量子力学教程第二讲
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量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
复旦量子力学讲义qmapter2-
Chapter 2 Many Body Problem
2020/5/29
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢The identical particles cannot be distinguished
2020/5/29
§2.1 Second quantization
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢Bose system
2020/5/29
§2.1 Second quantization
n 1,...,nk,...(r r1,...r rN) N n !i!PPk1(r r1)...
r kN(rN)
2020/5/29
§2.1 Second quantization
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
ni!
A(k1,k2,...,kn,t)
n
N!
C(n1,n2,...,nk,...,t)
2020/5/29
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢The identical particles cannot be distinguished
2020/5/29
§2.1 Second quantization
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢Bose system
2020/5/29
§2.1 Second quantization
n 1,...,nk,...(r r1,...r rN) N n !i!PPk1(r r1)...
r kN(rN)
2020/5/29
§2.1 Second quantization
Screening Coulomb potential
Positive charge background cancels k=0 part
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.2 Hartree-Fork mean field approximation
2020/5/29
§2.1 Second quantization
➢We need to introduce the creation and the annihilation operators to deal with various problem in the many-body system
ni!
A(k1,k2,...,kn,t)
n
N!
C(n1,n2,...,nk,...,t)
量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
《量子力学II》教案
(r ) e ikr
2 3 d r G (r , r )V (r ) (r ) 2 i (r ) sc (r )
此方程就是 Lippman-Schwinger 方程。 十一、散射问题的 Born 一级近似 利用留数定理，可以求得
G(r r )
可选择 q 方向为 z 轴方向，采用球坐标系，从而得出
6
f ( )
而散射截面为
2 r V (r ) sin qr dr 2 q 0
( ) f ( )
2
4 2 4q 2
0
r V (r ) sin qr dr
比较 Born 近似法和分波法，一般说来,Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒 子散射，因为此时只需考虑 l 较小的那些分波。 十二、全同粒子的散射 （1）无自旋的不同粒子之间的碰撞微分截面
1. 散射的量子力学描述
中心势作用下的 波函数在 r 处的渐近行为是
eikz f ( )
散射截面（又称微分截面或角分布）与散射振幅的关系
eikr r
( )
总截面 t 2
1 dn 2 f ( ) ji d
0
f ( ) sin d 。
ikz
场中径向波函数的 l 分波的表达式
a Rl (kr) ~ 4 (2l 1)i l jl (kr) l hl (kr) 2
（入射波） （散射外行波） 或
Rl (kr) r 4 (2l 1)i l (1 al )ei (krl 2) e i (krl 2 2ikr
4 Im f (0) k
《量子力学教程》_课后答案
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-一维势场中的粒子(圣才出品)
Nne 2 Hn (
x)
xn
=
1
[
n2n−1 +
n
+ 2
1n+1
]
d dx
n
= [
n2n−1 −
n
+ 2
1n
+1
]
其中 =
。
2.2 课后习题详解
2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如 a=b=c，讨论能级的简并度。 解：在匣子内
,n
=
1，2，3,…
该本征能量表达式说明说明：并非任何 E 值所相应的波函数都满足本问题所要求的边
条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱 设
a 为阱宽，V0 为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况． 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取 sinkx 或 coskx 形式． （1）偶宇称态．
E
=
En
=
(n +
1)h, n 2
=
0,1, 2,…
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级
的间距为 ．
8 / 42
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2.一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
n
=
− 1 2 x2
2．势阱中的束缚态 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论． （1）偶宇称态 归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取 C 为实数）
x)
xn
=
1
[
n2n−1 +
n
+ 2
1n+1
]
d dx
n
= [
n2n−1 −
n
+ 2
1n
+1
]
其中 =
。
2.2 课后习题详解
2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如 a=b=c，讨论能级的简并度。 解：在匣子内
,n
=
1，2，3,…
该本征能量表达式说明说明：并非任何 E 值所相应的波函数都满足本问题所要求的边
条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱 设
a 为阱宽，V0 为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况． 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取 sinkx 或 coskx 形式． （1）偶宇称态．
E
=
En
=
(n +
1)h, n 2
=
0,1, 2,…
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级
的间距为 ．
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2.一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
n
=
− 1 2 x2
2．势阱中的束缚态 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论． （1）偶宇称态 归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取 C 为实数）
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学课件第二章
2 dW ( p, t ) | c( p, t ) | dp t时刻粒子出现在动量 点附近 p dp体积元内的几率。
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
量子力学课件优秀课件 (2)
p
x
pˆ x i
x
p
y
pˆ y i
y
pˆ
z
pˆ z i
z
动能、势能表示为
T
p2 2m
Tˆ
1 2m
i
x
2
i
y
2
i
2
2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
z
2
V Vˆ V xˆt
引入体系的哈密顿算符
Hˆ pˆ2 Vˆ 1
2m
2m
pˆx2+pˆy2+pˆz2
(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可 能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。
这些问题在1926年Schrodinger 提出 了波动方程之后得到了圆满解决。
i t (r,t) 22 （ i d d x 2 2+ d d y 2 2+ d d z 2 2） + V (r,t)
i d （）d 2 •[ ]d
dt
2m
其微分形式与 流体力学中连
d （）d i •[ ]d
dt
2m
续性方程的形
d dtw (r ,t)d •J d
式相同
w•J 0
t
使用 Gauss 定理
J
i
[ ]
dS
2m
S
闭区域τ上找 到粒子的总概 率在单位时间 内的增量
数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成 本征值问题；
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件， 对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的 自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的 方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
量子力学教程共45页
辐射热平衡状态: 处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射 出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线无关。
物理与光电工程学工程学院
能 量 密 度
0
5
10
(104 cm)
物理与光电工程学工程学院
内容
No Image
第一节 经典物理学的困难 第二节 光的波粒二象性 第三节 原子结构的波尔理论 第四节 微光粒子的波粒二象性
物理与光电工程学工程学院
§1 经典I物m 理N 学a 的o g 困难e
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
——光的粒子性的进一步证实 （四）波尔（Bohr）的量子论
物理与光电工程学工程学院
No Image
（一）Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到 的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了 量子物理学的诞生。
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种 尺度的力学客体的运动，将其用于分子运动上， 气体分子运动论，取得有益的结果。1897年汤姆 森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于 一个牛顿粒子。
(2) 光的波动性在1803年由杨氏衍射实验有力揭示 出来，麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之 间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。
能
No
量 密
Image
度
•该式称为 Planck
辐射定律
0
Planck 线
《量子力学教程》周世勋_课后答案
7
类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上 告诉我们， 当涉及到粒子的衰变， 产生， 转化等问题， 一般所需的能量是很大的。 能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
E = 1.5 × 100 × 1.6 × 10 −22 J = 2.4 × 10 −20 J
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程， 如两个光子以怎样的概 率转化为正负电子对的问题， 严格来说， 需要用到相对性量子场论的知识去计算， 修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用 那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时， 转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 E = hv = μ e c 2
k ,
= nh
其中 h =
h 2π 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次， 这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
μ
⇒
υ2
R
= qυB
p = μυ = qBR
2π
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
∫
⇒ ⇒
又因为动能耐 E =
0
qBRd ( Rθ ) = nh
hc 2μ核c 2 E
3
=
1.24 × 10 −6
类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上 告诉我们， 当涉及到粒子的衰变， 产生， 转化等问题， 一般所需的能量是很大的。 能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
E = 1.5 × 100 × 1.6 × 10 −22 J = 2.4 × 10 −20 J
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程， 如两个光子以怎样的概 率转化为正负电子对的问题， 严格来说， 需要用到相对性量子场论的知识去计算， 修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用 那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时， 转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 E = hv = μ e c 2
k ,
= nh
其中 h =
h 2π 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次， 这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
μ
⇒
υ2
R
= qυB
p = μυ = qBR
2π
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
∫
⇒ ⇒
又因为动能耐 E =
0
qBRd ( Rθ ) = nh
hc 2μ核c 2 E
3
=
1.24 × 10 −6
苏汝铿高等量子力学讲义
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”
p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
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Wave function and The
设粒子状态由波函数
(rv, t)
Schrödinger equation
描述，波的强度是
(rv,t) 2 *(rv,t)(rv,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
dW (rv,t) C (rv,t) 2 d
观也客称这体为表运 几明动 率描的 幅写一 。粒种子统的计波规重是律点几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
explanation ➢ 2.2 态叠加原理
The principle of superposition
1.理解微观粒子运动状态的描述 波函数及其统计解释。
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
重点
重点难点
2
Wave function and The Schrödinger equation
3
Wave function and The Schrödinger equation
（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
16
§2.1 波函数的统计解释（续10）
Wave function and The
Schrödinger equation
3．波函数的归一化条件
令
(rv,t) C(rv,t)
t
时刻，在空间任意两点
r r1
和
rr2 处找到粒子的
相对几率是：
C C
r (rr1 (r2
• 三个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
(2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 计解释（续2）
2．波函数的统计解释
Wave function and The Schrödinger equation
电子小孔衍射实验
电子源
P
P
O
感
Q光
Q
屏
X
v
P
a
1 0
电子单缝衍射实验
I
7
§2.1 波函数的统计解释（续3）
▲ 两种错误的看法
（1） 波由粒子组成
Wave function and The Schrödinger equation
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单 个电子衍射实验。
单个电子就具有波动性。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。
例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小
≈1
0
A
。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，“ 电子既是粒 子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念 中的粒子。
经典概念 中粒子意
某一点按Brvor处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
平方成比例
15
§2.1 波函数的统计解释（续9）
Wave function and The
(rv, t )
dW
(rv, t )
C
Schrödinger
(rv,t) 2
equation
d
必须注意
称为几率密度(概率密度)
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能 理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定 性以及能量量子化这样一些量子现象。
8
§2.1 波函数的统计解释（续4）
Wave function and The Schrödinger equation
波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而 抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
（2） 粒子由波组成
电子是波包。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，如果粒子由波组成，那
么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与 实验事实相矛盾。
9
§2.1 波函数的统计解释（续5）
Wave function and The Schrödinger equation
,t) ,t)
2
r (rr1 (r2
, ,
t) t)
2
可见， rr,t 和 rr,t所描写状态的相对几率是
相同的，这里的 c 是常数。
可见， rr,t 和 rr,t 描述的是同一几率波，所
以波函数有一常数因子不定性。
17
§2.1 波函数的统计解释（续11）
Wave function and The
P
P
O
感
Q
光 屏
Q
出现的概率 出现的概率 小的地方 大的地方
13
§2.1 波函数的统计解释（续7）
Wave function and The Schrödinger equation
（2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
波动观点
粒子观点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大 电子出现的概率大
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
电子源
衍射实验事实：
O
感
Q光
Q
屏
（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒 性，长时间亦显示衍射图样;
12
电子单缝衍射实验
电子源
Wave function and The Schrödinger equation
假如粒子只在一维空间运动，它的状态可以用
波函数
0
x, t
i t
Ae
sin
a
x
x 0, x a 0 x a
5 7
来描写，式中E和a分别为确定的常数，而A是任意 常数，求：
1）归一化波函数，
2）几率分布函数（即几率密度）ω，
3） x ， x2 的值。
26
解：1）在一维空间里
2
Wave function and The
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小 电子出现的概率小
可见，波函数模的平方 处附近出现的概率成正比。
rr难,t 点2与粒子
t时刻在
rr
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：
波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方） 与粒子在该点出现的概率成比例。
14
§2.1 波函数的统计解释（续8）
Schrödinger equation
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子
不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全
空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现
的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，
而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上
一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
rr,t 和 C rr,t 描述同一状态
5 5
平均值常用符号 表示。事实上，粒子的任何一个
只要是坐标函数的力学量 f x, y, z ，其平均值都可
以由 r, t 求出，即
f x, y, z *x, y, z,tf x, y, z x, y, z,tdxdydz 5 6 25
五、例题
Wave function and The Schrödinger equation
x, t dx 1Schrödinger equation
0
2
a
2
2
亦即 x,t dx x,t dx x,t dx 1
0
a
A2 a sin 2 x d x 1
0
a
A2·a 1 归一化因子 2
A
2 a
归一化的波函数为
0
x,
t
2
e
i t
sin
x
a
a
x 0, x a 0 x a
Wave function and The Schrödinger equation
第二讲 第二章
2.1 波函数的统计解释 2.2 态叠加原理
1
学习内容
Wave function and The Schrödinger equation
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic
4
§2.1 波函数的统计解释Wave function and The Schrödinger equation
1．微观粒子状态的描述
微观粒子因具有波粒二象性 要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念统 一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理 图像。
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (rr,t) 来描述，函数 (rr,t) — 称为波函数。 ★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态）
（2）波函数一般用复函数表示。
Wave function and The Schrödinger equation
( r,t )d ( r,t ) 2d 1
满足此条件的波函数 rr,t 称为归一化波函数。
又因
(rv,t) 2 d C2
(rv,t)
2
d
1
其中
C
1
(rv,t) 2 d
称为归一化常数
于是
(r,t) (r,t) 2