第7章点集拓扑学练习题参考答案

点集拓扑学练习题参考答案（第7章）

一、单项选择题

1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（）

① lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间

答案：③

2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）

①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对

答案：③

3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）

①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对

答案：③

4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（）

①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集

答案：②

5、实数空间R的子集{1,2,3,4}

A 是（）

①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集

答案：①②

6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（）

①

T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间

2

答案：①

7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是 ( )

①. 若A是序列紧致的，则A是可数紧致的

②. A是列紧的当且仅当A是序列紧致的

③. 若A是可数紧致的，则A是列紧的

④. 若A是紧致的，则A是列紧的

答案：②

二、填空题（每题1分）

1、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .

答案：紧致空间

2、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间， 则称Y 是拓扑空间X 的一个 .

答案：紧致子集

3、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 可数紧致空间

4、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一 个 .

答案：列紧空间

5、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空

间X 是一个 .

答案：序列紧致空间

6. 当X 为___________________________空间，则X 的闭集是紧致子集；

X 为___________________________空间，则X 的紧致子集是闭集；

7. X 为__________________________________, 且为序列紧空间时, X 为可数紧空间. 8.Y f →]1,0[:为连续的满射，则Y 是 。

（填Y 具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质，写3个）

三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）

1、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )

答案：√

理由：设 A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致

子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集.

2、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )

答案：√

理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则

易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.

四．简答题（每题4分）

1、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.

答案：如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点，则对于任意x X ∈，有开邻域x U ，使得

(){}x U A x φ⋂-=，于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖，从而X 不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.

2、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.

答案：考虑投射1:P X Y X ⨯→，由于1:P X Y X ⨯→是一个连续的满射，

从而由X Y ⨯紧致知X 是一个紧致空间.

3、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.

答案：如果A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖，则{}Y '⋃B =A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，从而Y 是紧致子集.

五、证明题（每题8分）

1、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射.如果A 是X 的一个紧致子集，

证明()f A 是Y 的一个紧致子集.

证明：设C 是()f A 的一个由Y 中的开集构成的覆盖.对于任意C ∈C ，1()f C -是X 中的一个开集，由于()c C f A ∈⊃C ,从而有：

111()(

)(())C C f C f C f f A A ---∈∈=⊃⊃C C

所以A 1()|f C C -∈A={C}是一个由X 中的开集构成的A 的覆盖.

由于A 是X 的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为111{(),,()}n f C f C --覆

盖A .

因为11111()()()n n f C f C f C C A ---⋃

⋃=⋃⋃⊃，从而1()n C C f A ⋃⋃⊃， 即1{,,}n C C 是C 的一个子族并且覆盖()f A ，因此()f A 是Y 的一个紧致子集.

2、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，X Y ⊂.证明：如果A Y A ⊃⊃,则

Y 也是X 的一个紧致子集.

证明：设A 是任意一个由X 中的开集构成的Y 的覆盖，因此A 也是A 的一个覆盖，由于A 是X 的紧致子集，从而A 有有限个成员n A A ,,1 使得 n

i i A A 1=⊃.

由于A 是正则空间的紧致子集，从而A 有一个开邻域U ，使得 n

i i A U 1=⊂,

从而有 Y A A n

i i ⊃⊃= 1, 从而A 有有限子族},,{1n A A 覆盖Y ，

因此Y 是X 的一个紧致子集.

3、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集.证明：A 也是X 的一个紧致子集.

证明：设A 是任意一个由X 中的开集构成的A 的覆盖，因此A 也是A 的一个覆盖，由于A 是X 的紧致子集，从而A 有有限个成员n A A ,,1 使得 n

i i A A 1=⊃.

由于A 是正则空间的紧致子集，从而A 有一个开邻域U ，使得 n

i i A U 1=⊂, 从而有A A n

i i ⊃= 1,从而A 有有限子族},,{1n A A 覆盖A ， 因此A 是X 的一个紧致子集.

4、设X 是一个Hausdorff 空间，A 是它的一个非空集族，由X 的紧致子集构成，证明：

A A ∈A 是X 的一个紧致子集.

证明：对于任意A ∈A ，易知A 是X 的一个闭集，