实验十 弦振动特性的研究

实验十 弦振动特性的研究

一 实 验 目 的

1． 观察弦振动时形成的驻波。

2． 用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测得的结果。

3． 验证弦振动的波长与张力的关系。

二 仪 器 和 用 具

电振音叉（约100Hz ），弦线分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺。

三 实 验 原 理

1 弦线上横波传播速度（一），如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音叉振动量，强迫弦线振动（弦振动频率应当和音叉的频率ν等），形成列向滑轮端前进的横波,在滑轮处反射后沿相反方向传播。在音叉与滑轮间往反传播的横波的叠加形成一定的驻波，适当调节砝码重量或弦长(音叉端到滑轮轴间的线长官，在弦上将

出现稳定的强烈地振动，即弦与音叉共振。弦共振

时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非

共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n

个半波区，则n l /2=λ，弦上的波速v 则为

n l v v 2γγλ

==或 （1） 2 弦线上横波传播速度（二），若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取δd AB =的微元段加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为，

则此微元段弦线ds 的质量为ρds. 在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为21,T T ，其方向为沿弦的切线方向，与x 轴交成1a 、2a 角。

由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作用在微元

段ds 上的张力的x 分量应该为零，即

0cos cos 1122=-a T a T （2）

又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为

221122sin sin dt

y d ds a T a T ρ=- （3） 对于小的振动，可取dx ds ≈，而1a 、2a 都很小，所以

221121sin ,sin ,1cos ,1cos tga a tga a a a ≈≈≈≈。

又从导数的几何意义可知dx

x z dx dy tga dx dy tga +⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=21, 式（2）将成为T T T T T ===-1212,0即表示张力不随时间和地点而变，为一定值。式（3）将成为

22dt y d pds dx dy T dx dy T z

dx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）

将dx x dx dy +⎪⎭⎫ ⎝⎛按泰勒级数展开并略去二级微量。得dx dx y d dx dy dx dy x

x dx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22将此式代入（4）得 22222222dx y d T dt y d dt y d dx dx dx y d T x

ρρ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛即 （5）

将（5）式与简谐波的波动方程22222dx

y d v dt y d =相比较可知：在线密度为ρ、张力为T 的弦线上横波传播速度v 的平方等于

ρρT

v T

v ==即2 （6）

3 弦振动规律

将式（1）代入式（6），得出

ργλρλγT

T

1==即 （7）

整理后可得

ρ

γT l n 2= （8） 式（7）表示，以一定频率γ振动的弦，其波长λ将因张力T 或线密度ρ的变化而变化的规律。

式（8）又表示出，对于弦长l 、张力T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于n = 1 、2、3、…的1v 、2v 、3v 、…等多种频率，n = 1的频率称为基频，n = 2、3的频率称为第

一、第二谐频，但基频较其它谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同，所以音色不同。例如具有同一基频的弦线和音叉，其音调是相同的但听起来声音不同就是这个道理。

当弦线在频率为γ的音叉策动下振动时，适当改变T 、l 和ρ，则可能和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三、…谐频，这时弦上出现2、3、4、…个半波区。

四 实 验 内 容

1 测量弦的线密度

取2m 长和所用弦线为同一轴上的线，在分析天平上称其质量m ，求出线密度ρ。

2 观察弦上的驻波

根据已知音叉频率γ（一般为100Hz ）和已知线密度ρ，求弦长在20～30cm 附近。若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力T=？

参照上述计算的T 值。选适当的砝码挂在弦上（弦长在130cm 左右），给电振音叉的线圈上通以50Hz ，1～2V 的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下的观测：

（1）使弦长从20cm 左右开始逐渐增加，当在n = 1、2、3、4几种情况下，弦共振时，分别测出弦长l 并算出波长λ。

（2）使弦长l 大于n = 1共振时的弦长，小于n = 2共振时的弦长，从这种情况振动的弦上，测出波长

λ，并和上面的测量相比（注意，此时音叉端不是弦的节点）

。 3 弦上横波的波长与张力的关系

增加砝码的质量，再细调弦长使出现共振，测出弦长l ，算出波长λ。重复测量取平均值。T 值改变6-8次。

将式（7）两侧取对数，得nT p v n n 121111+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=λ 即nT n 11与λ间是线性关系。利用测量值，作nT n 11-λ图线，求出图线的纵轴截距和斜率，将截距和⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛p v n 11相比较，斜率和21相比较，说明其差异是否过大？

4 比较两种波速计算值

从以上测量中选取全合适的数据，代入式（24-1）和式（24-6）中，计算出理论上应

当相等的两个速度值，说明其差异是否显著？

从测量记录中。选一组数据代入式（8），计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频率的差异是否显著？

五 回 答 问 题

1 增大弦的张力时，如线密度ρ有变化，以实验将有何影响？能否在实验中检察ρ的变化？

2 将线密度为ρ的细铜线用张力T 拉紧，其上通以频率为f 的交流电，在弦的中间放置一通直流电的电磁铁（或强的永久磁铁），如图24-3。说明什么条件下，弦上出现强烈振动？它的频率和弦上交流电频率f 有何关系？

六 附 记

[1]使用带断续器的电振音叉时，当音叉频率接近100Hz ，可去掉通直流电的断续器，直接给电磁线圈通以50Hz 低压电时，可以减小噪声又比较稳定。当音叉频率比100Hz 大得多时，可在音叉前端加配重减小其频率,如果相反时,可将音叉前端适当锯掉一些.当音叉频率很接近100Hz,通市电时将产生强烈共振,也不利,应使音叉频率比100Hz 小(或大)1～2Hz.

[2]要尽量选择P 较小而倔强系数k 又较大的弦线.