第七章-平面电磁波-基本特性和极化-林

2 Ex (r ) k 2 Ex (r ) 0 2 2 E y (r ) k E y (r ) 0 2 2 E r k E z (r ) 0 ( ) z 2 H x (r ) k 2 H x (r ) 0 2 2 H y (r ) k H y (r ) 0 2 2 H r k H z (r ) 0 ( ) z
E E0 e jkz 式中 E0是垂直于z轴的常矢量。波
r ax x a y y az z
则它相对于原点的相位
kz kaz r
E E0 e
jkaz r
因而P点的电场矢量也可表示为
设平面波沿任意方向 as 传播。
as r r cos l
P点的电场矢量可表示为：
可见, 任一时刻电能密度与磁能密度相等, 各为总电磁能密度的一半。
（5）均匀平面波的能量传播速度
总电磁能密度的平均值为
1 T 1 T 1 2 1 2 2 w w(t )dt E0 cos (t kz )dt E0 H 02 2 2 T 0 T 0 2
av
1 E0 1 S av 2 ve av 1 w E02 2
若无外源( J 0 )，且为理想介质( 0 )，此时传 导电流为零，也无体分布的时变电荷( 0 )，则上述 波动方程变为
2 2 E (r , t ) E (r , t ) 0 2 t 2 2 H (r , t ) H (r , t ) 0 t 2
(3)
E 0 as H 3 4 377 ax az ax 3 a y 2 6 az 4 e j (4 x 3 z ) 5 5 8 6 6 a y 5 az 6 377e j (4 x 3 z ) V / m ax 5 5
E E0 e
j ( kx x k y y kz z )
由于cos2α +cos2β +cos2γ = 1, 故
2 k x2 k y k z2 k 2
E 0 是垂直于 a s 的常矢量，所以
E0 as 0
电场和磁场互相垂直且都与传播方向垂直，电场和磁场模值相差一个波阻抗。
1

vp
均匀平面波的能量传播速度等于其相速:
例 已知真空中均匀平面波电场强度的瞬时值为
E ( z, t ) ax 20 2 sin(6π 108 t 2π z ) V/m
试求：① 频率及波长； ② 电场强度及磁场强度的复矢量； ③ 复能流密度矢量； ④ 相速及能速。 解
6π 108 f Hz 3 108 Hz 2π 2π
此式称为齐次波动方程。 对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波 动方程。
对于正弦电磁场，以复数形式表达，则：
2 2 E (r ) k E (r ) 0 2 2 H (r ) k H (r ) 0
此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中，k 。 在直角坐标系中，各个分量分别满足下列方程：
①


2π 2π m 1 m k 2π
②
E ( z ) ax 20 2e
H ( z) ay 1 az E
j
π 2 j2πz
e
=ax ( j )20 2e j2πz V/m
0
1 az ax ( j )20 2e j2πz 120π
2 ( j )e j2πz A/m 6π
2 2v p v p c k f f
8. 磁场强度和波阻抗:
ax H j ay y 0 ay az j Ex ay z z 0 E0 x Ex j
jkz
Ex
Hy
O
z

E
ay
j

（ jk）E0 e
E e jkz E 0 jkz H H 0e
例 已知空气中一均匀平面波的磁场强度复矢量为
H ( ax A a y 2 6 az 4)e j (4 x 3 z )
(μA/m)
试求: (1) 波长, 传播方向单位矢量及传播方向与z轴夹角; (2) 常数A; (3) 电场强度复矢量E。
［解］ (1)
k k x2 k z2 (4 ) 2 (3 ) 2 5 2 2 0.4m k 5 k ax 4 az 3 4 3 ax az as k 5 5 5
③ S 1 E H * 1 a 20 2( j )e j 2 z a 2 ( j )e j2πz x y
2 2 10 az W/m 2 3π 6π
④ vp ve

k
3 108 m/s
7.1.4 沿任意方向传播的平面波 电场强度复矢量可简单地表示为
的等相面是z=const.的平面, 垂直于 z向。设等相面上任意点P(x, y, z)的 位置矢量(矢径)为
7.1.2 正弦平面波的参数 z )) E0 cos(t kz ) E ( z , t ) ax Ex ( z , t ) E0 cos((t /k E a E a E e jkz
x x x 0
Ex(z, t)

O

2
T 4

E E0 e k kas
as ax cos a y cos az cos
jkas r
E0 e
jk r
k kas ax k x a y k y az k z k x k cos , k y k cos , k z k cos
解的物理意义：
以 速 度 v 沿 +z 方 向 传 播
t1 t2 tn zn z1 z2 f1 (t1 ) f 2 (t2 ) f n (tn ) v v v zn z1 z2 t1 t2 tn v v v z1 z2 zn
第七章 平面电磁波
§7.1 理想介质中的平面波
空间中沿某一方向传播的电磁 波（如+z方向），波只沿着传 播方向变化，没有传播方向上 的分量，在与波传播方向相垂 直的平面上，各点场强振幅、 方向、相位等相等。因此，这 种平面波又称为平面波。
7.1.1 波动方程的解及意义
在无限大的各向同性均匀线性介质中，时变 电磁场的方程为
Ex
z
Hy
3) 复坡印廷矢量为
2 E E 1 1 1 0 S E H * ax E0 e jkz a y 0 e jkz az S av 2 2 2
均匀平面波沿传播方向传输实功率, 且沿途无衰减(无损耗); 无虚功率。
xz平面上的瞬时E和H(S=E×H处处指向传播方向)
k
e jkz a y H 0 e jkz
H
1

az E
η具有阻抗的量纲，它的值与媒质的参数有关, 因此它被称为媒 质的波阻抗。 真空中：
0 0 / 0 377 120 ()
7.1.3 理想平面波的传播特性
E ax E0 e jkz ; H a y H 0 e jkz
对于真空,
vp
1
0 0

1 4 107 1 109 36
3 108 m / s c
可见, 电磁波在真空中的相速等于真空中的光速, 其更精确的值是 2.997 924 58×108m/s。 在一般介质中ε＞ε0, μ≈μ0, 故vp＜c, 称为慢 波。相应地, 介质中的(相位)波长也比真空中的波长短, 因为
2 Ex k 2 Ex 0
这是二阶常微分方程, 其解为
d 2 Ex 2 k Ex 0 2 dz
z z Ex f1 (t ) f 2 (t ) v v 1 v 电磁波在均匀介质中的传播速度

z 证明Ex f1 (t )是波动方程的解 v
z 设 u = t E x f1 ( u ) v f1 ( u ) f1 ( u ) u 1 f 1( u ) v z u z 2 f1 ( u ) 1 f 1( u ) u 1 2 f 1( u ) 2 v u z v z 2 f1 ( u ) f 1( u ) 2 t 1 f 1( u ) f 1( u ) 0 2 v
设 as 与 a z 夹角为θ, 则
3 cos as az , 53.13 5
(2)
E0 as 0
3 4 ax az (ax A a y 2 6 az 4) 0 5 5 4 3 A 4 0, A 3 5 5
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。 由于各个分量方程结构相同，其解具有同一形式。
若场量仅与 z 变量有关，则 E z H z 0 。 以 E ax Ex 为例， 因场量与坐标x, y无关, 则：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z z
k 2 /
在亥姆霍兹方程中已经定义：
k
( rad / m )
理想电介质中， 0 , , 0
真空中电磁波的 波长，也叫工作 波长。
2 2 2 k 0 0 0
r
0 r
6. 周期和频率：时间相位ωt变化2π所经历的时间称为周期, 以 T表示; 因ωT=2π, 得
2 2 E (r , t ) J (r , t ) 1 ( r , t ) ( , ) E r t 2 t t 2 2 H (r , t ) H (r , t ) J (r , t ) t 2
上式称为非齐次波动方程。


§7.2 导电媒质中的平面波
7.2.1 导电媒质的分类 导电媒质又称为有(损)耗媒质, 是指σ≠0的媒质。电磁波在导 电媒质中传播时, 将出现传导电流Jc=σE。此时麦氏组中全电流定 律为 式中
c j (1 j )
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H E j E j ( j ) E j c E
(4) 瞬时电、磁能密度分别为 1 1 we (t ) E 2 (t ) E02 cos 2 (t kz ) 2 2
2 E 1 1 1 wm (t ) H 2 (t ) H 02 cos 2 (t kz ) 0 cos 2 (t kz ) we (t ) 2 2 2 /
T
2

; f 1/ T / 2
7. 相速：等相面(波前)传播的速度称为相速。我们来考察 波前上的一个特定点, 这样的点对应于cos(ωt-kz)=const. 即 ωt-kz=const., 由此可得ωdt-kdz=0, 故相速为
dz vp dt k
1

(m / s)
T 2
3 2
z
t1 = 0
t2
t3
正向行波的瞬时波形
等相位面的法线 方向指向电磁波 的传播方向。
| (t kz2 ) (t kz1 ) | k | z1 z2 | 2 k 2 2 k
5.波数 k： 因为, 空间相位变化2π相当于一个全波, k表示单位长度 内所具有的全波数目，也是单位长度内的相位变化量。