一级动力学反应模型

4.1.2 碳-14测年法
碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛 存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚 石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本. 自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%） 、 碳-13 及碳-14（极少）. 碳-12 和碳-13 属稳定型，碳 -14 具有放射性. 碳-14 是由宇宙射线撞击空气中的氮 原子而产生，衰变方式为 β 衰变，碳-14 原子转变为 氮原子. 碳-14 的半衰期长达 5730 年，考古学家就是 根据碳-14 的半衰期计算年代.
4.1.5 是真迹还是赝品？
2. 模型建立和求解
梅格伦知道 17 世纪的荷兰画家使用白铅作为颜 料的原料之一，所以他在伪造名画时也用了白铅. 白 铅 含 有 放 射 性 的 铅 -210( 210 Pb ) 和 镭 -226 ( 226 Ra )，它们都是铀-238( 238 U )的系列蜕变产生的放 射性同位素， 并且镭-226 会经过系列蜕变产生铅-210. 镭-226 半衰期 1602 年，铅-210 半衰期 22.3 年. 记 x(t)是单位质量的白铅中铅-210 在时刻 t 的含 量，x0 为单位质量的白铅中铅-210 在画作绘制时刻 t 0 的含量.
kx(t ) r (kx0 r )ek (t t0 ) 其中 k (ln 2) 22.3 0.031083 . （提示：可做变量替换 y(t ) kx(t ) r ）
(4.1.16)
4.1.5 是真迹还是赝品？
2. 模型建立和求解
现在将卡内基 · 梅隆大学的科学家鉴别画作的时 刻仍记为 t. 如果画作是真迹， 已有约 300 年历史， 则 将 k=0.031083 及 t t0 300 代入(4.1.16)式中，得
4.1.6 排污量的估计
1. 问题提出
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来 自于本地区的排污和上游的污水. 一般说来，江河自 身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水 环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中 污染物的浓度降低. 反映江河自然净化能力的指标称 为降解系数. 事实上，长江干流的自然净化能力可以 认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰 酸盐和氨氮的降解系数通常介于 0.1~0.5 之间，比如 可以考虑取 0.2（单位：1/天）.
半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应 降低到初始值的一半所消耗的时间，记为 τ 或 t1 2 . 在(4.1.2)式中，令 t t0 且 x(t ) x0 2 ，则
x0 2 x0ek
所以 (4.1.3) k ln 2 所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无 关的常数.
镭-226 的蜕变所补足而得到平衡的缘故，kx(t)与 r 应 该相当接近；
4.1.5 是真迹还是赝品？
2. 模型建立和求解
而 如 果 画 作 为 赝 品 ， 则 将 k=0.031083 及 t t0 300 代入(4.1.16)式中，得 kx(t ) r 0.39358(kx0 r ) 也就是说， 只经过 30 年， kx(t ) r 仍有 kx0 r 的 39%， 一般来说， kx0 应该与 r 相差较大，以至于 kx(t)与 r 仍然相差较大. 经过测量，待鉴别的画作 r=0.8，kx(t)=8.5，相差 较大，可以判定为赝品.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 解答 记发掘出古莲籽的时间为 t 年，古莲籽生 活的年代为 t 0 年，则根据测量结果，有 (4.1.5) x(t ) 0.879x (t0 ) 由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有 e0.000121(t t0 ) 0.879 所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘 时间之前 1066 年.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t 0 ， 设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满 足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为 (4.1.2) x(t ) x0e 0 (4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时 间衰减.
k t t
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
4.1.6 排污量的估计
1. 问题提出
（由全国大学生数学建模竞赛 2005 年 A 题改编） 长江是我国第一、世界第三大河流，近年来，由 于长江及其支流沿途的工农业和生活污水的大量排 放，长江干流的水污染程度日趋严重,令人担忧. 长江 干流的主要污染物为高锰酸盐（ CODMn ）和氨氮 （NH3-N）. 表 4.1 给出了长江干流上其中两个观测 站在 2004 年 7 月的水流量、水流速、高锰酸盐浓度 和氨氮浓度，这两个站点之间的长江干流的长度为 395 公里.
4.1.2 碳-14测年法
碳-14 与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中， 生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳 -14，且与大气中的碳-14 维持恒定. 但是一旦生物体 死亡，体内的碳-14 无法补充，每隔 5730 年就会减少 一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、 木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14 浓度，就可以推算 出生物体于何时停止补充碳-14， 也就是生物体已死亡 多久的时间. 碳-14 定年法只适用于测定距今 70000 年内的古物所属的年代.
一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期 x=x 0
x=x 0/2
x
t=0
t=
t
图4.1
4.1.2 碳-14测年法
当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是 “这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展 新技术来考证古物的年代. 在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14 定年 法”最为普遍. 它的原理是根据生物体死亡之后，体 内碳-14 衰减的速率来估计年代. 美国化学家威拉得· 法兰克· 利比（Willard Frank Libby）因在 20 世纪 40 年代发明碳-14 定年法而于 1960 年获得诺贝尔化学奖.
第4章 常微分方程模型
4.1节
一级动力学反应模型
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物 含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程 (4.1.1) dx dt kx 其中 t 为时间，x=x(t)为 t 时刻系统中反应物的含量， 一阶导数 dx dt 是反应速率，比例系数 k 是反应速率 常数，k>0，负号表示反应物的含量在衰减. 一级动力学反应的数学模型 (4.1.1) 式有很多应 用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸 收与排除、污染物降解等.
4.1.2 碳-14测年法
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子. 放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素. 放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.
kx0 (kx(t ) r )e9.3248 r 经过测量，待鉴别的画作的镭 -226 的衰变率为 r=0.8， 铅-210 的衰变率为 kx(t)=8.5 （均按每克铅白每 分钟蜕变的原子数来计算） ，所以 kx0 (8.5 0.8)e9.3248 0.8 86338 .
4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年， 所以根据(4.1.3) 式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服 0.000121 t t0 从公式 (4.1.4) x(t ) x0e x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) . 例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出 的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的 古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算 古莲籽生活的年代.
4.1.5 是真迹还是赝品？
2. 模型建立和求解
换一个角度，如果画作为真迹，则将 k=0.031083 及 t t0 300 代入(4.1.16)式中，得
kx(t ) r 8.9185 105 (kx0 r ) 也就是说， 经过 300 年后， 铅-210 的衰变率 kx(t)与镭 -226 的衰变率 r 之间的差 kx(t ) r 不足 300 年前的衰 变率之差 kx0 r 的万分之一，即因为铅-210 的蜕变被
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
法庭组织了由多名国际专家组成的陪审团，判定 梅格伦确实伪造了多幅赝品，于 1947 年 11 月宣判他 伪造和诈骗罪名成立，判入狱一年. 半个月后，他在 服刑期满前夕突然心脏病发作，不久之后死于医院. 虽然梅格伦死了，但是还有一些声称是维米尔真 迹的油画需要鉴别真伪， 包括 《以马午斯的门徒》 . 直 到 1967 年，位于美国匹兹堡的卡内基· 梅隆大学的科 学家借助“放射性测定年龄法”才证实那幅《以马午 斯的门徒》是梅格伦伪造的赝品.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 1950 年在巴比伦发现一根刻有汉穆拉比王朝字 样的木炭， 当时测定， 其碳-14 原子的衰减速度为 4.09 个/(g· min)，而新砍伐烧成的木炭中碳-14 原子的衰减 速度为 6.68 个/(g· min). 请估算出汉穆拉比王朝所在 年代. 解答 记发现汉穆拉比王朝木炭的时间为 t=1950 年， 汉穆拉比王朝所在年代为 t 0 年， 根据(4.1.1) 式，有 dx dt t 1950 k x(1950) ， dx dt t t k x (t0 ) .
4.1.5 是真迹还是赝品？
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
荷兰画家梅格伦（ Han van Meegeren，1889— 1947）是 20 世纪最著名的艺术品伪造者之一. 在自己的创作遭到评论家的非议的情况下，为了 证明自己的才能和骗取金钱，他发展出十分高明的伪 造技术，伪造了一批 17 世纪荷兰著名画家的作品. 他在 1937 年伪造 17 世纪荷兰著名画家维米尔 （Jan Vermeer，1632—1675）的作品《以马午斯的 门徒》 （The Disciples at Emmaus） ，并假冒真迹出售， 骗取了约 30 万美元 （大约相当于现今的 400 万美元） .
4.1.5 是真迹还是赝品？
2. 模型建立和求解
记 r(t)是在时刻 t 单位时间内单位质量的白铅中 镭-226 蜕变成的铅-210 的数量， 因为我们只对 300 年 左右的时间感兴趣， 而镭-226 的半衰期长达 1602 年， 所以可以简化 r(t)为一常数 r. 则列式得 dx dt kx r, x(t0 ) x0 ，解得
4.1.5 是真迹还是赝品？
2. 模型建立和求解
也就是说，如果假设画作为真迹，则推算出在画 作绘制时的铅-210 的衰变率 kx0 高的出奇，不可能！ 于是可以判定其必为赝品. （科学家可以根据铅 -210 的衰变率计算白铅中 的含铀量，白铅的含铀量是很低的，如果铅-210 的衰 变率高于 3 万，就可判定画作为赝品）
0
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 解答（续） 而根据测量结果，有 dx dt t 1950 4.09 dx dt t t 6.68
0
百度文库
所以 x(1950) x (t0 ) 4.09 6.68，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121 (1950t0 ) 4.09 6.68 解得 t0 2104.3(年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
第二次世界大战期间，梅格伦的另一幅假冒维米 尔真迹的赝品经过辗转被德国纳粹元帅戈林收藏，德 国战败后，经过盟军的追查，梅格伦于 1945 年 5 月 在荷兰因涉嫌诈骗罪和通敌罪被逮捕入狱，他为了洗 脱通敌罪名，很快就供认那幅被戈林收藏的画其实是 他伪造的赝品，并在狱中绘制了他伪造的最后一幅赝 品，向由专家组成的陪审团展示他的伪造技术，后于 1946 年 4 月被释放.