东南大学高等数学实验三 泰勒公式与函数逼近

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0.00121277 0.0000596361 8.64113 ´ 10-8 9.14935 ´ 10-8 0.0000708004 0.00161516
0.2 0.6 1.
出 果 一 的 后 项 示 差从 果 可 看 ， | 输 结 每 行 最 一 表 误 ， 结 中 以 出 当 x|<1，
.0 误 |R 其 差 n |<00 5。
n
f(k)(x ) k 0 ) (x−x ) ， − 0 很小时， 其中， 当 | x−x |很小时， f(x ≈f(x )+∑ 有 其中， 0 0 k ! k1 =
f(k)(x ) T x = f(x )+ ( ) ∑ k 0 (x−x )k 称为 0 0 ! k1 =
n
f(x 在点 x 处的 n 阶泰 ) 0
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实验三
泰勒公式与函数逼近
0对函数逼近的影响。 （3）固定 n=6 观察 x 对函数逼近的影响。 ，
i 的泰勒多项式， 在下面的语句中， 在下面的语句中， 为了方便调用 snx的泰勒多项式， 首先定 i 义了 snx的泰勒展开函数 tt， ， 然后用不同的颜色在同一坐标
, 0 , 0 i i 系中画出了 snx及 snx的分别在 x =0 x =3 x =6处的 6 阶 0
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实验三
泰勒公式与函数逼近
0 2 大 示 间 围以 察 偏 展 点 泰 多 ） （ 扩 显 区 范 ，观 在 离 开x 时 勒
项对数逼情。 式函的近况
−, ] 显然， 我们只要把上一个程序中的绘图命令中的 x 范围由 [ π π 显然，
− π π 并相应增加阶数。故输入如下命令： 分别改到 [ 2 ,2 ]，并相应增加阶数。故输入如下命令：
多项式； （ 0 为余项。 为余项。 勒多项式； o | x−x |n）
)的各阶泰勒多项式， 下面我们利用 Mathematica 计算函数 f(x 的各阶泰勒多项式，并
通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。
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@ @ @@8 <8 < D D D @@D < @ D @ D 8
, i, 1, 13, 2 ;
8
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泰勒公式与函数逼近
述 句 的 数 PeedotSnx] 是 示 函 上 语 中 函 “r p n T [ , i [ ] ” 表 把
s i 加表 中运后到图 数nx添 到 t 。 行 得 下 。
) sn ( =, , , , ) 1 同一坐标系内显示函数 f(x = i x及它的 nn 135⋯3
阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下： 阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下：
In[5]:=
t = Table Normal Series Sin x , x, 0, i PrependTo t, Sin x ; Plot Evaluate t , x, - Pi, Pi
实验三
泰勒公式与函数逼近
泰勒公式的格式为： 泰勒公式的格式为： Series[expr,{x,x0,n}]（表示在 x0 点求，阶数为 n）， （ ），
求函数的泰勒多项式格式为： 求函数的泰勒多项式格式为： Normal[Series[expr,{x,x0,n}]]
注意：对泰勒多项式作图时可使用“ 注意：对泰勒多项式作图时可使用“Evaluate”命令把它转化为 ” 可运算的。 可运算的。
结中知阶越，差小 从果可，数高误越。
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实验三
泰勒公式与函数逼近
) sn 根据图形观察泰勒展开的误差） 例 3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察 f(x = i x的各
阶泰勒展开的图形。 阶泰勒展开的图形。
的影响。 解：（1）固定 x =0，观察阶数 n 的影响。 0
) sn 处的偶数阶导数为零，所以首先在 因为 f(x = i x在 x =0处的偶数阶导数为零，所以首先在 0
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泰勒公式与函数逼近
出果： 输结为
5 2.7166666666666667 2.7182818284590452 0.0016151617923786 6 2.7180555555555556 2.7182818284590452 0.0002262729034897 7 2.7182539682539683 2.7182818284590452 0.0000278602050770 8 2.7182787698412698 2.7182818284590452 3.0586177754 ´ 10-6 9 2.7182815255731922 2.7182818284590452 3.028858530 ´ 10-7 10 2.7182818011463845 2.7182818284590452 2.73126608 ´ 10-8
@ @8 @ @@8 < D D @ 8 @< @ D 8D D < < D D
泰勒公式与函数逼近
; ;
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运行后得到了六幅图， 运行后得到了六幅图，从图中可以观察到泰勒多项式与函数
− , ]范围内， 图形的重合与分离情况， 显然在 [ π π 范围内， 图形的重合与分离情况， 第五幅图中两
个函数的图形已经基本上吻合了，也就是说， i x 个函数的图形已经基本上吻合了，也就是说， sn 的 9 次多 项式与函数几乎无差别。 项式与函数几乎无差别。
泰勒多项式的图形： 泰勒多项式的图形：
In[10]:=
tt x0_, n_ := Normal Series Sin x , x, x0, n ; gs0 = tt 0, 6 ; gs3 = tt 5, 6 ; gs6 = tt 6, 6 ; Plot Sin x , gs0, gs3, gs6 , x, - 3 Pi, 3 Pi , PlotRange ® -2, 2 , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 , RGBColor 0, 1, 0
@ @ @@8 < @ D @@ D D @DD D D @@
பைடு நூலகம்",
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实验三
输出结果为: 输出结果为:
-1 - 0.6 - 0.2
泰勒公式与函数逼近
0.366667 0.548752 0.818731 1.2214 1.82205 2.71667
0.367879 0.548812 0.818731 1.2214 1.82212 2.71828
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实验三
泰勒公式与函数逼近
x 对误差的影响） 例 2 （观察阶数 n 对误差的影响）利用函数 e 的 n 阶
的值，并求误差。（ 。（n=5,6,7,8,9,10） 多项式计算 e 的值，并求误差。（ ）
： 此 输 M e ai a 言 下 解 为 ， 入 ahmtc 语 如 ： t
3 2 1
Out[7]=
-3
-2
-1 -1 -2 -3
1
2
3
为了使图形比较更加生动，下面作出 i 为了使图形比较更加生动，下面作出 snx和它的某一阶泰勒多 项式的同一坐标系下的比较图， 项式的同一坐标系下的比较图，并且在图中红色曲线表示函数
f(x = i x的图形， ) sn 的图形， 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。 命令如下： 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。 命令如下：
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实验三
In[8]:=
For i = 1, i £ 11, a = Normal Series Sin x , x, 0, i Plot a, Sin x , x, - Pi, Pi , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 i = i+ 2
.0， = 即可。 n 即可。 得，欲使 | R |<00 5 只要取 n 5
面 M e ai a 句 用 数 下 的 ahmtc 语 利 函 e 的 阶 勒 项 来 t 5 泰多式 d e 0的 ， 判 误 ： 近计 似算 值并断差
In[1]:=
x
d0 = -1; While d0 £ 1, a = N Normal Series Exp x , x, 0, 5 . x ® d0; Print d0, " ", a, " ", N Exp d0 , " N Exp d0 - a ; d0 += 0.4
In[3]:=
n = 5; While n £ 10, . x ® 1, 17 ; a = N Normal Series Exp x , x, 0, n Print n, " ", a, " ", N Exp 1 , 17 , " ", Exp 1 - a ; n += 1
@ @ @@8 < D @ D@ D @D @ @ DD D D
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实验三
泰勒公式与函数逼近
x e。 泰勒公式的误差） 例 1 （泰勒公式的误差）利用泰勒多项式近似计算
1 .0 若 | x|< ，要求误差 | R |<00 5。 n x
解： 我们根据拉格朗日余项
| R |= n |
e e 3 n1 + x+ | | x|n 1< < ( +) n 1! ( +) n 1! ( +) 可 n 1!
@@D @D@@D< D @@ D D 8 @@ < < < 8D 8 8 @D @D 8D @ D @ < D
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实验三 泰勒公式与函数逼近 运后到图 行得下。
2
1
-5
5
-1
-2
本验们以到些论函的勒项对函 从实我可得一结，数泰多式于数 近程随阶的高提，是于一定次 的似度着数提而高但对任确的数 多式它在开附的个部围才较的 的项，只展点近一局范内有好近 精度 似确。
实验三
泰勒公式与函数逼近
东南大学 数学系
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实验三
泰勒公式与函数逼近
) 0的邻域内足够光滑， 一个函数 f(x 若在点 x 的邻域内足够光滑，则在该邻域
内有泰勒公式
f ( x ) = f ( x0 ) + ∑
n k =1
f ( k ) ( x0 ) ( x − x 0 ) k + o（ | x − x 0 |n ） k!
In[9]:=
For i = 7, i £ 17, a = Normal Series Sin x , x, 0, i Plot a, Sin x , x, - 2 Pi, 2 Pi , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 i = i+ 2
@ @8 @<@8 < @D D @ 8 @D @D 8D < < D D
; ;
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i 运行上面程序， 绘出了从 7 阶直至 17 阶的泰勒多项式与 snx 运行上面程序，
2 π 范围内， i 的比较图，观察图表可得， 的比较图，观察图表可得，在区间 [−π,2 ]范围内， snx的
17 次多项式与函数吻合得很好了。 次多项式与函数吻合得很好了。