苍南中学提前招生数学试卷
浙江省温州市苍南中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
A．25
B．19 + 2 6
C．26
D．19
8．设函数 f ( x) = x2 + 2x + a ，若函数 y = f [ f (x)] 有且只有 2 个不同的零点，则 a 的取
值范围是（ ）
( ) A． -1- 5,-1+ 5
B．
æ ççè
-1
2
5
,
-1 + 2
5ö ÷÷ø
( ) C． -1- 3,-1+ 3
试卷第51 页，共33 页
1．A
参考答案：
【分析】根据列举法表示集合的基本运算即可求出结果.
【详解】由题意可知 A U B = {1, 2,3, 4} ，又 C = {1, 2,3, 4,5} ；
可得 ðC ( A È B) = {5} .
故选：A 2．B
【分析】依题意可得 x - 2 > 0 ，求解即可.
ÎR
，
x0 x0
-2 +3
£
0或
x0
=
-3
5．若偶函数 f ( x) 在 (-¥, -1] 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．
f
æ çè
-
3ö 2 ÷ø
<
f
( -1)
<
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
B．
f
(-1) <
f
æ çè
-
3ö 2 ÷ø
<
f
(2)
C．
f
(2)
<
f
( -1)
<
f
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-
3ö 2 ÷ø
浙江省苍南县青华学校2019年温州中学提前招生模拟卷
浙江省苍南县青华学校2019年温州中学提前招生模拟卷（本试卷满分100分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1.若1<a <3，则|3|a -=（ ）A ．2a －4B ．4－2aC ．2D ．a －42.在直角坐标系中，某一点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点。
如果关于x 的不等式组8090x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，那么适合这个不等式组的a 、b 构成的整点（a ,b ）共有 （ ）Ａ．81个 Ｂ．72个 Ｃ．64个 Ｄ．17个3.如图，抛物线2y x ax b =++交 x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C ∠OBC ＝30°，则下列各式成立的是 （）A ．310b -= B ．310a -=C ．310b += D ．310a +=4.已知0<⋅n m 且1101m n n m ->->>++，那么n ，m ，1n ，1n m+的大小关系是 （ ） A ．11m n n n m <<+<B ．11m n n m n<+<< C ．11n m n m n +<<<D ．11m n n m n<+<< 5.如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等， 当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形做无滑动旋转，直至回到 出发位置时，该圆自转了n 圈，则n ＝ （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5B6.已知实数xy ，满足85x -=，4225y y +=，则44y x +的值为 （ ） A．421B ．14+C ．14D ．2147.如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE ∥BC ．已知AE ＝22，AC ＝32，BC ＝6， 则⊙O 的半径是 （ ）A ．3B ．4C ．43D ．2 38.如图,已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB=2，F 是BC 的中点，AF 的延长线交⊙O 于点E ，则AE 的长是（）A.C.D. 9.小明、小联、小豪人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏。
2019年浙江省苍南中学提前招生数学试题卷2(pdf版,无答案)
2019年浙江省苍南中学提前招生数学试题卷2一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分．）1已知关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有实数根，则k 的取值范围是()A.2≥kB.2≤kC.21≤≤-kD.21≤≤-k 且21≠k 2已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为-------------------------------------------（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）44如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（）A.π-4B.πC.π+12D.415π+5如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE ∥BC ．已知AE ＝22，AC＝32，BC ＝6，则⊙O 的半径是（）（A ）3（B ）4（C ）43（D ）236如图，已知圆心为A、B、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为a、b、c(0<c<a<b)，则a、b、c 一定满足的关系式为()（A）2b=a+c （B）=b ca +（C）b ac 111+=(D)b a c 111+=7已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5S x x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。
2019年浙江省苍南中学提前招生考试数学试题卷(两套合集)
2019年浙江省苍南中学提前招生考试数学试题卷1一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分．）1在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在第二象限，点B 在x 轴负半轴上，△OAB 的面积是9，P 是AB 中点，若函数y ＝kx（x<0）的图像经过点A 、P ，则k 的值为（）（A ）-6（B ）-4（C ）-3（D ）-22如图，已知锐角∠A=∠B ，AA 1、PP 1、BB 1均垂直于A 1B 1，垂足分别是A 1、P 1、B 1，且AA 1=17，AP+PB=13，BB 1=20，A 1B 1=12，则PP 1的长度为（）（A ）13（B ）14（C ）15（D ）163如图，在⊙C 中，DE ⊥AB 于E ，EH ⊥CD 于H ，设AE=a ，EB=b ，则长度为ba ab+2的线段是（▲）A.CHB.HEC.CED.HD4若0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++-c b a ，则201520152015||||||⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c b b a a 的值为（）A ．1-B ．3-C ．1D ．35定义新运算：对于任意实数a 、b 都有b b a b a 422+-=⊗．若0222<+⊗y y ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=⊗-=⊗142x y y 的解是（）A ．⎩⎨⎧-==11y x B ．⎩⎨⎧=+=321y x C ．⎩⎨⎧=-=321y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121y x 6如图，棱长为1的正方体形状的箱子放在地面上(面ABCD 着地)，先将它绕着棱BC 旋转90o ，使得面''B BCC 着地；再绕着棱'CC 旋转90o ，使得面''C CDD 着地；最后绕着棱''D C 旋转90o ，使得面''''D C B A 着地．在这个运动过程中，顶点A 在空间所经过的路径长为（）A ．23πB ．2)221(π+C ．2)22(π+D ．223π绝密★考试结束前M N EF（第5题图）7已知a，b，c 是△ABC 的三条边的边长，且p=++，则（）A．存在三角形使得p=1或p=2B．0＜p＜1C．1＜p＜2D．2＜p＜38已知平行四边形ABCD 中，E，F 分别是AB，AD 上的点，EF 与对角线AC 交于P，若=，=，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题(本题有7个小题，每小题6分，共42分)9已知a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，则2a 2－5a －2＋3a 2＋1的值为。
浙江省苍南县2019重点高中自主招生数学模拟试卷2 解析版
2019重点高中自主招生数学模拟试卷2题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共8小题，4*8=32）1．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：102．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数解的是（）A．＝0 B．＝1C．＝3 D．4．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+b的大致图象只可能是（）A．B．C．D．5．有5个数，其中任两个数的和分别为：4，5，7，7，8，9，10，10，11，13．则将这5个数从小到大排列后，中间的一个数是（）A．3 B．4 C．5 D．66．某种品牌的同一种洗衣粉有A、B、C三种袋装包装，每袋分别装有400克、300克、200克洗衣粉，售价分别为3.5元、2.8元、1.9元．A、B、C三种包装的洗衣粉每袋包装费用（含包装袋成本）分别为0.8元、0.6元、0.5元．厂家销售A、B、C三种包装的洗衣粉各1200千克，获得利润最大的是（）A．A种包装的洗衣粉B．B种包装的洗衣粉C．C种包装的洗衣粉D．三种包装的都相同7．在△ABC中，BC＝a，AB＝c，CA＝b．且a，b，c满足：a2﹣6a＝﹣9，b2﹣8b＝﹣16，c2﹣10c ＝﹣25．则2sin A+sin B＝（）A．1 B．C．2 D．8．将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是（）A．7，9 B．6，9 C．7，10 D．3，11第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，4*8=32）9．设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，y1＞y2，则实数k的取值范围是．10．已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4，则实数x的取值范围是．11．如图，将一张等腰直角三角形沿中位线剪成一个三角形与一个梯形后，则这两个图形可能拼成的平面四边形是．（不许重合、折叠）12．如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S＝1，则正方形ABCD的面积为．△AIJ13．如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中＝108°，AB＝a，＝36°，CD＝b，则⊙O的半径R＝．14．如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为．15．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法．如图，﹣层二叉树的结点总数为1；二层二叉树的结点的总数为3；三层二叉树的结点总数为7；四层二叉树的结点总数为15…，照此规律，七层二叉树的结点总数为．16．已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．评卷人得分三．解答题（共6小题，56分）17．（8分）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若AB＝6cm，试回答下列问题：（1）如图甲，BC的长是多少？图形面积是多少？（2）如图乙，图中的a是多少？b是多少？18．（8分）某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．19．（8分）如图1所示，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．（1）当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF＝时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．20．（10分）甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？21．（10分）如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C 的直线y＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB＝4．（1）求点B，P，C的坐标；（2）求证：CD是⊙P的切线；（3）若二次函数y＝﹣x2+（a+1）x+6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y＝2x+b值的x的取值范围．22．（12分）已知关于x的方程7x3﹣7（p+2）x2+（44p﹣1）x+2＝60p（*）①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数．②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式．③若方程（*）的三个根均为自然数，求p的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．【解答】解：连接EM，CE：CD＝CM：CA＝1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3∴AH＝（3﹣）ME，∴AH：ME＝12：5∴HG：GM＝AH：EM＝12：5设GM＝5k，GH＝12k，∵BH：HM＝3：2＝BH：17k∴BH＝K，∴BH：HG：GM＝k：12k：5k＝51：24：10故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．2．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r＝，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S＝，又∵r＝，∴a+b＝2r+c，将a+b＝2r+c代入S＝得：S＝r＝r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选：B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．3．下列方程中，有实数解的是（）A．＝0 B．＝1C．＝3 D．【分析】根据二次根式的性质及通过解方程从而作出判断．【解答】解：A、+＝0，则x﹣1＝0，即x＝1；x+4＝0，即x＝﹣4.1≠﹣4，故方程没有实数解；B、∵＞2，根据二次根式的非负性可知＝1没有实数解；C、＝3的解为x＝0，故方程有实数解；D、两边平方去根号整理为9x2﹣48x+148＝0，△＝（﹣48）2﹣4×9×148＜0，故方程没有实数解．故选：C．【点评】判断无理方程中实数解的情况，可以通过解方程得出，需要注意的是结果需检验．4．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+b的大致图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：由这四个选项中的二次函数图象，开口向上，可判断a＞0，对称轴在y轴的左侧，a与b的符号相同，∴a＞0，b＞0∴直线过第一二三象限，故选：A．【点评】应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．有5个数，其中任两个数的和分别为：4，5，7，7，8，9，10，10，11，13．则将这5个数从小到大排列后，中间的一个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据五个数中，任取的两个数的和是4，5，7，7，8，9，10，10，11，13，设这五个数是a，b，c，d，e，则有a+b＝4，a+c＝5，b+c＝7，求得a＝1、b＝3、c＝4，又a+d＝7，d＝6，又d+e ＝13，e＝7，则这五个数是1、3、4、6、7，所以中间的一个数是4．【解答】解：设这5个数是a、b、c、d、e，依题意，有：，解得，又由a+d＝7，即d＝6，d+e＝13，即e＝7可得：这5个数为1，3，4，6，7，因此中间的一个数是4．故选B．【点评】此题可以用设未知数的方法，列方程进行分析求解．6．某种品牌的同一种洗衣粉有A、B、C三种袋装包装，每袋分别装有400克、300克、200克洗衣粉，售价分别为3.5元、2.8元、1.9元．A、B、C三种包装的洗衣粉每袋包装费用（含包装袋成本）分别为0.8元、0.6元、0.5元．厂家销售A、B、C三种包装的洗衣粉各1200千克，获得利润最大的是（）A．A种包装的洗衣粉B．B种包装的洗衣粉C．C种包装的洗衣粉D．三种包装的都相同【分析】分别计算出每种包装的洗衣粉的利润后，判断那个利润最大．【解答】解：1200千克＝1200000克．三种包装的洗衣粉的利润分别是：A＝1200000÷400×（3.5﹣0.8）＝8100；B＝1200000÷300×（2.8﹣0.6）＝8800；C＝1200000÷200×（1.9﹣0.5）＝8400，其最大的数是8800元，所以获得利润最大的是B种包装的洗衣粉．故选：B．【点评】本题考查了有理数的混合运算及有理数的大小比较在实际生活中的应用．有理数大小比较的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．7．在△ABC中，BC＝a，AB＝c，CA＝b．且a，b，c满足：a2﹣6a＝﹣9，b2﹣8b＝﹣16，c2﹣10c ＝﹣25．则2sin A+sin B＝（）A．1 B．C．2 D．【分析】根据已知判断三角形为直角三角形；运用三角函数定义求解．【解答】解：由已知可得（a﹣3）2＝0，（b﹣4）2＝0，（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，有a2+b2＝c2，∴此三角形为直角三角形．故2sin A+sin B＝2×+＝2．故选：C．【点评】此题考查直角三角形的判定方法及三角函数的定义．8．将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是（）A．7，9 B．6，9 C．7，10 D．3，11【分析】棱上的数可能是3，4，5，6，7，8，9，10，11这9个数中的几个．【解答】证明：①根据题意，相邻两面上的数相加，正方体每个面都有4个相邻面，所以：每个面的数字都是加4遍；1、2、3、4、5、6这6个数的和为21；所以：不论数字怎么摆放，12条棱12个数字的和恒等于：4×21＝84这6个数任取2个相加，只有9个不重复的数字：3，4，5，6，7，8，9，10，11所以：根据“抽屉原理”，12条棱的数字至少重复3个．即：棱上不同和数的个数最多9个！②9个和数3，4，5，6，7，8，9，10，11分解：3＝1+24＝1+35＝1+4＝2+3[可重复1次]6＝1+5＝2+4[可重复1次]7＝1+6＝2+5＝3+4[可重复2次]8＝2+6＝3+5[可重复1次]9＝3+6＝4+5[可重复1次]10＝4+611＝5+6如果所有重复的情况都出现，这些重复的数字的和为：2*（5+6+8+9）+3*7＝56+21＝7712个和数字的和恒为84，剩余一个和数＝84﹣77＝7，而7已经被重复了2次，不可能再出现．所以这种情况不成立．所以最多只能重复5次．即：棱上和数最少7个．故选：A．【点评】本题主要考查对几个数的和的大小讨论．二．填空题（共8小题）9．设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，y1＞y2，则实数k的取值范围是﹣1＜k＜1．【分析】先判断出反比例函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可．【解答】解：∵k为常数，函数形式为反比例函数，x1＜0＜x2，y1＞y2，函数图象只能在二四象限．那么k2﹣1＜0，k2＜1，∴﹣1＜k＜1．故答案为﹣1＜k＜1．【点评】可根据所给条件判断反比例函数图象分支所在的象限，进而求解．10．已知|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4，则实数x的取值范围是2≤x≤3．【分析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．此题可以分为五种情况讨论．【解答】解：①当x＜1时，原式＝1﹣x+2﹣x+3﹣x+4﹣x＝10﹣3x；②当1≤x＜2时，原式＝x﹣1+2﹣x+3﹣x+4﹣x＝8﹣2x；③当2≤x＜3时，原式＝x﹣1+x﹣2+3﹣x+4﹣x＝4；④当3≤x＜4时，原式＝x﹣1+x﹣2+x﹣3+4﹣x＝2x﹣2；⑤当x≥4时，原式＝x﹣1+x﹣2+x﹣3+x﹣4＝3x﹣10．故若原式＝4，则属于第三种情况，又x＝3时也满足|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|＝4．所以x的取值范围是2≤x≤3．【点评】做此类题时，可以结合数轴来分类讨论，简单明了．11．如图，将一张等腰直角三角形沿中位线剪成一个三角形与一个梯形后，则这两个图形可能拼成的平面四边形是等腰梯形或矩形或平行四边形．（不许重合、折叠）【分析】让相等边重合，动手操作即可．【解答】解：如图：可拼成以上三种图形：等腰梯形、矩形、平行四边形．【点评】本题考查学生的动手操作能力．12．如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S＝1，则正方形ABCD的面积为256．△AIJ【分析】根据题意知：△AIJ，△IJH，△IHG，△GHF，△GFE，△EFO，△EOD为等腰直角三角形，根据△AIJ的面积，可将正方形ABCD的边长求出，进而可求出其面积．【解答】解：在Rt△AIJ中，＝（IJ）2＝1∵S△AIJ∴IJ＝在Rt△IJH中，IH＝IJ＝2；在Rt△IHG中，GH＝IH＝2；在Rt△GHF中，GF＝GH＝4；在Rt△GFE中，EF＝GF＝4；在Rt△EFO中，OE＝ED＝EF＝8；∴AD＝2ED＝16∴正方形ABCD的面积为：162＝256故答案为256．【点评】本题主要是应用等腰直角三角形的特殊性质．13．如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中＝108°，AB＝a，＝36°，CD＝b，则⊙O的半径R＝R＝．【分析】在AB上取BM＝OB，连接OA、OB、OC、OD、OM，求出△BOM≌△OCD，△MAO∽△OAB，推出AM＝OM＝CD＝b，OB＝BM＝a﹣b，或OA2＝AB•AM，代入求出即可．【解答】解：在AB上截取BM＝OB，连接OD、OC、OA、OB、OM，∵弧AB＝108°，弧CD＝36°，∴∠AOB＝108°，∠COD＝36°，∵OC＝OD＝OA＝OB，∴∠ABO＝∠DOC＝36°，∴△BOM≌△OCD，△MAO∽△OAB，∴AM＝OM＝CD＝b，OB＝BM＝a﹣b，或OA2＝AB•AM，∴OB＝a﹣b或OA＝OB＝，故答案为：a﹣b或．【点评】此题主要用正弦定理解，也考查了垂径定理和圆周角定理．14．如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为．【分析】连接CB′．由于B'为长方形纸片ABCD的对称中心，∴AB′C是矩形的对角线．由折叠的性质知可得△ABC三边关系求解．【解答】解：连接CB′．由于B'为长方形纸片ABCD的对称中心，∴AB′C是矩形的对角线．由折叠的性质知，AC＝2AB′＝2AB＝2b，∴sin∠ACB＝AB：AC＝1：2，∴∠ACB＝30°．cos∠ACB＝cos30°＝a：b＝．【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，锐角三角函数的概念求解．15．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法．如图，﹣层二叉树的结点总数为1；二层二叉树的结点的总数为3；三层二叉树的结点总数为7；四层二叉树的结点总数为15…，照此规律，七层二叉树的结点总数为127．【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【解答】解：根据题意分析可得：第n层的二叉树的结点总数为2n﹣1；故七层二叉树的结点总数为27﹣1＝127．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．16．已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于6π．【分析】根据题意可知，点A走过的路线是三段弧线的和，即三个扇形的弧长之和．【解答】解：++＝6π．【点评】主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记，弧长公式为：l＝．解此题的关键是准确的找到点A所走过的路线，并找到所在扇形的圆心角和半径长．三．解答题（共6小题）17．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若AB＝6cm，试回答下列问题：（1）如图甲，BC的长是多少？图形面积是多少？（2）如图乙，图中的a是多少？b是多少？【分析】（1）根据函数图形可判断出BC的长度，将图象分为几个部分可得出面积．（2）根据三角形的面积计算公式，进行求解．【解答】解：（1）已知当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变，由第二个图得，P在BC上移动了4秒，那么BC＝4×2＝8cm．在CD上移动了2秒，CD＝2×2＝4cm，在DE上移动了3秒，DE＝3×2＝6cm，而AB＝6cm，那么EF＝AB﹣CD＝2cm，需要移动2÷2＝1秒．AF＝CB+DE＝14cm．需要移动14÷2＝7秒，S＝AB×BC+DE×EF＝6×8+6×2＝60cm2．图形（2）由图得，a是点P运行4秒时△ABP的面积，＝×6×8＝24，∴S△ABPb为点P走完全程的时间为：t＝9+1+7＝17s．答：（1）故BC长是8cm，图形面积是60cm2；（2）图中的a是24，b是17．【点评】本题需结合两个图，得到相应的线段长度，进而求解．18．某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．【分析】（1）根据题意，需分类讨论．因为80＜120，所以不可能选择A类年票；若只选择购买B类年票，则能够进入该园林＝10（次）；若只选择购买C类年票，则能够进入该园林≈13（次）；若不购买年票，则能够进入该园林＝8（次）．通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C类年票．（2）设一年中进入该园林至少超过x次时，购买A类年票比较合算，根据题意，得．求得解集即可得解．【解答】解：（1）根据题意，需分类讨论．因为80＜120，所以不可能选择A类年票；若只选择购买B类年票，则能够进入该园林＝10（次）；若只选择购买C类年票，则能够进入该园林≈13（次）；若不购买年票，则能够进入该园林＝8（次）．所以，计划在一年中用80元花在该园林的门票上，通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C类年票．（2）设一年中进入该园林x次时，购买A类年票比较合算，根据题意，得．由①，解得x＞30；由②，解得x＞26；由③，解得x＞12．解得原不等式组的解集为x＞30．答：一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算．【点评】（1）用了分类讨论的方法；（2）注意不等式组确定解集的规律：同大取大．19．如图1所示，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．（1）当∠DEF＝45°时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF＝时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点；（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式．（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值．分两种情况分别分析，根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似．【解答】（1）证明：∵∠DEF＝45°，∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°．∴∠DFE＝∠DEF．∴DE＝DF．又∵AD＝DC，∴AE＝FC．∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，∴AD切圆B于点A．同理：CD切圆B于点C．又∵EF切圆B于点G，∴AE＝EG，FC＝FG．∴EG＝FG，即G为线段EF的中点．（2）解：根据（1）中的线段之间的关系，得EF＝x+y，DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，根据勾股定理，得：（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2∴y＝（0＜x＜1）．（3）解：当EF＝时，由（2）得EF＝EG+FG＝AE+FC，即x+＝，解得x1＝，x2＝．经检验x1＝，x2＝是原方程的解．①当AE＝时，△AD1D∽△ED1F，证明：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH＝D1H．∵AE＝，AD＝1，∴AE＝ED．∴EH∥AD1，∠AD1D＝∠EHD＝90°．又∵∠ED1F＝∠EDF＝90°，∴∠FD1D＝∠AD1D．∴D1F∥AD，∴∠ADD1＝∠DD1F＝∠EFD＝45°，∴△ED1F∽△AD1D．②当AE＝时，△ED1F与△AD1D不相似．【点评】此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明．20．甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？【分析】本题中由于两车相互借对方的油，那么他们所走的距离和≤240×12×2，他们所走的距离差≤240×12．由此可得出自变量的取值范围．如果要让一辆车尽可能的远离A地并同时返回，那么就必须让一辆车行驶一段后，把油给对方（要刚好留下回A地的油），让对方走掉加的这些油后开始向A地返回，两者碰头后一起回A地．那么这个离A地最远的距离就应该是车行驶一段的距离+停下后给对方的油量可行驶的距离（要留下回A地的油）．根据此关系可求出走这个最远距离所需的油量，然后进行分配即可．【解答】解：设尽可能远离A地的甲汽车共走了x千米，乙汽车共走了y千米，则x+y≤240×12×2，且x﹣y≤240×12∴x≤4320所以x最大为4320千米．设从A到尽可能的离A的距离是m千米，其中借给对方油的那辆车走了n千米后停下，那么m＝n+（240﹣x÷12×2）×12÷2＝1440千米那么需要用油1440÷12＝120升，那么就是走这个最远距离一次（单趟）需要120升油，那么可得出的方案是：甲，乙共同走720千米，乙停下等甲，并且给甲60升汽油，甲再走1440千米后回头与乙会合，乙再给甲60升汽油后，两车同时回到A地．也可画图表示为：（如右图）．【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．21．如图，点P在y轴上，⊙P交x轴于A，B两点，连接BP并延长交⊙P于C，过点C的直线y ＝2x+b交x轴于D，且⊙P的半径为，AB＝4．（1）求点B，P，C的坐标；（2）求证：CD是⊙P的切线；（3）若二次函数y＝﹣x2+（a+1）x+6的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y＝2x+b值的x的取值范围．【分析】（1）连接CA，构造直角三角形，运用勾股定理，求出各线段的长，进而求出B，P，C的坐标；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，求出对应线段的长，证明△DAC≌△POB，然后得到∠DCA ＝∠ABC，再根据直角三角形的性质求出∠DCA+∠ACB＝90°，利用切线判定定理即可解答；（3）把点B代入y＝﹣x2+（a+1）x+6即可求出a的值，进而求出函数解析式；求出两函数图象交点，由图可得结论．【解答】（1）解：如图，连接CA．∵OP⊥AB，∴OB＝OA＝2．（1分）∵OP2+BO2＝BP2∴OP2＝5﹣4＝1，OP＝1．（2分）∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB＝90°．（也可用勾股定理求得下面的结论）∵CP＝BP，OB＝OA，∴AC＝2OP＝2．（3分）∴B（2，0），P（0，1），C（﹣2，2）．（写错一个不扣分）（4分）（2）证明：∵y＝2x+b过C点，∴b＝6∴y＝2x+6．（5分）∵当y＝0时，x＝﹣3，∴D（﹣3，0）．∴AD＝1．（6分）∵OB＝AC＝2，AD＝OP＝1，∠CAD＝∠POB＝90°，∴△DAC≌△POB．∴∠DCA＝∠ABC．∵∠ACB+∠CBA＝90°，∴∠DCA+∠ACB＝90°．（也可用勾股定理逆定理证明）（7分）∴DC是⊙P的切线．（8分）（3）解：∵y＝﹣x2+（a+1）x+6过B（2，0）点，∴0＝﹣22+（a+1）×2+6．∴a＝﹣2．（9分）∴y＝﹣x2﹣x+6．（10分）因为函数y＝﹣x2﹣x+6与y＝2x+6的图象交点是（0，6）和点D（﹣3，0）（画图可得此结论）（11分）所以满足条件的x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．（12分）【点评】本题是一道较为常规的综合压轴题，综合性较强，解第3小题时可以借助函数图象来很明了快捷地得出结论．22．已知关于x的方程7x3﹣7（p+2）x2+（44p﹣1）x+2＝60p（*）①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数．②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式．③若方程（*）的三个根均为自然数，求p的值．【分析】①把方程整理，使含p的项“系数”为0，求x的值，再代入不含p的项检验，可求这个自然数；②由所求自然数值可知方程的一个因式，代入方程，再将方程分解因式，由两根关系解题；③在（2）的条件下，根据解为自然数，求p的值．【解答】解：①原方程整理得：（7x3﹣14x2﹣x+2）﹣（7x2﹣44x+60）p＝0解方程7x2﹣44x+60＝0得x1＝2，x2＝，当x＝2时，7x3﹣14x2﹣x+2＝0，故所求自然数为2；②∵x＝2是方程的固定解，∴（x﹣2）是方程的一个因式，原方程分解为，（x﹣2）（7x2﹣7px+30p﹣1）＝0∴u、v是方程7x2﹣7px+30p﹣1＝0的两根，∴u+v＝p，uv＝．③由②可知，当p＝18时，方程三个根均为自然数．【点评】本题考查了求高次方程固定根的方法，方程的根与系数关系，自然数解的问题．。
2018年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷
2018年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（）A．3B．7C．8D．112．（5分）已知函数y＝2018﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，把它折叠起来，使顶点A与C 重合，则折痕PQ的长度为（）A．B．C．D．4．（5分）已知关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣2B．﹣3≤a＜﹣2C．﹣3＜a≤﹣2D．﹣3≤a≤﹣2 5．（5分）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（）A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算6．（5分）某粮店用一架不准确的天平（两臂长不相等）称大米．某顾客要购买10kg大米，售货员先将5kg砝码放入天平左盘，置大米于右盘，平衡后将大米给顾客；然后又将5kg砝码放入天平右盘，置大米于左盘，平衡后再将大米给顾客．售货员的这种操作方式结果使（）A．粮店吃亏B．顾客吃亏C．粮店和顾客都不吃亏D．不能确定7．（5分）设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）A．h≤z h B．h≤z h C．h≤z h D．8．（5分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30B．34C．40D．44二、填空题（本题有10个小题，每小题6分，共60分）9．（6分）方程x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0所有解的和为．10．（6分）设a、b、c、d、e的值均为0、1、2中之一，且a+b+c+d+e＝6，a2+b2+c2+d2+e2＝10，则a3+b3+c3+d3+e3的值为．11．（6分）设a，b为两个不相等的实数，且满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝1，则ab3+a3b的值是12．（6分）已知（2x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+……+a9x9，则a1+a2+……+a8+a9的值为．13．（6分）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE＝﹣，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于．14．（6分）向一个三角形内加入2015个点，加上原三角形的三个点共计2018个点．用剪刀最多可以剪出个以这2018个点为顶点的三角形．15．（6分）如图，直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝20°，△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置，此时C点恰落在A'C'上，且A'B与AC交于D点，那么∠BDC＝度．16．（6分）已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k＝．17．（6分）用f（n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f（5）＝5，f（29）＝18，f（207）＝14．则f（1）+f（2）+……+f（200）＝．18．（6分）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共3题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？20．（16分）如图，函数的图象交y轴于M，交x轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．（1）试求S与t之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S＝a（a＞0）的点P的个数．21．（18分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x，都有2x ≤ax2+bx+c≤x2+2成立．（1）当x＝2时，求y的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，当x＝时，二次函数y＝ax2+bx+c 的值为y2，若对一切﹣1≤t≤1，都有y1＜y2，求实数m的取值范围．2018年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（）A．3B．7C．8D．11【分析】由图一和图二可看出1的对面的数字是5；再由图二和图三可看出3的对面的数字是6，从而2的对面的数字是4．【解答】解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则a＝3，b＝4，那么a+b＝3+4＝7．故选：B．【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的数字．2．（5分）已知函数y＝2018﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a，b是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．【解答】解：由2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝2018，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，难度较大，关键是对m，n，a，b大小关系的讨论是此题的难点．3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，把它折叠起来，使顶点A与C 重合，则折痕PQ的长度为（）A．B．C．D．【分析】由翻折可得到QP垂直平分AC，那么AQ＝QC，易证△APO≌△CQO，再利用勾股定理求出AP的长，进而利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出PQ的长即可．【解答】解：∵A，C两点关于PQ对称，所以AO＝CO，∵AC⊥QP，从而∠AOP＝∠QOC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠APQ＝∠PQC．∴△APO≌△CQO，∴CQ＝AP，由PQ⊥AC且平分AC，可知AQ＝CQ．∴四边形AQCP是菱形，设AP＝a，则AQ＝a，DQ＝x﹣a，在Rt△ADQ中，利用勾股定理可知：a2＝y2+（x﹣a）2，∴整理得：2ax＝x2+y2，解得a＝，菱形AQCP的面积为：PQ•AC＝CQ•AD，∴PQ×＝×y，整理得：PQ×＝×y，解得：PQ＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和矩形的性质以及菱形的判定与性质等知识，遇到折叠变换问题注意找出翻折的边得出对应相等，再利用勾股定理求出，这是此类问题常用解题思路．4．（5分）已知关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣2B．﹣3≤a＜﹣2C．﹣3＜a≤﹣2D．﹣3≤a≤﹣2【分析】首先熟练解得每个不等式，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而求得实数a的取值范围．【解答】解：由①，得x≥a+1；由②，得x＜2．根据题意，得它的三个整数解只能是﹣1，0，1，所以﹣2＜a+1≤﹣1，解得﹣3＜a≤﹣2．故选：C．【点评】此题考查了不等式组的解法，同时能够根据它的整数解正确分析其字母的取值范围．5．（5分）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（）A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算【分析】由二次根式有意义可知x﹣z≥0，x3（y﹣x）3≥0，x3（z﹣x）3≥0，可得x＝0，y＝﹣z．代入代数式即可求解．【解答】解：依题意得：，解得x＝0，∵，∴，∴y＝﹣z∴把x＝0，y＝﹣z代入x3+y3+z3﹣3xyz得：原式＝（﹣z）3+z3＝0故选：A．【点评】此题考查了二次根式的有意义时被开方数是非负数的性质与不等式组解集的求解方法．此题比较难，注意仔细分析．6．（5分）某粮店用一架不准确的天平（两臂长不相等）称大米．某顾客要购买10kg大米，售货员先将5kg砝码放入天平左盘，置大米于右盘，平衡后将大米给顾客；然后又将5kg 砝码放入天平右盘，置大米于左盘，平衡后再将大米给顾客．售货员的这种操作方式结果使（）A．粮店吃亏B．顾客吃亏C．粮店和顾客都不吃亏D．不能确定【分析】此题要根据天平的有关知识来解答，即在此题中天平的臂长不等，这是此题的关键．【解答】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a＞b），先称得的大米的实际质量为m1，后称得的大米的实际质量为m2由杠杆的平衡原理：bm1＝a×5，am2＝b×5，解得m1＝，m2＝则m1+m2＝+下面比较m1+m2与10的大小：（求差比较法）因为（m1+m2）﹣10＝+﹣10＝＞0又因为a≠b，所以（m1+m2）﹣10＞0，即m1+m2＞10这样可知称出的大米质量大于10kg，商店吃亏．故选：A．【点评】此题学生要利用物理知识来求解，所以学生平时在学习时要各科融汇贯通．7．（5分）设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）A．h≤z h B．h≤z h C．h≤z h D．【分析】如图，连接AP，BP，CP，先利用S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，找出x，y，z 与h的关系，再运用三角形三边关系可得z＜h，由x≤y≤z可得z≥h，即可求出z 应满足的条件．【解答】解：如图，PE＝x，PF＝y，Pq＝Q＝z，连接AP，BP，CP，∵S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，∴BC•h＝AC•x+BC•y+AB•z，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴BC•h＝BC（x+y+z），即x+y+z＝h，∵以x，y，z为边可以组成三角形，∴x+y＞z，∴2z＜h，即z＜h，又∵x≤y≤z，∴z≥（x+y+z），即z≥h，∴h≤z h．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形边角关系，解题的关键是利用S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，找出x，y，z与h的关系．8．（5分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30B．34C．40D．44【分析】将x、y的值分别代入y＝x3+ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，得，解得；代入y＝x3+ax2+bx+c得：y＝x3﹣18x2+117x﹣210，把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，故选：B．【点评】本题通过建立关于a，b，c的三元一次方程组，求得a、b、c的值后而求解．二、填空题（本题有10个小题，每小题6分，共60分）9．（6分）方程x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0所有解的和为﹣1．【分析】含有绝对值的方程，一般要分两种情况进行解答，即当x﹣1≥0和x﹣1≤0两种情况分别求出方程的解，再求出所有解得和即可．【解答】解：若x≥1，则x﹣1≥0，原方程可变为：x2﹣3（x﹣1）﹣1＝0，即：x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，若x≤1，则x﹣1≤0，原方程可变为：x2+3（x﹣1）﹣1＝0，即：x2+3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4，所有解得和为：1+2﹣4＝﹣1故答案为：﹣1【点评】考查一元二次方程的解法、绝对值的意义、因式分解等知识，掌握绝对值方程分情况讨论是正确解答的关键．10．（6分）设a、b、c、d、e的值均为0、1、2中之一，且a+b+c+d+e＝6，a2+b2+c2+d2+e2＝10，则a3+b3+c3+d3+e3的值为18．【分析】根据条件可判断a、b、c、d、e中得0、1、2分别有几个，即可解答本题．【解答】解：由题可得，a+b+c+d+e＝6，a2+b2+c2+d2+e2＝10有且只有一种情况可满足上述两式，即a、b、c、d、e中有2个2，2个1，1个0∴a3+b3+c3+d3+e3＝23+23+1+1+0＝18故答案为18．【点评】本题主要考查整式的性质，了解整式的性质是解答本题的关键．11．（6分）设a，b为两个不相等的实数，且满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝1，则ab3+a3b的值是【分析】ab3+a3b＝ab（a2+b2），由题可得a2+b2的值，再根据（a+b）2与a2+b2的差得到ab的值，从而解得此题．【解答】解：2a2﹣5a＝1 2b2﹣5b＝1 两式相减得：2（a2﹣b2）﹣5（a﹣b）＝0 且a≠b，∴a+b＝两式相加得：2（a2+b2）﹣5（a+b）＝2 得a2+b2＝∵（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝∴ab＝∴ab3+a3b＝ab（a2+b2）＝＝故答案为﹣【点评】本题主要考查一元二次方程，掌握一元二次方程得求解方法是本题得关键12．（6分）已知（2x﹣1）9＝a0+a1x+a2x2+……+a9x9，则a1+a2+……+a8+a9的值为2．【分析】令x＝0与x＝1，分别求出相应的值，代入计算即可求出所求．【解答】解：当x＝0时，a0＝﹣1，当x＝1时，a0+a1+a2+……+a8+a9＝1，则a1+a2+……+a8+a9＝2，故答案为：2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（6分）已知四边形ABCD是正方形，且边长为2，延长BC到E，使CE＝﹣，并作正方形CEFG，（如图），则△BDF的面积等于2．【分析】根据正方形的性质可知三角形BDC为等腰直角三角形，由正方形的边长为2，表示出三角形BDC的面积，四边形CDFE为直角梯形，上底下底分别为小大正方形的边长，高为小正方形的边长，利用梯形的面积公式表示出梯形CDFE的面积，而三角形BEF 为直角三角形，直角边为小正方形的边长及大小边长之和，利用三角形的面积公式表示出三角形BEF的面积，发现四边形CDEF的面积与三角形EFB的面积相等，所求△BDF 的面积等于三角形BDC的面积加上四边形CDFE的面积减去△EFB的面积即为三角形BDC的面积，进而得到所求的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴BC＝DC＝2，且△BCD为等腰直角三角形，∴△BDC的面积＝BC•CD＝×2×2＝2，又∵正方形CEFG，及正方形ABCD，∴EF＝CE，BC＝CD，由四边形CDFE的面积是（EF+CD）•EC，△EFB的面积是（BC+CE）•EF，∴四边形CDFE的面积＝△EFB的面积，∴△BDF的面积＝△BDC的面积+四边形CDFE的面积﹣△EFB的面积＝△BDC的面积＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了正方形的性质，以及三角形的面积求法，解答此类题时注意不规则图形的面积可以转化为一些规则图形，或已知面积的图形的面积的和或差来计算．根据题意得到四边形CDFE的面积＝△EFB的面积是解本题的关键．14．（6分）向一个三角形内加入2015个点，加上原三角形的三个点共计2018个点．用剪刀最多可以剪出4031个以这2018个点为顶点的三角形．【分析】当一个点的时候是3个三角形，2个点的时候是5个三角形，3个点的时候是7个三角形，依次算下去，就有公式2n+1；故2018个点时，有2×2015+1个三角形．【解答】解：加入1个点时有3个以这4个点为顶点的三角形；加入2个点时有5个以这5个点为顶点的三角形；加入3个点时有7个以这6个点为顶点的三角形；则加入n个点时有2n+1个以这（n+3）个点为顶点的三角形；故2018个点时，有2×2015+1＝4031个．故答案为：4031．【点评】本题考查了规律探索，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．15．（6分）如图，直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝20°，△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置，此时C点恰落在A'C'上，且A'B与AC交于D点，那么∠BDC＝60度．【分析】想办法求出∠DBC，∠DCB即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝∠A′＝20°，∠ABC＝∠A′BC′＝90°，∴∠C′＝∠ACB＝70°，∵BC＝BC′，∴∠BCC′＝∠C′＝70°，∴∠CBC′＝40°，∴∠DBC＝50°，∴∠BDC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为60．【点评】本题考查旋转变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（6分）已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k＝8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k＝8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．17．（6分）用f（n）表示组成n的数字中不是零的所有数字乘积，例如：f（5）＝5，f（29）＝18，f（207）＝14．则f（1）+f（2）+……+f（200）＝4233．【分析】根据题意可以得到规律：一位数结果为个位数，两位数结果为十位数×个位数，三位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可．【解答】解：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（200）＝（1+2+3…+9）+1×（1+2+3…+9）+2×（1+2+3…+9）+3×（1+2+3…+9）+…+9×（1+2+3…+9）+（1+2+3…+9+1）＝（1+2+3…+9）×（1+1+2+3…+9）+46＝2（45×46+46）+1＝4233故答案为：4233【点评】本题考查了数字变化类问题，解题的关键是仔细地观察题目并从中总结规律，利用总结的规律进行计算即可．18．（6分）设x1、x2是方程x2﹣6x+a＝0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是0＜a≤8．【分析】方程有两个根，设x1≤x2，则可以根据求根公式用含a的式子表示x，由x1＞0，x2＞0，则0＜a≤9，再分两种情况讨论，即根据x1＝x2，和x1≠x2，等腰三角形只能作一个，只要较小的根作底，较大的根为要，再根据三边关系得出不等式求解，再综合得出答案，确定a的取职范围．【解答】解：设x1，x2为方程两根，且x1≤x2，则x1＝3﹣，x2＝3+，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜a≤9，（1）当x1＝x2时，即△＝9﹣a＝0，a＝9时，可以画无数个等腰三角形，（2）当x1≠x2时，∵x1≤x2∴以x2为腰为等腰三角形必有一个，而等腰三角形只有一个，故不存在以x2为底，x1为腰的三角形，∴2x1≤x2，∴6﹣2≤3+，≥1，∴0＜a≤8，综上所述：当0＜a≤8时只有一个等腰三角形．故答案为：0＜a≤8．【点评】考查一元二次方程的解法、根的判别式、一元一次不等式的解集以及等腰三角形的性质等知识，准确的理解题意是解决问题的关键．三、解答题（本大题共3题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？【分析】两个关系式为：（甲库存粮﹣90）×2＝乙库存粮+90；甲库存粮+若干袋粮＝（乙库存粮﹣若干袋粮）×6，进而得到相应的最小整数解即可．【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）＝b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c＝6（b﹣c）（2）；由（1）式得b＝2a﹣270 （3），将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c＝1620，由于又a、c是正整数，从而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又∵4与7互质，∴7整除a+1．∴a+1最小为154，∴a最小是153．答：甲库原来最少存粮153袋．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题需求得最小的整数解．20．（16分）如图，函数的图象交y轴于M，交x轴于N，点P是直线MN上任意一点，PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为（t，0），△POQ的面积为S（当点P与M、N重合时，其面积记为0）．（1）试求S与t之间的函数关系式；（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S＝a（a＞0）的点P的个数．【分析】本题要根据题意把各种情况都讨论出来，同时把△POQ的面积表示出来．（2）要根据题意列式整理分析，在根据解析式画出图象．【解答】解：解法1：（1）①当t＜0时，OQ＝﹣t，PQ＝，∴S＝；②当0＜t＜4时，OQ＝t，PQ＝，∴S＝；③当t＞4时，OQ＝t，PQ＝，∴S＝；④当t＝0或4时，S＝0；于是，S＝（6分）；（2）S＝下图中的实线部分就是所画的函数图象．（12分）观察图象可知：当0＜a＜1时，符合条件的点P有四个；当a＝1时，符合条件的点P有三个；当a＞1时，符合条件的点P只有两个．（15分）解法2：（1）∵OQ＝|t|，PQ＝，∴S＝（4分）（2）＝（6分）以下同解法1．【点评】本题考查一次函数有关分情况讨论的问题，解题中要注意对各种情况做出准确分析，尤其是t值做好取值范围的分段，21．（18分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且对一切实数x，都有2x ≤ax2+bx+c≤x2+2成立．（1）当x＝2时，求y的值；（2）求此二次函数的表达式；（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，当x＝时，二次函数y＝ax2+bx+c 的值为y2，若对一切﹣1≤t≤1，都有y1＜y2，求实数m的取值范围．【分析】（1）可令x＝2，可得4≤4a+2b+c≤4，即有4a+2b+c＝4；（2）通过图象过一点点（﹣2，0）得到4a﹣2b+c＝0，由x＝2得4a+2b+c＝4，再将b、c都有a表示．不等式2x≤ax2+bx+c≤x2+2对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式即恒成立，即可解得；（3）当﹣1≤t≤1时，y1﹣y2＜0，可得3t2+（8+8m）t+4m2+16m＜0 恒成立．设W＝3t2+（8+8m）t+4m2+16m，则，由此求得t的范围．【解答】解：（1）解：∵不等式2x≤ax2+bx+c≤x2+2对一切实数x都成立，∴当x＝2时也成立，即4≤4a+2b+c≤4，即有y＝4；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），可得4a﹣2b+c＝0 ①，又f（2）＝4，即4a+2b+c＝4 ②．由①②求得b＝1，4a+c＝2，∴y＝ax2+x+2﹣4a，∴2x≤ax2+x+2﹣4a≤x2+2，即恒成立，∴，解得：，∴c＝2﹣4a＝1，二次函数的表达式为．（3）∵当﹣1≤t≤1时，y1＜y2，即：y1﹣y2＜0，即﹣＜0．整理得：3t2+（8+8m）t+4m2+16m＜0，∵当t＝1或﹣1时均成立，∴，整理得：解得：，∴【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．。
2024年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷
2024年浙江省温州市苍南中学自主招生数学试卷一、选择题（共5小题）1．(★★)如图，已知AB是⊙O的直径， AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是()A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE2．(★)在等腰直角三角形ABC中， AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC 于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为()A．2， 22.5°B．3， 30°C．3， 22.5°D．2， 30°3．(★)如图， CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是()A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC 4．(★)直线AB与⊙O相切于B点， C是⊙O与线段OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B，C不重合)，若∠A=40°，则∠BDC的度数是()A．25°或155°B．50°或155°C．25°或130°D．50°或130°5．(★★)在矩形ABCD中， AB=6， BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是()A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈二、填空题（共6小题）6．(★★)如图， AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上， PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A=35°．7．(★)射线QN与等边△ABC的两边AB， BC分别交于点M， N，且AC∥QN，AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t 秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8(单位：秒)8．(★)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若动点D在线段AC上(不与点A、C重合)，过点D作DE⊥AC交AB边于点E．(1)当点D运动到线段AC中点时， DE=；(2)点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=或时，⊙C与直线AB相切．9．(★)如图所示，在△ABC中， BC=4，以点A为圆心， 2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是4-π．10．(★★)如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为2．11．(★★)如图(a)，有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm,以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图(b)．则半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积为(3π-)cm2．三、解答题（共19小题）12．(★★★)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)13．(★★★)已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：∠BAE=90°或者∠EAC=∠ABC．(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．14．(★★★)如图，等腰三角形ABC中， AC=BC=10， AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G， DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求cos∠E的值．15．(★★★)如图， AB是⊙O的直径，点C， D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．(1)求证：EF与⊙O相切；(2)若AB=6， AD=4，求EF的长．16．(★★★)如图，△ABC中， AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．(1)试说明DF是⊙O的切线；(2)若AC=3AE，求tanC．17．(★★★)如图，在△ABC中， BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D， E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．18．(★★★)如图，⊙O是△ABC的外接圆， P是⊙O外的一点， AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E， F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：==．19．(★★)如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°， BC交⊙O于D， D是BC的中点．(1)求BC的长；(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．20．(★★★)如图，在△ABC中， AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7， BC=6，求AC的长．21．(★★★)如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线， OC⊥OB，连接AB交OC于点D．(1)AC与CD相等吗？为什么？(2)若AC=2， AO=，求OD的长度．22．(★★★)如图，在△ABC中，∠ACB=90°， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O， AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．(1)求证：∠A=2∠DCB；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．23．(★★★★)如图，直线EF交⊙O于A、B两点， AC是⊙O直径， DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半径．24．(★★★★)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1)求证：BD=BF；(2)若CF=1， cosB=，求⊙O的半径．25．(★★★★)如图， AB是⊙O的直径， AC是弦， DE和⊙O相切于点D， DE⊥AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：∠CAD=∠BAD；(2)若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．26．(★★★)如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点， AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若CD=1， AC=，求⊙O的半径长．27．(★★★)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．(1)求证：DP∥AB；(2)试猜想线段AE， EF， BF之间有何数量关系，并加以证明；(3)若AC=6， BC=8，求线段PD的长．28．(★★★)如图，⊙O的直径AB=10， C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．(1)求证：DF⊥AF．(2)求OG的长．29．(★★★)如图，已知AB是⊙O直径， BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．(1)求证：PC=PG；(2)点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．30．(★★★)已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A， M．(1)求证：点P是线段AC的中点；(2)求sin∠PMC的值．。
苍南中学提前招生数学模拟试卷
苍南中学提前招生数学模拟试卷一（本卷满分：150分 测试时间：120分钟）班级： 姓名： 得分：一、精心选一选，相信你选得准！（每小题5分，共50分）1．一个三角形的两个内角之差与第三个内角相等,则这个三角形必为（ ）A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定2．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ） A ．21B ．22C ．23D ．243. 若),10(41<<=+a a a 则=-aa 1（ ） A ．2 B ．2- C ．2± D ．24．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（ ） A ．13分钟B ．14分钟C ．15分钟D ．16分钟5．如图，从1到7移动，如果移动规定只能够移动到邻近一格，并且总是向右移动，举个例子，1→2→3→5→7就是一条移动路线，则从1至7的移法有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．13种D ．5种6．一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一枚各面标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于34n，则算过关，否则，不算过关.现有下列说法：①过第一关是必然事件； ②可以过第四关； ③过第五关的概率大于0； ④过第二关的概率为3536. 其中，正确说法的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．已知抛物线c bx x y ++=2的系数满足52=-c b ，则这条抛物线一定经过点（ ）A ．)2,1(--B ． )1,2(--C ．)1,2(-D ．)1,2(-8．已知方程0352=++-a x x 有两个正整数根，则a 的值是（ ） A ．1=aB ．3=aC ．1=a 或3=aD ．1=a 或4=a9．函数15322+++=x x x y 的最大值是M ，最小值为m ，则M －m=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为点Ｏ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝6，那么AC 的长等于（ A ．12 B ．16 C ．4 D ．8二、细心填一填，相信你写得对！（每小题5分，共50分）11．已知不等式组⎩⎨⎧<-≥+0123a x x 无解，则a 的取值范围是 ；12．若132=-x x ，则201272129234+--+x x x x 的值等于 ； 13．已知a 、b 、c 均为非零实数，满足：b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，则()()()a b b c c a abc+++的值为 ； 14．.三角形的三边为,,,10,,,c b a c a b c b a ≤≤=为整数，且若则该三角形是等边三角形的概率是 ；15．等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数 等于 ；16．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是 ；17．小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，•结果比平时早20分钟到家，则小林步行 分钟遇到来接他的爸爸． 18．设△ABC 的三边a 、b 、c 且（b ＋c ）：（c ＋a ）：（a ＋b ）＝4：5：6，则sinA ：sinB ：sinc= 。
2012苍中自主招生数学试卷2 - 附答案和评分标准
苍南中学2012年高一新生入学测试数学试卷答题时，请注意以下几点：1．全卷共4页，有三大题，22小题．全卷满分150分．考试时间120分钟； 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效； 3．本卷不使用计算器。
参考公式：一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是： x ＝—b ±b 2—4ac 2a( b 2—4ac ≥0)；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的顶点坐标为（—2b a ，244ac b a-）．一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（ ）A ．众数是3B ．中位数是6C ．平均数是5D ．极差是72．化简222524(1)244a a a a a a -+-+÷+++的结果是（ ）A ．a －2B ．a ＋2C ．22()2a a -+ D ．22()2a a +- 3．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②AD ，∠ACB ，∠ DAC ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出 A ，B 间距离的有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组 4．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为（ ） A ．2B ．C D ．3 5．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）A ．B ．C ．D ．（第3题图） （第4题图） （第5题图）（第17题图）6．已知关于x 的不等式x a ＜6的解也是不等式253x a -＞2a －1的解， 则a 的取值范围是（ ） A ．611-≤a ＜0 B ．a ≥611- C ．a ＞611- D ．以上都不对 7．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）A ．8048个B ．4024个C ．2012个D ．1066个8．用][x 表示不大于x 的最大整数，如4]4.3[,0]25.0[,1]7.1[-=-==，则满足方程1]8.3[]8.3[+=x x 的自然数x 有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题（本题有10小题，每小题6分，共60分）9．已知P ＝3xy ―2x ＋1，Q ＝x ―2xy ，当x ≠0时， P ＋Q ＝1恒成立，则y 的值为 ． 10．袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和2个黑球．从袋 中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于___________．11．已知二次函数y ＝x 2一5x ＋6，当y ＞0时x 的取值范围是___________． 12． |x + 2 | + | x – 2 | + |x – 1|的最小值是_______________． 13．如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上 的点，AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ， 则AGAF的值为 ． 14．将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间对折，这样连续沿中间对折6次，用剪刀在对折6次后绳子的中间将绳子全部剪断，此时绳子被剪成____________段． 15．记A n ＝1－3＋5－7＋9＋…＋1(1)(21)n n +-⋅-，其中n 为正整数，则 A 2011＋A 2012＝_____． 16α，则α(α＋1)的值为_________． 17．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于点D ， AD ＝3，则⊙O 面积的最大值为__________． 18．已知实数x ，y 满足(x y --＝16，则_________．第13题图DC FBE G三、解答题：（共4题，共50分）19．(本题满分9分)如图，在平面直角坐标系中，－次函数)0(≠+=a b ax y 的图象与反比例函数)0(≠=k xky 的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（2, m )，点B 的坐标为（n ，－2），tan ∠BOC ＝52．（l ）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点E 的坐标．20．(本题满分9分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上一点，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若DE = 3，⊙O 的半径为5，求BE 的长．（第19题图）（第20题图）21．(本题满分11分)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ． （1）求证：∠APB ＝∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．22．(本题满分11分)如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ△与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ． （1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（第21题图）苍南中学2012年高一新生入学测试数学试卷答案一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分）9．1 10．25 11．x ＜2或x ＞3 12．4 1314． 65 15．－1 16． 117．36π 18．314- 三、解答题：（共4题，共50分）19．解：（1）过B 点作BD ⊥x 轴，垂足为D ， ∵B （n ，﹣2），∴BD ＝2， 在Rt △OBD 在，tan ∠BOC ＝BD OD ，即＝25，解得OD ＝5， 又∵B 点在第三象限，∴B （﹣5，﹣2），将B （﹣5，﹣2）代入y ＝kx 中，得k ＝xy ＝10， ∴反比例函数解析式为y ＝10x ，将A （2，m ）代入y ＝10x中，得m ＝5，∴A （2，5），将A （2，5），B （﹣5，﹣2）代入y ＝ax ＋b 中， 得25,52,a b a b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,3,a b =⎧⎨=⎩则一次函数解析式为y ＝x ＋3；-----------------------------------7分 （2）由y ＝x +3得C （﹣3，0），即OC ＝3， ∵S △BCE ＝S △BCO ，∴CE ＝OC ＝3， ∴OE ＝6，即E （﹣6，0）．------------------------------------- 11分20．解： (1)如图，连接OD ． 因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2．又因为OA ＝OD ，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3． 所以OD ∥AE ．又因为DE ⊥AE ，所以DE ⊥OD ．而点D 在⊙O 上，所以DE 是⊙O 的切线．---------------------------（5分）(2)如图，连接BE 与OD 交于点H ，作OG ⊥AE 于点G ． 则 OG ＝DE ＝3， EG ＝DO ＝5，A B所以AG 4，AE ＝4＋5＝9…（10分） 因为EA ∥OD ， AO ＝OB ，所以HO ＝12AE ＝92，HD ＝5－92＝12，故HE =BE （11分）21．解：（1）如图1，∵PE ＝BE ，∴∠EBP ＝∠EPB ．又∵∠EPH ＝∠EBC ＝90°，∴∠EPH ﹣∠EPB ＝∠EBC ﹣∠EBP ． 即∠PBC ＝∠BPH ． 又∵AD ∥BC ，∴∠APB ＝∠PBC ．∴∠APB ＝∠BPH ．---------------------------------------4分（2）△PHD 的周长不变为定值8．证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ． 由（1）知∠APB ＝∠BPH ，又∵∠A ＝∠BQP ＝90°，BP ＝BP ， ∴△ABP ≌△QBP ． ∴AP ＝QP ，AB ＝BQ ． 又∵AB ＝BC ， ∴BC ＝BQ ．又∵∠C ＝∠BQH ＝90°，BH ＝BH ， ∴△BCH ≌△BQH ． ∴CH ＝QH ．∴△PHD 的周长为：PD ＋DH ＋PH ＝AP ＋PD ＋DH ＋HC ＝AD ＋CD ＝8．------------------8分（3）如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM ＝BC ＝AB ． 又∵EF 为折痕， ∴EF ⊥BP ．∴∠EFM ＋∠MEF ＝∠ABP ＋∠BEF ＝90°， ∴∠EFM ＝∠ABP ． 又∵∠A ＝∠EMF ＝90°， ∴△EFM ≌△BP A ． ∴EM ＝AP ＝x ．∴在Rt △APE 中，（4﹣BE ）2＋x 2＝BE 2．解得，228x BE =+．∴228x CF BE EM x =-=+-．又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，∴1()2S BE CF BC =+⋅21(4)424x x =+-⨯，即21282S x x =-+21(2)62x =-+，∴当x ＝2时，S 有最小值6． --------------------------------------------14分22．解：（1设抛物线解析式为2(0)y ax bx a =+≠． 把(11)(31)A B ，,，，代入上式得1,1931,a b a b =+⎧⎨=++⎩ 解得1,34.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线解析式为21433y x x =-+．----------（4分） 法二：∵(11)(31)A B ，,，， ∴抛物线的对称轴是直线x ＝2．设抛物线解析式为2(2)(0)y a x h a =-+≠．把(0,0),(11)O A ，代入得220(02),1(12).a h a h ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ 解得1,34.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线解析式为21433y x x =-+．------------4分（2）分三种情况：①当0t <≤2，重叠部分的面积是OPQ S ∆，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，∵(11)A ，，在Rt OAF △中，1A F O F ==，45AOF ∠=°，在Rt OPQ △中，OP t =，45OPQ QOP ∠=∠=°，∴cos 452PQ OQ t ===°，∴221124S t ⎫==⎪⎪⎝⎭． ------------7分②当23t <≤，设PQ 交AB 于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，45OPQ QOP ∠=∠=°，则四边形OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是OAGP S 梯形． ∴2AG FH t ==-， ∴11()(2)1122S AG OP AF t t t =+=+-⨯=-．---------- 8分 ③当34t <<，设PQ 与AB 交于点M ，交BC 于点N 因为PNC △和BMN △都是等腰直角三角形， 所以重叠部分的面积是OAMNC S 五边形BMN OABC S S =-△梯形．∵(31)B ，，OP t =，∴3PC CN t ==-，∴1(3)4BM BN t t ==--=-，∴211(23)1(4)22S t =+⨯-- 所以2111422S t t =-+-．-------------- 10分（3）存在 11t = ---------------12分 22t = ------------14分．。
重点高中提前招生初三数学专题训练卷(七) ：数学思想与数学方法
重点高中提前招生初三数学专题训练卷数学思想与数学方法一、选择题（40分）1.（苍南中学自主招生）若等腰三角形中有一个角等于500，则之个等腰三角形的顶角的度数为A.500B. 800C. 650或500D.500或8002.（慈溪中学提前招生）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于O ，则AO DO =A. B . C. D.1323123.（青岛实验中学提前招生）若，且a>b ，则a+b=3,2a b ==A.5或-1 B.-5若1 C.5若1 D.-5或-14.（南昌中考）如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A （2，1）则图中两个阴影部分的面积和为A.πB. 2πC. 4πD.不能确定[5.（广东佛山一中保送生选拔）一条抛物线的顶点为（4，-11），且与x 2y ax bx c =++轴的两个交点的横坐标为一正，一负，则a ，b,c 中正数的A.只有aB.只有bC.只有cD. 只有a 和b6.（江苏无锡中学提前招生）若，则直线y=kx+k 的图像必经过a b b c a c k c a b+++===A.第一、二、三象限 B.第二、三象限 C.第二、三、四象限 D.以上都不对7.（河北保定二中提前招生）在直角梯形ABCD 中，上底BC=，与两底垂直的腰AB=6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，这样的点P 有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.（湖南益阳一中自主招生）销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少m，为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值是150A. 10B. 15C. 20D.259.（衢州中考）某台球桌如图所示，小球从A角没450角方向击出，恰好经过完5次碰撞后撞到B处，则AB：BC=A. 1：2B. 2：3C. 2：5D. 3：510.（广东汕头中学提前招生）从2,4,5,6这四个数中，任取两个数p、q（p≠q)构成函数y1=px-2和y2=x+q，使这两个函数的图像的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组（p,q）共有来A. 12组B. 6组C. 5组D. 3组二、填空题（30分）11.（长春四中自主招生）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-2，-2），C（4，-2）则△ABC外接圆的半径的长度为12.（广西柳州一中提前招生）如图四边形ABCD的对角线相交于点O，若△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为5,10,6,则△ABO的面积为13.（鄞州中学提前招生）如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间栓了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为14.（湖北天门中学自主招生）如图，在ABC 中，AB=AC=5，cosB=如果⊙O 的半径为35，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于[15.（沈阳中考）已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程x 2+x-1=0的正根，则∠AOB 的度数是16.（哈尔滨高级中学保送生测试）如图，直线与y 轴将于点A ，与双曲线y b =+在第一象限交于B 、C ，且AB•AC=4，则k=k y x =三、解答题（17-20每小题6分，21、22每小题8分，23、24每小题9分，25题12分，26题10分，共80分）17.（深圳高级中学直升考）某一次函数，当自变量的取值范围是2≤x ≤6时，函数值的范围是5≤y≤9，求该一次函数的解析式。
浙江省苍南县2019重点高中自主招生数学模拟试卷3 解析版
2019重点高中自主招生数学模拟试卷3注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共8小题，4*8=32）1．设α、β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，的值是（）A．﹣1 B．1 C．D．2．a，b，c均不为0，若，则P（ab，bc）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为．则应准备的白球，红球，黄球的个数分别为（）A．3，2，1 B．1，2，3 C．3，1，2 D．无法确定4．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）+1＝8．现将实数对（﹣2，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是（）A．8 B．55 C．66 D．无法确定5．G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1、S2、S3，则有（）A．S1＞S2＞S3B．S1＝S2＝S3C．S1＜S2＜S3D．S1、S2、S3的大小关系不确定6．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．7．如图，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A．|k1﹣k2| B．C．|k1•k2| D．8．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（）A．3 B．2 C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共8小题，4*8=32）9．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝．10．小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y＝﹣x2+3x上的概率为．11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC＝4：5，则sin∠CFD＝．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM＝．13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为cm2．14．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．15．已知x＝，则x3+12x的算术平方根是．16．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．三．解答题（共6小题，56分）17．（8分）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y＝17，x2y+xy2＝66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．18．（8分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．19．（8分）如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s．（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）．20．（10分）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y＝x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线y＝x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM．21．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+1．记当x＝c时，函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有y a+y b≥1．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．设α、β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，的值是（）A．﹣1 B．1 C．D．【分析】先分x≥0和x＜0两种情况解方程，得到α，β，然后再求的值．【解答】解：当x≥0时原方程2x2﹣3|x|﹣2＝0转化为2x2﹣3x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去）；当x＜0时原方程2x2﹣3|x|﹣2＝0转化为2x2+3x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝（舍去）．所以方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根α、β分别是2、﹣2，将2、﹣2代入中可得结果为﹣1．故选：A．【点评】解方程时要正确处理方程中绝对值符号的作用．2．a，b，c均不为0，若，则P（ab，bc）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】应根据abc＜0，得到这三个字母可能的符号，推出不存在的结论，进而得到不可能在的象限．【解答】解：∵abc＜0．∴a，b，c中至少有一个是负数，另两个同号，可知三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若＝abc，则x﹣y＝a2bc＞0，即x＞y，同理可得：y＞z，z＞x这三个式子不能同时成立，即a，b，c不能同时是负数．则P（ab，bc）不可能在第一象限．故选：A．【点评】确定一个点所在象限，就是确定点的坐标的符号．3．用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为．则应准备的白球，红球，黄球的个数分别为（）A．3，2，1 B．1，2，3 C．3，1，2 D．无法确定【分析】让球的总数乘以相应的概率即为具体颜色球的数目．【解答】解：全部6个球，要使摸到白球的概率为，那么白球应该有的个数为：6×＝3，同理可以求到红球是2个，黄球1个．故选：A．【点评】本题是给出概率和总球数求各种球的数目，得到相应的等量关系是解决本题的关键．4．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）+1＝8．现将实数对（﹣2，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是（）A．8 B．55 C．66 D．无法确定【分析】按照“当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1”进行计算两次即可解决问题．【解答】解：∵任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1．∴实数对（﹣2，3）放入其中得到实数m＝4+3+1＝8．则再将实数对（8，1）放入其中，得到的实数是64+1+1＝66．故选：C．【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．5．G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1、S2、S3，则有（）A．S1＞S2＞S3B．S1＝S2＝S3C．S1＜S2＜S3D．S1S2S3的大小关系不确定【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，可以延长CG交AB于点D，则可求得S2＝S3，同理可证明S1＝S2，故S1、S2、S3面积关系可求．【解答】解：如图，延长CG交AB于点D则△ACD的面积＝△BCD的面积，△AGD的面积＝△BGD的面积∴S2＝S3同理可证明S1＝S2∴S1＝S2＝S3故选：B．【点评】考查了重心的概念．根据三角形的面积公式，可知三角形的重心是三角形三条中线的交点，可以把三角形分割成面积相等的两部分．6．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由图①和②得，b＝0，矛盾，∴此两图错误；由图③得，a＜0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0，符合条件；∵过原点，由a2﹣1＝0，得a＝±1，∴a＝﹣1由图④得，a＞0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＜0，与已知矛盾．故选：B．【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞0＞k2）在第一象限内的图象是C1，第二、四象限内的图象是C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点M，交C2于点C，PA⊥y轴于点N，交C2于点A，AB∥PC，CB∥AP相交于点B，则四边形ODBE的面积为（）A ．|k 1﹣k 2|B ．C ．|k 1•k 2|D ．【分析】此题用面积的分割法根据等式：四边形ODBE 的面积＝S 矩形APCB ﹣S 矩形PNOM ﹣S 矩形MCDP ﹣S矩形AEON作答即可．【解答】解：∵AB ∥PC ，CB ∥AP ，∠APC ＝90°， ∴四边形APCB 是矩形．设P （x ，），则A （，），C （x ，），∴S 矩形APCB ＝AP •PC ＝（x ﹣）（﹣）＝，∴四边形ODBE 的面积＝S矩形APCB﹣S矩形PNOM﹣S矩形MCDP﹣S矩形AEON＝﹣k 1﹣|k 2|﹣|k 2|＝．故选：D ．【点评】本题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．8．如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝45°，则tan ∠AEB 的值等于（ ）A ．3B ．2C ．D ．【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，∴△NAB≌△EAB．设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，∵AD2+DE2＝AE2，∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，∴x＝a．∴tan∠AEB＝tan∠BNM＝＝3．故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．二．填空题（共8小题）9．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝64．【分析】先在前面添加因式（2﹣1），再连续利用平方差公式计算求出x，然后根据指数相等即可求出n值．【解答】解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），＝（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），＝（2n﹣1）（1+2n），＝22n﹣1，∴x+1＝22n﹣1+1＝22n，2n＝128，∴n＝64．故填64．【点评】本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式（2﹣1）然后就能依次利用平方差公式计算了．10．小莉与小明一起用A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y＝﹣x2+3x上的概率为．【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36中．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．【解答】解：依题意得：P点有36种可能，满足抛物线的点有（1，2），（2，2）两种，因此满足条件的概率为：＝．故本题答案为：．【点评】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．11．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC＝4：5，则sin∠CFD＝．【分析】sin∠CFD＝，根据折叠的定义可以得到CB＝CF，则＝，即可求出sin∠CFD的值．【解答】解：由折叠可知，CB＝CF．矩形ABCD中，AB＝CD，sin∠CFD＝＝．【点评】本题考查折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，检测学生灵活运用知识的能力．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM＝．【分析】作OM⊥BE于M，连接OE，BD，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得BD是直径．根据勾股定理及相交弦定理求得BE，EF的值，从而得到BF的值，利用垂径定理求得MF，ME，最后根据勾股定理即可求得OM的值．【解答】解：作OM⊥BE于M，连接OE，BD，∵∠DCB＝90°，∴BD是直径，∵OE＝DE＝1，∴BE＝＝，∵EF＝＝，∴BF＝，∴MF＝，ME＝，∴OM＝＝．【点评】此题综合运用了勾股定理、相交弦定理、垂径定理．13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为1.44cm2．【分析】根据△PSC ∽△ABC ，相似比PC ：AC ＝2：4＝1：2，可求S △PSC ；已知PC 、S △PSC ，可求PS ，从而可得PQ ，CQ ，再由△RQC ∽△ABC ，相似比为CQ ：CB ，利用面积比等于相似比的平方求S △RQC ，用S 四边形RQPS ＝S △RQC ﹣S △PSC 求面积．【解答】解：根据旋转的性质可知，△PSC ∽△RSF ∽△RQC ∽△ABC ，△PSC ∽△PQF ， ∵∠A ＝90°，AB ＝3cm ，AC ＝4cm ，∴BC ＝5，PC ＝2，S △ABC ＝6，∵S △PSC ：S △ABC ＝1：4，即S △PSC ＝，∴PS ＝PQ ＝，∴QC ＝，∴S △RQC ：S △ABC ＝QC 2：BC 2，∴S △RQC ＝，∴S RQPS ＝S △RQC ﹣S △PSC ＝1.44cm 2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．据此得判断出相等的对应角，得到相似三角形，利用相似三角形的性质解答．14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为，△AOB的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则＝ ．【分析】作BE ∥AC ，从而得到平行四边形ACEB ，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，从而不难求解．【解答】解：作BE∥AC，∵AB∥CE，∴CE＝AB，∵梯形中位线为6.5，∴AB+CD＝13，∴DE＝CE+CD＝AB+CD＝13，∵BE＝AC＝5，BD＝12，由勾股定理的逆定理，得△BDE为直角三角形，即∠EBD＝∠COD＝90°，＝S设S△EBD则S2：S＝DO2：DB2S1：S＝OB2：BD2∴＝∵S＝12×5×＝30∴＝．故本题答案为：．【点评】此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．15．已知x＝，则x3+12x的算术平方根是2．【分析】观察题目，可用借助于整体思想，设＝a，＝b，进行替换，加以解答．【解答】解：设＝a，＝b．则，．又4＝＝a3b3，∴x＝a2b﹣ab2，x2＝a4b2﹣2a3b3+a2b4，故原式＝x（x2+12），＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），＝（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），＝（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），＝ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），＝a3b3（a3﹣b3），＝，＝4×2＝8．则其算术平方根是2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题时注意运用公式简便计算（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3．同时注意用一个字母可以表示一个较复杂的数的整体思想．16．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是9π．【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积．【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，∴阴影面积＝﹣＝9π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．三．解答题（共6小题）17．已知x、y均为实数，且满足xy+x+y＝17，x2y+xy2＝66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．【分析】由已知条件xy+（x+y）＝17，x2y+xy2＝xy（x+y）＝66，可以看出xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66＝0的两个实数根，可得出xy＝11，x+y＝6时，x、y是方程v2﹣6v+11＝0的两个根或xy＝6，x+y＝11时，x、y是方程u2﹣11u+6＝0的两个根，根据根的判别式△＝b2﹣4ac，判断两个方程有无实数根，有实数根时可以整理出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，把原代数式化简为含x2+y2的形式，代入求值即可．【解答】解：由已知条件可知xy和（x+y）是方程t2﹣17t+66＝0的两个实数根，由t1＝6，t2＝11得或当xy＝11，x+y＝6时，x、y是方程v2﹣6v+11＝0的两个根∵△1＝36﹣44＜0∴此方程没有实数根当xy＝6，x+y＝11时，x、y是方程u2﹣11u+6＝0的两个根∵△2＝121﹣24＞0∴此方程有实数根，这时x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝109∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4＝x4+y4+x2y2+xy（x2+y2）＝（x2+y2）2﹣x2y2+xy（x2+y2）＝12499．【点评】此题综合性比较强，主要考查：①一元二次方程根的判别式的有关内容．根的判别式△＝b2﹣4ac＞0⇒方程有两个不相等的实数根；△＝0⇒方程有两个相等的实数根；△＜0⇒方程没有实数根．②一元二次方程根与系数的关系：如果一个一元二次方程的两根是x1、x2，那么这个一元二次方程为x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0．18．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．【分析】（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR＝90°即可；（2）先证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ＝PC•PA，整理即可得到OB2＝PB•PQ+OP2；（3）分别考虑当RA＝OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围．【解答】证明：（1）连接OQ；∵OB＝OC，PR＝RQ；∴∠OBP＝∠OQP，∠RPQ＝∠RQP；∵∠OBP+∠BPO＝90°，∠BPO＝∠RPQ；∴∠OQP+∠RQP＝90°；即∠OQR＝90°，∴RQ是⊙O的切线．证明：（2）延长AO⊙O交于点C；∵∠BPC＝∠QPA，∠BCP＝∠AQP，∴△BCP∽△AQP，∴PB•PQ＝PC•PA＝（OC+OP）（OA﹣OP）＝（OB+OP）（OB﹣OP）＝OB2﹣OP2，∴OB2＝PB•PQ+OP2．解：（3）当RA＝OA时，∠R＝30°，易得∠B＝15°，当R与A重合时，∠B＝45°；∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合，∴∠B≠45°；又∵RA≤OA，∴∠B＜45°，∴15°≤B＜45°．【点评】此题考查了学生对切线的判定及相似三角形的判定等知识点的综合运用．19．如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s．（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）．【分析】（1）由于三角形不一定为直角三角形，所以选择在两个三角形中用余弦定理来建立等式解答；（2）作PD⊥a，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．【解答】解：（1）∵PA﹣PB＝1.5×8＝12（km），PC﹣PB＝1.5×20＝30（km）∴PB＝（x﹣12）km，PC＝（18+x）km在△PAB中，AB＝20 km，cos∠PAB＝＝＝同理，在△PAC中，cos∠PAC＝∵cos∠PAB＝cos∠PAC∴＝∴x＝（km）；（2）作PD⊥a，垂足为D在Rt△PDA中，PD＝PA cos∠APD＝PA cos∠PAB＝x•＝≈17.71（km）答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km．【点评】解答此题，在非直角三角形中可以选择用余弦定理解答．勾股定理可以认为是当夹角为90°时的余弦定理．20．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y＝x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1的相切；（2）设直线PM与抛物线y＝x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM．【分析】（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y ＝﹣1的长就是P点的纵坐标与﹣1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y＝﹣1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y＝﹣1是圆P的切线．（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y＝﹣1，PH⊥直线y＝﹣1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP＝RN：NH．（1）中已得出了PM＝PH，那么同理可得出QM＝QR，那么比例关系式可写成QR：PH＝RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR＝∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM＝∠PNM．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x0，x20），则PM＝＝x20+1；又因为点P到直线y＝﹣1的距离为，x20﹣（﹣1）＝x20+1所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y＝﹣1相切．（2）如图，分别过点P，Q作直线y＝﹣1的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．因为PH，MN，QR都垂直于直线y＝﹣1，所以，PH∥MN∥QR，于是＝，所以，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．于是∠HNP ＝∠RNQ ，从而∠PNM ＝∠QNM ．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，平行的性质以及二次函数和一次函数的综合应用． （2）中通过构建相似三角形来求角相等是解题的关键．21．已知二次函数y ＝x 2﹣2mx +1．记当x ＝c 时，函数值为y c ，那么，是否存在实数m ，使得对于满足0≤x ≤1的任意实数a ，b ，总有y a +y b ≥1．【分析】求y a +y b ≥1，实际上是求两个函数在0≤x ≤1内的最小值之和大于或等于1，据此把问题转化，根据对称轴x ＝m ，是否在0≤x ≤1内，分类讨论．【解答】解：设y 在0≤x ≤1的最小值为M ，原问题等价于2M ≥1，M ≥，二次函数y ＝x 2﹣2mx +1的图象是一条开口向上的抛的线，①当对称轴x ＝m ≤0时，由图象可知，x ＝0时，y 最小＝1，这时1≥成立；②当对称轴x ＝m ，0＜m ＜1时，由图象可知x ＝m 时，y 最小且y 最小＝1﹣m 2，有1﹣m 2≥，m 2≤，故有0＜m ≤；③当对称轴x ＝m ，m ≥1时，由图象可知，x ＝1时，y 最小且y 最小＝2﹣2m ，这时有2﹣2m ≥，m ≤与m ≥1矛盾．综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是m ≤．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，由于图象开口向上，对称轴与抛物线的交点处函数有最小值，需要根据对称轴与x 的范围，分类讨论，这些性质和分类讨论的思想要求掌握．22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA ＝10厘米，OC ＝6厘米，现有两动点P ，Q 分别从O ，A 同时出发，点P 在线段OA 上沿OA 方向作匀速运动，点Q 在线段AB 上沿AB 方向作匀速运动，已知点P 的运动速度为1厘米/秒．（1）设点Q 的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t 秒，①当△CPQ 的面积最小时，求点Q 的坐标；②当△COP 和△PAQ 相似时，求点Q 的坐标．（2）设点Q 的运动速度为a 厘米/秒，问是否存在a 的值，使得△OCP ∽△PAQ ∽CBQ ？若存在，请求出a 的值，并写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）因为无法直接求△CPQ 的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t 的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t 的值，就可求出Q 的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t 的值，就可以求出Q 点的坐标．（2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a 、t 的二元一次方程即可，那么Q 点的坐标就可求．【解答】解：（1）①先设两点运动的时间是t 时，△CPQ 面积最小．S △CPQ ＝S 梯形QCOA ﹣S △COP ﹣S △APQ ＝（AQ +OC ）×OA ﹣AP •AQ ﹣OC •OP＝（0.5t +6）×10﹣×0.5t ×（10﹣t ）﹣×6×t＝（t ﹣6）2+21∵a ＝＞0，∴当t ＝6时，S △CPQ 有最小值，那么AQ ＝0.5t ＝0.5×6＝3，∴Q 点的坐标是（10，3）．②△COP 和△PAQ 相似，有△COP ∽△PAQ 和△COP ∽△QAP 两种情况：（i ）当△COP ∽△PAQ 时：∴＝，∴＝，即t 2﹣7t ＝0，解得，t 1＝0（不合题意，舍去），t 2＝7．∴t ＝7，∴AQ ＝0.5t ＝0.5×7＝3.5．∴Q 点的坐标是（10，3.5）．（ii ）当△COP ∽△QAP 时：＝，∴＝，即t2+12t﹣120＝0解得：t1＝﹣6+2，t2＝﹣6﹣2（不合题意，舍去）∴AQ＝0.5t＝﹣3+．∴Q点的坐标是（10，﹣3+）；（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，∴，即，解得，t1＝2，t2＝18，又∵0＜t＜10，∴t＝2．代入任何一个式子，可求a＝．∴AQ＝at＝∴Q点的坐标是（10，）．【点评】本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．。
浙江省苍南县2019重点高中自主招生数学模拟试卷4 解析版
2019重点高中自主招生数学模拟试卷4一．选择题（共8小题，4*8=32）1．下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．C．D．2．如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．43．若m个数的平均数x，另n个数的平均数y，则m+n个数的平均数是（）A．B．C．D．4．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A，B，C内的三个数依次是（）A．1，0，﹣2 B．0，1，﹣2 C．0，﹣2，1 D．﹣2，0，15．若a，b和c是三个两两不同的奇质数，且方程（b+c）x2+（a+1）x+225＝0有两个相等的实根，则a的最小值是（）A．41 B．47 C．53 D．596．已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30 B．34 C．40 D．447．如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（）A．68πm2B．72πm2C．78πm2D．80πm28．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）A．500元B．600元C．700元D．800元二．填空题（共8小题，4*8=32）9．若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝．10．已知方程x2+（a﹣3）x+3＝0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是．11．已知|x|＝4，|y|＝，且xy＜0，则的值等于．12．按照一定顺序排列的数列，一般用a1，a2，a3，…，a n表示一个数列，可简记为{an}，现有一数列{an}满足关系式：a n+1＝a n2﹣na n+1（n＝1，2，3，…，n），且a1＝2，试猜想a n＝（用含n的代数式表示）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，在BC上有50个不同的点P1，P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50＝．14．甲乙两人同时分别从A、B两地出发，沿连接这两地的道路向另一地前行，这段道路长为9千米，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时，同时，甲带的小狗以7.5千米/小时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲，遇甲后又立即奔向乙，…，直到甲、乙相遇，那么小狗总走的路程是千米．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）16．已知二次函数y＝ax2（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是﹣1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为．三．解答题（共6小题，56分）17．（6分）解方程：x2﹣3|x﹣1|﹣1＝018．（8分）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由．19．（8分）阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则（1）试证明：；（2）如图，0为直线AB上一点，0C，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．20．（10分）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是．21．（12分）如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC＝25，BD ＝20，BE＝7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，对任意实数x都有x≤ax2+bx+c≤成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）若当x＝﹣1时，y＝0，求a、b、c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．C．D．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式＝++＝＝．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1＝1；B、当x＝1时，y＝3，阴影部分面积1×3×＝；C、当y＝0时，x＝±1，当x＝0时，y＝﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×＝1；D、阴影部分面积为xy＝×2＝1．故选：B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．2．如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．4【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D＝O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB＝∠ACB＝×60°＝30°，由勾股定理得BC＝2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D＝O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB＝∠ACB＝×60°＝30°．∵O′C＝2O′B＝2×2＝4，∴BC＝＝＝2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．3．若m个数的平均数x，另n个数的平均数y，则m+n个数的平均数是（）A．B．C．D．【分析】因为m个数的平均数x，则m个数的总和为mx；n个数的平均数y，则n个数的总和为ny；然后求出m+n个数的平均数即可．【解答】解：m+n个数的平均数＝，故选：C．【点评】本题考查的是平均数的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．4．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A，B，C内的三个数依次是（）A．1，0，﹣2 B．0，1，﹣2 C．0，﹣2，1 D．﹣2，0，1【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：图中图形折叠成正方体后，A与0对应，B与2对应，C与﹣1对应．故选C．【点评】根据图形，折叠以后找出对应数字．5．若a，b和c是三个两两不同的奇质数，且方程（b+c）x2+（a+1）x+225＝0有两个相等的实根，则a的最小值是（）A．41 B．47 C．53 D．59【分析】利用一元二次方程的根的判别式△＝0时，建立关于a，b，c的关系式，从选项中选出适合本题题意的答案．【解答】解：由题意知，△＝5（a+1）2﹣4（b+c）×225＝0，得到：（a+1）2＝22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59．故选：D．【点评】本题先利用了一元二次方程两根相等时△＝0求得a，b，c的关系，再从选项中，根据奇质数的性质：a+1是6的倍数，且b与c的和的5倍是完全平方数求得的．6．已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30 B．34 C．40 D．44【分析】将x、y的值分别代入y＝x3+ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，得，解得；代入y＝x3+ax2+bx+c得：y＝x3﹣18x2+117x﹣210，把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，故选：B．【点评】本题通过建立关于a，b，c的三元一次方程组，求得a、b、c的值后而求解．7．如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（）A．68πm2B．72πm2C．78πm2D．80πm2【分析】由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：2π，那么塑料膜的面积＝2π×32+π×（4÷2）2÷2×2＝68π平方米．【解答】解：塑料膜的面积＝2π×32+π×（4÷2）2÷2×2＝64π+4π＝68π平方米．故选：A．【点评】本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．8．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）A．500元B．600元C．700元D．800元【分析】认真分析表格，弄清返购物券的标准与使用购物券的条件，从而确定最佳方案．【解答】解：∵买化妆品不返购物券，∴先购买鞋，利用所得购物券再买衣服，需要现金（280+220）元，得到200购物券，利用购物券，现金100元，购买化妆品即可．张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为：280+220+100＝600元．故选：B．【点评】此题为实际应用题，与生活比较接近，此类题目更能激发学生的学习兴趣．也是中考中的热点题型．二．填空题（共8小题）9．若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝1．【分析】按照一般步骤解方程，用含a的代数式表示x，既然无解，所以x应该是能令最简公分母为0的值，代入即可解答a．【解答】解：原方程化为整式方程得：1﹣x﹣3＝a，整理得x＝﹣2﹣a，因为无解，所以x+3＝0，即x＝﹣3，所以a＝﹣2+3＝1．【点评】分式方程无解的可能为：整式方程本身无解，但当整式方程的未知数的系数为一常数时，不存在整式方程无解；分式方程产生增根．10．已知方程x2+（a﹣3）x+3＝0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是﹣1＜a＜﹣或a＝3﹣2或a＝﹣．【分析】分四种情形讨论即可解决问题．：①当△＝0时；②当x＝1时；③当x＝2时；④由题意，分别求解即可．【解答】解：①当△＝0时，即b2﹣4ac＝0，∴（a﹣3）2﹣12＝0，∴a﹣3＝±2，当a﹣3＝2时，方程x2+2x+3＝0，x1═x2＝﹣，不合题意．当a﹣3＝﹣2时，方程x2﹣2x+3＝0，x1═x2＝，符合题意．②当x＝1时，1+a﹣3+3＝0，∴a＝﹣1，此时方程为x2﹣4x+3＝0，x＝1或3，不符合题意．③当x＝2时，4+2（a﹣3）+3＝0，∴a＝﹣，此时方程为2x2﹣7x+6＝0，x＝1.5或2，符合题意．④由题意，解得﹣1＜a＜﹣，综上所述，a的范围是：﹣1＜a＜﹣或a＝3﹣2或a＝﹣故答案为：﹣1＜a＜﹣或a＝3﹣2或a＝﹣．【点评】主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，学会分类讨论，这些性质和规律要求学生熟练掌握．11．已知|x|＝4，|y|＝，且xy＜0，则的值等于﹣8．【分析】先根据绝对值的定义求出x，y的值，再根据xy＜0确定的值即可．【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝，∴x＝±4，y＝±；又∵xy＜0，∴x＝4，y＝﹣或x＝﹣4，y＝，则＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上x，y大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．12．按照一定顺序排列的数列，一般用a1，a2，a3，…，a n表示一个数列，可简记为{an}，现有一数列{an}满足关系式：a n+1＝a n2﹣na n+1（n＝1，2，3，…，n），且a1＝2，试猜想a n＝n+1（用含n的代数式表示）．【分析】根据题意分别把n＝1，2，3代入式子计算，由特殊值的规律推导出一般关系式为a n＝n+1．【解答】解：根据题目给出的关系式可得：n＝1，a2＝a12﹣a1+1＝22﹣2+1＝3，n＝2，a3＝a22﹣2a2+1＝32﹣2×3+1＝4，n＝3，a4＝a32﹣3a3+1＝42﹣3×4+1＝5，…由此可以猜测a n＝n+1．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题要先将各项算出，然后查找其中的规律．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，在BC上有50个不同的点P1，P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50＝200．【分析】本题可过A作AD⊥BC于D，先找出每个△ABC的内接矩形与AD长的关系，再求这50个内接矩形的周长和．【解答】解：根据题意，过A作AD垂直于BC，交BC于点D；易得BD＝1，设E1F1与AD交于M，则E1M＝AM•tan∠BAD＝AM，∴AM＝E1F1，因此矩形E1F1G1P1的周长L1＝2E1F1+2E1P＝2AM+2DM＝2AD＝4，同理可求得△ABC其它的内接矩形的周长均为4，因此L1+L2+…+L50＝4×50＝200．故答案为200．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14．甲乙两人同时分别从A、B两地出发，沿连接这两地的道路向另一地前行，这段道路长为9千米，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时，同时，甲带的小狗以7.5千米/小时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲，遇甲后又立即奔向乙，…，直到甲、乙相遇，那么小狗总走的路程是7.5千米．【分析】此题要求小狗所走的路程，只要求得两人相遇的时间就可．【解答】解：设两人x小时相遇，则4x+5x＝9，解得x＝1则小狗所走的路程是7.5×1＝7.5千米．【点评】注意：此题中小狗所走的时间就是两人相遇所用的时间．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号①③（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．【解答】解：∵AB＝AC，AC＝AD，∴AB＝AD∵AC平分∠DAB∴AC垂直平分BD，①正确；∴DC＝CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，根据圆周角定理，得∠DBC＝∠DAC，③正确；当△ABC是正三角形时，∠CAB＝60°那么∠DAB＝120°，如图所示，故④是不一定成立的，所以错误．故①③对．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化．16．已知二次函数y＝ax2（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是﹣1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为2+2或4+2．【分析】把A、B两点横坐标分别代入解析式，求出纵坐标，又因为△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各边长，进而得出△OAB的周长．【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，作AC⊥BE于C．将x＝﹣1、x＝2分别代入解析式得，y A＝a，y B＝4a．于是BC＝4a﹣a＝3a，AC＝2﹣（﹣1）＝3，所以AB2＝（3a）2+32＝9a2+9，又因为在Rt△ADO中，AO2＝a2+1，在Rt△BOE中，OB2＝22+（4a）2当∠AOB＝90°时，根据勾股定理，AB2＝AO2+BO2即9a2+9＝a2+1+22+（4a）2，解得a＝（负值不合题意舍去），于是AO2＝+1＝，AO＝，OB2＝22+8＝12，OB＝2，AB2＝AO2+BO2＝+12＝，AB＝，△OAB的周长为AO+OB+AB＝+2+＝2+2，当∠OAB＝90°时，AB2+AO2＝BO2，即9a2+9+a2+1＝22+（4a）2，解得a＝1，于是OA＝，OB＝2，AB＝3，△OAB的周长为AO+OB+AB＝4+2；当∠OBA＝90°时，AB2＝AO2﹣BO2，即9a2+9＝a2+1﹣[22+（4a）2]，无解；∴△OAB的周长为2+2或4+2．【点评】解答此题的关键是作出辅助线，利用勾股定理建立起关于参数a的关系式，再求出各边长，将它们相加即可求出周长．三．解答题（共6小题）17．解方程：x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0【分析】解此方程时首先要去掉绝对值，然后根据因式分解法求方程解．【解答】解：①当x﹣1≥0时|x﹣1|＝x﹣1，得方程，x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0，去掉绝对值得，x2﹣3x+2＝0因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0解得x1＝1，x2＝2；②当x﹣1＜0时|x﹣1|＝﹣x+1，得方程x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0去掉绝对值得x2+3x﹣4＝0因式分解得，（x﹣1）（x+4）＝0解得x1＝1（舍去），x2＝﹣4．∴原方程的根是x1＝1，x2＝2，x3＝﹣4【点评】要根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后进行因式分解，再利用方程根积为0的特点解出方程的根．18．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由．【分析】（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组．（2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”．【解答】解：（1）设购买电视机甲种x台，乙种y台，丙种z台，由题意得：①x+y＝50，1500x+2100y＝90000，解得x＝25，y＝25；②y+z＝50，2100y+2500z＝90000，解得y＝87.5，z＝﹣37.5，（舍去）③x+z＝50，1500x+2500z＝90000，解得x＝35，z＝15．（2）x+y+z＝50，1500x+2100y+2500z＝90000解得（8分）∵均大于0而小于50的整数∴x＝27，y＝20，z＝3；x＝29，y＝15，z＝6；x＝31，y＝10，z＝9；x＝33，y＝5，z＝12【点评】三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有四种可能．19．阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则（1）试证明：；（2）如图，0为直线AB上一点，0C，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．【分析】（1）要证明即求证：+＝1，根据AB＝AC得到AC等于菱形的边长，根据＝＝，同理可得＝，就可以证出所求结论；（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，连接EP3交OD于点F，则0F＝r′．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴，（1分）又∵CD∥AM，∴，（2分）∴，（3分）又∵AB＝AD＝AC，∴；（4分）（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，（6分）连接EP3交OD于点F，则0F＝﹣r′．（8分）【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据这个定理可以把线段的比进行转化．20．田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是．【分析】（1）运用列举法，列举出所有的情况；（2）列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下（2）根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为．【点评】此题是一个古典题目，有利于学生兴趣的提高；解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC＝25，BD＝20，BE ＝7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．【分析】（1）首先运用勾股定理求得CD，CE的长，再根据相似三角形的性质求得AD的长，从而发现要求的线段就是直角三角形斜边上的中线；（2）根据H是高的交点得AH⊥BC，所以只需证明GF∥BC即可．【解答】解：由已知得CD＝15，CE＝24，（1）由题设知∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB∽△AEC，故…①，由①有，∴，∴点D是Rt△AEC的中点，∴故DE＝AC＝15；（2）证明：方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，则∠AFG＝∠ADE＝∠EBC，故GF∥BC；方法二：连DF，则DF∥CE，由（1）知D为AC中点，∴F为AE中点，∴AF＝9，∴AG＝，∴，∴，∴，∴GF∥BC，又∵H为△ABC垂心，∴AH⊥BC，∵GF∥BC，∴AH⊥GF．【点评】此题主要考查相似三角形的基本性质和直角三角形的性质，此类题的知识综合性较强，熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定和性质，善于把要证得的结论进行转换．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c，对任意实数x都有x≤ax2+bx+c≤成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）若当x＝﹣1时，y＝0，求a、b、c的值．【分析】（1）解此题首先要理解题意，因为x≤ax2+bx+c≤，所以得x≤y≤，把x＝1代入这个不等式中，观察不等式求解；（2）将点（1，1），（﹣1，0）代入函数解析式，再利用不等式关系即可求得．【解答】解：（1）∵x≤ax2+bx+c≤，y＝ax2+bx+c，∴x≤y≤，∴当x＝1时，1≤y≤＝1，∴y＝1；（2）由（1）知：，解得，∴，∵y≥x，∴≥x，即ax2﹣x+﹣a≥0恒成立，故△＝﹣4a（﹣a）≤0，即（a﹣）2≤0，∴a＝，c＝，代入检验y≤也恒成立，∴a＝，b＝，c＝．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，不过条件比较复杂，解题时要认真审题，理解题意．中考模拟中考模拟。
2019年浙江省苍南中学提前招生数学试题卷Word版无答案
曾经，南美洲原始森林里生存着一种鸟类，这种鸟全身翠绿，并带有一圈圈灰色纹理，就像一圈圈波浪，因此得名翠波鸟。
这种鸟虽然美丽，但它每天忙忙碌碌都在筑巢，因而显得无精打采，很是疲惫。
翠波鸟巢穴唯一特点是巨大，一个个架在树上，场面甚为壮观。
但这些巨大的巢穴也不禁让人疑惑，翠波鸟是一种小鸟，体长不过五六厘米，可它们建造的巢穴为什么比自己身体大几倍，甚至是十几倍呢？为了解开这个谜，一名动物学者做了一个实验。
他制作了一个巨大的笼子，并捉来一只翠波鸟观察它筑巢过程。
可令他没想到的是，这只翠波鸟只建了一个能容下自己身体大小的巢，然后就停工了。
这引起了学者极大兴趣，他又捉来一只翠波鸟放在笼子里，想看看它建房情况。
可这一次情况却发生了突变，这只鸟被放进笼子里后，没过多久便开始大力建巢，而原本停止建造的那只也开始疯狂地扩建巢穴，两个巢穴越建越大。
几天过后，两只鸟明显疲惫不堪，建造速度放慢。
又过了几天，原先送进来的那一只竟然死了，而且这只鸟死后，另外一只立刻停止了筑巢，这些现象真让人百思不解。
学者随即又捉来一只翠波鸟放在笼子里，还如前面发生的情况一样。
学者陷入深思，突然明白过来，原来令翠波鸟忙碌不停原因竟是攀比。
这种鸟攀比心理太强，容不得别人巢穴比自己大，一旦发现别的鸟新建“房子”，它便忙碌不停地扩建巢穴… 实验中两只鸟其实都是累死的。
其实，人生也正如翠波鸟筑巢，要想真正获得快乐，活得轻松自在，就不能总拿别人为参照，许多时候自己满意就好。
任何人，任何事，尽力就好，努力就够。
不必让身体太过辛苦，更不必让心灵装满难过。
总盯着别人的生活，会看不到自己的幸福。
人不争，一身轻松；事不比，一路畅通；心不求，一生平静。
愿你做一个知足常乐之人，让家庭安安稳稳，对朋友真真诚诚，让心情高高兴兴，对生活充满激情。
2018 年自主招生学科素养测试数学试题卷注意事项∶1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
浙江省苍南县2019重点高中自主招生数学模拟试卷含答案
2019重点高中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共8小题，4*8=32）1．下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．C．D．2．如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．43．若m个数的平均数x，另n个数的平均数y，则m+n个数的平均数是（）A．B．C．D．4．如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A，B，C内的三个数依次是（）A．1，0，﹣2 B．0，1，﹣2 C．0，﹣2，1 D．﹣2，0，15．若a，b和c是三个两两不同的奇质数，且方程（b+c）x2+（a+1）x+225＝0有两个相等的实根，则a的最小值是（）A．41 B．47 C．53 D．596．已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30 B．34 C．40 D．447．如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（）A．68πm2B．72πm2C．78πm2D．80πm28．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）A．500元B．600元C．700元D．800元二．填空题（共8小题，4*8=32）9．若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝．10．已知方程x2+（a﹣3）x+3＝0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是．11．已知|x|＝4，|y|＝，且xy＜0，则的值等于．12．按照一定顺序排列的数列，一般用a1，a2，a3，…，a n表示一个数列，可简记为{an}，现有一数列{an}满足关系式：a n+1＝a n2﹣na n+1（n＝1，2，3，…，n），且a1＝2，试猜想a n＝（用含n的代数式表示）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，在BC上有50个不同的点P1，P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50＝．14．甲乙两人同时分别从A、B两地出发，沿连接这两地的道路向另一地前行，这段道路长为9千米，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时，同时，甲带的小狗以7.5千米/小时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲，遇甲后又立即奔向乙，…，直到甲、乙相遇，那么小狗总走的路程是千米．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）16．已知二次函数y＝ax2（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是﹣1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为．三．解答题（共6小题，56分）17．（6分）解方程：x2﹣3|x﹣1|﹣1＝018．（8分）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由．19．（8分）阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD 的延长线于M，N，则（1）试证明：；（2）如图，0为直线AB上一点，0C，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB 上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．20．（10分）田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是．21．（12分）如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC＝25，BD＝20，BE＝7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，对任意实数x都有x≤ax2+bx+c≤成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）若当x＝﹣1时，y＝0，求a、b、c的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．B．2．C．3．C．4．C．5．D．6．B．7．A．8．B．二．填空题（共8小题）9．若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝1．【分析】按照一般步骤解方程，用含a的代数式表示x，既然无解，所以x应该是能令最简公分母为0的值，代入即可解答a．【解答】解：原方程化为整式方程得：1﹣x﹣3＝a，整理得x＝﹣2﹣a，因为无解，所以x+3＝0，即x＝﹣3，所以a＝﹣2+3＝1．【点评】分式方程无解的可能为：整式方程本身无解，但当整式方程的未知数的系数为一常数时，不存在整式方程无解；分式方程产生增根．10．已知方程x2+（a﹣3）x+3＝0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是﹣1＜a＜﹣或a＝3﹣2或a＝﹣．【分析】分四种情形讨论即可解决问题．：①当△＝0时；②当x＝1时；③当x＝2时；④由题意，分别求解即可．【解答】解：①当△＝0时，即b2﹣4ac＝0，∴（a﹣3）2﹣12＝0，∴a﹣3＝±2，当a﹣3＝2时，方程x2+2x+3＝0，x1═x2＝﹣，不合题意．当a﹣3＝﹣2时，方程x2﹣2x+3＝0，x1═x2＝，符合题意．②当x＝1时，1+a﹣3+3＝0，∴a＝﹣1，此时方程为x2﹣4x+3＝0，x＝1或3，不符合题意．③当x＝2时，4+2（a﹣3）+3＝0，∴a＝﹣，此时方程为2x2﹣7x+6＝0，x＝1.5或2，符合题意．④由题意，解得﹣1＜a＜﹣，综上所述，a的范围是：﹣1＜a＜﹣或a＝3﹣2或a＝﹣故答案为：﹣1＜a＜﹣或a＝3﹣2或a＝﹣．【点评】主要考查了二次函数的性质与一元二次方程之间的关系，学会分类讨论，这些性质和规律要求学生熟练掌握．11．已知|x|＝4，|y|＝，且xy＜0，则的值等于﹣8．【分析】先根据绝对值的定义求出x，y的值，再根据xy＜0确定的值即可．【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝，∴x＝±4，y＝±；又∵xy＜0，∴x＝4，y＝﹣或x＝﹣4，y＝，则＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上x，y大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．12．按照一定顺序排列的数列，一般用a1，a2，a3，…，a n表示一个数列，可简记为{an}，现有一数列{an}满足关系式：a n+1＝a n2﹣na n+1（n＝1，2，3，…，n），且a1＝2，试猜想a n＝n+1（用含n的代数式表示）．【分析】根据题意分别把n＝1，2，3代入式子计算，由特殊值的规律推导出一般关系式为a n＝n+1．【解答】解：根据题目给出的关系式可得：n＝1，a2＝a12﹣a1+1＝22﹣2+1＝3，n＝2，a3＝a22﹣2a2+1＝32﹣2×3+1＝4，n＝3，a4＝a32﹣3a3+1＝42﹣3×4+1＝5，…由此可以猜测a n＝n+1．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题要先将各项算出，然后查找其中的规律．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，在BC上有50个不同的点P1，P2，…，P50，过这50个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2，…，P50E50F50G50，每个内接矩形的周长分别为L1，L2，…，L50，则L1+L2+…+L50＝200．【分析】本题可过A作AD⊥BC于D，先找出每个△ABC的内接矩形与AD长的关系，再求这50个内接矩形的周长和．【解答】解：根据题意，过A作AD垂直于BC，交BC于点D；易得BD＝1，设E1F1与AD交于M，则E1M＝AM•tan∠BAD＝AM，∴AM＝E1F1，因此矩形E1F1G1P1的周长L1＝2E1F1+2E1P＝2AM+2DM＝2AD＝4，同理可求得△ABC其它的内接矩形的周长均为4，因此L1+L2+…+L50＝4×50＝200．故答案为200．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14．甲乙两人同时分别从A、B两地出发，沿连接这两地的道路向另一地前行，这段道路长为9千米，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时，同时，甲带的小狗以7.5千米/小时的速度奔向乙，小狗遇乙后又立即回头奔向甲，遇甲后又立即奔向乙，…，直到甲、乙相遇，那么小狗总走的路程是7.5千米．【分析】此题要求小狗所走的路程，只要求得两人相遇的时间就可．【解答】解：设两人x小时相遇，则4x+5x＝9，解得x＝1则小狗所走的路程是7.5×1＝7.5千米．【点评】注意：此题中小狗所走的时间就是两人相遇所用的时间．15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB＝AC，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号①③（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．【解答】解：∵AB＝AC，AC＝AD，∴AB＝AD∵AC平分∠DAB∴AC垂直平分BD，①正确；∴DC＝CB，易知DC＞DE，∴BC＞DE，②错；D、C、B可看作是以点A为圆心的圆上，根据圆周角定理，得∠DBC＝∠DAC，③正确；当△ABC是正三角形时，∠CAB＝60°那么∠DAB＝120°，如图所示，故④是不一定成立的，所以错误．故①③对．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法；注意把图形放入圆中解决可使问题简化．16．已知二次函数y＝ax2（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是﹣1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为2+2或4+2．【分析】把A、B两点横坐标分别代入解析式，求出纵坐标，又因为△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各边长，进而得出△OAB的周长．【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，作AC⊥BE于C．将x＝﹣1、x＝2分别代入解析式得，y A＝a，y B＝4a．于是BC＝4a﹣a＝3a，AC＝2﹣（﹣1）＝3，所以AB2＝（3a）2+32＝9a2+9，又因为在Rt△ADO中，AO2＝a2+1，在Rt△BOE中，OB2＝22+（4a）2当∠AOB＝90°时，根据勾股定理，AB2＝AO2+BO2即9a2+9＝a2+1+22+（4a）2，解得a＝（负值不合题意舍去），于是AO2＝+1＝，AO＝，OB2＝22+8＝12，OB＝2，AB2＝AO2+BO2＝+12＝，AB＝，△OAB的周长为AO+OB+AB＝+2+＝2+2，当∠OAB＝90°时，AB2+AO2＝BO2，即9a2+9+a2+1＝22+（4a）2，解得a＝1，于是OA＝，OB＝2，AB＝3，△OAB的周长为AO+OB+AB＝4+2；当∠OBA＝90°时，AB2＝AO2﹣BO2，即9a2+9＝a2+1﹣[22+（4a）2]，无解；∴△OAB的周长为2+2或4+2．【点评】解答此题的关键是作出辅助线，利用勾股定理建立起关于参数a的关系式，再求出各边长，将它们相加即可求出周长．三．解答题（共6小题）17．解方程：x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0【分析】解此方程时首先要去掉绝对值，然后根据因式分解法求方程解．【解答】解：①当x﹣1≥0时|x﹣1|＝x﹣1，得方程，x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0，去掉绝对值得，x2﹣3x+2＝0因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0解得x1＝1，x2＝2；②当x﹣1＜0时|x﹣1|＝﹣x+1，得方程x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0去掉绝对值得x2+3x﹣4＝0因式分解得，（x﹣1）（x+4）＝0解得x1＝1（舍去），x2＝﹣4．∴原方程的根是x1＝1，x2＝2，x3＝﹣4【点评】要根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后进行因式分解，再利用方程根积为0的特点解出方程的根．18．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．（2）若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由．【分析】（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组．（2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”．【解答】解：（1）设购买电视机甲种x台，乙种y台，丙种z台，由题意得：①x+y＝50，1500x+2100y＝90000，解得x＝25，y＝25；②y+z＝50，2100y+2500z＝90000，解得y＝87.5，z＝﹣37.5，（舍去）③x+z＝50，1500x+2500z＝90000，解得x＝35，z＝15．（2）x+y+z＝50，1500x+2100y+2500z＝90000解得（8分）∵均大于0而小于50的整数∴x＝27，y＝20，z＝3；x＝29，y＝15，z＝6；x＝31，y＝10，z＝9；x＝33，y＝5，z＝12【点评】三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有四种可能．19．阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则（1）试证明：；（2）如图，0为直线AB上一点，0C，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB 上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．【分析】（1）要证明即求证：+＝1，根据AB＝AC得到AC等于菱形的边长，根据＝＝，同理可得＝，就可以证出所求结论；（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，连接EP3交OD于点F，则0F＝r′．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴，（1分）又∵CD∥AM，∴，（2分）∴，（3分）又∵AB＝AD＝AC，∴；（4分）（2）连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，（6分）连接EP3交OD于点F，则0F＝﹣r′．（8分）【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据这个定理可以把线段的比进行转化．20．田忌赛马齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各﹣匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：（1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况；（2）田忌能赢得比赛的概率是．【分析】（1）运用列举法，列举出所有的情况；（2）列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下（2）根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为．【点评】此题是一个古典题目，有利于学生兴趣的提高；解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC＝25，BD＝20，BE＝7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．【分析】（1）首先运用勾股定理求得CD，CE的长，再根据相似三角形的性质求得AD的长，从而发现要求的线段就是直角三角形斜边上的中线；（2）根据H是高的交点得AH⊥BC，所以只需证明GF∥BC即可．【解答】解：由已知得CD＝15，CE＝24，（1）由题设知∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB∽△AEC，故…①，由①有，∴，∴点D是Rt△AEC的中点，∴故DE＝AC＝15；（2）证明：方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，则∠AFG＝∠ADE＝∠EBC，故GF∥BC；方法二：连DF，则DF∥CE，由（1）知D为AC中点，∴F为AE中点，∴AF＝9，∴AG＝，∴，∴，∴，∴GF∥BC，又∵H为△ABC垂心，∴AH⊥BC，∵GF∥BC，∴AH⊥GF．【点评】此题主要考查相似三角形的基本性质和直角三角形的性质，此类题的知识综合性较强，熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定和性质，善于把要证得的结论进行转换．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c，对任意实数x都有x≤ax2+bx+c≤成立．（1）当x＝1时，求y的值；（2）若当x＝﹣1时，y＝0，求a、b、c的值．【分析】（1）解此题首先要理解题意，因为x≤ax2+bx+c≤，所以得x≤y≤，把x＝1代入这个不等式中，观察不等式求解；（2）将点（1，1），（﹣1，0）代入函数解析式，再利用不等式关系即可求得．【解答】解：（1）∵x≤ax2+bx+c≤，y＝ax2+bx+c，∴x≤y≤，∴当x＝1时，1≤y≤＝1，∴y＝1；（2）由（1）知：，解得，∴，∵y≥x，∴≥x，即ax2﹣x+﹣a≥0恒成立，故△＝﹣4a（﹣a）≤0，即（a﹣）2≤0，∴a＝，c＝，代入检验y≤也恒成立，∴a＝，b＝，c＝．。
浙江省温州苍南县联考2024届毕业升学考试模拟卷数学卷含解析
浙江省温州苍南县联考2024年毕业升学考试模拟卷数学卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知D 是ABC 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE2．按如下方法，将△ABC 的三边缩小的原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是（ ） ①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形③△ABC 与△DEF 的周长比为1：2 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，CE ，BF 分别是△ABC 的高线，连接EF ，EF=6，BC=10，D 、G 分别是EF 、BC 的中点，则DG 的长为 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．34．下列运算正确的是（ ）A ．x 2•x 3＝x 6B ．x 2+x 2＝2x 4C ．（﹣2x ）2＝4x 2D ．（ a +b ）2＝a 2+b 25．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后第七位，这一结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆内接正六边形的面积S 6，则S 6的值为（ ）A ．3B ．23C ．332D ．2336．中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（ ）A ．0.96×107B ．9.6×106C ．96×105D ．9.6×1027．下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A ．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B ．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C ．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D ．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为138．随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ．70.2110⨯B ．62.110⨯C ．52110⨯D ．72.110⨯ 9．13-的相反数是 （ ） A ．13 B ．13- C ．3 D ．-310．下列运算正确的是（ ）A ．2a+3a=5a 2B ．（a 3）3=a 9C ．a 2•a 4=a 8D ．a 6÷a 3=a 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，圆锥底面圆心为O ，半径OA ＝1，顶点为P ，将圆锥置于平面上，若保持顶点P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A 恰好回到原处，则圆锥的高OP ＝_____．12．如图，点P 的坐标为（2，2），点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上运动，且∠APB=90°．下列结论： ①PA=PB ；②当OA=OB 时四边形OAPB 是正方形；③四边形OAPB 的面积和周长都是定值；④连接OP ，AB ，则AB ＞OP ．其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠2=55°，则∠1=____．14．如图，D 、E 分别为△ABC 的边BA 、CA 延长线上的点，且DE ∥BC ．如果35DE BC =，CE =16，那么AE 的长为_______15．已知一次函数的图象与直线y=12x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为_____． 16．计算：|﹣3|+（﹣1）2= ．三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BC 上，点F 在AD 上，BE=DF ，求证：AE=CF ．18．（8分）如图，已知：C F 90∠∠==，AB DE =，CE BF =，求证：AC DF =．19．（8分）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．20．（8分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边AB 上的高CD．如图①，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC、AC 分别交于点E、F．如图②，以钝角三角形ABC 的一短边AB 为直径的圆，与最长的边AC 相交于点E．21．（8分）计算：（-13）-2– 2（34+）+ 112-22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．求证：PD是⊙O的切线；求证：△ABD∽△DCP；当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．23．（12分）如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为3斜坡BC的坡度i=1：3小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．（1）求坡角∠BCD；（2）求旗杆AB的高度．（参考数值：s in20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）24．解方程：3x x --239x -=1参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【题目详解】∵∠BAD=∠C ，∠B=∠B ，∴△BAC ∽△BDA ．故A 正确．∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∴△BFA ∽△BEC ．故B 正确．∴∠BFA=∠BEC ，∴∠BFD=∠BEA ，∴△BDF ∽△BAE ．故D 正确．而不能证明△BDF ∽△BEC ，故C 错误．故选C ．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．2、C【解题分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF 是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【题目详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的12，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．【题目点拨】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．3、C【解题分析】连接EG、FG，根据斜边中线长为斜边一半的性质即可求得EG＝FG＝12BC，因为D是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得GD⊥EF，再根据勾股定理即可得出答案．【题目详解】解：连接EG、FG，EG、FG分别为直角△BCE、直角△BCF的斜边中线，∵直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半∴EG＝FG＝12BC=12×10=5，∵D为EF中点∴GD⊥EF，即∠EDG＝90°，又∵D是EF的中点，∴116322DE EF==⨯=,在Rt EDG∆中，2222534DG EG ED=-=-=,故选C.【题目点拨】本题考查了直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半的性质、勾股定理以及等腰三角形三线合一的性质，本题中根据等腰三角形三线合一的性质求得GD⊥EF是解题的关键．4、C【解题分析】根据同底数幂的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可．【题目详解】A、x2•x3＝x5，故A选项错误；B、x2+x2＝2x2，故B选项错误；C、(﹣2x)2＝4x2，故C选项正确；D、( a+b)2＝a2+2ab+b2，故D选项错误，故选C．【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键5、C【解题分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【题目详解】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S 6=6×12×1×1×sin60° 故选C ．【题目点拨】 本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，关键是根据正三角形的面积，正n 边形的性质解答． 6、B【解题分析】试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6×106，故选B ． 考点：科学记数法—表示较大的数．7、C【解题分析】根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.【题目详解】解：A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品,正确.D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为12，故错误. 故选:C.【题目点拨】考查必然事件，随机事件的定义以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比.8、B【解题分析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】210万=2100000，2100000=2.1×106，故选B ．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．9、B【解题分析】先求13-的绝对值，再求其相反数：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点13-到原点的距离是13，所以13-的绝对值是13；相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．因此13的相反数是13-．故选B．10、B【解题分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【题目详解】A、2a+3a=5a，故此选项错误；B、（a3）3=a9，故此选项正确；C、a2•a4=a6，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误．故选：B．【题目点拨】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解题分析】先利用圆的周长公式计算出PA的长，然后利用勾股定理计算PO的长．【题目详解】解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，所以PA＝3，所以圆锥的高OP＝故答案为．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12、①②【解题分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1，证△APM≌△BPN，可对①进行判断，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=2，当当OA=OB时，OA=OB=1，然后可对②作出判断，由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2，然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断．【题目详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N∵P（1，1），∴PN=PM=1．∵x轴⊥y轴，∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°，则四边形MONP是正方形，∴OM=ON=PN=PM=1，∵∠MPA=∠APB=90°，∴∠MPA=∠NPB．∵∠MPA=∠NPB，PM=PN，∠PMA=∠PNB，∴△MPA≌△NPB，∴PA=PB，故①正确．∵△MPA≌△NPB，∴AM=BN，∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2．当OA=OB时，OA=OB=1，则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确．∵△MPA≌△NPB，∴四边形OAPB的面积=四边形AONP的面积+△PNB的面积=四边形AONP的面积+△PMA的面积=正方形PMON 的面积=2．∵OA+OB=2，PA=PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误．，∵∠AOB+∠APB=180°，∴点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以AB≥OP，故④错误．故答案为：①②．本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON13、1【解题分析】由折叠可得∠3=180°﹣2∠2，进而可得∠3的度数，然后再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠3=180°，进而可得∠1的度数．【题目详解】解：由折叠可得∠3=180°﹣2∠2=180°﹣1°=70°，∵AB∥CD，∴∠1+∠3=180°，∴∠1=180°﹣70°=1°，故答案为1．14、1【解题分析】根据DE∥BC，得到35DE EABC AC=＝，再代入AC=11-AE，则可求AE长．【题目详解】∵DE∥BC，∴DE EA BC AC＝．∵35DEBC＝，CE=11，∴3165AEAE-＝，解得AE=1．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确写出比例式是解题的关键．15、y=12x﹣1分析：根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（﹣2，﹣4）的坐标代入解析式求解即可．详解：∵一次函数的图象与直线y=12x+1平行，∴设一次函数的解析式为y=12x+b．∵一次函数经过点（﹣2，﹣4），∴12×（﹣2）+b=﹣4，解得：b=﹣1，所以这个一次函数的表达式是：y=12x﹣1．故答案为y=12x﹣1．点睛：本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键．16、4.【解题分析】|﹣3|+（﹣1）2=4，故答案为4.三、解答题（共8题，共72分）17、见解析【解题分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF 是平行四边形，即可得出结论．【题目详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．18、证明见解析；【解题分析】根据HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的性质证明即可．CE BF =，BE 为公共线段，∴CE+BE=BF+BE ，即 CB EF =又90C F ∠∠==，AB DE =在Rt ABC 与Rt DEF 中，AB DE CB EF=⎧⎨=⎩ Rt ABC ∴≌Rt DEF ()HL∴AC=DF.【题目点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19、（1）详见解析；（2）详见解析．【解题分析】（1）用“SSS”证明即可；（2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB ＝∠EAC ，再利用三角形内角和定理求出∠DEB ＝∠DAB ，即可说明∠EAC ＝∠DEB ．【题目详解】解：（1）在△ABC 和△ADE 中AB AD AC AE BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABC ≌△ADE （SSS ）；（2）由△ABC ≌△ADE ，则∠D ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ．∴∠DAE ﹣∠ABE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，即∠DAB ＝∠EAC ．设AB 和DE 交于点O ，∵∠DOA ＝BOE ，∠D ＝∠B ，∴∠DEB ＝∠DAB ．∴∠EAC ＝∠DEB ．【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用．20、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD；（2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得．【题目详解】（1）如图所示，CD 即为所求；（2）如图，CD 即为所求．【题目点拨】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质．21、0【解题分析】本题涉及负指数幂、二次根式化简和绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【题目详解】原式=9-23-8+23-1=0.【题目点拨】本题主要考查负指数幂、二次根式化简和绝对值，熟悉掌握是关键.22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm．【解题分析】【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=1322，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．【题目详解】（1）如图，连接OD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC=2∠BAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP ∥BC ，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD ⊥OD ，∵OD 是⊙O 半径，∴PD 是⊙O 的切线；（2）∵PD ∥BC ，∴∠ACB=∠P ，∵∠ACB=∠ADB ，∴∠ADB=∠P ，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD ，∴△ABD ∽△DCP ；（3）∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt △ABC 中，， ∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，∴∠BOD=∠COD ，∴BD=CD ，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，∴BD=CD=2BC=2， ∵△ABD ∽△DCP ，∴AB BD CD CP =， ∴132521322CP =， ∴CP=16.9cm ．【题目点拨】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.23、旗杆AB 的高度为6.4米.【解题分析】分析：（1）根据坡度i 与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；（2）根据余弦的概念求出CD ，根据正切的概念求出AG 、BG ，计算即可．本题解析：(1)∵斜坡BC 的坡度3，∴tan ∠BCD=3BD DC = ∴∠BCD=30°；(2)在Rt △BCD 中,CD=BC×cos ∠3×32=9， 则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE 为矩形，∴GE=DF=10(米)，∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，在Rt △BEG 中,BG=GE×tan ∠BEG=10×0.36=3.6(米)， 则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).答：旗杆AB 的高度为6.4米。
浙江省苍南中学2019年数学提前招生考试数学模拟卷(含答案)
浙江省苍南中学2019年数学提前招生考试数学模拟卷满分120分 考试时间共120分钟一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．若()31,1a a a -=≠，则满足条件的实数a 的值有（ ▲ ）A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个2．若函数()2212y mx m x m =+++-的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值是（ ▲ ） A ．14 B ．112- C ．14或0 D ．112-或0 3．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD =BC =DC =1，AB =AC ，那么底边AB 的长为（ ▲ ）A ．2B ．215-C ．215+D ．215-或215+ 4．.若不等式⎩⎨⎧<-->-+012012a x a x 组的解集为0＜x ＜1，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.已知关于x 的方程m x +2=2（m —x ）的解满足|x －21|－1=0，则m 的值是 （ ） A ．10或52 B ．10或－52 C.－10或52 D.－10或52- 6.如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．12-πB ．41π-C ．13-πD ．61π- 7．已知实数,a b ，若a b >，2222a b a b+=-ab 的最大值是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．228.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG =1，则AE 的长为（ ）A ．32B ．34C ．4D ．89.如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y =x4（k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，则△OAB 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1010.如图．Rt △ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AB =4，AC =3，D 是的中点，CD 与AB 的交点为E ，则DECE 等于（ ） A ．4 B ．3.5 C ．3 D ．2.8二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11．若()222115,4,xy x y x y=+=+=则▲. 12.已知()15c 54212++-+-b a =0，则一元二次方程02=++c bx ax 的根为_____________.13．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，则163“分裂”出的奇数中，最大的奇数是_____________.14．如图，水平地面上有一面积为2 215cm π的扇形AOB ，半径cm 3OA =，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至与三角块BDE 接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C ，已知o30BCD =∠，则O 点移动的距离为_____________.15．已知关于x 的方程20x ax a -+=的两根之和是22a -，那么两根之积是▲.16．若关于x ，y 的两条方程20ax y -+=与2|4|20x x y --=有四对相异的实数解，则常数a 的取值范围是▲．三，解答题（66分）17（10分）．解方程：111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩18（10分）.已知a 、b 是关于x 的方程x 2-（2k +1）x +k （k +1）=0的两个实数根，求a 2+b 2的最小值.19（10分）.在国道202公路改建工程中,某路段长4000米,由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成.已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产,甲工程队每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同）.甲工程队1天、乙工程2天共修路200米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路350米.(1)试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米?(2)甲乙两个工程队施工10天后,由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,请问甲队可以抽调多少人?20. (10分)如图，正方形ABCD的边长为1，在对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE．延长CE到F，连接BF，使得BC=BF.（1）求证：BE+EC=EF（2）求△AED的面积.21. (12分)如图⊿ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE 和CF分别是⊿ABD和⊿ACD的外接圆的直径，连结EF，求证：（1）D，E，F在同一条直线上（2）BCEF PAD =∠tan22. (14分)在直角坐标系xOy 中，已知点P 是反比例函数y ＝x32（x ＞0）图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ． （1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21？若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标；若不存在，试说明理由．参考答案一，选择题，1-10，CDCAA ,AABBC二，填空题，11，110 12、1，-3，13、271，14、4πcm 15，-1，16，三、解答题17、解:设x y z k ++=由①得()22xy xz x y z k +=++=由②得()22xy xz x y z k +=++=由③得()22xy xz x y z k +=++= ∴三个式相加得 4.5xy yz xz k ++=……………………………………………………5分 ∴ 4.5xy yz xz k ++=∴0.5, 2.5, 1.5xy k yz k xz k === ∴5, 53y x z x == ∴225552533x x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，∴2310x =，0x =（舍去） ……………10分 ∴2310236232x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩………………………………………… 18. (10分)由题意知，a +b =2k +1，ab =k （k +1）∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab 102a -<<=（2k +1）2-2k （k +1）=4k 2+4k +1-2k 2-2k =2k 2+2k +1=2（k +21）2+21 ∴a 2+b 2的最小值是21． 19. (10分)（1）设甲队每天修路x 米，乙队每天修路y 米，依题意得，，解得，答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；（2）依题意得，，解得，，∵0＜m ＜10，∴ ，∵m 为正整数，∴m =1或2，∴甲队可以抽调1人或2人；20. (10分) (1)在EF 上取一点N ，使BN =BE ，又∵∠NBE =∠EBC +∠ECB =45°+15°=60°，∴△NBE 为等边三角形，∴∠ENB =60°，又∵∠NFB =15°，∴∠NBF =45°，又∵∠EBC =45°，∴∠NBF =∠EBC ，又∵BF =BC ，∠NFB =∠ECB =15°，可证△FBN ≌△CBE ，∴NF =EC ，故BE +EC =EN +NF =EF ，(2)过A 作AM ⊥BD 交于M ，根据勾股定理求出BD =2，由面积公式得： 21AD ×AB =21BD ×AM ，AM =21=22， ∵∠ADB =45°，∠AED =60°，∴DM =22，EM =66， ∴S △AED =21DE ×AM =41+123 21. (12分)（1）如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）（2））连接AE ，AF ，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EF AH BC AP =，从而 EF PD BC AP =， 所以tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 22．(14分)（1）四边形OKP A 是正方形．证明：∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴P A ⊥OA ，PK ⊥OK ．∴∠P AO =∠OKP =90°．又∵∠AOK =90°，∴∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°．∴四边形OKP A 是矩形．又∵AP =KP ，∴四边形OKP A 是正方形．（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x32．过点P 作PG ⊥BC 于G ．∵四边形ABCP 为菱形，∴BC =P A =PB =PC （半径）．∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ，PG =x 32 sin ∠PBG =PB PG ，即23＝xx 32． 解之得：x =±2（负值舍去）．∴PG =3，P A =BC =2．P (2, 3 ) 易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1， ∴OB =OG -BG =1，OC =OG +GC =3．∴A （0，3 ），B （1，0），C （3，0）．②设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．．∴二次函数关系式为：y ＝33x 2−334x + 3设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：解之得：． ∴直线BP 的解析式为：y = 3x -3，过点A 作直线AM ∥BP ，则可得直线AM 的解析式为：y ＝3x +3． 解方程组：得：；．过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM 的解析式为：y ＝3x +t ． ∴0=33+t ．∴t ＝−33．∴直线CM 的解析式为：y ＝3x −33．解方程组：得：；．．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．。
浙江省温州市苍南县六校2024届中考冲刺卷数学试题含解析
浙江省温州市苍南县六校2024届中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若分式31x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x >- B ．1x <-C ．1x =-D ．1x ≠-2．若a+b=3，，则ab 等于（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣13．如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，连接BD ，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△BC′E′．当线段BE′和线段BC′都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为（ ）A ．2513B ．2413C ．95D ．854．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC=2，则EF 的长度为（ ）A ．B ．1C ．D ．7．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知x =1是方程x 2+mx +n =0的一个根，则代数式m 2+2mn +n 2的值为（ ） A ．–1 B ．2 C ．1 D ．–29．若一次函数=y ax b +的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．0a b +<B ．0a b ->C ．0ab >D ．0ba< 10．如图，已知点A （1，0），B （0，2），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线CD 与y 轴交于点G ，再以DG 为边在第一象限内作正方形DEFG ，若反比例函数xky =的图像经过点E ，则k 的值是 （ ）（A ）33 （B ）34 （C ）35 （D ）36 11．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是( )A ．B ．C ．D ．12．反比例函数是y=2x的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．在ABC 中，若211sin (cos )022A B -+-=，则C ∠的度数是______． 14．分解因式：32a ab -=___．15．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P = 40°，则∠BAC = .16．在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足|cos A －12|＋(sin B －22)2＝0，则∠C ＝_________． 17．若式子2-xx有意义，则实数x 的取值范围是_______. 18．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BF 的中点，连接AF 交过E 的切线于点D ，AB 的延长线交该切线于点C ，若∠C ＝30°，⊙O 的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，直线y=﹣x+3分别与x 轴、y 交于点B 、C ；抛物线y=x 2+bx+c 经过点B 、C ，与x 轴的另一个交点为点A （点A 在点B 的左侧），对称轴为l 1，顶点为D ．（1）求抛物线y=x 2+bx+c 的解析式．（2）点M （1，m ）为y 轴上一动点，过点M 作直线l 2平行于x 轴，与抛物线交于点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），与直线BC 交于点N （x 3，y 3），且x 2＞x 1＞1． ①结合函数的图象，求x 3的取值范围；②若三个点P 、Q 、N 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m 的值．20．（6分）已知，关于 x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2k x+3＝0 有实数根，求k 的取值范围． 21．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+（a≠0）的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于第二、第四象限内的A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ，OH=3，tan ∠AOH=43，点B 的坐标为（m ，-2）.求该反比例函数和一次函数的解析式；求△AHO 的周长.22．（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．23．（8分）如下表所示，有A 、B 两组数：第1个数第2个数第3个数第4个数……第9个数……第n个数A组﹣6 ﹣5 ﹣2 ……58 ……n2﹣2n﹣5B组 1 4 7 10 ……25 ……（1）A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是，并简述理由；在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明．24．（10分）解不等式组：12231 xx x-⎧⎨+≥-⎩＜．25．（10分）已知：如图，在半径是4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=15．（1）求证：△AMC∽△EMB；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．26．（12分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表成绩x（分）频数（人）频率50≤x＜60 10 0.0560≤x＜70 30 0.1570≤x＜80 40 n80≤x＜90 m 0.3590≤x≤10050 0.25根据所给信息，解答下列问题：（1）m= ，n= ； （2）补全频数分布直方图；（3）这200名学生成绩的中位数会落在 分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？27．（12分）如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A B C D ，，，分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线334y x =-与“果圆”中的抛物线234y x bx c =++交于B C 、两点 (1)求“果圆”中抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y 轴截得的线段BD 的长；(2)如图，E 为直线BC 下方“果圆”上一点，连接AE AB BE 、、，设AE 与BC 交于F ，BEF △的面积记为BEFS，ABF 的面积即为ABF S △，求ABF BEFS S的最小值(3)“果圆”上是否存在点P ，使APC CAB ∠=∠，如果存在，直接写出点P 坐标，如果不存在，请说明理由参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【题目详解】解：由分式有意义的条件可知：x10+≠，x1∴≠-，故选：D．【题目点拨】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.2、B【解题分析】∵a+b=3，∴（a+b）2=9∴a2+2ab+b2=9∵a2+b2=7∴7+2ab=9，7+2ab=9∴ab=1．故选B．考点：完全平方公式；整体代入．3、A【解题分析】先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD=5，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=258，则AF=4-258=78．再过G作GH∥BF，交BD于H，证明GH=GD，BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=258-x，HD=5-x，由GH∥FB，得出FDGD=BDHD，即可求解．【题目详解】解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=4，∴BD=5，在Rt△ABF中，∵∠A=90°，AB=3，AF=4-DF=4-BF，∴BF2=32+（4-BF）2，解得BF=25 8，∴AF=4-258=78．过G作GH∥BF，交BD于H，∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，∵FB=FD，∴∠FBD=∠FDB，∴∠FDB=∠GHD，∴GH=GD，∵∠FBG=∠EBC=12∠DBC=12∠ADB=12∠FBD，又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，∴BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=258-x，HD=5-x，∵GH∥FB，∴FDGD=BDHD，即258x=55-x，解得x=25 13．故选A．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是解题关键．4、B【解题分析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：【题目详解】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误.故选B.5、B【解题分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【题目详解】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【题目点拨】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.6、B【解题分析】根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.【题目详解】∠ACB=90°，∠A=30°，BC=AB.BC=2,AB=2BC=22=4,D是AB的中点,CD=AB=4=2.E,F分别为AC,AD的中点,EF是△ACD的中位线.EF=CD=2=1.故答案选B.【题目点拨】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理.7、D【解题分析】∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．故选B．8、C【解题分析】把x=1代入x2+mx+n=0，可得m+n=-1，然后根据完全平方公式把m2+2mn+n2变形后代入计算即可.【题目详解】把x=1代入x2+mx+n=0，代入1+m+n=0，∴m+n=-1，∴m2+2mn+n2=(m+n)2=1.故选C.【题目点拨】本题考查了方程的根和整体代入法求代数式的值，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根.9、D【解题分析】∵一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，∴a+b 不一定大于0，故A 错误，a−b<0，故B 错误，ab<0，故C 错误，b a<0，故D 正确． 故选D.10、D【解题分析】试题分析：过点E 作EM ⊥OA ，垂足为M ，∵A （1，0），B （0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB=22OB OA +=5，∵AB//CD ，∴∠ABO=∠CBG ，∵∠BCG=90°，∴△BCG ∽△AOB ，∴OA CB OB CG =，∵BC=AB=5，∴CG=25，∵CD=AD=AB=5，∴DG=35，∴DE=DG=35，∴AE=45，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO ，又∵∠EMA=90°，∴△EAM ∽△ABO ，∴OB AM OA EM AB AE ==，即21554AM EM ==，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E （9，4），∴k=4×9=36； 故选D ．考点：反比例函数综合题．11、D【解题分析】解：几何体的左视图是从左面看几何体所得到的图形，选项A 、B 、C 的左视图均为从左往右正方形个数为2，1，符合题意，选项D 的左视图从左往右正方形个数为2，1，1，故选D ．【题目点拨】本题考查几何体的三视图．12、B【解题分析】解：∵反比例函数是y=2x中，k=2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．故选B ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、90【解题分析】 先根据非负数的性质求出1sinA 2=，1cosB 2=，再由特殊角的三角函数值求出A ∠与B ∠的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．【题目详解】在ABC 中，211sinA (cosB )022-+-=， 1sinA 2∴=，1cosB 2=， A 30∠∴=，B 60∠=，C 180306090∠∴=--=，故答案为：90．【题目点拨】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.14、()()a a b a b +-【解题分析】先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式即可.【题目详解】()()()3222a ab a a b a a b a b -=-=+-故答案为：()()a a b a b +-.【题目点拨】本题考查了分解因式，熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别，根据题目选择合适的方法是解题的关键.15、20°【解题分析】根据切线的性质可知∠PAC ＝90°，由切线长定理得PA ＝PB ，∠P ＝40°，求出∠PAB 的度数，用∠PAC ﹣∠PAB 得到∠BAC 的度数．【题目详解】解：∵PA 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∴∠PAC ＝90°．∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ．∵∠P ＝40°，∴∠PAB ＝（180°﹣∠P ）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠BAC ＝∠PAC ﹣∠PAB ＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．【题目点拨】本题考查了切线的性质，根据切线的性质和切线长定理进行计算求出角的度数．16、75°【解题分析】【分析】根据绝对值及偶次方的非负性，可得出cosA 及sinB 的值，从而得出∠A 及∠B 的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【题目详解】∵|cosA －12|＋(sinB －)2＝0，∴cosA=12，， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，故答案为：75°. 【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA 及sinB 的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．17、x≤2且x≠1【解题分析】根据被开方数大于等于1，分母不等于1列式计算即可得解．【题目详解】解：由题意得，20x -≥且x ≠1，解得2x ≤且x ≠1．故答案为2x ≤且x ≠1．【题目点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1；二次根式的被开方数是非负数．18、33223π- 【解题分析】首先根据切线的性质及圆周角定理得CE 的长以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出DE ，AD 的长，利用S △ADE ﹣S 扇形FOE ＝图中阴影部分的面积求出即可．【题目详解】解：连接OE ，OF 、EF ，∵DE 是切线，∴OE ⊥DE ，∵∠C ＝30°，OB ＝OE ＝2，∴∠EOC ＝60°，OC ＝2OE ＝4，∴CE ＝OC ×sin60°=4sin 6023,⨯=∵点E 是弧BF 的中点，∴∠EAB ＝∠DAE ＝30°，∴F ，E 是半圆弧的三等分点，∴∠EOF ＝∠EOB ＝∠AOF ＝60°，∴OE ∥AD ，∠DAC ＝60°，∴∠ADC ＝90°，∵CE ＝AE ＝23,∴DE＝3，∴AD＝DE×tan60°=333,⨯=∴S△ADE113333222AD DE=⋅=⨯⨯=∵△FOE和△AEF同底等高，∴△FOE和△AEF面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ADE﹣S扇形FOE23360π233232260π.3⋅⨯=-=-故答案为332 23π-【题目点拨】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△FOE和△AEF面积相等是解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（2）y=x2﹣4x+3；（2）①2＜x3＜4，②m的值为113172-或2．【解题分析】（2）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时求得m=﹣2；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x2＞2，可得﹣2＜y3＜3，即可﹣2＜﹣x3+3＜3，所以2＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.【题目详解】（2）在y=﹣x+3中，令x=2，则y=3；令y=2，则x=3；得B（3，2），C（2，3），将点B（3，2），C（2，3）的坐标代入y=x2+bx+c得：，解得∴y=x2﹣4x+3；（2）∵直线l2平行于x轴，∴y2=y2=y3=m，①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣2，∴顶点为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时，m=﹣2；当直线l2经过点C时，m=3∵x2＞x2＞2，∴﹣2＜y3＜3，即﹣2＜﹣x3+3＜3，得2＜x3＜4，②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．∵x2＞x2＞2，∴x3﹣x2=x2﹣x2，即x3=2x2﹣x2，∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，∴点P、Q关于抛物线的对称轴l2对称，又抛物线的对称轴l2为x=2，∴2﹣x2=x2﹣2，即x2=4﹣x2，∴x3=3x2﹣4，将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）即x22﹣x2﹣4=2，解得x2=，（负值已舍去），∴m=（）2﹣4×11317如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．由上可得点P、Q关于直线l2对称，∴点N在抛物线的对称轴l2：x=2，又点N在直线y=﹣x+3上，∴y3=﹣2+3=2，即m=2．故m的值为113172-或2．【题目点拨】本题是二次函数综合题，本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、线段的中点及分类讨论思想等知识．在（2）中注意待定系数法的应用；在（2）①注意利用数形结合思想；在（2）②注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．20、0≤k≤65且k≠1．【解题分析】根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可求出k 的取值范围．【题目详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k﹣1）x2+x+3＝0 有实数根，∴2k≥0，k-1≠0，2k2-4⨯3(k-1)≥0，解得：0≤k≤65且k≠1．∴k 的取值范围为0≤k≤65且k≠1．【题目点拨】本题考查了根的判别式、二次根式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.21、（1）一次函数为112y x=-+，反比例函数为12yx=-；（2）△AHO的周长为12【解题分析】分析：（1）根据正切函数可得AH=4，根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出k的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k的值求出B两点的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式．（2）由（1）知AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案.详解：（1）∵tan∠AOH=AH OH=43∴AH=43OH=4∴A（-4，3），代入kyx =，得k=-4×3=-12∴反比例函数为12 yx =-∴12 2m -=-∴m=6∴B（6，-2）∴43 62a ba b-+=⎧⎨+=-⎩∴a=12-，b=1∴一次函数为112y x=-+（2）5OA==△AHO的周长为：3+4+5=12点睛：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式．22、见解析【解题分析】试题分析：证明△ABE≌△ACD即可.试题解析：法1：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AD=CE,∴∠ADE=∠AED,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD ,∴BD=CE,法2：如图，作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BF－DF=CF－EF,即BD=CE.n-，理由见解析；理由见解析（3）不存在，理由见解析23、（1）3；（2）32【解题分析】（1）将n=4代入n2-2n-5中即可求解；（2）当n=1，2，3，…，9，…，时对应的数分别为3×1-2，3×2-2，3×3-2，…，3×9-2…，由此可归纳出第n个数是3n-2；（3）“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为n2-2n-5=3n-2有无正整数解的问题．【题目详解】解：（1））∵A组第n个数为n2-2n-5，∴A组第4个数是42-2×4-5=3，故答案为3；n-．（2）第n个数是32理由如下：∵第1个数为1，可写成3×1-2；第2个数为4，可写成3×2-2；第3个数为7，可写成3×3-2；第4个数为10，可写成3×4-2； ……第9个数为25，可写成3×9-2； ∴第n 个数为3n -2；故答案为3n -2；（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；由题意得，22532n n n --=-，解之得，52n ±= 由于n 是正整数，所以不存在列上两个数相等．【题目点拨】本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键．24、﹣4≤x ＜1【解题分析】先求出各不等式的【题目详解】12231x x x -⎧⎨+≥-⎩＜ 解不等式x ﹣1＜2，得：x ＜1，解不等式2x+1≥x ﹣1，得：x≥﹣4，则不等式组的解集为﹣4≤x ＜1．【题目点拨】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．25、（1）证明见解析；（2）EM=4；（3）sin ∠． 【解题分析】（1）连接A 、C ，E 、B 点，那么只需要求出△AMC 和△EMB 相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC ∽△EMB ；（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC 的长度，根据已知条件推出AM 、BM 的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM 的长度；（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．【题目详解】（1）证明：连接AC、EB，如图1，∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，∴△AMC∽△EMB；（2）解：∵DC是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴DE2+EC2=DC2，∵DE=15，CD=8，且EC为正数，∴EC=7，∵M为OB的中点，∴BM=2，AM=6，∵AM•BM=EM•CM=EM（EC﹣EM）=EM（7﹣EM）=12，且EM＞MC，∴EM=4；（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，如图2，∵OE=4，EM=4，∴OE=EM，∴OF=FM=1，∴22-4115∴sin ∠EOB=154EF OE =． 【题目点拨】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质.26、（1）70，0.2；（2）补图见解析；（3）80≤x ＜90；（4）750人.【解题分析】分析：（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m 的值，用第三组频数除以数据总数可得n 的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可． 详解：（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200， 则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2， （2）频数分布直方图如图所示，（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x ＜90，∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x ＜90分数段，（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．点睛：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．27、 (1)239344y x x =--；6；(2)ABFBEF S S 有最小值54；(3)103P -（，），23P -（3，）. 【解题分析】（1）先求出点B ，C 坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A 坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D 的坐标即可求出BD ；（2）先判断出要求ABF BEF S S 的最小值，只要CG 最大即可，再求出直线EG 解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG 解析式，即可求出CG ，结论得证．（3）求出线段AC ，BC 进而判断出满足条件的一个点P 和点B 重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P ．【题目详解】 解:(1) 对于直线y=34x-3，令x=0， ∴y=-3，∴B （0，-3），令y=0，∴34x-3=0， ∴x=4，∴C （4，0），∵抛物线y=34x 2+bx+c 过B ，C 两点， ∴3164043b c c ⎧⨯++⎪⎨⎪-⎩＝＝∴943b c ⎧-⎪⎨⎪-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为y=239344x x --; 令y=0，∴239344x x --=0, ∴x=4或x=-1，∴A （-1，0），∴AC=5，如图2，记半圆的圆心为O'，连接O'D ，∴O'A=O'D=O'C=12AC=52， ∴OO'=OC-O'C=4-52=32, 在Rt △O'OD 中，OD=22O D OO '-'=2,∴D （0，2），∴BD=2-（-3）=5； (2) 如图3，∵A （-1，0），C （4，0），∴AC=5，过点E 作EG ∥BC 交x 轴于G ， ∵△ABF 的AF 边上的高和△BEF 的EF 边的高相等，设高为h ，∴S △ABF =12AF•h ，S △BEF =12EF•h ， ∴ABFBEF S S =1•21•2AF h EF h = AF EF ∵ABF BEF S S的最小值， ∴AF EF最小，∴AF AC 5EF CG CG == ∴5CG最小，即：CG 最大， ∴EG 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG 最大，∵直线BC 的解析式为y=34x-3， 设直线EG 的解析式为y=34x+m ①， ∵抛物线的解析式为y=34x 2-94x-3②， 联立①②化简得，3x 2-12x-12-4m=0，∴△=144+4×3×（12+4m ）=0，∴m=-6，∴直线EG 的解析式为y=34x-6， 令y=0，∴34x-6=0， ∴x=8，∴CG=4，∴ABFBEF S S =54AF AC EF CG ==； (3)103P -（，），233P -（，）.理由：如图1，∵AC 是半圆的直径，∴半圆上除点A ，C 外任意一点Q ，都有∠AQC=90°，∴点P 只能在抛物线部分上，∵B （0，-3），C （4，0），∵AC=5，∴AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，当∠APC=∠CAB时，点P和点B重合，即：P（0，-3），由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，-3），即：使∠APC=∠CAB，点P坐标为（0，-3）或（3，-3）．【题目点拨】本题是二次函数综合题，考查待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键．。
2023年温州市苍南县六年级小升初数学试题卷附答案解析
2023年温州市苍南县六年级小升初数学试题卷一、选择题(每小题2分,共20分）1．（2分）德国数学家哥德巴赫提出猜想：任何一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数之和。
该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。
下列式子中能表达这个猜想的是（）A ．28＝19+9B ．20＝7+13C ．18＝3+15D ．15＝2+132．（2分）某停车场共有210个车位，分为普通车位和充电桩车位。
普通车位和充电桩车位的数量比是5：2，这个停车场充电桩车位有（）个。
A ．60B ．150C ．84D ．303．（2分）已知◎×△＝★（三个图形均不为0），下面算式错误的是（）A ．◎＝★÷△B ．△＝★÷◎C ．（◎×8）×（△×8）＝★D ．（◎÷2）×（△×2）＝★4．（2分）在学习分数除法时，四位同学用不同的方法探究2÷23，（）的想法不合理。
丽丽2里面有几个23青青2÷23=2÷2÷3笑笑2÷23＝（2×3）÷（23×3）冬冬A ．丽丽B ．青青C ．笑笑D ．冬冬5．（2分）某天六（1）班到校a 人，请假b 人，这天的出勤率是多少？正确的算式是（）A ．×100%B ．r×100%C ．r×100%D ．K×100%6．（2分）中学我们将会学到这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫相似三角形。
”在小学我们可以看作是“图形的放大和缩小”，根据你的理解，如图（）两个三角形相似。
A ．①和②B ．②和③C ．②和④D ．①和③7．（2分）一个等腰三角形，其中一个角是30°，这个三角形的另两个角中不可能有（）的角。
A ．30°B ．75°C ．100°D ．120°8．（2分）如图两个杯子中均装有一定量的开水（阴影部分），如果把30g糖溶解于水中，哪杯的水甜一些？（）A．A杯B．B杯C．一样甜D．无法确定9．（2分）如图，旋转转盘的指针停在奇数的位置就得奖，指针停在偶数的位置就不得奖。
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2015年三位一体学科素养测试
数学试题卷
本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分。
考试时间共90分钟。
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中) 1．不等式组10
20
x x +≥⎧⎨-<⎩的解在数轴上表示正确的是（ ▲ ）
2．已知实数,a b 满足2
2
17
404
a b a b +-++
=，那么ab -的平方根是 ( ▲ ) A ． ±1 B ．1 C ．±21 D ．2
1
3．下面哪个图形不是．．正方体的展开图（ ▲ ）
4．若2
10x x --=,则3
2
25x x -+的值为（ ▲ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．5
5．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ▲ ） A ． 40% B ．
13 C ．1
2
D ． 30% 6．方程组2
23
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的实数解的个数为（ ▲ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．对于每个自变量x ，y 是2
1211y x y x =+=-，两个值中的最小值，则当32x -≤≤时，
函数y 的最小值与最大值的和是（ ▲ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
第10题
第12题
A ．2-
B ．1
C ．2
D ．3
8．如图，在□ABCD 中，AB ＝2BC ，BE ⊥AD 于E ，F 为CD 中点， 设DEF α∠=，EFC β∠=，则下面结论成立的是（ ▲ ）
A ．3βα<
B ．4βα＞
C ．3βα=
D ．4βα=
二、填空题 (本题有7个小题，每小题6分，共42分) 9．在2，2-，0三个整数中，任取一个，恰好使分式
x
x
-+22有意义．．．的概率是 ▲ ． 10．已知一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为 ▲ ． 11．求()
2
2
(sin 20)sin 70
tan 28tan 62++= ▲ ．
12．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90︒，BC=6，BA=8，现以AC 为边在AC 的右侧作正方形ACDE ，则BE 的长为 ▲ ． 13．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 ▲ ．
14．抛物线2
21236y x tx t =-+-与x 轴有两个交点A 、B ，线段AB （含
端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为21，则t 的取值范围是 ▲ ． 15．设12211=112S +
+,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 22
11
=1(1)n S n n +++,…， 1210S S S += ▲ ．
第8题
A
B
C
D E F
三、解答题(本大题共4题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分） （Ⅰ）已知,,a b c 均不为0，且
232757
a b b c c a +--==
，求223c b
b a -+的值； （Ⅱ）已知：0x >，且
70x y -=，求x
y
的值．
17．（本题满分12分） 如图，点A 是函数1
11(0,0)k y k x x
=
>>图象上的任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴，交另一个函数222(0,0)k y k x x =<＞的图象于点B ，在y 轴上取点C ，使四边形ABCO 是平行四边形．
（Ⅰ）求证：平行四边形ABCO 的面积为定值；
（Ⅱ）设直线CB 与函数222(0,0)k y k x x =<＞的图象相交于另一点D ，若不论点A 在何处，都
有CB BD =，试求12k k 与的关系式．
18．（本题满分18分）
已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ． （Ⅰ）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长； （Ⅱ）若直线FH 交⊙O 于点G ，
（ⅰ）当FH ∥BE 时，求AE 的长；
（ⅱ）在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由． 19．（本题满分18分）
如图，Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，AB ＝4，点B 的坐标为（－1，0），点C 在y 轴的正半轴．若抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点A ，B ，C ． （Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式；
（Ⅱ）设对称轴与抛物线交于点E ，与AC 交于点D 。
在对称轴上，是否存在点P ，使以点P 、C 、D 为顶点的三角形与ΔADE 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
（Ⅲ）若在对称轴上有两个动点P 和Q （点P 在点Q 的上方），且PQ=3
3
，请求出使四边形BCPQ 周长最小的点P 的坐标．
H
F O B
C
A
E。