平面向量共线问题

平面向量共线问题的探讨

摘要：平面向量的平行与垂直是高中数学新课程向量部分的重要内容，本文旨在对平面向量平行（即共线）相关定理进行推广，得到两个更加具有一般性的结论，并举例说明它们的应用，使问题的解决更简捷。 关键词：平面向量、共线定理、推广、应用。

平面向量的共线，这部分内容比较重要，在各种考试中也频频出现，教材上就两个向量共线已给出两个定理：

（1） 向量()≠与向量共线⇔存在唯一实数λ，使得a b λ=成

立。

（2） 向量()11,y x a =与向量()22,y x b =，则∥⇔01221=-y x y x

在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一步探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。对于定理（2）给出的结论，向量，b 的基底是单位正交向量：，j ，下面我们给出的结论中，涉及到的基底不一定是单位正交向量：i ，，而是任意一组基底：1e 与2e ，它更具有一般性。

推论1：若1e ，2e 是不共线的两个向量，2111e y e x a +=，2212e y e x +=，与b 共线 ⇔01221=-y x y x 证明：与b 共线，当且仅当=λ， ⇔2111e y e x +()

2212e y e x +=λ ⇔2111e y e x +2212e y e x λλ+=

由平面向量基本定理得：⎩⎨⎧==2121y y x x λλ ①2y ⨯-②2x ⨯消去λ得：01221=-y x y x ① ②

所以，a 与b 共线⇔01221=-y x y x 。

上述结论还可以进一步推广为：

推论2：对于任意向量1e ，2e ，若2111e y e x +=，2212e y e x +=，那么与共线 ⇔1e ∥2e 或01221=-y x y x

证明：分两种情况： 1e 与2e 平行和1e 与2e 不平行

（1）1e 与2e 平行时，结论成立。

（2）1e 与2e 不平行时,a 与共线，当且仅当a =b λ， 有：2111e y e x +()

2212e y e x +=λ 即：2111e y e x +2212e y e x λλ+=

由平面向量基本定理得：⎩⎨⎧==2121y y x x λλ ①2y ⨯-②2x ⨯消去λ得：01221=-y x y x

即：当且仅当01221=-y x y x 时，与b 共线

综合（1）（2）知：与b 共线⇔1e ∥2e 或01221=-y x y x

上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得比较完备。 在高考、模拟考、联考等一系列考试中，常出现向量共线的问题，下面是两个结论针对一些考题的应用，所有例题都给出多种解法，其中“另解”应用了上述结论，多种解法进行对比后，我们可以看出应用上述结论可以使问题的解决更简捷，从而节省时间。

例1.（2009重庆卷文）已知向量)1,1(=a ，),2(x b = 若b a +与24-平行，则实数x 的值是 （ ）

A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

解法1：因为)1,1(=a ，),2(x b = ，所以)1,3(+=+x b a ，① ②

)24,6(24-=-x a b 由于b a +与a b 24-平行，得

6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =，选D 。

解法2： 因为b a +与a b 24-平行，则存在常数λ，使

)24(a b b a -=+λ，即：)14()12(-=+λλ，根据向量共线的条件知，向量与共线，故2x =，选D 。

另解：因为b a +与24-平行，即b a +与42+-平行，但

01)2(41≠⨯--⨯，所以根据已知结论得：∥，所以有，

0121=⋅-⋅x ，即得2x =，选D 。

例2.已知)2,1(=，)2,3(-=，当k 为何值时，向量k +与b a 3-平

行？平行时它们是同向还是反向？ 解：∵)2,1(=，)2,3(-=。 ∴)22,3(+-=+k k k ，)4,10(3-=-b a ∵k +与3-平行

∴0)22(10)3(4=+⋅--⋅-k k 解得3

1-=k . 此时()

k 33

131-⋅-=+-=+ ∴当3

1-=k 时，向量k +与b a 3-平行，并且反向． 另解：∵)2,1(=a 与)2,3(-=b 不平行，且向量b a k +与3-平行。 ∴013=--k ，即3

1-=k

此时()k 33

131-⋅-=+-=+ ∴当3

1-=k 时，向量k +与b a 3-平行，并且反向．

例 3.设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果21e e AB +=，2132e e BC -=，212e k e CD -=，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 解：=+=()()2121212332e e e e e e -=-++，

∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得CD AC λ=，即：()

2121223e k e e e -=-λ， 得⎩

⎨⎧-=-=k λλ223，解得23=λ，34=k . 另解：2123e e BC AB AC -=+=

由A 、C 、D 三点共线，知2123e e AC -=与212e k e CD -=共线。所以，

0)2(2)(3=-⨯--k ，故3

4=k

例4.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t ，()+3

1三向量的终点在同一条直线上？ 解：设a OA =，b t OB =，()

+=31， ∴b a OA OC AC 3

132+-=-=，t -=-= 要使A 、B 、C 三点共线，只需λ=.

即: 3

132+-a b t λλ-=.