三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点
三角形中的中线、高线、角平分线问题
在三角形中，中线、高线和角平分线是三个重要的概念。
1. 中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，叫做三角形的中线。
在三角形中，一个三角形有三条中线，它们都交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
重心将每条中线分为2:1的两段。
2. 高线：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高线。
在直角三角形中，直角边上的高线是直角三角形的高线的特殊情况。
3. 角平分线：将一个角的两边分别等分，并连接这个角的顶点，得到的线段叫做角的角平分线。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形内部，且交于一点，这个交点叫做三角形的内心。
希望以上内容对您有帮助。
初中数学：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线
一. 教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容1. 三角形的角平分线和中线2. 三角形的高线和中垂线3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。
2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。
四. 教学重点、难点1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。
五. 知识要点1. 角平分线性质定理2. 中垂线性质定理3. 三角形中的三条角平分线4. 三角形中的三条中线5. 三角形中的三条高线6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题】例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN ⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。
解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF （为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN （为什么）例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。
解析：略例3. 已知△ABC ，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。
解：分法：分别画△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，交于P 点，所分得的6块面积相等。
理由：∵AD 为中线∴BD ＝CD ∴S △PBD ＝S △PCD 设S △PBD ＝S △PCD ＝a同理：可设S △PCE ＝S △PEA ＝b ；S △PAF ＝S △PBF ＝c ∵AD 为△ABC 的中线 ∴S △ABD ＝S △ACD 即a+2c ＝a+2b ∴c ＝b同理可得a ＝b ∴a ＝b ＝c∴△ABC 三条中线分得的6块三角形面积相等。
数学高线中线角平分线的三条概念
数学高线中线角平分线的三条概念数学中，线是指无限延伸的一维物体，可以用来连接两个点。
平面几何中，线是由点组成的集合，而空间几何中，直线可以看作是不受限制的无限延伸。
高线、中线和角平分线是几何中的三个重要概念，它们在解决几何问题中起到了关键的作用。
下面将分别介绍这三个概念。
一、高线：高线是指从一个点到与其所在平面垂直的直线段的长度。
在三角形中，高线指的是从一个顶点到对边的垂直线段。
一个三角形可以有三条高线，分别从三个顶点到对边。
这些高线交于一个点，被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个重要特征点，它有很多有趣的性质。
例如，三角形的三条垂线（垂直于三个边并通过垂心的直线）相交于一点，且这个点是三角形外接圆的圆心。
此外，垂心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离。
垂心还与三角形的其他特征点（如重心、外心和内心）之间存在特殊的关系。
除了三角形，其他多边形（如正方形、长方形和菱形）也有高线的概念。
在任意多边形中，高线指的是从一个顶点到与其所在边垂直的线段。
二、中线：中线是指连接多边形的两个非相邻顶点并通过多边形的重心（或中点）的线段。
在三角形中，中线指的是连接两个顶点和对边中点的线段。
三角形有三条中线，分别连接两个顶点和对边中点。
这些中线交于一个点，称为三角形的重心。
重心具有很多有趣的性质。
例如，三角形的重心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离的两倍。
重心还与三角形的其他特征点（如垂心、外心和内心）之间存在特殊的关系。
除了三角形，其他多边形也有中线的概念。
在任意多边形中，中线指的是连接两个非相邻顶点并通过多边形的重心的线段。
三、角平分线：在平面几何中，角平分线指的是把一个角分为两个相等的角的线段。
角平分线分为内角平分线和外角平分线两种。
内角平分线指的是从一个角的顶点出发并通过角的内部，将角分为两个相等的角的线段。
对于任意角而言，都存在一条内角平分线。
内角平分线具有许多重要的性质。
例如，一条内角平分线将角分为两个相等的角。
初中数学八年级角平分线线定理_垂直平分线的尺规作法
三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。
•三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
•垂直平分线的尺规作法：方法一：1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
垂直平分线的尺规作法
三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线•三角形的中线：•在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
•每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
•角平分线：•三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
•三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
•高线：•从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
•线段的垂直平分线：•经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明巧计方法：点到线段两端距离相等。
•三角形中线性质定理：•1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ；mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
•垂直平分线的尺规作法：•方法一：•1、取线段的中点。
•2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
三角形的知识点三角形三条中线的交点
三角形的知识点-三角形三条中线的交点三角形三条高线交于一点的证明？三角形三条高线交于一点的证明？证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。
求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽△ACF ∴ABAE＝，ACAFFAEB即AB·AF = AC·AE 又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽△ADC，△AFP ∽△ADB ∴AFAPAEAD＝＝，ADABADAQDC即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP ∴AD·AQ = AD·AP ∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。
证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，用四点共圆性质。
已知：△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。
求证：CF⊥AB。
证明:∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1DCA∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。
注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
证法三：证两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。
证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件kBE1kACc1b,kCF akABa则三条高的直线方程分别为：AD：x0cBE：y(x b)abCF：y(x c)aca(1)(2) (3)ba解和得(x b)(x c),(b c)x0b c(b0,c0)∴x0这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点的六种证明方法一、欧拉线证明法：欧拉线证明方法是最常见的证明三角形三条高线交于一点的方法之一。
欧拉线又称欧拉三线，由数学家欧拉提出，并以他的名字命名。
该方法通过对三角形的边、高线和重心进行关联，最终证明三条高线交于一点。
欧拉线证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三条边的中点，分别记为D、E、F。
连接B和C的垂直平分线，交于点O。
则利用垂心定理可得，AO垂直于BC。
同理，连接A和C的垂直平分线与AB的中垂线交于点O'，连接A和B的垂直平分线与AC的中垂线交于点O"，可得BO'垂直于AC，CO"垂直于AB。
因此，三条高线通过点O、O'、O"，即证明了三条高线交于一点。
二、重心证明法：重心证明法是另一种常用的证明方法。
重心是指三角形三条中线交于一点的点，也是三角形内切圆的圆心。
通过证明三角形的三条高线交于重心，可间接证明三条高线交于一点。
重心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三个顶点与相对边的中点，分别记为D、E、F。
以点D为圆心，AC的中点D为半径画圆，与AB和BC相交于点G；以点E为圆心，AB的中点E为半径画圆，与AC和BC相交于点H；以点F为圆心，BC的中点F为半径画圆，与AB和AC相交于点I。
根据圆的性质可知，AG、BH和CI与三条高线垂直且交于一点，即证明了三条高线交于一点。
三、垂心证明法：垂心证明法是通过垂心的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。
垂心是指三角形三条高线交于一点的点，也是三角形外接圆的圆心。
垂心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接任意两个顶点的垂线。
设垂足分别为D、E、F。
连接BD、CE和AF，得到三条高线。
根据垂心定义可知，BD、CE和AF都经过垂心点H。
因此，三条高线交于一点H，即证明了三条高线交于一点。
四、费马点证明法：费马点证明法是通过费马点的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。
三角形的三线
三角形的三线在数学的世界里，三角形是一个基础且重要的图形。
而三角形的三线，即三角形的高线、中线和角平分线，更是深入理解三角形性质和解决相关问题的关键。
让我们先来聊聊三角形的高线。
高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线。
每个三角形都有三条高线，并且这三条高线所在的直线会相交于一点。
锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条在内部。
高线在计算三角形的面积时非常有用。
我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以二，如果知道了三角形的底和对应的高，就能轻松算出它的面积。
接下来是中线。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
一个三角形有三条中线，这三条中线也相交于一点，并且这个交点位于三角形的内部。
中线的一个重要性质是，它把三角形分成了两个面积相等的部分。
为什么呢？因为中线平分了对边，所以以中线为底边的两个小三角形，高是相同的，底边也相等，面积自然就相等了。
在解决一些与三角形面积相关的问题或者证明一些线段关系时，中线的这个性质常常能发挥很大的作用。
最后要说的是角平分线。
角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
每个三角形同样有三条角平分线，它们也相交于一点，这个点也在三角形的内部。
角平分线的一个重要性质是，角平分线上的点到角两边的距离相等。
这个性质在很多几何证明和计算中都是很关键的依据。
为了更好地理解三角形的三线，我们不妨通过一些具体的例子来看看。
假设我们有一个等边三角形，它的边长是 6 厘米。
由于等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是 60 度。
那么它的三条高线、中线和角平分线是重合的。
我们先求它的面积。
根据等边三角形的面积公式，面积等于根号 3 乘以边长的平方除以 4，计算可得面积约为 9 倍根号3 平方厘米。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点得证明证法一:运用同一法证三条高两两相交得交点就是同一点。
已知:△ABC得两条高BE、CF相交于点O,第三条高AD交高BD于点Q,交高CF于点P。
求证:P、Q、O三点重合证明:如图,∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽△ACF∴,即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽△ADC,△AFP ∽△ADB∴,即AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行得直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。
证法二:连结一顶点与两高交点得线垂直于第三边,运用四点共圆性质。
已知:△ABC得两条高AD、BE相交于点O,第三条高CF交高AB于点F,连结CO交AB于点F。
求证:CF⊥AB。
证明:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°,∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。
注:证法一与证法二就是证明共点线得常用方法。
证法三:证明两条高得交点在第三条高线上,建立直角坐标系运用代数方法证明。
证明:如图6,以直线BC为x轴,高AD为y轴,建立直角坐标系,设A(0 , a) , B(b ,0) , C(c , 0),由两条直线垂直得条件解(2)与(3)得∴这说明BE与CF得交点在AD上,注:有时候考虑直角坐标系这一有力得数形结合工具可以有效地解决问题。
三角形的高线中线角平分线
如右图
A
∵D是BC的中点
∴BD=DC 而△ABD的面积=
—21
BD×AE
△ADC的面积= —12 DC×AE B E D
C
故△ABD的面积= △ADC的面积
也就是说： 三角形的任意一条中线把这个三角形分 成了两个面积相等的三角形。
三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形，然后画出它的中线。 想一想可以画几条？他们有什么特点？
D
C
三角形的高
(2)A怎样画三角A形的高线？（画法）A
G
F
B
E
CB
D
F
CB
CD E
三角形的高
小结: ①锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形都有高线，三角形的三条高线所在直 线相交于一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部 一点。直角三角形高线交于直角顶点。 钝角三角形高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段，而垂线是直线。
学习目标：
1、认识三角形的角平分线、中线、 高这三种线段。
2、会画任意三角形的角平分线、中 线和高。
3、了解三角形的角平分线、中线、 高会相交于一点。
相关知识回顾
1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有
一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。
2.线段中点的定义：把一条线段分成两条相等的
三角形 的中线
三角形中,连结
一个顶点和它对
边中的
线段
B
三角形一个内角
三角形的 角平分线
的平分线与它的 对边相交,这个 角顶点与交点之
间的线段
B
A
∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC D C ∠ADB=∠ADC=90°.
三角形中重要线段交于一点证明 7
三角形中重要线段交于一点证明经过了学习，我们都知道三角形中的角平分线、中线、高线均交于一点。
这真的是偶然的现象吗？并不是这样的，现在让我们来以一一进行证明。
首先我们介绍两个公式①梅涅劳斯定理这个定理是用来证明三点共线的重要定理，与这次所要证明的并无关系。
但作为这次所要使用的塞瓦定理的孪生兄弟，也可谓重要至极。
②塞瓦定理这个定理即是我们这次所需要的主角，它能够证明三线共点或平行，而只有能满足上述关系式，就能证明三线共点或平行一、中线交于一点课本上已经介绍过，三条中线交于一点，而这个交点叫做重心。
我们现在来证明一下重心的存在性。
法一：塞瓦定理作△ABC 的中线AE 、BF 交于点G 。
连接AG 并延长交BC 于点E 。
∵AE 、BF 是△ABC 的中线（已知）∴AD=BD,AF=CF(三角形中线定义) ∵FACF EC BE DB AD **=1(塞瓦定理) ∴EC BE =1（等量代换） 即BE=EC∴AE 是△ABC 的中线（三角形的中线定义）法二：相似作△ABC 的中线CF 、AD 分别交AB 、CD 于F 、D 。
CF 、 AD 相交于G 。
连接BG 并延长至E 交AC 于E 。
过G作BC 的平行线分别交AB 、AC 于I,J 。
过G 作AB的平行线分别交AC 、BC 于K 、H 。
连接IH 。
∵IJ ∥BC （已作）∴∠AIJ=∠ABC,∠AGI=∠ADB （两直线平行，同位角相等） 在△AIG 和△ABD 中 ∠AIJ=∠ABC∠AGI=∠ADB （已证）∠IAG=∠BAD （公共角）∴△AIG ∽△ABD∴ADAG BD IG =（相似三角形性质） 同理可得：ADAG CD JG = ∴CD JG BD IG =（等量代换）∵AD 是△ABC 的中线（已知）∴BD=CD （中线定义）∴IG=JG （等式性质）同理可得:HG=KG在△IGH 和△JGK 中 IG=JG （已证）∠IGH=∠JGK （对顶角相等）HG=KG （已证）∴△IGH ≌△JGK （SAS)∴∠GIH=∠GJK （全等三角形性质）∴IH ∥AC(内错角相等，两直线平行)∴∠BLI=∠BEA,∠BIL=∠BAE （两直线平行，内错角相等） 在△BIL 和△BAE 中∠BLI=∠BEA∠BIL=∠BAE （已证）∠IBL=∠ABE （公共角）∴△BIL ∽△BAE∴BE BLAE IL =(相似三角形性质)同理可得：BE BLCE HL =∴CE HLAE IL =（等量代换）∴CE AEHL IL =(分式性质)∵IG ∥BH （已作）。
三角形三边中垂线交于一点证明
三角形三边中垂线交于一点证明三角形三边中垂线交于一点是基本的几何现象之一。
下面我们将从几何的角度解释为什么三角形的三条中垂线会交于一点，并且探讨这个现象的一些有趣性质。
首先，让我们来了解一下什么是中垂线。
中垂线是指从三角形的一个顶点向对边的中点引一条垂线。
对于任意的三角形ABC，我们可以从顶点A向BC中点D引一条垂线AD，同样的方式可以得到BC和AC的中垂线。
在一般情况下，我们会发现这三条线是相交于一点的。
为了证明这个现象，我们首先需要理解三角形的垂心。
垂心是指三角形三条高线的交点。
高线是指从三角形的一个顶点向对边引一条垂线。
对于任意的三角形ABC，我们可以从顶点A向BC的垂线交于点H，同样的方式可以得到BC和AC的高线。
根据垂心的定义，我们可以看出三角形的三条高线是相交于一点的。
接下来，我们来证明三角形的三条中垂线和三条高线交于同一个点。
考虑一个任意的三角形ABC，首先我们可以得到AC的中点E，BC的中点F，因此EF是AC的中垂线。
我们已经知道AC的高线交于点H，所以EF与高线AH是相交于一点的。
同样的道理，可以得到三角形的另外两个中垂线与另外两条高线分别交于同一个点，即三角形的三条中垂线交于一点，这个点就是垂心。
三角形三条中垂线交于一点的这个性质有一些有趣的指导意义。
首先，它可以用来构造三角形的垂心，进而确定三角形的高线。
高线对于三角形的性质研究非常重要，可以帮助我们更深入地了解三角形的几何特性。
此外，中垂线的交点也被称为三角形的外心。
外心是指三角形三条外接圆的交点，外接圆是指可以完全内切于三角形的圆。
外心有着很多有用的性质，比如外心到三角形三个顶点的距离都相等，外心到三角形边的距离也都相等。
因此，中垂线的交点作为三角形的外心，也具有重要的几何意义。
总结起来，三角形的三条中垂线交于一点，这个点被称为三角形的垂心，也是三角形的外心。
这个性质不仅是基本的几何知识，而且具有一些有趣的指导意义。
通过理解三角形中垂线的交点，我们可以更深入地研究三角形的性质，并且应用于实际问题的解决中。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△ ABC 的两条高 BE、CF 相交于点 O，第三条高 AD 交高 BD 于点 Q，交高 CF 于点 P。
求证： P、Q、O 三点重合证明：如图，∵ BE⊥AC ，CF⊥AB∴∠ AEB = ∠AFC = 90°又∵∠ BAE = ∠ CAF∴△ ABE ∽ △ACF∴AB ＝ AE ，AC AFAFEPOQB DC即AB ·AF = AC ·AE又∵ AD ⊥BC∴△ AEQ ∽ △ADC ，△ AFP ∽ △ADB∴AE ＝ AD ， AF ＝ APAD AQ AD AB即AC ·AE = AD ·AQ ，AB · AF = AD · AP∵AB · AF = AC· AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB · AF = AD · AP ∴AD · AQ = AD ·AP∴AQ = AP∵点 Q、P 都在线段 AD 上∴点 Q、P 重合∴AD 与 BE、AD 与 CF 交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE 与 CF 也交于此点∴点 Q、P、O 重合。
证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。
已知：△ ABC 的两条高 AD 、BE 相交于点 O，第三条高 CF 交高 AB 于点F，连结 CO 交 AB 于点 F。
求证： CF⊥AB 。
证明 :∵ AD ⊥ BC 于 D， BE⊥ AC 于 E∴A 、B、 D、E 四点共圆AE∴∠ 1＝∠ ABE FO同理∠ 2＝∠ 1∴∠ 2＝∠ ABE123B D C∵∠ ABE+∠ BAC ＝ 90°，∴∠ 2+∠ BAC ＝ 90°即CF⊥ AB 。
注：证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点的六种证明方法Revised as of 23 November 2020QP OFE DCB A三角形三条高线交于一点的证明证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：△ABC 的两条高BE 、CF 相交于点O ，第三条高AD 交高BD 于点Q ，交高CF 于点P 。
求证：P 、Q 、O 三点重合证明：如图，∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF ∴△ABE ∽ △ACF∴AF AE AC AB ＝， 即AB ·AF = AC ·AE 又∵AD ⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC ，△AFP ∽ △ADB ∴AQ AD AD AE ＝，ABAP AD AF ＝ 即AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP∵AB ·AF = AC ·AE ，AC ·AE = AD ·AQ ，AB ·AF = AD ·AP ∴AD ·AQ = AD ·AP ∴AQ = AP∵点Q 、P 都在线段AD 上 ∴点Q 、P 重合∴AD 与BE 、AD 与CF 交于同一点DCA∵两条不平行的直线只有一个交点 ∴BE 与CF 也交于此点 ∴点Q 、P 、O 重合。
证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。
已知：△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点O ，第三条高CF 交高AB 于点F ，连结CO 交AB 于点F 。
求证：CF ⊥AB 。
证明:∵AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠1＝∠ABE 同理∠2＝∠1 ∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90° 即CF ⊥AB 。
三角形的中线高线和中垂线
三角形的中线高线和中垂线在数学的奇妙世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的中线、高线和中垂线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键要素。
首先，咱们来聊聊三角形的中线。
中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
比如说，在三角形 ABC 中，连接顶点 A 和对边 BC中点 D 的线段 AD 就是中线。
每个三角形都有三条中线，并且这三条中线都相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心有一个很有趣的性质，就是它把每条中线都分成了 1:2 的两段。
中线在解决三角形的面积问题时非常有用。
因为中线把三角形分成了两个面积相等的小三角形。
比如说，还是上面提到的三角形ABC 中，AD 是中线，那么三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积就相等。
这是因为这两个小三角形的底 BD 和 DC 相等，高都是从 A 点向 BC 作垂线的长度，所以根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），它们的面积就相等啦。
接下来，再说说三角形的高线。
高线就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
比如在三角形 ABC 中，从顶点 A 向对边 BC 作垂线，垂足为 E，那么线段 AE 就是三角形ABC 的一条高线。
同样，一个三角形有三条高线，这三条高线所在的直线会相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
高线在计算三角形的面积时也是必不可少的。
因为三角形的面积可以用公式（面积＝底×高÷2）来计算，只要知道了底和对应的高，就能求出面积。
而且，通过高线还能判断三角形的类型。
如果一个三角形的三条高线都在三角形内部，那这个三角形就是锐角三角形；如果有一条高线在三角形的边上，那它就是直角三角形；要是有两条高线在三角形外部，那它就是钝角三角形。
最后，咱们讲讲三角形的中垂线。
中垂线就是垂直平分一条线段的直线。
对于三角形来说，三角形一边的中垂线就是经过这条边中点并且垂直于这条边的直线。
三角形的四心(祥细)教程文件
二、内内心心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称内心 如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等 (2) 内心一定在三角形的内部
ID=IE=IF
外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
二、外内心心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角
形的外接圆的圆心，简称外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等 (2) 锐角△的外心在三角形的内部 直角△的外心在斜边的中点处 钝角△的外心在三角形的外部
AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
注注 意意
1、三角形的中心：
只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
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过点A、B、C分别作对边的平行线
相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′
C
的中垂线；同理BE、CF也分别为
A′C′、A′B′的中垂线，
由外心定理，它们交于一点，
命题得证．
二、垂内心心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形 的垂心 如图，H为△ABC的垂心
性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边
O C
三角形三边中垂线、高线、角平分线、中线必交一点
证明：三角形三边中垂线必交与一点在三角形ABC中作AB和AC的中垂线，交于0点则由中垂线性质可知AO=BO,AO=CO故BO=CO过0作BC的垂线，垂足为D,则由BO=CO与OD=OD可证得Rt三角形ODB全等于Rt 三角形ODC故BD=CD,即卩0D为BC的中垂线则AB和AC、BC的中垂线都交于O证明：三角形三个内角角平分线必交与一点设三角形ABC,首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点，设为D,分别过点D作三边垂线，ABBCAC上的垂足为EFG由角平分线定理，DE=DF,DE=DG所以DF=DG，由逆定理，CD也为角平分线证明：三角形三边高线必交于一点1如图：作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG 延长交BC与F,现在要证明AF丄BC。
由于Z ADC+Z AEB=180，所以ADGE四点共圆，所以Z DAG=Z DEG同理有DEBC四点共圆，所以有Z BCD=Z DEG所以Z BCG=Z DAG，又Z DGA=Z FGC，所以Z CFG=Z ADG=90度2利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。
1•塞瓦定理的逆定理设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。
3.解析法,把三条直线设出来,然后算出三条高线的解析式,证明它们交在一个点证明：三角形三边中线必交于一点三角形ABC的中线BE和CD交点O,连接并延长AO交BC于F，证明：F是BC中点。
三角形直线相关
三角形直线相关
三角形是初中数学中的重要内容，而直线也是数学中的基础概念。
在三角形中，直线与三角形有着密切的关系，下面我们就来探讨一下三角形直线相关的内容。
我们来看三角形中的中线。
中线是连接三角形两个顶点的中点的线段，它将三角形分成两个面积相等的三角形。
同时，三角形三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征，它在三角形的平衡中起着重要的作用。
我们来看三角形中的角平分线。
角平分线是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，三条角平分线交于一点，这个点被称为三角形的内心。
内心是三角形的一个重要特征，它与三角形的外接圆和内切圆有着密切的关系。
我们来看三角形中的垂线。
垂线是从一个点垂直于一条直线或平面的线段。
在三角形中，三条垂线交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个重要特征，它与三角形的外接圆和垂心三角形有着密切的关系。
我们来看三角形中的高线。
高线是从一个角的顶点垂直于对边的线段。
在三角形中，三条高线交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
垂心是三角形的一个重要特征，它与三角形的外接圆和垂心三角形有着密切的关系。
三角形中的中线、角平分线、垂线和高线都与三角形的重心、内心、垂心和外心有着密切的关系。
在解决三角形相关问题时，我们可以利用这些特征来简化问题，提高解题效率。
三角形的高、中线与角平分线课件
直角三角形：三 三条 角高形线的相直交角于的一顶点点，处交点在直角
钝角三角形：三 的条 外高部线相交于一点，交点在三角形
三角形的中线
在三角形中,连接一个
顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1 BC
2
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画 出这个三角形三条边的中线,你发现了 什么?
B
●
C
D
三角形的三条角平分线相交 于一点,交点在三角形的内
部
三角形的角平分线
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B_E_=_∠_C_B_E_= 1___∠_A_BC
2
F
∵CF是△ABC的角平分线
E
O
∴∠ACB=2∠_A_C_F_ =2∠_B_C_F_
三角形的角平分线与角 的平分线有什么区别？
B
D
B
C
在三角形的内部还是外部?
D
锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。
A
(1)画出直角三角形的三条高. (2)它们有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
直角三角形的三条高交于直角顶点.B●
直角边BC边上的高是______; AB
C
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.
你还记得“过一点画已知直线的垂线” 吗?
0 1 2 0 3 1 4 02 5 13 24 35 4 5
过三角形的一个顶点， 你能画出它的对边的垂 线吗?
01 23 4 5 6 78 9 10
证明三角形三条垂线交于一点
证明三角形三条垂线交于一点1. 引言：探寻三角形的秘密你有没有想过，三角形里的那些垂直线，其实能在一个神奇的地方相遇？就像拼图游戏里的最后一块，那样美妙而神奇。
今天，我们就来聊聊如何证明三角形的三条垂线交于一个点。
准备好了吗？让我们一起进入这个几何的迷人世界！2. 基础知识回顾2.1 垂线的定义首先，咱们得搞清楚“垂线”是什么意思。
垂线就是两条线相交时，形成90度的角。
简单来说，像十字架一样的交点。
拿一张纸，用直尺画两条垂直的线，看看是不是正好形成一个十字。
这就是我们所说的垂线。
2.2 垂心的概念接下来，介绍一个重要的概念：垂心。
垂心是三角形内部的一个点，所有三条角平分线的交点。
用大家都熟悉的说法，垂心就是一个神奇的地方，所有的“垂直力量”都汇聚在这里。
3. 证明过程：一步步揭开谜底3.1 画图示例想象一下你有一个三角形ABC，我们要证明这个三角形的三条高（即从一个顶点垂直于对边的线段）交于一点。
首先，画一个三角形，标上A、B、C三个点。
然后，从A、B、C分别引一条垂直于对边的线。
别急，慢慢来，这个过程就像拼乐高一样，先找出大概的形状，再慢慢细化。
3.2 使用几何定理接下来，来点干货。
我们可以用几何定理来证明这个问题。
一个经典的定理叫做“垂心定理”，它告诉我们：三角形的三条高确实会交于一个点。
这个点就是三角形的垂心。
简单来说，就是这些高线在三角形内部打了个“结”，互相交汇在一个地方。
4. 具体证明步骤4.1 证明三条高相交于一点为了证明三条高会交于一点，我们可以从几何学的角度来分析。
拿一张图纸，画一个三角形ABC。
假设我们已经画出了三条高：从A点到BC边的垂线，从B点到AC边的垂线，还有从C点到AB边的垂线。
这三条线分别用不同的颜色标记，以便观察它们的交点。
接着，用尺子测量这些线的交点，发现它们确实在一个点相遇。
这个交点就是垂心。
4.2 验证交点的一致性再来一点验证，选一个具体的三角形，例如一个等边三角形。
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证明：三角形三边中垂线必交与一点
在三角形ABC中
作AB和AC的中垂线，交于O点
则由中垂线性质可知AO=BO，AO=CO
故BO=CO
过O作BC的垂线，垂足为D，则由BO=CO与OD=OD可证得Rt三角形ODB全等于Rt 三角形ODC
故BD=CD，即OD为BC的中垂线
则AB和AC、BC的中垂线都交于O
证明：三角形三个内角角平分线必交与一点
设三角形ABC，首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点，设为D，分别过点D作三边垂线，AB BC AC上的垂足为E F G
由角平分线定理，DE=DF，DE=DG
所以DF=DG，由逆定理，CD也为角平分线
证明：三角形三边高线必交于一点
1如图：作AB的高CD和AC的高BE，显然，两高线比交与一点，设为G点，连接AG 延长交BC与F，现在要证明AF⊥BC。
由于∠ADC+∠AEB=180，所以ADGE四点共圆，所以∠DAG=∠DEG
同理有DEBC四点共圆，所以有∠BCD=∠DEG
所以∠BCG=∠DAG，又∠DGA=∠FGC，所以∠CFG=∠ADG=90度
所以AF⊥BC
2利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
1.塞瓦定理的逆定理
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF 交于一点。
3.解析法，把三条直线设出来，然后算出三条高线的解析式，证明它们交在一个点
证明：三角形三边中线必交于一点
三角形ABC的中线BE和CD交点O，连接并延长AO交BC于F，证明：F是BC中点。
作BG平行DC交AO延长线于G
则因D为AB中点,所以O为AG中点
连接GC,则在三角形AGC中,OE是中位线
OE平行GC
所以BOCG为平行四边形
F平分BC，F是BC中点。