氘核中子与质子的相互作用

氘核中子与质子的相互作用

摘 要： 核子间相互作用力简称核力。研究中子和质子的相互作用时，氘核是一个最简单而且有用的例子。本文从量子力学里最常见的方势井和有心力模型出发，通过求解氘核基态波函数来分析核子之间的相互作用。通过和现有实验数据的对比，说明模型的正确性和不足，进而采用高斯作用势，利用数值方法求解波函数。

关键词：有心力；方势井；薛定谔方程；数值解.

1. 球形方势井

假定核力是有心力。在质心坐标系中，氘核基态波函数ψ满足

[

ℏ2

2μ

∇2

+V (r )]ψ(r )=Eψ(r ) 其中，μ=

M n M p M n +M p

，因为中子和质子的质量近似相等，所以μ≈M p 2

。V (r )表示质子与中子的间位

能。束缚态能量E =−B =−2.226MeV ，所以B 表示核子间的结合能。

由于基态的s 波部分只包括径向波函数，所以可以设ψ(r )=R (r )=u (r )r

。若只考虑径向部分，

拉普拉斯运算满足∇2ψ(r )=1r 2d

dr (r 2

dψ(r )dr

)。所以，∇2[

u (r )r

]=1r

d 2u (r )

dr 2

。薛定谔方程(1)可以化简为

d 2u (r )dr 2−2μV (r )ℏ2u (r )+2μE

ℏ2

u (r )=0

令α2=−

2μE ℏ2

，v (r )=−

2μV (r )ℏ2

，得到方程

{d 2

dr

2+[−α2+v (r )]}u (r )=0 u (r )满足边界条件u (0)=0，u (∞)=0。简单起见，假定V (r )为球形方势井，即

V (r )={−V 0,r

0,r >b

图一 势能分布函数

(4)

(1)

(2)

(3)

方程(3)变为

{ (d 2dr 2

+K 2)u (r )=0,r

dr

2−α2

)u (r )=0,r >b

其中，K 2=

2μV 0ℏ2

−α2=

2μℏ2

(V 0−B )。由此，可以得到解

u (r )={C 1sin (Kr ),r

C 2e −αr ,r >b

考虑到波函数的物理意义，概率密度函数只与|

u (r )r

|有关，所以C 1和C 2可以取正实数。

图二 约化径向波函数

为了确定待定常数C 1和C 2，需运用波函数的连续性和归一化条件。u (r )在r =b 处连续，所以

C 1sin (Kb )=C 2e −αb

基态波函数

ψ(r )=

u (r )r

={C 1sin (Kr )/r,r

C 2e −αr /r,r >b

对|ψ(r )|2在全空间进行积分，即

∫

dφ∫sin θdθ∫|ψ(r )|2r 2dr =1∞

π

2π

得到

4π(C 12

∫sin 2(Kr )dr

+C 22

∫e −2αr dr ∞b

b

)

=1

解出

C 122[b −sin (2Kb )2K ]+C 222αe −2αb =14π

结合之前得到的关系式，可以得到关于C 12和C 22

的二元方程组，即

{sin 2(Kb )C 12−e −2αb C 22

=01

2[b −sin (2Kb )2K ]C 12+e −2αb 2αC 22=14π

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

通过二阶行列式可以很容易解出C 12和C 22

的值，进而求得C 1和C 2的值。

另外，由于势井的深度有限，所以 u (r )的一阶导数在r =b 处也连续。所以有

kC 1cos (Kb )=−αC 2e −αb

结合式和式，不但可以确定待定系数C 1和C 2的值，还可以解出束缚态能量。式(7)除以式(13)，得到

tan (Kb )=−K/α

令Kb =x ，可以得到关于x 的超越方程tan x =−x

αb 。利用图解法，在坐标系中画出函数y =tan x 和y =−

x αb

左右两边两个函数的图像能够求到数值解，也可以采用计算机进行数值求解。（见附录）

值得注意的是，外部波函数的梯度∇u (r )=−αC 2e −αr <0。假设氘核只有一个束缚态，则内部波函数C 1sin (Kr )在r =b 处必定是刚刚开始下降，即Kb =π

2

+δ，δ为一小量。如果B =0，则Kb =π

2

，

此时V 0与b 之间满足V 0b 2=(π2)

2ℏ2

2μ

≈π2ℏ24M p

。对于实际的B 来说，V 0b 2比π2ℏ2

4M p

稍大，也就是说，势井的

深度与宽度之间满足一定的约束条件。

以上所讨论的模型都十分粗略和简单，我们可以结合已知的实验数据对建立的模型加以修正。 1) 氘核是由一个质子和一个中子组成的稳定核，它只有一个束缚态（这点与之前的假设一致），核

自旋J =1；

2) 结合能B =2.226±0.002MeV ； 3) 磁矩μD =0.857411±0.000019核磁子； 4) 电四极矩Q D =(2.735±0.014)×10−27cm 2。

由此，能够看出实验结果和模型假设之间的一些矛盾。因为既然认为氘核处于基态，其s 波函数是球对称的，就不会有电四极矩。如果核子间相互作用是有心力场，则轨道角动量是运动常数，氘核基态必然只能有一定的轨道角动量。S 态不可能和其他态混起来，所以Q D ≠0表示核子间位能不可能全是有心力场。但由于Q D 和μD −μp −μn 的数值比较小，为了估计有心力的大小，略去这些是合理的。

2. 高斯型作用势

以上的讨论比较简单，当质子与中子的相互作用势变得相对复杂时，想要求得波函数的解析解是几乎不可能的。所以以下给出氘核基态波函数的一种数值解法。选取高斯形式的相互作用势，即

V (r )=−V 0e −(r/r 0)2

结合相关的文献[3]

，V 0=72.194MeV ，r 0=1.484fm 。根据式(2)得到方程

u ′′(r )=Au (r )

(13)

(14)

(15)

(16)