微专题22椭圆中两直线斜率积
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题例1、已知A，B，P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB 的斜率乘积k PA·k PB＝－2 3，则该椭圆离心率为________.变式训练已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，A，B是椭圆的左，右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则cos（α＋β）cos（α－β）＝________．例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的右焦点为(1 0)F，，离心率为2．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE EF=．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．例3：过椭圆C：x24＋y2＝1的上顶点A分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．变式：已知椭圆C：x28＋y24＝1.M(0，2)是椭圆的一个顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，求出直线AB恒过定点的坐标．例4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆C 的左右顶点。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l 交椭圆C 与M,N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//.F M F N 设直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值。
变式训练：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →.(1) 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2) 求OA 2＋OB 2的值．。
椭圆中两直线斜率积专题
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了例题：过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．如图，已知椭圆E1方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆E2方程为x2＋y2＝a2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D＝2ak 21＋k 22，10分 当k 1k 2＝b 2a2时，x B ＝a （b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 1＋4k 2，即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)， 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0， 化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1 答案：⎝⎛⎭⎫65，0.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2＋b 2x 0，－a 2－b 2a 2＋b 2y 0. 变式2答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋14λ－1S A ，4λ＋14λ－1y A ，其中x A ，y A分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫λa 2＋b 2λa 2－b 2x 0，－λa 2＋b 2λa 2－b 2y 0. 发现并强调注意，此时λ≠b 2a2.结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)． 证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（80－m 2）80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（m 2－20）20＋m 2，－20m 20＋m 2. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2； (3)直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0.因为圆心H ⎝⎛⎭⎫1，m2，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋⎝⎛⎭⎫CD 22＝r 2，代入得m ＝±2.因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2， 由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b ＋1)(b ＋k －1)＝0， 由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ， 所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1， 所以直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
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kADkPB＝ab22k1kPB＝ab22·xBy＋B a·xBy－B a＝ab22·x2B－y2B a2＝ab22－ba22＝－1，所以 PB ⊥AD，又 PD⊥AD.所以三点 P，B，D 共线，即直线 BD 过定点 P(a,0)．
7．已知椭圆x32＋y22＝1，过点 P(1,1)分别作斜率为 k1，k2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点．若 k1＋k1，求证 直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
y＝kx＋ 2－3 2k
3x62 ＋y42＝1
，
整理得(9k2＋1)x2＋18 2k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0， 得 x1＝18 92k23＋k21－k－3 2， 所以 x2＝18 92k23＋k21＋k－3 2， 整理得 x2－x1＝93k62＋2k1，
x2＋x1＝190k82＋21k2－6 2.
2．已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.则直线 OM 的
斜率与 l 的斜率的乘积为 －9
.
解析：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM， yM)． 将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2 得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故 xM
＝x1＋2 x2＝－k2k＋b 9，易得 yM＝k29＋b 9， 从而 kOM·k＝－9.
3．如图，已知椭圆 C：x42＋y2＝1 的上、下顶点分别为 A，B，点 P 在椭
圆上，且异于点 A，B 的直线 AP，BP 与直线 l：y＝－2 分别交于点
M，N.当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆经过的定点是
微专题22椭圆中两直线斜率积答案
微专题22例题答案：)53,0(-.解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k )418(2k kx ++， 即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点)53,0(-.解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P )53,0(-. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P )53,0(-.解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1.y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0，化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点)53,0(-.变式联想变式1 答案：)0,56(.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点),(0222202222y b a b a x b a b a +--+-. 变式2 答案：)y 1414,1414(A A S -+-+λλλλ，其中x A ，y A 分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N 两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点),(0222202222y ba b a x b a b a -+--+λλλλ.发现并强调注意，此时λ≠b 2a 2. 结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)．证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M )8040,80)80(3(222m m m m ++-，N)2020,20)20(3(222m mm m +-+-. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1； (2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为)24,(2t t -，)24,(2t t --.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(3) 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2；(3)直线PQ 过定点，定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0. 因为圆心H )2,1(m，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋2)2(CD ＝r 2，代入得m ＝±2. 因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2，由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b＋1)(b ＋k －1)＝0，由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ，所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1，所以直线PQ 过定点，定点为(1，1)．。
椭圆两直线斜率之积结论
椭圆两直线斜率之积结论一、结论的定义与性质椭圆两直线斜率之积结论是指在椭圆上任意取两点，连接这两点的直线的斜率之积等于定值。
这个定值与椭圆的参数有关，但与点的位置无关。
这一结论具有普遍性和可预测性，适用于所有椭圆和直线。
二、结论的证明方法证明椭圆两直线斜率之积结论的方法有多种，其中一种比较常见的方法是通过参数方程进行证明。
参数方程是描述椭圆形状和大小的一种数学表示方法，通过引入参数方程，我们可以将椭圆的几何性质转化为代数表达式，从而利用代数方法进行证明。
具体证明步骤如下：首先，设椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ(θ为参数)在椭圆上任取两点，分别设为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)计算连接这两点的直线的斜率k1和k2，即k1=dy1/dx1，k2=dy2/dx2利用椭圆参数方程的导数公式，可以计算出k1*k2的表达式，最终证明它是一个定值。
三、结论的推广与应用椭圆两直线斜率之积结论不仅适用于普通椭圆，也适用于其他形状的曲线，如抛物线、双曲线等。
此外，该结论还可以扩展到高维空间中的超球等类似形状。
在应用方面，这个结论可以用于解决一些与曲线相切、与曲线长度相关的问题。
四、结论的拓展与引申椭圆两直线斜率之积结论可以拓展到其他数学领域，如解析几何、微分几何、线性代数等。
例如，在解析几何中，这个结论可以用于研究曲线的性质和构造新的曲线方程；在微分几何中，这个结论可以用于研究曲面的性质和构造新的曲面方程；在线性代数中，这个结论可以用于研究矩阵的性质和构造新的矩阵方程。
五、结论在数学问题中的应用椭圆两直线斜率之积结论可以应用于以下数学问题：求解与椭圆相关的曲线方程；研究椭圆上的线段长度之比；求解与椭圆相关的最值问题；利用这一结论构造新的数学命题和定理。
六、结论在其他领域的应用除了在数学领域的应用外，椭圆两直线斜率之积结论还可以应用于其他领域：天文学：在天文学中，这个结论可以用于研究行星和卫星的运动轨迹；物理学：在物理学中，这个结论可以用于研究物体的运动轨迹和受力分析；工程学：在工程学中，这个结论可以用于研究机械部件的运动轨迹和优化设计。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中两直线斜率之积为定值的问题》作业评价
AP，AQ分别交直线x＝
16 3
于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：
k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
－172
设Px1，y1，Qx2，y2，直线PQ的方程为x＝my＋3，
由1x62 ＋1y22 x＝my＋3
∴3m2＋4y2＋18my－21＝0
∴y1＋y2＝3－m12＋8m4，y1y2＝3－ m22＋14，
(i)设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值； (ii)设过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
略；
①设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线AP的方程为： y＝x0y＋0 2(x＋2)，令x＝2得M(2，x04＋y02)， ∴k1＝x02＋y02.∵k2＝x0y－0 2，∴k1k2＝x022－y204. ∵P(x0，y0)在椭圆上，∴x420＋y320＝1， ∴k1k2＝－32为定值．
2 ·y2－x2
2 ＝－1，即y1y2－
2 (y1＋y2)＋2＋x1x2＝0，(kx1＋
m)(kx2＋m)－ 2 (kx1＋m＋kx2＋m)＋x1x2＋2＝0，k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2－ 2 k(x1＋x2)－
2
2
m＋x1x2＋2＝0，(k2＋1)
2m2－4 1＋2k2
＋k(m－
2
)(－
已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为 22，且过点P( 22，12)，记椭圆的左顶点 为A.
(1)求椭圆的方程； x2＋2y2＝1，
∵椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)的离心率为 22，且过点P( 22，12)，
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题共42页文档
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
பைடு நூலகம்END
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题(共24张PPT)
=
k
2(
2 2k 2
1
2(k 2 2k 2
1) ) 1
0
4k 2 2k2 1
0
(x1 x3)(x2 x4 )
所以直线 AC，BD 的斜率之和为 0（定值）
二、例题讲解
三、课堂小结
1.复习了常见图形中的斜率关系，主要是斜率之积（和）； 2.探究了直线过定点问题； 3.熟悉并识别图形，并能选择较为简洁的计算。
，B
点的横坐标为
2， 2k 2 1
同理，联立
y k(x 1) x2 y2 1 2
，得
C
点横坐标为
2k
2
2k
2(k 2 2 1
1)
点
D
的横坐标为
2k
2
+ 2(k 2 2k 2 1
1)
设 A(x1, kx1), B(x2, kx2 ),C(x3, k(1 x3)), D(x4, k(1 x4 )), 所以，直线 AC，BD 的斜率之和为
（1）由题意可，得 c 1, e c 2 ，所以 a 2 ， a2
可得 b2 a2 c2 1，所以椭圆的方程为 x2 y2 1 2
（2）证明：设直线 AB 的方程为 y kx ，直线 CD 的方程为 y k(x 1)
y kx
联立
x
2
2
y2
，得到
1
A 点的横坐标为
2k
2 2 1
kx1 k(1 x3) kx2 k(1 x4 ) = k (x1 x3 1)(x2 x4 ) (x2 +x4 1)(x1 x3)
x1 x3
x2 x4
(x1 x3)(x2 x4 )
= k 2(x1x2 x3x4 ) (x1 x2 ) (x3 x4 ) (x1 x3 )(x2 x4 )
椭圆左右顶点到椭圆上任意一点的斜率之积
椭圆左右顶点到椭圆上任意一点的斜率之
积
椭圆的斜率之积是数学中的一个很重要的概念，它是椭圆左右顶点到椭圆上任意一点的斜率的乘积。
该概念是18世纪欧洲数学家波兰数学家但斯（L.Euler）和挪威数学家斯曼（Rosenman）提出的。
从图形上来说，椭圆是一种特殊的抛物线，但它的性质和其他抛物线有很大不同，比如圆，它是数学中许多定义不同的椭圆样式，比如标准椭圆、放射椭圆、凹椭圆、对称椭圆、心型椭圆等。
椭圆的斜率之积也是有所不同，一比如标准椭圆，它的左右两顶点到其上任意一点的斜率之积恒等于4，即K=4/X^2+Y^2=4，这个结果也是但斯和斯曼提出的；而如果是椭圆的短轴和长轴之比p越小，那么椭圆的斜率之积K就越大；例如心形椭圆p=1时，K=16，即X^2+4Y^2=4.
椭圆的斜率之积可以用另一种角度来看，椭圆左右顶点到其上任意一点的斜率之乘就是将椭圆投影到X，Y轴上的投影面积的倍数，也就是投影椭圆的两个轴的投影面积的比值。
因此，椭圆的斜率之积实
际上可以表示椭圆的离心率，椭圆的斜率之积K越大，那么离心率也
就越大，椭圆的椭圆度也就越大，也就是说椭圆的弯曲程度越大；反之，K值越小，离心率也就越小，椭圆的弯曲程度也就越小。
总之，椭圆的斜率之积是一个非常重要的概念，它可以用来描述
椭圆形状的离心率，也可以直接表示椭圆投影到X，Y轴上的面积比值，是椭圆椭圆数学学习非常重要的概念。
圆与椭圆两个几何性质的类比——椭圆中两直线斜率乘积为定值的应用
y －y
a
a
＝
２＝
２
x２
x２
１ －x２
１ －x２
２
１
２
２
b２ ２
－ ２(
x１ －x２
２)
a
b２
＝－
．
２
x２
a２
１ －x２
圆的性质 ２ 垂 径 定 理:平 分 弦 (非 直 径)的 直 径
垂直于弦 ．
如图 ５ 所示,圆 O 中若 M 是弦 AB (
AB 不
是直径)的 中 点,则 OM ⊥AB ．
a
,
)
,
(
证明 设 Q (
x１ y１ B x２ ,
y２ ),则 A (－x２ ,
y１－(－y２) y１＋y２
y１－y２
,
,
－y２),得 kAQ ＝
＝
k
BQ ＝
x１－(－x２) x１＋x２
x１－x２
所以
y１ ＋y２ y１ －y２
kAQ kBQ ＝
＝
x１ ＋x２ x１ －x２
x２
x２
１
２
b２(
１－ ２ )－b２(
０)．如 图 １１
所 示, 设 P (
x０ ,y０ ), 则
Q (－x０ ,－ y０ ),且 知
x２
０
＋
４
y２
０
２
＝１,即 x２
０ ＋２
y０ ＝４．
２
因为 A (－２,
０),所以
图 １１
y０
y２
y２
－y０
１
０
０
kAP kAQ ＝
＝－
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题简案
微专题34例题导引例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1解析： (1) 设点P (x 0，y 0)，则点Q (－x 0，－y 0)，点A (－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0＋2. 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4. 又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1， 即x 20－4＝－43y 20， 所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)． (2)设点P (x 1，y 1)，点Q (x 2，y 2)．设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4， 点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为－27； 当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21）， 直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)， 令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0， 所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0 变式2答案： (1) 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.又因为点M 在椭圆上，故 （x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0， 因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0， 所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值． (2)3.串讲激活串讲答案：定点(1，0)．新题在线例题答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)x ±y －1＝0； (3)证明：设直线l ：y ＝k (x －1)， 代入椭圆整理得(2k 2＋1)k 2－4k 2x ＋2k 2x ＋2k 2－4＝0，设E (x 1，k (x 1－1))，F (x 2，k (x 2－1))，∴x 1，2＝4k 2±16k 4－4（2k 2＋1）（2k 2－4）2（2k 2＋1）， ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 直线AE 的方程为y ＝k （x 1－1）x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，解得 M (3，5k （x 1－1）x 1＋2)，同理，得 N (3，5k （x 2－1）x 2＋2) ∵Q 为M ，N 的中点，∴y Q ＝5k 2(x 1－1x 1＋2＋x 2－1x 2＋2)＝5k －15k 2·x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋2x 2＋4， 将 x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 代入上式整理得y Q ＝－53k， ∴k ′＝－53k 3－1＝－56k， ∴k ·k ′＝－56为定值．。
微专题----椭圆中斜率乘积为的问题解析
椭圆中斜率乘积为22b a的问题【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b ab的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值.2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线03y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为.【例题精讲】例1：已知椭圆22:182xy，点(22,2),(22,2)A B ，O 为坐标原点．（I ）若P 是椭圆上任意一点，OPmOAnOB ，求22mn 的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上的两个动点，满足OM ONOA OB k k k k ，试探究OMN 的面积是否为定值，说明理由．变题1：,S T 椭圆2:14xy上异于顶点的点，若P 是椭圆上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT ，且221(0)mn mn，求OS OT k k 的值.变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e，一条准线的方程为22x .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OPOM ON ,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF 为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.变题3：已知椭圆2:14xy，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上异于顶点的两个动点，且OMN 的面积是1，试探究OM ON k k 是否为定值．【课后练习】1. 设点P 是椭圆22:14xE y上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线,PA PB 分别交直线10:3l x与点M,N ，求证:PN BM .2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14xC y上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x yy r 作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r. ①求证：1214k k ；②求OP OQ 的最大值；③试探究22OPOQ 是否为定值..xO·yM PQ【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b ab的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值.2a2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线03yx 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为.22163xy【例题精讲】例1：已知椭圆22:182xy，点(22,2),(22,2)A B ，O 为坐标原点．（I ）若P 是椭圆上任意一点，OPmOAnOB ，求22m n 的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上的两个动点，满足OM ONOA OB k k k k ，试探究OMN 的面积是否为定值，说明理由．解：（Ⅰ）2222,22OPmOA nOB m n mn ，得2222,22P m n mn ，221m n m n ，即2212mn（II ）（解法一）由条件得，121214y y x x ，平方得22222212121216(8)(8)x x y y x x ,即22128x x 122112OMNS x y x y 222212211212122x y x yx x y y =222222211212212(1)2(1)2884x xx x x x 221212222x x 故OMN 的面积为定值2（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN 的面积为2②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为ykxt22222114842082x ykxktx tykx t由1122(,),(,)M x y N x y ，可得2121222428,1414tktx x x x kk，2222121212122814tky y kx tkx tk x x kt x x xtk又121214OM ONy y k k x x ，可得2241tk因为2121MNkx x ，点O 到直线MN 的距离21t dk12122OMNt SMN dx x 2121242t x x x x 222216282214ktt k综上：OMN 的面积为定值 2变题1：,S T 椭圆22:14xy上异于顶点的点，若P 是椭圆上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT ，且221(0)mn mn，求OS OT k k 的值.解：设112200(,),(,),(,)S x y T x y P x y ，由OPmOSnOT ，有012012,x mx nx y my ny ，因为P 是椭圆22:14xy 上任意一点，所以有221212()()14mx nx my ny ，即222222121212122()()(2)1444x x x x m y n y mn y y 因为,S T 椭圆22:14xy上异于顶点的点，所以222212121,144x x y y ，所以2212122(2)14x x mnmn y y ，因为221(0)mnmn ，所以12122204x x y y ，因为,S T 椭圆22:14xy 上异于顶点的点，所以120,0x x ，所以120x x ，所以121214y y x x ，即14OS OTk k .变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e，一条准线的方程为22x .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OPOM ON ,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF 为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由22ac e，222ac a2c ＝22，解得2,2ac ，2222bac，故椭圆的标准方程为22142x y .（2）设1122(,),(,),(,)M x y N x y P x y ,则由2OP OMON ,得12122,2xx x yy y ，因为M,N 椭圆22:142xy上的点，所以222211221,14242xyx y ，故22221212(2)(2)4242x x y y xy2222112212121212()4()2524242x y x y x x y y x x y y 因为直线OM 与ON 的斜率之积为12，即12OM ONk k ，也即121212y y x x ，所以121220x x y y ，所以22542xy，即2212010xy，所以P 点是椭圆22221(25)(10)x y上的点．设该椭圆的左、右焦点为12,F F ，则由椭圆的定义有12PF PF 为定值45，又因为22(25)(10)10c ，因此两定点的坐标为12(10,0),(10,0)F F ．变题3：已知椭圆22:14xy，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上异于顶点的两个动点，且OMN 的面积是1，试探究OM ON k k 是否为定值．解：①当直线MN 的斜率不存在时，设:MN x t ,22(,1),(,1),44ttM t N t 则可得OMN 的面积为214tt ，所以2114tt ，即2t ，所以221114224OM ONtk k t，②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为ykx t2222211484104x y kxktx tykx t由1122(,),(,)M x y N x y ，可得2121222418,1414tktx x x x kk，2222121212122414tky y kx t kx t k x x kt x x xtk因为2121MN kx x ，点O 到直线MN 的距离21t dk12122OMNt SMN dx x 2121242t x x x x 222216141214ktt k可得22241tk，所以22222212222122441114441414114OM ONtky y tkt k k k x x t t tk，综上：OM ON k k 为定值14．1.设点P 是椭圆22:14xE y上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线,PA PB 分别交直线10:3l x与点M,N ，求证:PN BM .证明：设110(,),3M y 则134MBk y ，1316PAMAk k y ，所以4MB PA k k ，设(,)P x y ，则222211422444PA PBx y yyk k x x xx ，所以1PB MBk k ，即PNBM2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14xC y上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x yy r 作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r. ①求证：1214k k ；②求OP OQ 的最大值；③试探究22OPOQ 是否为定值.解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为(3,0)，所以圆心M 的坐标为1(3,)2，从而圆M 的方程为2211(3)()24xy.（2）①因为圆M与直线1:OP yk x 相切，所以10021||2551k x y k，即22201001(45)10450x k x y k y ，同理，有222020020(45)10450x k x y k y ，所以12,k k 是方程222000(45)10450x k x y k y 的两根，从而2220001222201545(1)1451444545454x x y k k x x x .②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214yk x xy，解得222111221144,1414kxy k k，同理，222222222244,1414k x y k k ，所以222112221114444,141414kk OPkk kxO·yM PQ222222212222111222222222221211114444441164411414144414k k k k k kk OQk kk kk kk k 2222112211441161414k k OP OQk k 221221520()252(14)4k k ，当且仅当112k 时取等号. 所以OP OQ 的最大值为52.③由②有所以22222111222111441165205141414k k k OPOQk kk。
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
椭圆中两直线斜率积(和)为 定值与定点问题
1. 掌握椭圆中常见斜率之积（和）为定值的结论和 常见图形；
2. 能证明斜率之积（和）为定值； 3．利用上述结论解决直线过定点问题； 4．加深对图形的理解，能够转化陌生问题．
例 1、已知 A，B，P 是椭圆xa22＋yb22＝1 上不同的三点，且 A，B 连线经过坐标原点，若 直线 PA，PB 的斜率乘积 kPA·kPB＝－23，则该椭圆离心率为________.
，B
点的横坐标为
2， 2k 2 1
同理，联立
y k (x 1)
x2 2
y2
1
，得
C
点横坐标为
2k
2
2k
2(k 2 2 1
1)
点
D
的横坐标为
2k
2
+ 2(k 2 2k 2 1
1)
设 A(x1, kx1), B(x2 , kx2 ),C(x3, k(1 x3)), D(x4, k(1 x4 )), 所以，直线 AC，BD 的斜率之和为
=
k
2(
2 2k 2 1
2(k 2k
2 2
1) ) 1
0
4k 2 2k 2 1
0
(x1 x3 )(x2 x4 )
所以直线 AC，BD 的斜率之和为 0（定值）
解法 2：设直线 AM：y k1(x 2) ， BN：y k2 (x 2) ，分别和椭圆联立得到
得到 (3
4k 2 )x2
8k 2x
4k 2
12
0 ，求得
x1
x2
8k 2 3 4k 2
,
x1x2
4k 2 3
12 4k 2
微专题22椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题答案
微专题221．答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解析：由直线AM ，AN 分别和椭圆方程联立，即可求得M 坐标为⎝⎛⎭⎫－85，－35和N 坐标为⎝⎛⎭⎫85，－35，进而可求得MN 直线方程y ＝－35，然后求得MN 与y 轴交点的坐标⎝⎛⎭⎫0，－35. 2．答案：－9.解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，易得y M＝9bk 2＋9，从而k OM ·k ＝－9. 3．答案：()0，－2±23. 解析：设点P (x 0，y 0)，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，易得k 1k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 02－1x 02＝－14.所以AP 的方程为y ＝k 1x ＋1，BP 的方程为y ＝k 2x －1＝－14k 1x －1，所以 M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2，N (4k 1，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋3k 1(x －4k 1)＋(y ＋2)2＝0.即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3k 1－4k 1x ＋4y －8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2＋4y －8＝0.所以MN 为直径的圆过定点 (0，－2±23)． 4．答案：x 225＋y 216＝1.解析：设动点M (x ，y )，由题意（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪253－x ＝35，化简得x 225＋y 216＝1，所以动点M 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1. 5．答案：13.解析：设直线MA 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为－k ，联立直线MA 与椭圆方程：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－32k x 236＋y 24＝1，整理得(9k 2＋1)x 2＋182k (1－3k )x ＋162k 2－108k －18＝0，得x 1＝182（3k 2－k ）9k 2＋1－32，所以x 2＝182（3k 2＋k ）9k 2＋1－32，整理得x 2－x 1＝362k 9k 2＋1，x 2＋x 1＝1082k 29k 2＋1－6 2.又y 2－y 1＝－kx 2＋2＋32k －(kx 2＋2－32k )＝－k (x 2＋x 1)＋62k . ＝－108k 39k 2＋1＋122k ＝122k 9k 2＋1，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝122k9k 2＋1362k 9k 2＋1＝13为定值． 6．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解法1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a )＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a )2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D ＝2ak 21＋k 22，当k 1k 2＝b 2a 2时，x B ＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－b4a 2k 22b 2＋b 4a 2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0)．解法2直线BD 过定点(a ，0)，证明如下：设P (a ，0)，B (x B ，y B )，则x B 2a 2＋y B 2b 2＝1(a ＞b＞0)，k AD k PB ＝a 2b 2k 1k PB ＝a 2b 2·y B x B ＋a ·y B x B －a ＝a 2b 2·y B 2x B 2－a 2＝a 2b 2⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＝－1，所以PB ⊥AD ，又PD ⊥AD .所以三点P ，B ，D 共线，即直线BD 过定点P (a ，0)．7．答案：直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 解析：依题设，k 1≠k 2.设M (x M ，y M )，直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －1)，即y ＝k 1x ＋(1－k 1)，亦即y ＝k 1x ＋k 2，代入椭圆方程并化简得(2＋3k 12)x 2＋6k 1k 2x ＋3k 22－6＝0.于是，x M ＝－3k 1k 22＋3k 12，y M ＝2k 22＋3k 12.同理，x N ＝－3k 1k 22＋3k 22，y N ＝2k 12＋3k 22.当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k ＝y M －y N x M －x N ＝4＋6（k 22＋k 2k 1＋k 12）－9k 2k 1（k 2＋k 1）＝10－6k 2k 1－9k 2k 1.直线MN 的方程为y －2k 22＋3k 12＝10－6k 2k 1－9k 2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－3k 1k 22＋3k 12，即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－6k 2k 1－9k 2k 1·3k 1k 22＋3k 12＋2k 22＋3k 12， 亦即y ＝10－6k 2k 1－9k 2k 1x －23.此时直线过定点⎝⎛⎭⎫0，－23.当k 1k 2＝0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点⎝⎛⎭⎫0，－23.综上，直线MN 恒过定点，且坐标为⎝⎛⎭⎫0，－23. 8．答案：(1)椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59. 解析：(1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ，①.又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝|6|22＋（－2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k （x －2），得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）1＋3k 2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝⎛⎭⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。
微专题22椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题1.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作斜率分别为1和－1的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 与y 轴交点的坐标是________．2．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为________．3．如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B 的直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N.当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是________．4．已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．5．已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M(32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．6．如图，已知椭圆E 1方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，圆E 2方程为x 2＋y 2＝a 2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k 1的直线的l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于B ，C.设D 为圆E 2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2a2时，直线BD 过定点________．7.已知椭圆x 23＋y 22＝1，过点P(1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．若k 1＋k 1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k(x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．。
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微专题22 椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题
定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中的斜率之积(和)为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律
例题：过椭圆C ：x 24
＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．
变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？
变式2过椭圆x 24
＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．
串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25
＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．
串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3)23,1(-，P 4)2
3,1(中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x ＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；
(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．
如图，已知椭圆1E 方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0))，圆2E 方程为222a y x =+，过椭圆的左顶点A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当2
221a b k k =时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 答案：直线BD 过定点(a ，0)．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，
得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分 因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分 由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，
得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分 同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D ＝2ak 21＋k 22
，10分 当k 1k 2＝b 2
a 2时，x B ＝a （
b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a 2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分
所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分。