塑性力学塑性本构关系

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塑性力学第三章塑性本构关系

34
1 s s 1 1 2 s 1 2 s 2 s 2 s
‘ ’ ‘ ’
（3—24）
σ3 = 0 的平面（σ1，σ2 坐标面）与正六角柱屈
服曲面的交线为斜六边形 A B C D E F 。方程组（3 ‘ ’ ’ ‘ ’ ‘ ‘ ’ —24）中各式分别代表 A B 、D E 、F A 、C D 、 ’ ‘ ‘ ’ B C 、E F 各边。
3
与（3—18）式相比可知，Tresca 屈服条件和 Mises 屈服条件在τs 和σs 的关系上有约 15％的差异。因此，Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在单向
37
拉压应力状态下完全一致，在纯剪切时二者差异最大，约为 15％。（4）对于平面应力状态，σ3 = 0，（3—27）式化为： 2 2 （3—29） 12 1 2 2 s 在应力空间中， σ3=0 平面（ σ 1， σ2 坐标面）与 Mises 屈服曲面的交线为一斜椭圆，它外接于 Tresca 屈服轨迹的斜六边形。 §3.6 加载曲面和加载准则（一）加载曲面（后继屈服面）由单向拉伸试验知道，对理想塑性材料，一旦屈服以后，其应力保持常值。卸载后再重新加载时其屈服应力的大小也不改变（没有强化现象）。对于强化材料，在开始屈服之后，随着塑性变形的发展其应力值继续增加。卸载后再重新加载至原来开始屈服的应力时材料并不屈服，要加到原来卸载开始时的应力，材料才再次屈服。因此对于强化材料，重新加载时的屈服应力要高于原始加载时的屈服应力，这就是强化现象。而复杂应力状态与单向拉伸状态是类似的，即：复杂应力状态下，理想塑性材料在应力空间中的屈服曲面具有固定的大小和形状，屈服以后经过卸载并重新加载，仍然保持原来的屈服曲面。对于强化材料，我们把在应力空间中由屈服条件规定的曲面叫做初始屈服曲面，记做Σ，若加载至超

弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件

为非负，即有 0
功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
Ñ W
0 ij
ij
0 ij
d ij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循环
中是可逆的，因而
( ij
0 ij
)
d
e
ij
0
0 ij
于是有：
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有一
塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函
数，记为：
g I1, J2, J3, H 0
或
g ij , H 0
式中， H 为硬化参数。
塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达
式来表示，即：
d
p ij
d
g
ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述总功不可能是负的，不然，我们可通过应力循环不断从材料中吸取能量，这是不可能的。要判断材料稳定必须依据德鲁克公设，即附加应力所作的塑性功不小零得出

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ

塑性力学第四章(1)-塑性本构关系

第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系全量型本构关系增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E

[
(
)]
体积应变：体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力：体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（理论）形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段：弹性阶段：塑性阶段：塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载：中性变载：当应力增量沿加载面切线方向变化，面切线方向变化，而加载面并不扩大时，不产生新的塑性变形。性变形。

弹塑性力学-弹塑性本构关系

此式限制了屈服面的形状：对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。根据依留申公设，在完成上述应变循环中，外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0

弹塑性力学塑性本构关系

0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H

弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件

d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状：对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述总功不可能是负的，不然，我们可通过应力循环不断从材料中吸取能量，这是不可能的。要判断材料稳定必须依据德鲁克公设，即附加应力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料

塑性力学--第四章塑性本构关系

向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
3i 2 i
(3)应力强度是应变强度的函数 i i , 即按单一曲线假
定的硬化条件.
综上所述, 全量型塑性本构方程为
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过
程, 它时服从增量Hooke定律.
y
些基本未知量的基本方程有
x
Su : ui
平衡方程 ij, j Fi 0
几何方程
ij
1 2
ui. j u j,i
本构方程
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
其中
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
这就是对于全量理论的塑性力学
边界条件 S : ijl j pi , Su : ui ui
(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳辛)理论.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.

塑性本构关系精选PPT

屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。
典型应力状态• 在屈π平服面曲上的线极坐与标任一从坐标原点出发的向径相交且仅相交一次；
• 屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称；
• 屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。
➢ 常用屈服条件
• 最大剪应力条件(Tresca屈服条件)
max
1
3
dijp dsij
dijpdijp(d )2sijsij
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等效应力
e
3 2
sij sij
dep
2 3
dijpdijp
等效塑性应变增量
d
3
d
p e
2 e
d
p ij
3 2
d
p e
e
sij
120o r Q
拉伸 (屈对本简服于构单函各特加数向性载：同：定屈性弹理服材性)：条料阶件，段的坐，解标应析轴力表的偏示转量，动分即不量影与1,响应r材变料偏的量屈分23服量特之, 性比，为因常此数3可。0以0 取三个应力主轴为坐3/ 标轴(主1应2O 力0o空间)，屈服函1 / 数x表示为：
倾角的柱体表面。
• 通常在在π平面研究屈服曲线的特性。
2
n
π平面
O
NP Q
将主应力空间向π平面投影
/ 3
/ 2
y
120o r
O 120o
Q
x
/ 1
3
1
/ 1
1
s in ( n
,
i
)
P (1 , 2 , 3 ) Q (1 /, 2 /, 3 /)
/ 2
2 sin(n ,

塑性力学-塑性本构关系

第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。

Il’yushin(伊柳辛)理论。

•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。

Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。

3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。

第十一章塑性本构关系

其中：k

E
31 2

0

2 3

-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时，为加载，这时可发生任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时，则为卸载，此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载

,

E
2 1

8
当ξβ固定时，（3）式
11

1 E
11

22
33 ,23

1
E

23

化为应力率与应变率之间的弹性关系：
11

1 E
22

33
11 ,31

1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力：（按弹性计算） e M pr
Mp

2R3 s
3

1
1 4

rp R

I
3
p

4r s
3R

1
ijp ，相应的应力为

3
ij

2
ij
ij
。最后，
再通过某一弹性卸载路径使应力由

3回到初值
ij

4
ij

1
ij
，此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式：

2
ij

塑性力学第三章

•
弹性应变增量偏张量与应力增量偏张量成线性关系： dee 1 dS ij ij 2G
且：
e deij deijp deij
•
1 dSij d Sij 所以有：deij 2G
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
•
（1）1924年，L.Prandtl将Levy-Mises关系式推广应用于塑性平面应变问题。
－－－（i）：考虑塑性状态下的弹性变形部分，并认为弹性变形服从Hooke定律。
－－－（ii）：假定塑性应变增量张量和应力偏张量相似且同轴线。
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
•
（2）1930年，A.Reuss把L.Prandtl应用在平面应变的这个假设推广到一般三维问题。
边界条件：
•
按位移求解和按应力求解。
•在弹性和塑性交界处还要满足连续条件。
3 塑性本构关系_3.5
•
•
全量理论的适用范围简单加载定律
全量理论适用于：（1）小变形＋（2）简单加载
简单加载：在加载过程中物体内每一点的各个应力分量按比例增长的。即在简单加载时，各应力分量与一个共同的参数成比例，即：
3 塑性本构关系_3.2
达为：
广义Hooke定律

第十一章塑性本构关系详解

Lijlk lij
4
满足互逆关系：Mijkl Lklpq
L M ijkl klpq
1 2
ip jq iq jp
5
Lijkl不仅与应变有关，且与内变量有关； Mijkl不仅与应力有关，且与内变量有关。即弹性性质与塑性性质上耦合的。为简化，仅考虑无
耦合的情况。
ij
1 0
组称为内变量ξβ（β=1,2,…,n）的参量来刻划这一变形历史。应力可表示
为：
ij ij kl ,
1
当ξβ固定时，应力与应变之间具有单一的对应关系，即弹性关系，
这时，应变也可通过应力来表示：
ij ij kl ,
2
仅在直角坐标系中讨论，应力和应变的增量或变化率可写为：
ij
Lijkl kl
Drucker将单轴中材料稳定性概念推广到复杂应力状态，提出了塑性力学中十分重要的假定，称为Drucker公设。
考虑硬化材料中的一个微单元体，受某一初始应力作用处于平衡状态，通过“外部机构”在这个微单元体上施加附加应力，然后缓慢地移去。
Drucker提出两个假设：（1）在加载过程中附加应力做正功；（2）在加载和卸载的一个应力循环中，如产生塑性变形，则附加应力
二、硬化材料的加卸载准则
加载面
当应力状态处于当前加载面上，再施加应力增量会出现3种可能性并由此产生3种不同的变形情况。
加载
f
d ij ij
ij
d ij 卸载
ij
中性变载
f
d ij ij
ij
d ij 加载
d ij卸载
ij
1、加载：应力增量指向加载面外，应力状态到达新的加载面上； 2、中性变载：应力增量与加载面相切，不产生新的塑性变形； 3、卸载：应力增量指向加载面内，变形从塑性状态回到弹性状态。

塑性力学第四章塑性本构关系.

s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到

s s s 3G 3 3G

s
2
0.707 s
故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2）（3）

s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3

（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分量同时达到屈服，即又
1
§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类：一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增量理论或流动理论。为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： 1、初始屈服条件； 2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之间的定量关系。
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系在弹性阶段：

塑性力学--第四章塑性本构关系

2
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面力 pi , 在位移边界 Su 上给定位移为 ui , 要求确定物体内处于塑性变形状态的各点的应力 ij , 应变 ij 和位移 ui .按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁

第三章塑性本构关系(续新(给学生)

第三章塑性本构关系§3.1 概述一、单向拉伸条件下的塑性本构关系图3.1从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可发现如下现象：（1）σ＜σs 时，处于弹性阶段，无论加载还是卸载，都服从虎克定律σ=Eε。

（2）σ＞σs 时，进入塑性阶段。

在任何时刻加载与卸载都服从不同的规律。

继续加载：产生新的不可恢复的塑性变形，服从塑性变形规律（曲线SABF ），卸载：应力的减少量σ'与应变的减少量ε'之间服从弹性变形规律（虎克定律εσ'='E ）。

（3）进入塑性阶段后，设从某一点（例如图中的B 点）开始卸载，然后再重新加载。

开始阶段：Δσ=E Δε，即应力的增加量与应变的增加量之间仍符合弹性关系（虎克定律）直至卸载开始点（B 点）为止。

继续加载：重新进入塑性阶段，卸载开始点（B 点）的应力值相当于卸载后重新加载时的屈服应力，称为“后继屈服应力”，记做σh 。

理想塑性材料：σh =σs （原始屈服应力）强化材料：σh ＞σs ，这就是强化现象。

由此可以看出，即使对单向拉伸这样比较简单的应力状态，其塑性应力应变关系也要比弹性复杂得多。

二、塑性本构关系的主要内容：研究一般的塑性力学问题必须注意把握以下几点：（1）必须首先判断材料是在弹性阶段还是在塑性阶段。

如为前者，直接应用虎克定律即可，如为后者，则需根据材料的塑性性质作进一步的考虑。

判断材料是否进入塑性阶段的条件称为屈服条件或屈服准则。

（2）如判断出材料已进入塑性阶段，则还应进一步判断是处于加载状态还是处于卸载状态。

如是前者，则必须应用塑性应力应变关系，如是后者，则其应力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（虎克定律）。

判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。

（3）如材料是处于塑性阶段的加载状态；则应根据材料是理想塑性材料还是强化材料建立相应的塑性应力应变关系。

（4）如材料是强化材料，还要弄清σh 与σs 以及其他因素的关系，即强化条件。

塑性力学第五章本构关系ppt课件

（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1

第十一章塑性本构关系

也可改写为偏应力率和偏应变率之间的关系：
1 ij e E 1 ij 10 s s ij 2 1 2 1 kk kk 11 kk 3k E
其中： k
E 2 0 -体积模量 3 1 2 3
x
z

l/2 l/2
x
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。
x
x
x ( x, z), y z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。 1
Pl/4
弹性极限荷载
s

s
s

s
3．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
s
he h / 2
M s 2b x zdz 2b s zdz
0 he
z M s 2b s zdz 2b s zdz he 0 he
h/ 2
he
z s P o l/2 z l/2 x
加载
d ij
屈服面
f ij
ij
d ij 卸载
ij
中性变载
加载卸载
加载面
d ij
f ij
二、硬化材料的加卸载准则
当应力状态处于当前加载面上，再施加应力增量会出现3种可能性并由此产生3种不同的变形情况。
ij
d ij 卸载
d ij 加载
ij
1、加载：应力增量指向加载面外，应力状态到达新的加载面上； 2、中性变载：应力增量与加载面相切，不产生新的塑性变形； 3、卸载：应力增量指向加载面内，变形从塑性状态回到弹性状态。

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