声场矢量分析

第一章 矢量分析
1.2 场论——梯度、散度和旋度
一、 标量场的梯度
1. 等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若 标量函数为 u u(x，, y则, z)等值面方程为：
u(x, y, z) c const
u u
en N
M el
u
P
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第一章 矢量分析
2、梯度的定义
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
u r
eˆr
1 r
u
eˆ
u z
eˆz
3）在球面坐标系中：
gradu
u r
eˆr
1 r
u
eˆ
1
r sin
u
eˆ
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第一章 矢量分析
二、 矢量场的通量 散度
1、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小；
在场 Av(空rv) 间中任意点M 处作一个闭合曲面，所
围的体积为 V，则定义场矢量在M点处的散度 为：
divAv (rv)
lim
Ñs Av (rv)
v dS
v0
v
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第一章 矢量分析
4、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数； 4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。
矢量线上每点的切向代表该处矢量场 的方向；
2、矢量场的通量
若矢量场 Av(rv分) 布于空间中，在空间中存在任意曲面S，
则定义：
Av (rv)
源自文库
v dS
S
为矢量 Av(rv沿) 有向曲面S 的通量。
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第一章 矢量分析
若S为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合
空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区
域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
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第一章 矢量分析
二、矢量代数
1、矢量和
AB B A
A (B C) (A B) C
2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和
A B B A ABcos A(B C) A B AC
gradu(x,
y,
z)
du dl
eˆl
max
式中：evl 为垂直于等值面（线）的方向。
3、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量 场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
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第一章 矢量分析
4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
( divFv(rv) 0 正源) divFv(rv) 0负源) ( divFv(rv) 0无源）
讨论：在矢量场中，
1）若 divAv(rv) ，则该0矢量场称为有源场，为源密度；
面S的矢量通量的代数和。 讨论：1）面元 d定Sv义；
矢量场的通量
2）
v
Ñs A(r)
cos
(rv)ds
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ，0闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若 ，0闭合面内有吸收矢量线的负源；
2020/4/10 c) 若 ，0闭合面无源。
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第一章 矢量分析
3、矢量场的散度的定义
第一章 矢量分析
➢简要介绍矢量分析和场论基础。 ➢散度、旋度和梯度的基本概念；
➢ 算符运算公式；
➢散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示 ➢讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。
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第一章 矢量分析
主要内容
1.1 矢量代数运算 1.2 场论- 梯度、散度和旋度 1.3 矢量微分算子 1.4 矢量积分定理 1.5* 并矢及其运算规则 1.6* 正交曲线坐标系
sin
eˆ y
cos
eˆ eˆ
z
z
➢球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sin cos eˆ sin sin eˆ cos
r
x
y
z
eˆ eˆ sin eˆ cos
x
y
eˆ eˆ cos cos eˆ cos sin eˆ sin
x
y
z
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方向单位矢量：
eˆx , eˆy , eˆz
位置矢量：
rv x0eˆx y0eˆy z0eˆz
矢量表示：
z
z0
v F O
x0 x
evx
x0eˆx y0eˆy z0eˆz
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P(x0,y0,z0) evz
y0 evy
y
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2、圆柱坐标系 ( ,, z )
方向单位矢量：
位置矢量：
rv r0eˆr
x
矢量表示：
A (rv)eˆ A (rv)eˆ A (rv)eˆ
r
r
z
θ0 P(r0,θ0,ψ0)
O r0 ψ0
e
e er
y
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第一章 矢量分析
4、坐标变换
➢圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ
eˆ x
cos
eˆ y
sin
eˆ
eˆ x
4、矢量代数公式
（1）
Α (B C) B (C A) C (A B)
（2）
( A B)C A(B C )
（3） A (B C) ( A B) C
（4）
Α
(Β
C)
(Α
C)Β
(Α
B)C
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第一章 矢量分析
三、常用坐标系
1、直角坐标系（x,y,z）
3. 叉乘（矢量积）－行列式展开
A B ABsinuˆ
A B B A
A(B C) AB AC
A A1uˆ1 A2uˆ2 A3uˆ3 B B1uˆ B2uˆ2 B3uˆ3
uˆ1uˆ2uˆ3 A B A1 A2 A3
B1B2 B3
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第一章 矢量分析
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第一章 矢量分析
1.1 矢量代数运算
一、矢量与矢量场
1、矢量及表示 A Auˆ
2、标量场与矢量场
标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空 间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则 称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场 等
矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随
z
eˆ , eˆ , eˆz
r0
位置矢量：
z0
rv r0eˆ z0eˆz
O ψ0
矢量表示：
x
A r
(
rv)eˆ
A (rv)eˆ
A (rv)eˆ
z
z
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第一章 矢量分析
P(r0,ψ0,z0)
evz evr
ev
y
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3、球面坐标系 ( r, , )
方向单位矢量：
eˆr , eˆ , eˆ