解为子块，对各子块进行奇异值分解并确定奇 异值个数，将每个子块进行重构。这样操作除了因 为对较小型的矩阵进行奇异值分解的计算量比较 小外，另一方面是为了利用原始图像的非均匀的复 杂性。如果图像的某一部分比较简单，那么只需要 少量的奇异值，就可以达到满意的近似效果。
总第２３５期 ２００９年第５期
计算机与数字工程 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｉ）ｉｇｉｔａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３７ Ｎｏ．５ １３６
一种基于奇异值分解的图像压缩方法‘
吴俊政 （西北核技术研究所西安７１００２４）
摘要根据奇异值分解的基本原理及其特点，结合图像的矩阵结构，提出了用奇异值分解，然后选取部分奇异值和奇异 向量重构矩阵进行图像压缩的方法，并通过对图像进行分块降低计算量，实验结果表明奇异值分解能够有效用于图像压缩。
向量“ｌ，“２，…，‰和右奇异向量口１，忱，…，砩后，
可以通过：
Ｉ
Ａｔ＝∑口ｉ“ｉｕ｝
（２）
重构出原图像矩阵。Ａｔ与Ａ的误差为
ｌ｜Ａ—Ａ。Ｉｌ；一蠢＋。＋磋＋。＋…＋砖
（３）
某个奇异值对图像的贡献可以定义为矗一Ｄ｝／（∑
考），对一幅图像来说，较大的奇异值对图像信息的贡
二
献量较大，较小的奇异值对图像的贡献较小。假如∑
万方数据
第３７卷（２００９）第５期
计箅机与数字工程
１３７
值（这些特征值是非负的）的正平方根。 Ｕ的第ｉ列为Ａ的对应与盯ｉ奇异值对应的左
奇异向量，Ｖ的第ｉ列为Ａ的对应与盯ｔ奇异值对应 的右奇异向量，它们的每一列均为单位向量，且各 列之问相互正交。∑。为奇异对角阵。
３图像的奇异值分解压缩
奇异值分解的一个重要特征是可以降维。如
为了保证图像的质量就需要较多的奇异值。 但是各个子块的奇异值数目，大小各不相同，因此 可以考虑为每个子块自适应的选择适当的奇异值 数目。一种简单的方法是定义奇异值贡献量的和
＾
∑￡ｉ＞ｄ来选择忌，其中盯是一个接近１的数。
对常见的２５６×２５６“Ｉ正ＮＡ”ｂｍｐ格式的图 像，划分为４×４个子块，每个子块大小为６４×６４。
成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇 异值分解的基础上进行图像压缩。
２ ＳＶＤ原理
奇异值分解是现代数值的最基本和最重要的 工具之一，奇异值分解的定义如下［３］：
令Ａ∈Ｒ删”（或９硒），则存在正交（或酉）矩 阵Ｕ∈Ｒ献”（或９‰）和Ｖ∈Ｐ硒（或９砌），使得 Ａ＝Ｌ，∑伊（或Ａ—Ｌ，∑ＶＨ）
式中
ｚ。。ｌ 正
矗接近１，该图像的主要信息就包含在Ａ一∑哦“ｉ口，
万方数据
图ｌ ２５６×２５６“ＬＥＮＡ” 原图的奇异值分布
之中。通常图像的奇异 值都具有如图１所示的 特点［４］，即满足“大Ｌ曲 线”，只有不多的一些比 较大的奇异值，其它的奇 异值相对较小，因此一般 只需要比较小的七就使
ｔ
∑ｅ；接近１。在满足视觉
‘例女！竺？坠鲁警等，和雹奠数孥。．，．，，．．． 现［Ｊｉ‘摇呈器秉：淼：嘉淼三二茹１。“～。”、
最后，通过ｋ－ｍｅａｎｓ算法，选取初始聚类中心，
～。；５五：ｋ淼：ｔｍｎｇ．Ｒ。ｔａｉｌｉｌｌｇ Ａｕ。ｔｒａｌｉａ．Ｒ。ｔａｉｌ ｆｏｒ．
万方数据
图２
＾
∑矗＞Ｏ．９９
ｆ昔１
的压缩图像
图３
＾
＾
∑￡ｉ＞０．９９６图４ ∑矗＞Ｏ．９９９
ｉ一１
ｆ吉１
的压缩图像
的压缩图像
七
对每个子块根据∑ｅｉ＞ｏ．９９来选择所需要的奇
ｉ一１
异值数目，得到的压缩图像如图２（ａ）所示。增大盯
的值来选择奇异值数目，结果如图２（ｂ）和图２（ｃ）
１３８
吴俊政：一种基于奇异值分解的图像压缩方法
值，重复若干次，用这些小矩阵的奇异值逼近原始 矩阵的奇异‘５Ｊ。
２）影响运算速度的因素是ＳＶＤ变换运算比 较大，能否找到一个快速的ＳｖＤ变换算法。
参考文献
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ｃｏｍｐｒｅｓ－
ｓ“）ｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒ凼 ｉｍａｇｅ ｃｏｍｐｒｅ豁ｉｏｎ，ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｃｏｍｐｒｅ鼯ｉｏｎ ｒａｔｉｏ
Ｎ帅ｂｅｒ Ｃｌａｓｓ
ＴＰ３９】．４】
１ 引言
目前，随着科学技术的高速发展，有大量的信 息用数字进行存储、处理和传送。而传输带宽、速 度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显 得十分必要。数据压缩技术已经是多媒体发展的 关键和核心技术。图像文件的容量一般都比较大， 所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像 压缩就显得极其重要。当前对图像压缩的算法有 很多，特点各异，类似ＪＰＥＧ等许多标准都已经得 到了广泛的应用［１’７］。奇异值分解（Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＩ））是一种基于特征向量的矩阵 变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等 方面都得到了应用。由于图像具有矩阵结构，有文 献提出将奇异值分解应用于图像压缩ｏ ２｜，并取得了
ｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｓｉｎｇｕＩａｒ ｖｅｃｔｏｒｓ ｔｏ ｒｅｂｕｉｌｄ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｍａｔｒｉｘ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．ＤｉＶｉｄｉｎｇ叩ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｗ勰ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ
ｉＩｌ咖ｇｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃｏｓｔ，ｅｘｐｅｒｉＩＩＩｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ａＶａｉｌａｂｌｙ ｕｓｅｄ
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ｏ，鍪篡氅ｉ鍪薏愁要第两类：原始数据的设芝篙娄嚣差宅纂＝誉嚣篇计与实
第３７卷
所示。图２（ｂ）为∑￡ｉ＞ｏ．９９６的压缩图像，图２（ｃ）
１５＝Ｉ
Ｉ
为∑ｅ；＞Ｏ．９９９的压缩图像，可以看到随着口不断增
大，视觉效果越来越好。 随着叮不断增大，需要的奇异值也增多，压缩
比会减小，对“ＬＥＮＡ”图像相同的最右下角的子
块，表１给出ｄ对应的压缩比和需要的奇异值个数
志。
表１对应的压缩比和
Ａｂｓｔ怕ｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓ“ｉｏｎ，ｌｉｎｋｉＩｌｇ ｗｉｔｈ ｉＩＩＩａｇｅ’ｓ ｍａｔｒ仅
ｃ（唧ｅｓｓｉｏｎ ｓｔｒⅦ。ｔ、玎ｅ，ａ ｍｅｔ｝砌ｏｆ佃懈ｇｐ
ｗｔ婚ｃ＿ｈ ｆｉｒｓｔ Ｉ埒ｏｏｅｓｓ让圮ｓｉＨｇ出，ａＩ ｖａｈｌｅ出｜。∞Ⅱｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｎ ｓｅｌｅｃｔ ａ ｐａｒｔ ｏｆ ａＵ ｓ．ｍ·
关键词图像压缩奇异值分解压缩比 中图分类号ＴＰ３９１．４１
Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｉｍａｇｅ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
Ｗｕ ＪｕｒＩｚｈｅＩｌｇ （Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ ＩＩｌｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｎｕｃｌｅａｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００２４）
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