激光束的自聚焦、自散焦与自调制

激光束的自聚焦、自散焦与相位调制引言：在各向同性的非线性介质中，光场会引起介质极化率的实部发生变化，或者说光致折射率变化或产生非线性折射率。

光致折射率变化的效应有多种，这里只介绍光学克尔效应，它表述为介质某处折射率变化的大小与该处光强大小成正比。

本文介绍自作用（自相位调制）和互作用（交叉相位调制）两种光克尔效应。

还要讨论由于高斯光束横向分布的不均匀性，光束在传播过程中引起的自聚焦，自散焦效应的理论，以及相关的时间和空间自相位调制的现象。

一．光学克尔效应光克尔效应是指光电场直接引起的折射率变化（即非线性折射率）的效应，其折射率变化大小与光电场的平方成正比，即2EΔn∝。

这种效应属于三阶非线性光学效应。

具有克尔效应的介质称为克尔介质。

光学克尔效应因其产生的非线性极化率的方式不同而被分为两种：（1）自作用光学克尔效应利用频率为ω的信号光自身的光强引起介质折射率变化，同时用一束信号光直接探测在该频率ω下的非线性极化率实部或非线性折射率的大小。

（2）互作用光学克尔效应演示这种光克尔效应，需要两束光：泵浦光---引起折射率变化的强光；信号光----探测介质折射率变化大小的弱光。

也就是用频率不同（ω’）或偏振方向不同的强泵浦光引起介质折射率变化，同时用频率为ω的弱信号光探测介质非线性极化率实部或非线性折射率的大小。

图 1.给出了自作用克尔效应和互作用克尔效应的两个典型例子。

(a)自作用克尔效应（b）互作用克尔效应图1.两种光克尔效应设信号光频率为ω，泵浦光频率为ω’，忽略吸收，自作用克尔效应和互作用克尔效应的非线性极化强度分别表示为23(3)()3(;,,)()()P E E =-（）ωεχωωωωωω （1.1） 23(3)0()6(;',-',)(')()P E E =（）ωεχωωωωωω （1.2） 在光波传播过程中，折射率的变化会引起光的相位的变化。

考虑一个沿Z 方向传播的平面单色波()((z)e i kz wt E E -ω,z)=,光从z=0出发传至z=L,引起介质的折射率变化为Δn,传播常数变化为Δk,相应光波的相位变化为2KL c =ωπΔφ=ΔΔnL=ΔnL λ（1.3）上式表明光致折射率变化调制了相位，对自作用光克尔效应和互作用光克尔效应，相应地存在自相位调制（SPM ）和交叉相位调制（XPM ）两种。

1.1自相位调制光克尔效应为讨论自作用光克尔效应中折射率与光场的关系，设频率为ω的强激光入射各向同性介质，仅考虑一阶和三阶效应，其中一阶极化率(1)(1)(1)'i ''χχχ=+和三阶极化率(3)(3)(3)'i ''χχχ=+皆取实部，则总极化强度为(1)(3)2(1)'(3)'00()()()()3(;,)()()P P P E E E χχ=+=+ωωωεωεωω,-ωωωω （1.4）根据0D E P ε=+和D E ε=，并定义有效三阶极化率(3)(3)'3'e χχ=,由（1.4）得2(1)'(3)0(1+'())eE χχ=+εεω （1.5）式中ε是总介电系数，为实数。

利用线性介电系数的关系0n =和(1)'0'(1)=+εεχ，得到2(1)'01n =+χ,将它代入式（1.5）得到22(3)'00(())en E χ=+εεω （1.6）利用（1.6），得总折射率n 为(3)'(3)'221/21/20002(/)(1())()2e e n n E n E n n χχ==+≈+εεωω （1.7）式中，考虑到等式右边圆括号中的后一项比1小得多。

式（1.7）的前项n 0为线性折射率，后项为非线性折射率，即为(3)'2()2e n E n χ=Δω （1.8）可见非线性折射率与场振幅平方成正比，比例系数为非线性折射系数，即(3)'202e n n χ=（1.9）它与有效三阶非线性极化率实部成正比。

（1.8）变为22()n E Δn=ω （1.10）利用2001()2I cn E =εω,由式(1.8)得 (3)'2200e I cn χΔn=I=n ε （1.11） 可见非线性折射率与光强成正比，比例系数n 2称为非线性折射系数，它与三阶极化率实部的关系为(3)'2200e cn χn =ε （1.12） 总之克尔介质的总折射率包括线性和非线性两部分，它与光强成线性关系，即002n n n n n I =+=+Δ (1.13)光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制很多，例如：电子极化，电致伸缩，热效应等。

克尔介质的非线性折射系数越大，介质的响应速度越慢，响应时间越长。

当光束传播一定距离L 时，因为克尔效应引起介质折射率的变化，而产生光束的非线性相位差为2200n E L =2π2πΔφΔnL=λλ（1.14） 1.2交叉相位调制光克尔效应考虑一种特殊的互作用光克尔效应。

频率为ω的单色信号光与频率为ω’的单色泵浦光同沿Z 方向传播，但两者的偏振方向不同：泵浦光沿y 方向偏振；信号光沿x-y 平面内的某任意方向偏振，如图2所示图2.信号光（ω）与泵浦光（ω’）的传播方向和偏振方向泵浦光引起介质折射率或极化率（实部）发生变化，从而分别由信号光电场的x 和y 方向分量E x (ω,z)和E y (ω,z)所产生的非线性极化强度的x 和y 分量分别为2(3)(3)0P (,)6(;',',)(')(x xxyy x z E E χ=-ωεωωωωωω,z) （1.15） 2(3)(3)0P (,)6(;',',)(')(y yyyy y z E E χ=-ωεωωωωωω,z) （1.16） y 方向的耦合波方程为0(,)(,)2y i kz y dE w z iwP w z e dzcn=Δε 将（1.16）代入上式，并且Δk=0,得22(3)0(,)3(;',',)(')(,)y yyyy y dE w z i k E E z dzkχ=-ωωωωωω （1.17） 若认为泵浦光E （'ω）不随x 变化，就可得y 方向的信号光场强2(3)003(,)exp{[(;',',)(')]}y yyyy i k E w z ik E z kχ∝-ωωωωω （1.18） 上式中方括弧内的量正是信号光在y 方向的非线性折射率，记为Δn //,即2(3)0//3(;',',)(')yyyy k n E kχ=-Δωωωωω （1.19） 同理，信号光在x 方向的非线性折射率n ⊥Δ2(3)03(;',',)(')xxyy k n E k⊥=-Δχωωωωω （1.20） 这种产生光致双折射的互作用光克尔效应的强弱可由式（1.21）定义的克尔系数来度量，即//'2()E(')n n K ⊥-=ωΔΔωλω (1.21)将（1.19）和（1.20）代入，可得克尔系数与三阶极化率的关系为(3)(3)'3()()yyyy xxyy K =-ωωωχχ2πc（1.22） 光克尔效应提供了一种改变介质的折射率和光的相位的方法，在外加泵光电场的作用下，它可使各向同性的非线性介质变成各向异性的单轴晶体。

当线偏振光通过长度为L 的介质时，o 光和e 光的相位差为2//02K ()=)(')L L E n ⊥-=ω'ωπω2πΔφ（Δn Δn ωλ （1.23） 可见o 光和e 光的相位差与泵浦光场强的平方成正比。

二．自聚焦在克尔介质（具有克尔效应的介质）中传输的单模激光束，由于高斯型的横向分布，光束中心与边沿的光强不同，造成折射率沿径向的非均匀分布，介质对在其中传输的光束产生类似透镜的作用，对光束进行聚焦或散焦。

折射率的变化Δn 与光强I 的关系由(1.13)决定，即002n n n n n I =+=+Δ式中非线性折射系数n 2的符号可正可负。

取正值时（n 2>0）为自聚焦（正透镜效应）；取负值时（n 2<0）为自散焦（负透镜效应）。

自聚焦和自散焦如图3所示：（a ）自聚焦 （b ）自散焦图3.自聚焦与自散焦示意图对于自聚焦，沿介质的径向从轴心到边沿高斯光束的光强是逐步衰减的，根据Δn=n 2I,因而其折射率也是逐步减小的。

可以把光束经过的路径看成一个折射率渐变的波导，其作用就像一个自聚焦透镜，如图4所示图4.自聚焦透镜对光束的会聚作用根据渐变折射率自聚焦透镜端面处最大数值孔径公式2200sin (0)()2[(0)()]s NA n n n R n n n R ==-≈-θ （2.1） 式中n 0是介质的线性折射率，θs 为最大的会聚角。

n(0)为中心轴上的折射率， n(0)=n 0+Δn 。

n(R)是边沿的折射率，该处光场近似为0，则有n(R)=n 0,所以由（2.1）得00sin 2s n n n ≈θΔ (2.2) 由于会聚角一般很小，近似有22sin s s ≈θθ。

因此自聚焦会聚角与激光引起的非线性折射率的关系为22s nn =Δθ （2.3） 另一方面，若介质入射面是高斯光束的束腰位置（如图5），高斯型激光的衍射角近似为图5.高斯光束的衍射2d an ka==λθπ （2.4） K 为波矢，a 为束腰半径。

所以自聚焦会聚角与激光衍射角的平方比为20222/1()21/sdn n k a =θΔθ （2.5） 由此可见，在自聚焦过程中，同时存在着两种互相竞争的作用：Δn 引起光束会聚；衍射引起光束发散。

光越强，光束会聚光斑越小，则衍射作用越强。

在本节末会证明，只要满足22021n n k a ≥Δ 或12s d ≥θθ （2.6） 则自聚焦始终强与衍射，直至其它非线性效应终止自聚焦过程。

考虑到Δn=n 2I,为产生自聚焦所需的Δn ，根据（2.6）必须使用的激光光强为2222n I n k a =（2.7）例如，设n 2=10-13cm 2/W,a=1mm, 41210k cm -=⨯ ,由（2.7）得当光强超过1MW/cm 2就能产生自聚焦。

如果激光的自聚焦作用与激光的衍射作用达到平衡θs =(1/2)θd ,就会出现一种自陷效应。

稳定自陷实际上就是空间光孤子。

根据入射激光脉冲宽度与激光感生介质折射率变化的响应时间的关系可以把自聚焦分为：稳态自聚焦，准稳态自聚焦和瞬态自聚焦。

下面我们分别来介绍三种自聚焦现象。

2.1稳态自聚焦如果激光的脉冲宽度比较长，远大于介质的响应时间，自聚焦后的光斑尺寸、焦距都保持相对稳定，此时自聚焦现象的理论可以用稳态方法处理。