【教材分析】直线方程的几种形式_数学_高中_孙健鹏_3707820001
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
直线方程的三种形式是什么
直线方程的三种形式是什么直线是平面上重要的几何图形之一，其形状紧凑且易于描述。
直线方程是用来描述直线的数学工具，它可以通过不同的形式来表达。
本文将介绍直线方程的三种常见形式：截距式、斜截式和一般式。
一、截距式截距式是直线方程的一种简单且常用的形式。
它使用了两个参数 - x轴和y轴上的截距，分别记为b1和b2。
截距式的一般形式为：y = b1 + b2 * x其中，b1表示y轴上的截距，即当x=0时直线与y轴的交点；b2表示斜率，表示直线在单位x变化时y的变化量。
通过截距式，我们可以快速确定直线在x轴和y轴上的截距，从而直观地了解直线的位置和倾斜程度。
二、斜截式斜截式是直线方程的另一种常见形式。
它使用直线的斜率和一个已知点的坐标来表示。
斜截式的一般形式为：y = k * x + b其中，k表示直线的斜率，表示直线在单位x变化时y的变化量；b表示直线在y轴上的截距，即当x=0时直线与y轴的交点。
斜截式通过斜率和截距两个参数来描述直线，更注重直线的斜率信息。
通过斜截式，我们可以得知直线的斜率以及直线在y轴上的截距。
三、一般式一般式是直线方程的另一种常见形式，它将直线表示为两个变量x和y的一次多项式。
一般式的一般形式为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，且A和B不同时为零。
A和B表示直线的斜率倒数，即直线在单位y变化时x的变化量；C表示直线与原点的距离。
一般式形式较为复杂，但它的优势在于可以表示任意斜率的直线。
通过一般式，我们可以计算直线在x和y轴的截距，以及直线的斜率。
通过以上三种形式，可以方便地描述和计算直线的性质与特征。
不同的形式适用于不同的问题和场景，我们可以根据具体需求选择合适的形式。
总结：本文介绍了直线方程的三种常见形式：截距式、斜截式和一般式。
截距式通过x轴和y轴上的截距来描述直线的位置和倾斜程度；斜截式通过斜率和截距来表达直线的特征；一般式通过一次多项式来表示直线的性质。
高中数学_2.2.2直线方程的几种形式教学设计学情分析教材分析课后反思
《直线方程的几种形式》教学设计一、教学目标确定依据课程标准要求及解读1.课程标准要求掌握点斜式和斜截式方程的推导过程，并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程初步形成用代数法解决几何问题的能力，体会数形结合思想。
使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质2.课程标准解读课程标准对直线方程的要求有以下几点：一是通过直线的斜率公式和直线与方程的定义，去推导点斜式方程，在此推导过程中让学生掌握求点的轨迹的方程和对直线方程定义的深刻理解。
推导出点斜式方程后要求学生熟练地在给定条件的情况下得出直线方程，并通过习题形式去求已知斜率和直线与Y轴交点的斜截式方程。
二是本章的主题是建立几何与代数的联系，用代数方法研究几何，就得加强学生从形到数的转化过程，培养学生数与形结合的思想至关重要。
加强学生代数运算能力的培养，而用代数方法讨论直线方程，可以提高学生用代数方法处理几何问题的能力。
三是在本节教学中，重在从一些具体的事例中寻求一般性的结果，从而可培养学生发现新知识论证新知识的正确性，让学生逐步培养从特殊到一般由已知到未知探求知识的过程，以培养学生的学习能力和创造能力。
二、教学目标知识与技能目标：（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法。
（2）学生通过掌握直线的点斜式、斜截式,能根据条件熟练地求出直线的方程。
（3）学生通过对由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力。
过程与方法目标：学生通过经历直线方程的发现过程，提高了分析、比较、概括、化归的数学能力，初步了解了用代数方程研究几何问题的思路，培养了综合运用知识解决问题的能力。
情感、态度与价值观目标：学生通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。
培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。
三、评价设计目标1评价：通过对探究一的学习,由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合的思想和从特殊到一般的数学方法，锻炼用代数方法解决几何问题的能力。
人教B版高中数学必修二《 2.2.2 直线方程的几种形式》_11
2.2.2直线方程的几种形式(一)一、教材分析直线的方程这部分内容是解析几何的基础知识，是培养学生几何学习能力的好的开端。
本章内容开始从代数的角度去研究平面的点线关系，是一个新的领域。
对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，影响着对后来学习圆锥曲线的理解。
所以，直线部分的学习起到良好的过渡作用。
二、学情分析1学生学习本课内容的基础在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，来推导方程的基本形式。
2学生学习本课内容的能力具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。
具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。
3学生学习本课内容的心理直线的方程是高中几何学的开端，学生容易接受且充满好奇与兴趣。
方程推导环环相扣，具有一定的整体性，极易使学生在学习的过程中，增加求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
三、教学目标1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的四种形式求直线方程。
2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。
3、情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
四、教学重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程、斜截式方程。
（2）难点：直线的四种方程方程的应用。
五、学法指导本节主要学习直线方程的四种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用范围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与两坐标轴垂直和过原点的直线，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。
六、教学方法：合作探究式学生刚刚学习完直线的倾斜角与斜率的概念，对此知识的深刻理解和严谨性的把握上还可能考虑不周全。
2020新人教B版必修二2.2.2直线方程的几种形式
截距 y=kx+b 斜截式方程
2．斜截式方程： 设直线过点(0，b) ，斜率为k， 直线方程为：y=kx+ b b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距。
b
例2． 三角形顶点A(－5，0)、B(3，－3)、 C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.
AB边所在直线方程 3x+8y+15=0， BC的方程5x+3y－6=0， AC的方程2x－5y+10=0;
y－y0=k(x－x0)
﹒P0(x0，y0)
点斜式直线方程： y－y0=k(x－x0)
例1．求下列直线的方程： （1）直线l1：过点(2，1)，k=－1； （2）直线l2：过点(－2，1)和点(3，－3). （3）直线l3：斜率为k,过（0,b）
(1) x+y－3=0 (2) 4x+5y+3=0 (3)kx-y+b=0
2.2.2直线方程的几种形式
1.求下列直线的斜率和直线方程 （1）直线过点（1，2）、（2，4）
（2）直线过点（-1，2）、（2，-4） 2.求下列直线方程
（1）直线斜率k=2,过点（2，4） （2）直线斜率k,过点（x0，y0）
1．点斜式方程
设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，直 线的方程为
练习1．求斜率为 3 ，在x轴上的截距是－5的
直线方程：
3
y= 3 (x+5)， 即 3x 3y 5 3 0
3
2、过(-1,0),(2,0)的直线方程.
例3．已知直线的斜率为 ，且和坐标轴 围成面积为3的三角形，求该直线的方程.
例4．若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四
象限，则系数A、B、C需满足条件（ ）
直线方程几种形式
2.直线的斜截式方程：
练习: 已知直线l的斜率是k，与 y 轴的交点
是 P(0 , b) ，求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l 的直线方程： (0,b)
y b k(x 0) 即 y kx b (2)
O
x
直线l 与 y 轴交点 (0 , b) 的纵坐标 b 叫做直线
l在 y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率 k与它在 y轴上的截距 b确
P0（x0,y0)
O
x
可化为y y0 kx x0
• 可以验证: 直线l上的每个点（包括点P0）的坐标 都是这个方程的解;反过来，以这个方程的解为 坐标的点都在直线l上
• 由此，这个方程 y y0 kx x0 就是过点P0，
斜率为k的直线l的方程
(1)当直线 l与 x轴平行或重合时
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程 呢？
经过一点, 且已知斜率的直线, 可以写出它 的点斜式方程.
可以先求出斜率, 再选择一点, 得到点斜式 方程.
根据两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
斜率 k y2 y1
x a
y b
1
y lB
说明:（1）直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距,
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截距 式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例5. 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0； ⑵在x轴上的截距为－5， 在y轴上的截距为6； ⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行； ⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.
直线方程的五种形式 包括哪五种
直线方程的五种形式包括哪五种
2021-09-22 10:10:11
从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
直线方程主要分为点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种。
直线方程的五种形式包括哪五种
1直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。
2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形
式。
2五种形式的注意事项
一般式为ax+by+c=0，它的优点就是它可以表示平面上的任意一条直线，仅此而已。
其它式都有特例直线不能表示。
比如：
1：斜截式y=kx+b，就不能表示垂直x轴的直线x=a.
2：点斜式y-y0=k(x-x0)，也不能表示垂直x轴的直线x=a
3：两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
不能表示两点x1=x2或y1=y2时的直线（即垂直或水平直线）
4：截距式x/a+y/b=1不能表示截距为0时的直线，比如正比例直线。
5：一般式中要确定3个常数a，b，c（虽然其中只有两个是独立的），而其它式只需确定两个常数，所以其它式更简洁一些，实际应用中大多是根据所给的条件，主要选择其它式来做的，为了方便计算。
【B版】人教课标版高中数学必修二教学教案-直线方程的几种形式(第2课时)2-新版
2.2.2 直线方程的几种形式（第二课时）直线方程的一般式教学目标（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.教学重点、难点：1、重点：直线方程的一般式.2、难点：对直线方程一般式的理解与应用.教学过程：一、复习准备：1.写出下列直线的两点式方程.①经过点A(-2,3)与B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与()22,C-；2. 探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?(我们需要直线的一般表示法)二、讲授新课：问题1：直线的方程都可以写成关于,x y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0Ax By C++=（A,B不同时为0）都表示直线吗？关于,x y的二元一次方程:0++=（A,B不同时为0）(1)它是否表示一条Ax By C直线？①当0B≠,(1)式可化为,这是直线的式.②当0A≠时, (1)式可化为.这也是直线方程.B=,0定义一般式: 关于,x y的二元一次方程:叫直线的一般式方程,简称一般式.2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？（1）直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.（2）对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特加要求时，求直线方程的结果写成一般式.3.探讨直线0A B C为何值时,直线Ax By C++=,当,,①平行于x轴;②平行于y轴③与x轴重合④与y轴重合.4.例题1:已知直线经过点(6,4),斜率为4-,求直线的点斜式和一般式方程.3例题2:把直线l的一般方程3250y x-+=化成斜截式方程,并求出直线l与x轴、y轴的截距,画出图形.三.练习与提高:1．教材P81练习A2.设直线l的方程为(2)3++=,根据下列条件分别求的值.m x y m①l在x轴上的截距为2--. ②斜率为13．若直线0=Ax通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（）By+C+(A)A、B、C (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<04．已知直线l经过点（－2，2）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．四.小结:（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系.（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围.（3）求直线方程应具有多少个条件？（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？（5）二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？五.作业：P81 练习B。
人教版高中必修2(B版)2.2.2直线方程的几种形式课程设计 (2)
人教版高中必修2(B版)2.2.2直线方程的几种形式课程设计课程背景和目标直线方程的几种形式是高中数学中的重要内容，是数学中基础的知识点，也是接下来学习解析几何的必备知识。
本课程旨在通过学习直线的一般式、斜截式和截距式等几种常见的表达方式，让学生能够灵活运用不同的表达形式，解决实际问题。
通过本课程的学习，学生将掌握以下技能：•能够熟练掌握直线的一般式、斜截式和截距式的基本概念；•能够在实际问题中灵活运用不同的直线方程形式；•能够解决直线方程的基本应用题目；•能够进行团队合作，锻炼表达和沟通能力。
课程设计课程内容本课程共分为三个部分：1.直线的一般式2.直线的斜截式3.直线的截距式每个部分都包括以下内容：1.基本概念2.推导过程3.例题讲解4.练习题讲解教学方法本课程采用“讲解+练习”的教学方法，培养学生的思考、实践和沟通能力。
在课堂上，老师会针对每种形式的直线方程，先进行基本概念的介绍，然后通过推导过程，帮助学生理解方程的含义，并通过例题讲解，指导学生如何解决实际问题。
同时，老师也会设计许多练习题，让学生在课堂上尝试解答，以巩固知识点。
此外，本课程还加入了小组合作学习的环节。
在课堂中，将学生分为若干小组，每组成员互相合作，互相讨论，共同解决课堂上出现的问题。
通过小组合作学习，帮助学生更好地锻炼表达和沟通能力，同时也增强学生的合作意识。
课程实施第一课时：直线的一般式1.基本概念介绍•直线一般式的定义和理解。
2.推导过程•一般式推导的基本思路；•一般式的分析与推导；•总结一般式的案例。
3.例题讲解•案例 1：“平移后直线方程的求法”；•案例 2：“直线的垂直平分线”；•案例 3：“直线方程与同角三角函数”；4.练习题讲解•练习题 1：“直线方程的化简”；•练习题 2：“直线方程的混合运算”；•练习题 3：“直线方程的联立与解决”。
第二课时：直线的斜截式1.基本概念介绍•直线斜截式的定义和理解。
2.推导过程•斜截式推导的基本思路；•斜截式的分析与推导；•总结斜截式的案例。
高中数学《直线的方程》教案新人教A版必修
直线方程的一般形式一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C 在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]。
直线方程的几种形式
直线方程的几种形式直线方程是用来表示直线的数学表达式。
直线方程的形式有多种，例如一般式、截距式、点斜式和两点式等等。
下面将对各种形式的直线方程进行详细介绍。
1.一般式：一般式直线方程是直线方程中最一般的形式。
它可以表示任意斜率和截距的直线。
一般式方程一般写作Ax+By+C=0，其中A、B、C 是常数，且A和B不能同时为零。
这种形式的方程比较常见，可以方便地计算直线与坐标轴的交点。
此外，使用一般式方程可以判断两条直线是否平行或垂直。
2.截距式：截距式直线方程是通过直线与x轴和y轴的截距来表示直线的方程形式。
截距式方程一般写作x/a+y/b=1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。
这种形式的方程可以直观地表示直线在坐标平面上的位置。
3.点斜式：点斜式直线方程是通过直线上一点的坐标和直线的斜率来表示的。
点斜式方程一般写作(y-y1)=k(x-x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点的坐标，k是直线的斜率。
这种形式的方程适合用于已知直线的斜率和一点坐标的情况，可以方便地求出直线的方程。
4.两点式：两点式直线方程是通过直线上的两个点的坐标来表示的。
两点式方程一般写作(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点的坐标。
这种形式的方程适合已知直线上两个点的坐标的情况，可以方便地求出直线的方程。
5. 斜截式：斜截式直线方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜截式方程一般写作y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
这种形式的方程适合已知直线的斜率和截距的情况，可以直接得到直线的方程。
除了上述常见的形式外，还存在其他形式的直线方程，如极坐标方程和参数方程等。
极坐标方程是通过直线的极径和极角来表示的，适合极坐标系下的直线表示。
参数方程是将直线的x和y坐标分别用一个参数t表示的方程，适合描述直线的运动轨迹。
总结起来，直线方程的形式有一般式、截距式、点斜式、两点式、斜截式、极坐标方程和参数方程等等。
高中直线方程的五种形式
高中直线方程的五种形式直线方程是高中数学中的重要内容之一，掌握不同形式的直线方程将有助于我们更好地理解和应用直线的性质。
在高中数学中，直线方程通常有五种形式：一般式、点斜式、斜截式、截距式和两点式。
这些形式各有特点，下面将一一介绍这五种形式的直线方程。
一、一般式直线的一般式方程为：Ax + By + C = 0。
其中，A、B和C分别代表直线方程的系数，是常数。
在一般式中，直线的方程可以表达为一条线性方程，且A、B和C的取值可以为正数、负数或零。
一般式的优点在于它可以表示任意一条直线，且方程的系数可以通过数学运算来得到。
然而，一般式的缺点在于不容易直接从方程中获得直线的斜率和截距等信息。
二、点斜式点斜式方程是一种比较常用的直线表达形式，它的方程形式为：y - y₁ = m(x -x₁)。
其中，(x₁, y₁)是直线上的一个已知点坐标，m是直线的斜率。
点斜式方程的优点在于通过已知点和斜率可以很容易地确定直线方程。
斜率可以通过两个点之间的纵向变化和横向变化的比值来计算。
然而，点斜式方程的缺点在于当直线垂直于x轴时，斜率不存在。
三、斜截式斜截式方程是一种常用的直线表达形式，也是最常见的一种形式。
它的方程形式为：y = mx + b。
其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴相交的截距。
斜截式方程的优点在于它可以直接获得直线的斜率和截距信息，方程简洁明了。
斜截式的缺点在于当直线与x轴平行时，斜率不存在，此时斜截式方程无法表示直线方程。
四、截距式截距式方程是一种常用的直线表达形式，也是最方便使用的一种形式。
它的方程形式为：x/a + y/b =1。
其中，a和b分别是直线与x轴和y轴相交的截距。
截距式方程的优点在于它可以直接获得直线与坐标轴的截距，方程形式简洁。
然而，截距式方程的缺点在于当直线平行于坐标轴时，截距不存在。
五、两点式两点式方程是一种确定直线方程的常用形式，它的方程形式为：(y - y₁)/(y₂ -y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程的五种形式，从不同的侧面反映了直线的几何与数量特性.由于它们有各自不同的适用范畴和隐性约束，因此，我们在根据条件求直线方程时，要特别注意不同形式直线方程的适用性，千万不要漏掉了特殊情形.【直线方程的五种基本形式】①点斜式方程：y-y0=k(x-x0).适用于点P(x0，y0)和斜率k为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴的直线.当斜率不存在时，直线方程应为x=x0.②斜截式方程：y=kx+b.适用于点(0，b)和斜率k为已知.其中b叫做直线l在y轴上的截距.截距不是距离，它可以取任意实数.斜截式是点斜式过点(0，b)时的特例. 此种形式也不包含垂直于x轴的直线.③两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2，y1≠y2).适用于两点(x1，y1)，(x2，y2)的坐标为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴的直线.③截矩式：xa +yb=1.适用于直线l与x轴、y轴的交点(a，0)和(0，b)为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴及过原点的直线.③一般式：Ax+By+c=0 (A，B不全为0).例1(1)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足( ).A.a+b=1.B.a-b=1.C.a+b=0.D.a-b=0.(2)已知ab<0，bc<0.则直线ax+by=c通过( ).A.第一，二，三象限.B.第一，二，四象限.C.第一，三，四象限.D.第二，三，四象限.(3)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足( ).A.m≠0.B.m≠−32. C. m≠1. D. m≠1且m≠−32.解:(1)③ 直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0③ k=tanα=-1，又③直线ax+by+c=0的斜率为k= −ab，③ a-b=0. 故应选D.(2)将直线ax+by=c化为截距式y= −ab x+cb，③ ab<0，bc<0，③ 此直线的斜率k>0,在y轴上的截距为负，故应选C.(3)要方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则必须满足m2+m-3与m2-m不能同时为0. ③ m≠1. 故应选C.例2.(1)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.(2)已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求l的方程.解:(1)当截距为0时，设y=kx，过点A(1，2)，则得k=2，即y=2x；当截距不为0时，设x+y=a或x-y=a.将点A(1，2)代入所设方程中，得a=3，或a= -1，故这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.(2)由已知可设直线l的方程为xa +y−4=1.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，③ 12|a ||−4|=8，解得a=±4，故x -y -4=0或x+y+4=0为所求.想一想①：1.过点(1，5)且在两轴上截距相等的直线有几条？分别是怎样的？2.求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦为45的直线方程.3.过点A(-5，-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．说明：求满足一定条件的直线方程时，若条件中含有“在两坐标轴上的截距相等、互为相反数、绝对值相等或与两坐标轴围成的三角形面积有关”时，均可将直线方程设为截距式，且不要忽略了特例——过原点的直线y=kx.例3(1)已知两点A(3，0)、B(0，4)，动点P 在线段AB 上运动，求xy 的最大值.(2)过点P(4，3)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l 的方程.解:(1)设线段AB 所对应的直线方程为x a +yb =1，∵ 点A 、B 在其上， ∴ x3+y4=1 (x>0，y>0).由均值不等式可得1≥2√xy 12,⇒xy ≤3.∴ (xy)max =3.(2)设直线l 的方程为xa +yb =1，∵ 直线l 过点P(4，3)，∴ 4a +3b =1. 又∵ (a+b)(4a +3b)=7+4b a+3a b≥7+4√3，∴ (a+b)max =7+4√3.当且仅当{4b a=3ab,4a +3b=1,即{a =4+2√3,b =3+2√3.时|OA|+|OB|最小. 此时直线l 的方程为√3x +2y −6=0.例4.(1)若方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则m= ． (2)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ).A.两条直线.B.两条射线.C.两条线段.D.一条直线和一条射线. 解:(1)法1.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则关于x 的一元二次方程：x 2+2x+(-my 2+2y)=0根的判别式4842+-=∆y my 一定是完全平方式， ③ .1,06482=⇒=-=∆'m m法2.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，③x 2-my 2+2x+2y ))((b my x a y x +++-≡.即x 2-my 2+2x+2y=x 2-my 2+(m -1)xy+(a+b)x+(am -b)y+ab=0，比较对应项的系数可得，m=1，a=2，b=0.(2)∵ (2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，∴ {2x +3y −1=0,√x −3有意义,或√x −3−1=0.解得2x+3y -1=0(x≥3)或x=4，故应选D.想一想①：1.过点P(2，1)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，求当|PA||PB|最 小时直线l 的方程.2.方程x 2-xy -2y 2+x+y=0表示的两条直线方程分别是 .习题3.2.1.已知集合M={(x ，y)|123+=--a x y }，N={(x ，y)|y -3=(a+1)(x -2)}.则有( ).A.M=N.B.M③N=M.C. M∩N=ND.M ⊆N. 2.若方程x+y -4√x +y +2m=0表示一条直线，则实数m 满足( ) ． A.m=0. B.m=2. C.m=2或m ＜0.D.m≥2.3.直线l 与两直线y=1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，-1)，则直线l 的斜率为( ).A.32. B. 23. C.− 32. D.−23.4.一直线过点M(-3，4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_ .5.已知关于x ，y 的方程x 2-4xy+my 2-x+(3m -10)y -2=0表示两条直线，则m= ．6.当a 为何值时，直线(a -1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上的截距相等.7.把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a ≤c ≤b ， 证明：f(c)≈f (a )+c−ab−a [f (b )−f(a)].8.求经过点A(-2，2) 被两坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【参考答案】想一想①：1.两条；5x-y=0，x+y-6=0.2.4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.3.2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.想一想①：1.x+y-3=0.如图D4.2—1.设∠BAO=θ,θ∈(0,π2).则|PA|=1sinθ,|PB|=2cos θ,⇒|PA||PB|=4sin2θ,当且仅当θ=π4,即k=-1时，|PA||PB|取得最小值4.2.x+y=0或x-2y+1=0.习题3.2.1.D.2.C.令√x+y=t，则问题转换为t2-4t+2m=0的两根相等且非负，或有一正根和一负根.3.A.4.4x-y+16=0或x+3y-9=0.5.3或4.6.若直线过原点，则a=0；直线不过原点，则a=2.7.A，B，C三点共线，∴k AC=k AB, 即y c−f(a)c−a =f(b)−f(a)b−a,∴y c−f(a)=c−ab−a [f(b)−f(a)], 即y c=f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)],∴f(c)≈f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)].8. x+3y-2=0或2x+y+2=0.x yO ABP(2.1)图D3.2—1。
高中数学_直线方程的几种形式教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.2 直线方程的几种形式教学设计（一）创设情境1.情境1:通过世界上最大跨度的公铁斜拉桥“武汉造”引入得到一个问题情境，让学生增强自豪感和爱国主义精神，精神饱满地步入课堂；继而引导学生感受到学习新知识的必要性和重要性,接着用“一条直线的困惑---请问我是谁”,引出本节课的课题设计意图：首先设计情境,分析情境，通过情境的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．通过梳理我们熟悉的一些问题，自然引出课题,很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.2.情境2:思考1.过已知点P 0（1,2）的直线有多少条？思考2.斜率为-1的直线有多少条？思考3.过已知点P 0（1,2）且斜率为-1的直线有多少条？设计意图：从生活走向数学，引导学生“用已有的数学知识”积极投2y -=y x =-202y -=-30=1=入到探寻新知识的氛围中. 布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．让学生发现数学规律，是一种再创造的发现性学习。
（二）概念形成思考4.直线经过一点P 0 （1,2）， 斜率为 -1的直线方程怎么求？ 反思1.212(1)1y y x x -=--=---与的区别是什么？根据直线方程的定义，用哪个作为直线方程更合适？反思2.已知直线l 过点P 0(x 0,y 0),且斜率为k ，则直线l 的方程是什么？由直线上一点P 0(x 0,y 0),和斜率k 所确定的直线方程叫做直线的点斜式方程。
反思：所有的直线都有点斜式方程吗？设计意图：由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.通过对这个问题的探究使学生获得直线点斜式方程；由②知：当直线斜率k 不存在时，不能用点斜式方程表示直线，培养思维的严谨性．这时直线l 与y 轴平行，它上面的每一点的横坐标都等于x 1，直线l 的方程是：x=x 1．（三）例题讲解例1、分别求出满足下列条件的点斜式方程：1)经过点 A (2,1)，斜率是-1； 2)经过点 B (-2,5)，斜率是4； 3)经过点 C(-1,1)，与ｘ轴平行；设计意图：这组题比较简单，让学生直接应用，探究尝试体验，内化新知，既能巩固点斜式方程，又能培养学生独立研究数学问题的意识和能力，目的是先让学生熟练掌握方程，为后面探究问题作准备.（四）深化理解反馈练习1：求满足下列条件的直线方程：1）经过点 D（2，1），斜率为-3；2）经过点 D（2，1），与ｘ轴垂直；3)斜率为k，且与ｙ轴的交点为P（0，b)反馈练习2：根据下列直线方程，分别写出直线经过的一点和斜率：1）21-=-+；y xy x-=-；2）213) 2(1)=-+y kx ky k x-=-； 4) 2思考：已知直线l过点P0(0,b),斜率为k，则直线l的方程为：，叫做直线的方程.反思1：截距是距离吗？反思2：所有直线都有斜截式方程吗？反思3：直线的斜截式方程与一次函数解析式有何联系与区别？设计意图：前面两组小题学生会很快求出方程.由一般到特殊,培养学生的推理能力；第三组小题再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的解题过程进行反思、归纳求直线方程的方法，同时引出截距的概念及斜截式方程，使学生意识到截距不是距离，可以大于零、小于零和等于零.又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮，也它为下节课研究直线的一般式方程作了重要的准备。
高中数学_2.2.2直线方程的几种形式教学设计学情分析教材分析课后反思
《直线方程的几种形式》教学设计一、教学目标确定依据课程标准要求及解读1.课程标准要求掌握点斜式和斜截式方程的推导过程，并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程初步形成用代数法解决几何问题的能力，体会数形结合思想。
使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质2.课程标准解读课程标准对直线方程的要求有以下几点：一是通过直线的斜率公式和直线与方程的定义，去推导点斜式方程，在此推导过程中让学生掌握求点的轨迹的方程和对直线方程定义的深刻理解。
推导出点斜式方程后要求学生熟练地在给定条件的情况下得出直线方程，并通过习题形式去求已知斜率和直线与Y轴交点的斜截式方程。
二是本章的主题是建立几何与代数的联系，用代数方法研究几何，就得加强学生从形到数的转化过程，培养学生数与形结合的思想至关重要。
加强学生代数运算能力的培养，而用代数方法讨论直线方程，可以提高学生用代数方法处理几何问题的能力。
三是在本节教学中，重在从一些具体的事例中寻求一般性的结果，从而可培养学生发现新知识论证新知识的正确性，让学生逐步培养从特殊到一般由已知到未知探求知识的过程，以培养学生的学习能力和创造能力。
二、教学目标知识与技能目标：（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法。
（2）学生通过掌握直线的点斜式、斜截式,能根据条件熟练地求出直线的方程。
（3）学生通过对由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力。
过程与方法目标：学生通过经历直线方程的发现过程，提高了分析、比较、概括、化归的数学能力，初步了解了用代数方程研究几何问题的思路，培养了综合运用知识解决问题的能力。
情感、态度与价值观目标：学生通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。
培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。
三、评价设计目标1评价：通过对探究一的学习,由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合的思想和从特殊到一般的数学方法，锻炼用代数方法解决几何问题的能力。
人教B版数学高一必修2教案直线方程的几种形式1.直线的点斜式方程和两点式方程
示范教案整体设计教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习B 中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．三维目标 1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用． 教学难点：求直线方程． 课时安排 1课时教学过程导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢？教师引出课题．设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线y ＝kx ＋b 就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题．推进新课 新知探究 提出问题(1)如左下图所示，已知直线l 过P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，求直线l 的方程．(2)已知直线l 过点P(0，b)，且斜率为k(如右上图)，求直线l 的方程．(3)已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，求直线AB 的方程．(4)已知直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0.求证直线l 的方程可写为x a ＋yb ＝1.(这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)讨论结果：(1)设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0.即y －y 0＝k(x －x 0)．①方程①就是点P(x ，y)在直线l 上的条件．在l 上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l 上．方程①是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．特别地，当k ＝0时，直线方程变为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合． (2)直线l 的点斜式方程为y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.这个方程叫做直线的斜截式方程．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．这种形式的方程，当k 不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式．(3)设P(x ，y)是直线AB 上任一点，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，所以直线AB 的点斜式方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，整理得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫做直线的两点式方程．(4)直线l 过点(a,0)，(0，b)，则直线l 的两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a ，整理得x a ＋y b ＝1.这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程．应用示例思路1例1求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)． 解：(1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0. (2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程4x ＋5y ＋3＝0.另解：直线l 2的两点式方程为y －1－3－1＝x ＋23＋2，整理，得4x ＋5y ＋3＝0.点评：为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax ＋by ＋c ＝0的形式． 变式训练分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形： (1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P(3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)， 可化为2x －y －2＝0.如图(1)所示．(2)由于直线经过点P(3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4. 如图(2)所示．(3)由于直线经过点P(3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3. 如图(3)所示．图(1)图(2)图(3)例2已知三角形三个顶点分别是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．解：如下图，因为直线AB 过A(－3,0)，B(2，－2)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝－2－02－(－3)，整理，得2x ＋5y ＋6＝0，这就是直线AB 的方程；直线AC 过A(－3,0)，C(0,1)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝1－00－(－3)，整理，得x －3y＋3＝0，这就是直线AC 的方程；直线BC 的斜率是k ＝1－(－2)0－2＝－32，过点C(0,1)，由点斜式，得y －1＝－32(x －0)，整理得3x ＋2y －2＝0， 这就是直线BC 的方程．例3求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1.即x ＋2y －2＝0. 变式训练1．直线l ：y ＝4x －2在y 轴上的截距是______，斜率k ＝______. 答案：－2 42．已知直线l ：y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，试判断k 和b 的符号． 解：如下图所示因为直线l 与x 轴的正方向的夹角是钝角，与y 轴交点位于y 轴的负半轴上，所以k<0，b<0.思路2例4过两点(－1,1)和(3,9)的直线l 在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______．解析：直线l 的两点式方程是x ＋13＋1＝y －19－1，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－32.即直线l 在x 轴上的截距等于－32，在y 轴上的截距等于3.答案：－323点评：已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x ＝0，解得y 的值即是在y 轴上的截距，令y ＝0，解得x 的值即是在x 轴上的截距．变式训练已知直线过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线的方程为y －3＝k(x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k －2.∴由题意，得12|(2k ＋3)(－3k －2)|＝4.若(2k ＋3)(－3k －2)＝－8，无解；若(2k ＋3)(－3k－2)＝8，解得k ＝－12，k ＝－92.∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)和y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0和 9x ＋2y＋12＝0.例5 设△ABC 的顶点A(1,3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．分析：为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出图形，帮助思考问题．解：如下图，设AC 的中点为F ，则AC 边上的中线BF 为y ＝1.AB 边的中点为E ，则AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n)．在A 、C 、F 三点中A 点已知，C 点未知，F 虽然为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件．这样用中点公式⎩⎨⎧m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1＝0. ∴m ＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点．设B 点为(a ，b)，显然b ＝1. 又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a,1)，E 点坐标为(1＋a 2，3＋12)，即(1＋a 2，2)．E 点在CE 上，应当满足CE 的方程1＋a2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)．由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线的方程．l AC ：x －y ＋2＝0.l AB ：x ＋2y －7＝0. 点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来．变式训练 已知点M(1,0)，N(－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上， ∴设P(x 0,2x 0－1)．∴|PM|2＋|PN|2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2＝10x 20－8x 0＋4＝10(x 0－25)2＋125≥125.∴最小值为125.例6 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A(1,2)，则得k ＝2，即y ＝2x.当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，过点A(1,2)，则得a ＝3，或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.综上，所求的直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.点评：本题易漏掉直线y ＝2x ，其原因是忽视了直线方程的截距式满足的条件之一：在两坐标轴上的截距均不为零．变式训练 过点P(4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：直线l 在两坐标轴上的截距相等都为0时，直线过(0,0)、(4，－3)，由两点式得直线方程为y ＝－34x ；当直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可以设截距为a ，直线方程为x a ＋ya＝1，过点(4，－3)，解得直线的方程为x ＋y ＝1.知能训练1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是( ) A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y ＋2＝3(x －2) C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 答案：C2．已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是( ) A ．(4,3)，60° B ．(－3，－4)，30° C ．(4,3)，30° D ．(－4，－3)，60° 答案：A3．直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )A ．直线的斜率存在B ．直线的斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案 答案：A4．直线y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是______． 解析：直线y ＝－3(x －2)的倾斜角为120°，绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，则所得直线方程是x ＝2，即x －2＝0.答案：x －2＝05．已知△ABC 的顶点坐标为A(－1,5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M 是BC 边上的中点． (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长；解：(1)由两点式写方程，得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0. (2)设M 的坐标为(x 0，y 0)，则由中点坐标公式，得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1，故M(1,1)，AM ＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.6．已知如下图，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．分析：由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ 、MN 、x 轴、y 轴则不能用截距式，其中PQ 、MN 应选用斜截式，x 轴，y 轴的方程可以直接写出．解：因为|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝42＝2 2.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)．所以AB 所在直线的方程是x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.BC 所在直线的方程是x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0. CD 所在直线的方程是x －22＋y－22＝1，即x ＋y ＋22＝0.DA 所在直线的方程是x 22＋y－22＝1，即x －y －22＝0.对称轴方程分别为x±y ＝0，x ＝0，y ＝0. 拓展提升如左下图，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如右上图，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P(x,20－2x 3)(0≤x ≤30)，则S 矩形＝(100－x)[80－(20－2x3)]＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x ≤30)，∴当x ＝5，y ＝503，即P(5，503)时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2)． 课堂小结本节课学习了：1．直线方程的四种形式； 2．会求直线方程；3．注意直线方程的使用条件，尤其关注直线的斜率是否存在从而分类讨论． 作业本节练习B 2,3题．设计感想本节教学设计，以课程标准为指南，对直线方程的四种形式放在一起集中学习，这样有利于对比方程的适用范围，比教材中分散学习效果要好，特别是应用示例思路2的总体难度较大，适用于基础扎实、学习有余力的同学．备课资料 解析几何的应用解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何．在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质．在空间解析几何中，除了研究平面、直线的有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆、双曲线、抛物线的有关性质，在生产或生活中被广泛应用．比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的．总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质．运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案．备选习题1．求与两坐标轴正向围成面积为2的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程．解：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则由题意知12ab ＝2，∴ab ＝4.又|a －b|＝3，解得a ＝4，b ＝1或a ＝1，b ＝4.则直线方程是x 4＋y 1＝1或x 1＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.2．已知直线l 1：y ＝4x 和点P(6,4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程．分析：因为直线l 过定点P(6,4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程．解：因为过点P(6,4)的直线方程为x ＝6和y －4＝k(x －6)， 当l 的方程为x ＝6时，△OQR 的面积为S ＝72；当l 的方程为y －4＝k(x －6)时，点R 的坐标为R(6k －4k ，0)，点Q 的坐标为Q(6k －4k －4，24k －16k －4)，此时△OQR 的面积S ＝12×6k －4k ×24k －16k －4＝8(3k －2)2k (k －4).∵S ≥0，∴r(r －4)>0，∴r>4或r<0.变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32＝0(S ≠72)． 因为上述方程根的判别式Δ≥0， 所以(96－4S)2＋4·32(S －72)≥0， 解得16S(S －40)≥0，即S ≥40.此时k ＝－1，所以，当且仅当k ＝－1时，S 有最小值40. 此时，直线l 的方程为y －4＝－(x －6)，即x ＋y －10＝0.点评：此题是一道有关函数最值的综合题．如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键．怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导．3．已知直线y ＝kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3,0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围．分析：本题要首先画出图形如下图，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y ＝kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2＝k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1,2)点的一组直线．设这个定点为P(－1,2)．解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1≤α≤α2. 则k 1＝tanα1≤k ≤k 2＝tanα2.又k 1＝2＋3－1＝－5，k 2＝2－1－3＝－12，则实数k 的取值范围是－5≤k ≤－12.。
【课标分析】直线方程的几种形式_数学_高中_孙健鹏_3707820001
课标分析
本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。
直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。
在教学过程中，这一节：
（1）让学生理解直线方程的几种形式，以及求各种形式下的方程；
（2）掌握用各种方程的形式和优缺点；
（3）理解方程的直线与直线方程的含义
（4）这一节要注重培养学生的数形结合思想。
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教材分析
本节内容在教材中的地位和作用：“直线方程的几种形式”是人教版B版数学必修2的第二章第二节的内容。
课程分析:本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。
直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。
教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重；
教学难点：理解各式直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。
学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这一数学学科有了基本的了解，知道了解析几何是用代数方法研究几何问题。
由于这一节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。
设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。
遵循“探索---研究---运用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。
采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。
通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。
发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。