控制系统数学模型
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
控制系统的数学模型(卢京潮课件)
y( x ) y( x ) y( x0 )
E0 sin x0 ( x x0 )
即有
y E0 sin x0 x
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
s j
复函数 F ( s ) Fx ( s ) jF y ( s ) 例1 F ( s ) s 2 2 j
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
ur ( t ) L di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i (t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
例7 例8 例9
1 1 L 1 t e Le ss sa sa s3 s - 3t 2 L e cos 5t 2 2 2 s 3 5 s 5 s s 3
f (t ) e
F ( s ) F ( s A) 右 dt源自00
0
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
L f n t s n F s s n-1 f 0 s n- 2 f 0 sf n- 2 0 f n1 0
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur ( t ) c 2 dt L dt LC LC
§2.2.1 线性元部件及系统的微分方程（1）
现代控制理论第一章-控制系统数学模型
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
0
x2
1 M
第二章 控制系统的数学模型
两个输人一个输出的线性系统，可以应用叠加原理进行分析。
如果忽略电枢电阻R 和电动机转动惯量J ，则Tm = 0 。
上式可变为 ω = cd ua 此时，电动机转速与电枢电压成正比。
2．1 控制系统微分方程的建立
三、系统的稳态数学模型
由直流电机例分析 如果电机处于平衡状态，则方程中各阶导数均为零。 此时微分方程变成代数方程，即
3.积分定理
若f(t) n重积分，各重积分在t=0 的值为0时，
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
4．位移定理 ⑴实位移定理（时间坐标中有一个位移）
该定理又称延迟定理。 ⑵复位移定理（在复数s坐标中有一位移）
2．2拉普拉斯变换及其应用——拉氏变换的几个重要运算定理
5．终值定理 6．初值定理 Nhomakorabea2．1 控制系统微分方程的建立——例3
解 ua为给定输人，ML为干扰输人，ω 为输出。
据KVL 电枢回路方程：
据牛顿转动定律，电机转子的运动方程（动力学方程）：
当激磁磁通不变时，M与ia 成正比:
2．1 控制系统微分方程的建立——例3
将各式联立，消去中间变量M、ed、ia可得：
Ta ：电磁时间常数 Tm ：机电时间常数
4．整理微分方程，使其规范化，
将输出项放到方程左侧， 输人项放到方程右侧， 各阶导数项按阶次从高到低的顺序排列。
2．1 控制系统微分方程的建立
二、举例
例1：已知RLC 电路系
统如图所示，试列写其 输入—输出之间的微分 方程。
2．1 控制系统微分方程的建立
例2：带阻尼的弹簧系统( k-m-f )， 输入力x,输出位移y ， 试列写系统的微分方程。
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型
控制系统的数学模型
控制系统是一种能够自动实现某种规律性动态过程的机电设备，具有广泛的应用和重要的意义。
为了更好地理解和设计控制系统，我们需要学习控制系统的数学模型。
控制系统的数学模型是对系统动态行为的精确描述，通常用微分方程或差分方程来表示。
这个模型是由系统的结构和性质所决定的，因此在设计控制系统时需要考虑到不同方面的因素。
在实际应用中，通常采用系统的状态空间描述法来建立数学模型，其基本形式是：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统各输出量之间的关系；u(t)为输入量向量，表示系统受控的变量；y(t)为输出量向量，表示系统运行时的响应状态；A、B、C、D是系统常数矩阵，分别表示状态转移矩阵、输入特性矩阵、输出矩阵和直流通道矩阵。
这个模型允许我们对控制系统的状态、输入、输出之间的关系进行全面的分析和掌握。
控制系统的数学模型建立好之后，我们需要对其进行仿真和实验验证。
通过模拟相应的输入和输出，可以检验数学模型的可靠性和精度，并找出有误差的地方进行调整和改进。
同时，也能够为控制系统的设计和优化提供有力的指导和参考。
综上所述，控制系统的数学模型是其设计和优化的基础和关键，
建立好数学模型能够更全面地分析和预测系统的运行状态，并为进一
步进行仿真和实验提供必要的基础。
因此，在学习和设计控制系统时，需要注重数学模型的学习和应用，以提高系统的可靠性和实用性。
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
?
t2 t 2
1
L t22Ltdt s
dt
1 s2
1 s
t2 2
1 s3
t0
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（4）位移定理 L f(t0 ) e τ 0 sF (s)
证明：左0f(t0)etsdt
令 t 0
f( )es(0)d e0s f()esd 右
0
0
0 t 0
例5 ft1 0t a, 求F(s)
0 t a
解. f(t)1 (t)1 (ta)
L f ( t ) L 1 ( t ) 1 ( t a ) 1s
ea
s
1 s
1
e as s
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（5）初值定理 lim f(t)lim sF(s)
t 0
s
证明：由微分定理 d(ft)estd tsF(s)f(0)
零初始条件下有：
Lftd
t1Fs
s
进一步有：
L ftdn t s 1 nF s s 1 nf 1 0 sn 1 1f 2 0 1 sf n 0
n 个
例3 求 L[t]=? t 1tdt
解.
L tL1 td
t
1 s
1 s
1 s
t
t0
1 s2
例4
解.
求
L
t2 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 拉普拉斯变换有关知识 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图及其等效函数 §2-4 典型环节的传递函数 §2-5 自动控制系统的传递函数 §2-6 MATLAB应用
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
（1）线性性质 L a f 1 ( b tf 2 ( ) t a F ) 1 ( s b F 2 ( )s)
（2）微分定理 L ft s F s f0
证明：左 ftestd t estdft e-stf t 0 ftdest
0
0
0
0-f0s ftestdtsF sf0右
0
f n t s n F s s n 1 f 0 s - n 2 f 0 - s n 2 0 f f - n 1 0
模 Fs Fx2Fy2 相角 FsarctaFny
Fx （3）复数的共轭 F(s)Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
复习拉普拉斯变换有关内容（2）
2 拉氏变换的定义
L [f(t) ]F (s)f(t)etd s t 0
F
f
(s) (t)
像 原像
uC(t)C 1i(t)dt,(2) （两边求导）
i(t) C duC(t) dt
由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
L Cd2 d u tC 2(t)R Cdu d C t(t)uC(t)ur(t)
根据上述的例子，可以得到列写系统微分 方程的一般步骤：
1）确定系统的输入、输出变量；
2）根据已知的电学、物理或化学定律，写出系统 过程的微分方程；
0 dt
lim d(tf)e std tlis m F (s)f(0 )
s 0 dt
s
左 d(ft)lim estd t 0 0 dt s
l s ism F (s ) f(0 ) 0
f(0 ) lt i0m f(t) ls i s m F (s)
3 常见函数的拉氏变换
（1）单位阶跃信号 数学表达式
时间波形
由拉氏变换定义式
单位阶跃信号的导数
（2）单位斜坡信号 数学表达式
时间波形
由分部积分公式
（3）等加速函数 f(t)
数学表达式为
f
(t
)
1 2
t
2
t≥0
0 t 0
其拉氏变换为
O
t
F(s) L [ f (t)] f (t)estdt 1 t2 estdt
§引言 •数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
• 表达形式 • 时域：微分方程、差分方程、状态方程 • 复域：传递函数、动态结构图 • 频域：频率特性
0
02
1 s
1 2
t2est
0
0
t
estdt
1 s
0
0
1 s2
1 s3
（4）指数函数e-at
数学表达式为
eat t≥0(a为实数) f(t)
0 t0
其拉氏变换为
F(s) L
eat
eatestdt
0
e(sa)tdt 1
0
sa
（5）正弦函数
0
t 0
f(t)sinωt t0
Lf( t )sin te sd t t1ej t ej t e sd t t
0
02j
1
e-(s-)jte(sj)tdt
0 2j
2 1 j s 1 j e( sj)t 0s 1 j e( sj)t 0
2 1 j s 1 js 1 j 2 1 js2 2 j 2s2 2
（6）单位脉冲信号 数学表达式
时间波形
令 所以
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
4 拉氏变换的几个重要定理
0初条件下有： L fn t s n F s
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
例1 求 L(t)?
解. t1t
L δ t L 1 t s1 10 101 s
例2 求 L cost)(?
解. cost1snit
Lc
ost 1Lsn it
1
s
s2
2
s2
s
2
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（3）积分定理 L ftd t1 sF s1 sf-10
线性系统
拉氏
傅氏
变换
变换
传递函数
微分方程
频率特性
建立数学模型的一般方法(举例)
例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容 上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为
输入变量的运动方程。
R
L
ur(t)
i(t) C
uc(t)
依据：电学中的基尔霍夫定律 ur(t)R i(t)Ldd i(tt)uc(t),(1)
3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方 程；
4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有 关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数 sj
复函数 F(s)F x(s)F y(s)
例1 F (s) s 2 2 j
（2）模、相角