2014年高三第一次诊断考试数学(理)试题

2013----2014学年第一次高考诊断试题

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．i 是虚数单位，复数2

31i i -⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

A ．-3－4i

B ．-3 +4i

C ．3－4i

D ．3+4i

2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2

－x ，则f （1）= A ．3 B ．-1 C ．1 D ．-3 3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为 A ．k>4？ B ．k>5? C ．k>6？ D ．k>7？

4．设sin （4π

θ+）=1

3，sin2θ= A ．79- B ．1

9-

D ．19 D ．7

9

5．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是

A ．

15

64

B ．

15

128

C ．

24

125

D ．

48125

6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A ．

23π B ．83

π

-

C ．8－23

π

D ．82π-

7．（28展开式中不含．．x 4

项的系数的和为

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

8．已知二次函数y= f （x ）的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面

积为

A ．

25

π B ．

43

C ．

32

D ．

2

π 9．已知点F 是双曲线22

2x y a b

-=1（a>0，b>0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直

于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取

值范围是 A ．（1,+∞）

B ．（1,2）

C ．（

D ．（

10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m ，n ），b=（p ，q ），令a ⊙b= mq －np ，

下面说法错误的是

A ．若a 与b 共线，则a ⊙b =0

B ．a ⊙b =b ⊙a

C ．对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a ⊙b ）

D ．（a ⊙b ）2+（a·b ）2= |a|2|b|2 11．已知函数f （x ）=sin （2x+ϕ），其中ϕ为实数，若f （x ）≤()6f π对x ∈R 恒成立，且()()2

f f π

π>，

则f （x ）的单调递增区间是

A ．,()3

6k k k Z π

πππ⎡

⎤

-

+

∈⎢⎥⎣

⎦

B ．,()2k k k Z πππ⎡

⎤

+

∈⎢⎥⎣

⎦

C ．2,()6

3k k k Z π

πππ⎡

⎤

-

+

∈⎢⎥⎣

⎦

D ．,()2k k k Z π

ππ⎡

⎤

-

∈⎢⎥⎣

⎦

12．已知函数f （x ）=|1|,010,

16,10.2

gx x x x <≤⎧⎪

⎨-+>⎪⎩若a ，b ，c 互不相等，f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取

值范围是

A ． （1,10）

B ． （5,6）

C ． （10,12）

D ． （20,24）

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设F 为抛物线y 2

=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=

，则

FA FB FC ++=

。

14．已知变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪

-≥-⎨⎪-≤⎩

，则目标函数z= ax +2y 仅在点（1，0）处取得最小

值，则a 的取值范围是 。

15．直三棱柱AB C －A 1B 1C l 的各顶点都在同一球面上，若AB =AC= AA 1=2，∠BAC=120o ， 则此球的表面积等于 ．

16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c

－c ）cosA=acosC ，则cosA= 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且1

2

，a n ，S n 是等差数列． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若2

1()2

n b

n a =，设n

n n

b c a =

，求数列{c n }的前n 项和T n 。 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱AB C －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1=AB =2． （I ）求证：AB 1∥平面BC 1D; （Ⅱ）若四棱锥B －AA 1C 1D 的体积为3，求二面角C －BC l －D 的正切值．

19．（本小题满分12分）

为迎接2012年伦敦奥运会，在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名